Olympiade de Math
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
▶️ Olympiade Math – Algèbre Niv 01 – Exercice 12
x,y deux nombres réels strictement positifs
Montrer que:
\(\frac{x}{y^{2}}+\frac{y}{x^{2}}≥\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
Solution:
on a (x-y)²≥ 0
⇾ x²+y² ≥ 2xy ①
( x²,y² >0 ) ① × 1/x²y²
( x²,y² >0 ) ① × 1/x²y²
⇾ x²/x²y² + y²/x²y² ≥2xy/x²y²⇾ 1/y² + 1/x² ≥ 2/xy ②
( x+y >0 ) ② × (x+y)
⇾ (x+y) / y² + (x+y) / x² ≥ 2(x+y) / xy
⇾ x/y² + 1/y + 1/x + y/x² ≥ 2/y + 2/x
▶️ x/y² + y/x² ≥ 1/x + 1/y
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