Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade Mathématiques – Algèbre Niv 01 – Ex 02
x,y deux nombres réels strictement positifs
Montrer que:
\(\frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}≤\frac{1}{xy}\)
Solution:
On a:
\((x^{2}-y)^{2}≥0\)
On a:
\((x^{2}-y)^{2}≥0\)
➝ \(x^{4}+y^{2}≥2x^{2}y\)
➝ \(\frac{1}{x^{4}+y^{2}}≤\frac{1}{2 x^{2}y}\)
➝ \(\frac{x}{x^{4}+y^{2}}≤\frac{x}{2 x^{2}y}\)
➝ \(\frac{x}{x^{4}+y^{2}}≤\frac{1}{2 xy}\) ①
de même pour:
\(\frac{y}{y^{4}+x^{2}}≤\frac{1}{2 yx}\)②
①+② d’où:
\(\frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}≤\frac{1}{2 xy}+\frac{1}{2 yx}\)
Donc:
\(\frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}≤\frac{1}{xy}\).
➝ \(\frac{x}{x^{4}+y^{2}}≤\frac{x}{2 x^{2}y}\)
➝ \(\frac{x}{x^{4}+y^{2}}≤\frac{1}{2 xy}\) ①
de même pour:
\(\frac{y}{y^{4}+x^{2}}≤\frac{1}{2 yx}\)②
①+② d’où:
\(\frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}≤\frac{1}{2 xy}+\frac{1}{2 yx}\)
Donc:
\(\frac{x}{x^{4}+y^{2}}+\frac{y}{y^{4}+x^{2}}≤\frac{1}{xy}\).
Olympiade de Maths, c'est une gymnastique de l'esprit, Ce qu'il faut c'est 4math.net et beaucoup de pratiques 4math.net Le première clé pour être bon en maths