Ce devoir 2 (modèle 2) du semestre 2 pour le Tronc Commun est proposé avec une correction détaillée pour bien préparer le contrôle. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Devoir 2 modèle 2 semestre 2 corrigé Tronc Commun
Devoir 2 · Modèle 2 · Semestre 2 · Tronc Commun
📌 Corrigé détaillé · Évaluation N°2 – 2ᵉ semestre – 11/04/2017⏱️ Clique sur + pour voir la correction🟢 facile · 🟠 moyen · 🔴 difficile
Exercice 1 – Calcul de dérivées
Calculer \(f'(x)\) sur l’intervalle \(I\) :
1) \(f(x) = \sqrt{3}x^3 – \dfrac{5}{2}x^2 + 11x – 13\), \(I = \mathbb{R}\)
Correction détaillée
🔢 On dérive terme à terme : \((x^n)’ = nx^{n-1}\).
✅ \(f'(x) = 3\sqrt{3}x^2 – 5x + 11\).
2) \(f(x) = (x^2 – 4x)\sqrt{x}\), \(I = ]0 ; +\infty[\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \((uv)’ = u’v + uv’\) avec \(u = x^2 – 4x\), \(v = \sqrt{x}\) : \(f'(x) = (2x – 4)\sqrt{x} + \dfrac{x^2 – 4x}{2\sqrt{x}}\).
🔢 Étape 2 : Mise au même dénominateur : \(\dfrac{2(2x – 4)x + x^2 – 4x}{2\sqrt{x}} = \dfrac{5x^2 – 12x}{2\sqrt{x}} = \dfrac{\sqrt{x}(5x – 12)}{2}\).
✅ \(f'(x) = \dfrac{(5x – 12)\sqrt{x}}{2}\).
3) \(f(x) = \sqrt{2x^2 – 3x + 5}\), \(I = \mathbb{R}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(2x^2 – 3x + 5\) a pour discriminant \(9 – 40 < 0\) : elle est \(> 0\), donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\).
🔢 Étape 2 : \((\sqrt{u})’ = \dfrac{u’}{2\sqrt{u}}\).
✅ \(f'(x) = \dfrac{4x – 3}{2\sqrt{2x^2 – 3x + 5}}\).
4) \(f(x) = \dfrac{1}{2 + \cos x}\), \(I = \mathbb{R}\)
Correction détaillée
🔢 \(\left(\dfrac{1}{u}\right)’ = -\dfrac{u’}{u^2}\) avec \(u = 2 + \cos x\) (\(> 0\)) et \(u’ = -\sin x\).
✅ \(f'(x) = \dfrac{\sin x}{(2 + \cos x)^2}\).
5) \(f(x) = 4\cos 2x – 6\sin 3x\), \(I = \mathbb{R}\)
Correction détaillée
🔢 \((\cos ax)’ = -a\sin ax\) et \((\sin ax)’ = a\cos ax\).
✅ \(f'(x) = -8\sin 2x – 18\cos 3x\).
Exercice 2
\(f(x) = \sqrt{x – 3}\) si \(x > 3\) ; \(f(x) = x^2 – x – 6\) si \(x \leq 3\).
1) a) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite et à gauche en \(3\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(3) = 9 – 3 – 6 = 0\).
🔢 Étape 2 : À droite : \(\dfrac{f(x) – f(3)}{x – 3} = \dfrac{\sqrt{x – 3}}{x – 3} = \dfrac{1}{\sqrt{x – 3}} \to +\infty\) quand \(x \to 3^+\) : non dérivable à droite.
🔢 Étape 3 : À gauche : \(\dfrac{x^2 – x – 6}{x – 3} = \dfrac{(x – 3)(x + 2)}{x – 3} = x + 2 \to 5\) : dérivable à gauche, \(f’_g(3) = 5\).
✅ \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(3\) (limite \(+\infty\)) mais est dérivable à gauche avec \(f’_g(3) = 5\).
1) b) Interprétation géométrique.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : À gauche : demi-tangente de pente \(5\) au point \((3, 0)\), d’équation \(y = 5(x – 3)\).
🔢 Étape 2 : À droite : le taux d’accroissement tend vers \(+\infty\) : demi-tangente verticale, dirigée vers le haut.
✅ \(C_f\) admet en \((3, 0)\) une demi-tangente de pente \(5\) à gauche et une demi-tangente verticale à droite (point anguleux).
2) a) Montrer que \(f\) est dérivable en \(4\), avec \(f'(4) = \dfrac{1}{2}\), et interpréter.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \(]3 ; +\infty[\), \(f(x) = \sqrt{x – 3}\) est dérivable (composée), de dérivée \(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x – 3}}\).
🔢 Étape 2 : \(f'(4) = \dfrac{1}{2\sqrt{1}} = \dfrac{1}{2}\) et \(f(4) = 1\).
✅ \(C_f\) admet au point \((4, 1)\) une tangente de pente \(\dfrac{1}{2}\), d’équation \(y = \dfrac{1}{2}(x – 4) + 1 = \dfrac{x}{2} – 1\).
