Olympiade de Math
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
▶️ Olympiade de Math – Algébre Niveaux 01 – Exercice 13
Soient x, y, z des nombres strictement positifs
Tel que: x≥y≥z
Montrer que:
\(\frac{x^{2}-y^{2}}{z}+\frac{z^{2}-y^{2}}{x}+\frac{x^{2}-z^{2}}{y}≥3x-4y+z\)
solution:
ona (x²-y²) / z = (x-y) × (x+y) / z
x≥y & y≥z ⇾ x+y≥2z (z>0) ⇾ (x+y) / z ≥ 2 〔x ( x-y≥0)〕
⇾ (x²-y²) / z ≥ 2 (x-y) ①
☲
ona (z²-y²) / x = (z-y) × (z+y) / x
x≤y & x≤z ⇾ 2x≤y+z (x>0) ⇾ (y+z) / x ≤ 2 〔x ( x-y≥0)〕
(z²-y²) / x ≥ 2(z-y) ②
☲
ona (x²-z²) / y = (x-z) × (x+z) / y
x≥y & z>0 ⇾ x+z≥y (y>0) ⇾ (x+z) / y ≥ 1 〔x ( x-z≥0)〕
(x²-z²) / y ≥ (x-z) ③
①+②+③ ⤵️
(x²-y²) / z + (z²-y²) / x + (x²-z²) / y ≥ 2 (x-y)+2(z-y)+(x-z)
①+②+③ ⤵️
(x²-y²) / z + (z²-y²) / x + (x²-z²) / y ≥ 2 (x-y)+2(z-y)+(x-z)
▶️ (x²-y²) / z + (z²-y²) / x + (x²-z²) / y ≥ 3x-4y+z)
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