Olympiade Math - Algèbre 01 - Ex 02

Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade Mathématiques – Algèbre Niv 01 – Ex 02

x,y deux nombres réels strictement positifs
Montrer que:
$\frac{x}{x^{4} + y^{2}} + \frac{y}{y^{4} + x^{2}} \leq \frac{1}{x y}$

Solution:
On a:

(x^{2} - y)^{2} \geq 0

➝

x^{4} + y^{2} \geq 2 x^{2} y

➝

\frac{1}{x^{4} + y^{2}} \leq \frac{1}{2 x^{2} y}

➝

\frac{x}{x^{4} + y^{2}} \leq \frac{x}{2 x^{2} y}

➝

\frac{x}{x^{4} + y^{2}} \leq \frac{1}{2 x y}

①
de même pour:

\frac{y}{y^{4} + x^{2}} \leq \frac{1}{2 y x}

②
①+② d’où:

\frac{x}{x^{4} + y^{2}} + \frac{y}{y^{4} + x^{2}} \leq \frac{1}{2 x y} + \frac{1}{2 y x}

Donc:

\frac{x}{x^{4} + y^{2}} + \frac{y}{y^{4} + x^{2}} \leq \frac{1}{x y}

Olympiade de Maths, c'est une gymnastique de l'esprit, Ce qu'il faut 
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