Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 17

 
 
 
Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade de Math – Algèbre Niveaux 01 – Exercice 17

x et y deux nombres réels non nul
Tel que: x2−xy+y2x2+xy+y2=13
Calculer xy

Solution

On a:  x²-xy+y²=xy (x/y-1+y/x)

&  x²+xy+y²=xy (x/y-1+y/x)
on pose t=x/y
A=x²-xy+y² /  x²+xy+y² = 1/3
A= (t-1+1/t) / (t+1+1/t) = 1/3
➝ 3(t²-t+1) = (t²+t+1)
➝ 2t²-4t+2=0
➝ (t-1)²=0
➝ t=1

➨ x/y=1

On a:  x²-xy+y²=xy (x/y-1+y/x)

&  x²+xy+y²=xy (x/y-1+y/x)
on pose t=x/y
A=x²-xy+y² /  x²+xy+y² = 1/3
A= (t-1+1/t) / (t+1+1/t) = 1/3
➝ 3(t²-t+1) = (t²+t+1)
➝ 2t²-4t+2=0
➝ (t-1)²=0
➝ t=1

➨ x/y=1

 

On a:  x²-xy+y²=xy (x/y-1+y/x)

&  x²+xy+y²=xy (x/y-1+y/x)
on pose t=x/y
A=x²-xy+y² /  x²+xy+y² = 1/3
A= (t-1+1/t) / (t+1+1/t) = 1/3
➝ 3(t²-t+1) = (t²+t+1)
➝ 2t²-4t+2=0
➝ (t-1)²=0
➝ t=1

➨ x/y=1

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