Olympiade de Mathématiques
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
( compétition de mathématiques destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade Mathématiques – Algèbre Niv 01 – Exercice 1
x,y,z trois nombres réels strictement positifs
Montrer que:
\(\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x} \geq x+y+z\)
\(\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x} \geq x+y+z\)
Solution:
On a: (x-y)²≥0
d’ où: x²+y²≥2xy
d’ où: x²+y²≥2xy
et par suite:
\(\frac{x^{2}+y^{2}}{y} \geq \frac{2 x y}{y}\)
\(\frac{x^{2}+y^{2}}{y} \geq \frac{2 x y}{y}\)
(car: y>0)
donc:
\(\frac{x^{2}}{y}+y \geq 2 x\) ①
\(\frac{x^{2}}{y}+y \geq 2 x\) ①
de même pour:
\(\frac{y^{2}}{z}+z \geq 2 y\) ②
\(\frac{z^{2}}{x}+x \geq 2 z\) ③
①+②+③
on conclut que:
\(\frac{x^{2}}{y}+y+\frac{y^{2}}{z}+z+\frac{z^{2}}{x}+x \geq 2 x+2 y+2 z\)
Donc:
\(\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x} \geq x+y+z\)
\(\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x} \geq x+y+z\)
Olympiade de Maths, c’est une gymnastique de l’esprit, Ce qu’il faut
c’est 4math.net et beaucoup de pratiques
4math.net Le première clé pour être bon en maths