2) b) Donner une approximation de \(f(3{,}99)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Approximation affine au voisinage de \(4\) : \(f(4 + h) \approx f(4) + f'(4)h\) avec \(h = -0{,}01\).
🔢 Étape 2 : \(f(3{,}99) \approx 1 + \dfrac{1}{2}(-0{,}01) = 0{,}995\).
✅ \(f(3{,}99) \approx 0{,}995\) (valeur exacte \(\sqrt{0{,}99} \approx 0{,}99499\)).
Exercice 3
\(f(x) = (x^2 + 1)^9\) sur \(\mathbb{R}\).
1) Montrer que \(f'(x) = 18x(x^2 + 1)^8\).
Correction détaillée
🔢 \((u^n)’ = nu^{n-1}u’\) avec \(u = x^2 + 1\), \(u’ = 2x\), \(n = 9\) : \(f'(x) = 9(x^2 + 1)^8 \times 2x\).
✅ \(f'(x) = 18x(x^2 + 1)^8\).
2) Calculer \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{(x^2 + 1)^9 – 1}{x}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Comme \(f(0) = 1\), l’expression est \(\dfrac{f(x) – f(0)}{x – 0}\), dont la limite en \(0\) est \(f'(0)\).
🔢 Étape 2 : \(f'(0) = 18 \times 0 \times 1 = 0\).
✅ La limite vaut \(0\).
Exercice 4
\(f(x) = \dfrac{x^2 – 5x + 7}{x – 3}\).
1) a) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x – 3 \neq 0\).
✅ \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}\).
1) b) Calculer les limites en \(-\infty\), \(+\infty\), \(3^-\), \(3^+\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : En \(\pm\infty\) : \(f(x) \sim x\).
🔢 Étape 2 : En \(3\) : numérateur \(\to 9 – 15 + 7 = 1 > 0\). \(x \to 3^+\) : \(\dfrac{1}{0^+} = +\infty\) ; \(x \to 3^-\) : \(\dfrac{1}{0^-} = -\infty\).
✅ \(\lim\limits_{-\infty} f = -\infty\) ; \(\lim\limits_{+\infty} f = +\infty\) ; \(\lim\limits_{3^-} f = -\infty\) ; \(\lim\limits_{3^+} f = +\infty\).
2) a) Montrer que \(f\) est dérivable sur \(]-\infty ; 3[\) et \(]3 ; +\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f\) est un quotient de deux polynômes dont le dénominateur ne s’annule pas sur ces intervalles.
✅ \(f\) est dérivable sur \(]-\infty ; 3[\) et sur \(]3 ; +\infty[\).
2) b) Montrer que \(f'(x) = \dfrac{(x – 2)(x – 4)}{(x – 3)^2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x) = \dfrac{(2x – 5)(x – 3) – (x^2 – 5x + 7)}{(x – 3)^2} = \dfrac{2x^2 – 11x + 15 – x^2 + 5x – 7}{(x – 3)^2} = \dfrac{x^2 – 6x + 8}{(x – 3)^2}\).
🔢 Étape 2 : \(x^2 – 6x + 8 = (x – 2)(x – 4)\).
✅ \(f'(x) = \dfrac{(x – 2)(x – 4)}{(x – 3)^2}\).
2) c) Montrer que \(f\) est croissante sur \(]-\infty ; 2]\) et \([4 ; +\infty[\), décroissante sur \([2 ; 3[\) et \(]3 ; 4]\).
Correction détaillée
🔢 \((x – 3)^2 > 0\) : le signe de \(f’\) est celui de \((x – 2)(x – 4)\), positif pour \(x < 2\) ou \(x > 4\), négatif sur \(]2 ; 4[\).
✅ \(f’ \geq 0\) sur \(]-\infty ; 2]\) et \([4 ; +\infty[\) ; \(f’ \leq 0\) sur \([2 ; 3[\) et \(]3 ; 4]\) : les variations annoncées.
2) d) Dresser le tableau de variations de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f(2) = \dfrac{4 – 10 + 7}{-1} = -1\) et \(f(4) = \dfrac{16 – 20 + 7}{1} = 3\).
✅ \(f\) croît de \(-\infty\) à \(-1\) sur \(]-\infty ; 2]\), décroît de \(-1\) à \(-\infty\) sur \([2 ; 3[\), décroît de \(+\infty\) à \(3\) sur \(]3 ; 4]\), croît de \(3\) à \(+\infty\) sur \([4 ; +\infty[\).
3) Donner l’équation de la tangente à \(C_f\) au point d’abscisse \(1\).
Correction détaillée
📘 Méthode : \(y = f'(a)(x – a) + f(a)\).
🔢 Étape 1 : \(f(1) = \dfrac{1 – 5 + 7}{-2} = -\dfrac{3}{2}\) et \(f'(1) = \dfrac{(-1)(-3)}{4} = \dfrac{3}{4}\).
🔢 Étape 2 : \(y = f'(1)(x – 1) + f(1) = \dfrac{3}{4}(x – 1) – \dfrac{3}{2} = \dfrac{3}{4}x – \dfrac{9}{4}\).
✅ \(T : y = \dfrac{3}{4}x – \dfrac{9}{4}\).