Olympiade Math - Algèbre 01 - Ex 01

Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Olympiade Mathématiques – Algèbre Niv 01 – Exercice 1

x,y,z trois nombres réels strictement positifs

Montrer que:

\frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{z} + \frac{z^{2}}{x} \geq x + y + z

Solution:

On a: (x-y)²≥0
d’ où: x²+y²≥2xy

et par suite:

\frac{x^{2} + y^{2}}{y} \geq \frac{2 x y}{y}

(car: y>0)

donc:

\frac{x^{2}}{y} + y \geq 2 x

①

de même pour:

\frac{y^{2}}{z} + z \geq 2 y

②

\frac{z^{2}}{x} + x \geq 2 z

③

①+②+③

on conclut que:

\frac{x^{2}}{y} + y + \frac{y^{2}}{z} + z + \frac{z^{2}}{x} + x \geq 2 x + 2 y + 2 z

Donc:

\frac{x^{2}}{y} + \frac{y^{2}}{z} + \frac{z^{2}}{x} \geq x + y + z

Faire plus d’exercices

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