Ce devoir 1 (modèle 5) du semestre 1 pour le Tronc Commun est proposé avec une correction détaillée pour bien préparer le contrôle. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Devoir 1 modèle 5 semestre 1 corrigé Tronc Commun
Devoir 1 · Modèle 5 · Semestre 1 · Tronc Commun
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Exercice 1 – Domaine et parité
Déterminer le domaine de définition et étudier la parité de \(f\) dans chaque cas :
1) \(f(x) = \dfrac{3x^2 + 5}{|x| – 3}\)
Correction détaillée
📘 Méthode : vérifier que \(D_f\) est symétrique, puis comparer \(f(-x)\) à \(f(x)\) et \(-f(x)\).
🔢 Étape 1 : \(f\) est définie si \(|x| – 3 \neq 0\), soit \(x \neq 3\) et \(x \neq -3\). \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3 ; 3\}\), symétrique par rapport à \(0\).
🔢 Étape 2 : \(f(-x) = \dfrac{3(-x)^2 + 5}{|-x| – 3} = \dfrac{3x^2 + 5}{|x| – 3} = f(x)\).
✅ \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-3 ; 3\}\) et \(f\) est paire.
2) \(f(x) = \dfrac{3x|x| + x^3}{\sqrt{x^2 + 9} – 5}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Dénominateur nul : \(\sqrt{x^2 + 9} = 5 \iff x^2 + 9 = 25 \iff x = \pm 4\). Donc \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-4 ; 4\}\) (symétrique).
🔢 Étape 2 : \(f(-x) = \dfrac{3(-x)|-x| + (-x)^3}{\sqrt{x^2 + 9} – 5} = \dfrac{-3x|x| – x^3}{\sqrt{x^2 + 9} – 5} = -f(x)\).
✅ \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{-4 ; 4\}\) et \(f\) est impaire.
3) \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 – 4}}{x^2 + 5}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Il faut \(x^2 – 4 \geq 0\) (le dénominateur \(x^2 + 5\) est toujours \(> 0\)) : \(x \leq -2\) ou \(x \geq 2\). \(D_f = ]-\infty ; -2] \cup [2 ; +\infty[\), symétrique.
🔢 Étape 2 : \(f(-x) = \dfrac{\sqrt{(-x)^2 – 4}}{(-x)^2 + 5} = f(x)\).
✅ \(D_f = ]-\infty ; -2] \cup [2 ; +\infty[\) et \(f\) est paire.
Exercice 2
\(f(x) = x^2 – 6x\) et \(g(x) = \dfrac{-2x}{x – 3}\).
1) Étudier les variations de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x) = (x – 3)^2 – 9\), \(D_f = \mathbb{R}\).
✅ \(f\) est décroissante sur \(]-\infty ; 3]\), croissante sur \([3 ; +\infty[\), de minimum \(f(3) = -9\).
2) Étudier les variations de \(g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{3\}\). \(g(x) = \dfrac{-2(x – 3) – 6}{x – 3} = -2 – \dfrac{6}{x – 3}\).
🔢 Étape 2 : Comme \(k = -6 < 0\) : \(g\) est croissante sur \(]-\infty ; 3[\) et sur \(]3 ; +\infty[\).
✅ \(g\) est croissante sur \(]-\infty ; 3[\) et sur \(]3 ; +\infty[\).
3) Calculer \(f(0), f(5), f(4), g(0), g(5), g(4)\) et \(f(6)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(0) = 0\) ; \(f(5) = 25 – 30 = -5\) ; \(f(4) = 16 – 24 = -8\) ; \(f(6) = 36 – 36 = 0\).
🔢 Étape 2 : \(g(0) = 0\) ; \(g(5) = \dfrac{-10}{2} = -5\) ; \(g(4) = \dfrac{-8}{1} = -8\).
✅ \(f(0) = g(0) = 0\) ; \(f(5) = g(5) = -5\) ; \(f(4) = g(4) = -8\) ; \(f(6) = 0\).
4) Tracer dans un même repère \(C_f\) et \(C_g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(C_f\) : parabole de sommet \((3, -9)\) passant par \((0, 0)\), \((6, 0)\), \((4, -8)\), \((5, -5)\).
🔢 Étape 2 : \(C_g\) : hyperbole de centre \((3, -2)\) (asymptotes \(x = 3\) et \(y = -2\)) passant par \((0, 0)\), \((4, -8)\), \((5, -5)\).
\(C_f\) (bleu) et \(C_g\) (rouge)
✅ Voir la figure ci-dessus.
5) Résoudre graphiquement \(f(x) \geq g(x)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Les courbes se coupent en \(x = 0\), \(x = 4\), \(x = 5\). Algébriquement : \(f(x) – g(x) = \dfrac{x(x – 4)(x – 5)}{x – 3}\) (car \((x – 6)(x – 3) + 2 = x^2 – 9x + 20\)).
🔢 Étape 2 : Tableau de signe de \(\dfrac{x(x – 4)(x – 5)}{x – 3}\) : positif sur \(]-\infty ; 0[\), négatif sur \(]0 ; 3[\), positif sur \(]3 ; 4[\), négatif sur \(]4 ; 5[\), positif sur \(]5 ; +\infty[\).
