Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 10

 Algèbre Niv 01 – Ex 10 –

$x,y,z$ trois nombres réels strictement positifs et m∊IR
Tel que:
$xyz=1$  et $\frac{2mx}{xy+x+1}+\frac{2my}{yz+y+1}+\frac{2mz}{zx+z+1}=1$
Montrer que $m=\frac{1}{2}$.

solution:

 

∸∸∸
on a xyz=1 
⇾ yz=1/x  ≡ xz=1/y
 ∸∸∸
 yz+y+1= 1/x + y + 1
yz+y+1=(1+xy+x) / x
yz+y+1 = (1+xy+x) / x  ①

∸∸∸
zx+z+1= 1/y + z + 1
zx+z+1=(1+yz+y) / y
zx+z+1=(1+1/x+y) / y
zx+z+1=(x+1+xy) / xy
zx+z+1=(x+1+xy) / xy ②

∸∸∸
ona 
A=2xm / (xy+x+1) + 2ym / (yz+y+1) + 2zm / (zx+z+1)=1
 d’après ① & ② ↴
2xm / (xy+x+1) = 2xm / (xy+x+1)

2ym / (yz+y+1) = 2ym / [(1+xy+x) / x] 
2ym / (yz+y+1) = 2yxm / (1+xy+x)

2zm / (zx+z+1) = 2zm / [(x+1+xy) / xy] 
2zm / (zx+z+1) = 2m / (1+xy+1) (xyz=1)

A= (2xm+2xym+2m) / (1+xy+1) 
A=2m

A=1 m=1/2

 

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