🔢 Étape 3 : Graphiquement : \(C_f\) est au-dessus de \(C_g\) exactement sur ces intervalles (avec égalité en \(0, 4, 5\)).
✅ \(S = ]-\infty ; 0] \cup ]3 ; 4] \cup [5 ; +\infty[\).
Exercice 3
\(f(x) = \dfrac{x^2 – 6x + 4}{x^2 – 6x + 10}\).
1) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2 – 6x + 10 = (x – 3)^2 + 1 \geq 1 > 0\).
✅ \(D_f = \mathbb{R}\).
2) Montrer que \(f\) est bornée par \(-5\) et \(1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x) – 1 = \dfrac{-6}{x^2 – 6x + 10} < 0\), donc \(f(x) < 1\).
🔢 Étape 2 : \(f(x) + 5 = \dfrac{x^2 – 6x + 4 + 5x^2 – 30x + 50}{x^2 – 6x + 10} = \dfrac{6(x^2 – 6x + 9)}{x^2 – 6x + 10} = \dfrac{6(x – 3)^2}{x^2 – 6x + 10} \geq 0\).
✅ \(-5 \leq f(x) < 1\) pour tout \(x\) : \(f\) est bornée.
3) a) Est-ce que \(-5\) est une valeur minimale de \(f\) ?
Correction détaillée
🔢 \(f(3) = \dfrac{9 – 18 + 4}{9 – 18 + 10} = \dfrac{-5}{1} = -5\) : la borne est atteinte.
✅ Oui : \(-5\) est la valeur minimale de \(f\) (atteinte en \(x = 3\)).
3) b) Est-ce que \(1\) est une valeur maximale de \(f\) ?
Correction détaillée
🔢 On a \(f(x) < 1\) strictement pour tout \(x\) : l’équation \(f(x) = 1\) n’a aucune solution.
✅ Non : \(1\) majore \(f\) mais n’est pas atteinte, ce n’est donc pas un maximum.
Exercice 4
\(f(x) = \sqrt{x – 1}\) et \(g(x) = \dfrac{2x – 1}{x + 3}\).
1) a) Déterminer \(D_f\) et \(D_g\).
Correction détaillée
🔢 \(D_f\) : \(x – 1 \geq 0\). \(D_g\) : \(x + 3 \neq 0\).
✅ \(D_f = [1 ; +\infty[\) et \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-3\}\).
1) b) En déduire \(D_{f \circ g}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_{f \circ g} = \{x \in D_g : g(x) \in D_f\} = \{x \neq -3 : g(x) \geq 1\}\).
🔢 Étape 2 : \(g(x) – 1 = \dfrac{2x – 1 – x – 3}{x + 3} = \dfrac{x – 4}{x + 3} \geq 0\) : \(x \leq -3\) ou \(x \geq 4\), en excluant \(x = -3\).
✅ \(D_{f \circ g} = ]-\infty ; -3[ \cup [4 ; +\infty[\).
2) Étudier les variations de \(f\) et \(g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\) est croissante sur \([1 ; +\infty[\).
🔢 Étape 2 : \(g(x) = \dfrac{2(x + 3) – 7}{x + 3} = 2 – \dfrac{7}{x + 3}\) ; \(k = -7 < 0\) : \(g\) est croissante sur \(]-\infty ; -3[\) et sur \(]-3 ; +\infty[\).
✅ \(f\) et \(g\) sont croissantes (\(g\) sur chaque intervalle de son domaine).
3) Déduire les variations de \(f \circ g\) sur \(]-\infty ; -3[\) et sur \([2 ; +\infty[\).
Correction détaillée
⚠️ L’énoncé du PDF parle de l’intervalle \([2 ; +\infty[\), qui n’est pas inclus dans \(D_{f \circ g}\) : la bonne borne est \(4\).
📘 Méthode : composée de deux fonctions croissantes \(\Rightarrow\) croissante.
🔢 Étape 1 : Sur \(]-\infty ; -3[\) : \(g\) est croissante et \(g(x) = 2 – \dfrac{7}{x + 3} > 2\), donc \(g\) est à valeurs dans \([1 ; +\infty[\) où \(f\) est croissante. Donc \(f \circ g\) est croissante.
🔢 Étape 2 : Sur \([4 ; +\infty[\) : \(g\) est croissante, à valeurs dans \([1 ; 2[\subset [1 ; +\infty[\), où \(f\) est croissante. Donc \(f \circ g\) est croissante.
🔢 Étape 3 : Remarque : l’énoncé écrit \([2 ; +\infty[\) mais \(D_{f \circ g}\) ne contient pas \([2 ; 4[\) (par ex. \(g(2) = \frac{3}{5} < 1\)). On travaille donc sur \([4 ; +\infty[\).
✅ \(f \circ g\) est croissante sur \(]-\infty ; -3[\) et sur \([4 ; +\infty[\).
4) Calculer \(f \circ g(x)\) pour tout \(x \in D_{f \circ g}\).
Correction détaillée
🔢 \(f(g(x)) = \sqrt{g(x) – 1} = \sqrt{\dfrac{x – 4}{x + 3}}\).
✅ \(f \circ g(x) = \sqrt{\dfrac{x – 4}{x + 3}}\).