Ce devoir 1 (modèle 4) du semestre 1 pour le Tronc Commun est proposé avec une correction détaillée pour bien préparer le contrôle. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Devoir 1 modèle 4 semestre 1 corrigé Tronc Commun
Devoir 1 · Modèle 4 · Semestre 1 · Tronc Commun
📌 Corrigé détaillé · Lycée Okba Ibnou Nafia – Devoir surveillé 1 (2018/2019)⏱️ Clique sur + pour voir la correction🟢 facile · 🟠 moyen · 🔴 difficile
Exercice 1
Soient \(f(x) = \sqrt{x^2 + 2x}\) et \(g(x) = \dfrac{1}{x^4 – x^2}\).
1) Déterminer \(D_f\) et \(D_g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f\) : il faut \(x^2 + 2x = x(x + 2) \geq 0\), donc \(x \leq -2\) ou \(x \geq 0\).
🔢 Étape 2 : \(D_g\) : il faut \(x^4 – x^2 = x^2(x^2 – 1) \neq 0\), donc \(x \neq 0\) et \(x \neq \pm 1\).
✅ \(D_f = ]-\infty ; -2] \cup [0 ; +\infty[\) et \(D_g = \mathbb{R} \setminus \{-1 ; 0 ; 1\}\).
2) Déterminer \(D_{g \circ f}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : \(D_{g \circ f} = \{x \in D_f : f(x) \in D_g\}\).
🔢 Étape 1 : \(D_{g \circ f} = \{x \in D_f \,:\, f(x) \in D_g\}\). Comme \(f(x) \geq 0\), la condition \(f(x) \neq -1\) est automatique : on exclut seulement \(f(x) = 0\) et \(f(x) = 1\).
🔢 Étape 2 : \(f(x) = 0 \iff x^2 + 2x = 0 \iff x = 0\) ou \(x = -2\).
🔢 Étape 3 : \(f(x) = 1 \iff x^2 + 2x – 1 = 0 \iff x = -1 \pm \sqrt{2}\) (valeurs bien dans \(D_f\) : \(-1 – \sqrt{2} \approx -2{,}41 \leq -2\) et \(-1 + \sqrt{2} \approx 0{,}41 \geq 0\)).
✅ \(D_{g \circ f} = D_f \setminus \{-2 ; \ -1 – \sqrt{2} ; \ 0 ; \ -1 + \sqrt{2}\}\).
3) Donner l’expression de \(g \circ f(x)\) pour \(x \in D_{g \circ f}\).
Correction détaillée
🔢 \(g(f(x)) = \dfrac{1}{f(x)^4 – f(x)^2}\) avec \(f(x)^2 = x^2 + 2x\) et \(f(x)^4 = (x^2 + 2x)^2\).
✅ \(g \circ f(x) = \dfrac{1}{(x^2 + 2x)^2 – (x^2 + 2x)} = \dfrac{1}{(x^2 + 2x)(x^2 + 2x – 1)}\).
Exercice 2 – Lecture graphique
\(h\) est définie par sa courbe : première arche de \((-4, 1)\) qui monte au maximum \((-2, 5)\) puis descend en coupant l’axe des abscisses en un point d’abscisse \(\alpha \in ]-1 ; 0[\) jusqu’au point \((0, -1)\) ; seconde arche de \((1, 1)\) qui monte au maximum \((2, 3)\) puis descend jusqu’à \((3, 0)\).
1) Déterminer \(D_h\).
Correction détaillée
🔢 La courbe existe sur \([-4 ; 0]\) puis sur \([1 ; 3]\).
✅ \(D_h = [-4 ; 0] \cup [1 ; 3]\).
2) Dresser le tableau de variations de \(h\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \([-4 ; -2]\) : \(h\) croît de \(1\) à \(5\). Sur \([-2 ; 0]\) : \(h\) décroît de \(5\) à \(-1\).
🔢 Étape 2 : Sur \([1 ; 2]\) : \(h\) croît de \(1\) à \(3\). Sur \([2 ; 3]\) : \(h\) décroît de \(3\) à \(0\).
✅ \(h\) : \(\nearrow\) sur \([-4 ; -2]\), \(\searrow\) sur \([-2 ; 0]\), \(\nearrow\) sur \([1 ; 2]\), \(\searrow\) sur \([2 ; 3]\).
3) Dresser le tableau de signe de \(h\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(h(x) = 0\) en \(x = \alpha\) (avec \(\alpha \in ]-1 ; 0[\)) et en \(x = 3\).
🔢 Étape 2 : \(h > 0\) sur \([-4 ; \alpha[\) (courbe au-dessus de l’axe), \(h < 0\) sur \(]\alpha ; 0]\), \(h > 0\) sur \([1 ; 3[\).
✅ \(h > 0\) sur \([-4 ; \alpha[ \cup [1 ; 3[\) ; \(h < 0\) sur \(]\alpha ; 0]\) ; \(h = 0\) en \(\alpha\) et \(3\).
4) En déduire l’ensemble des solutions de \(h(x) > 0\).
Correction détaillée
🔢 C’est l’ensemble des \(x\) pour lesquels la courbe est strictement au-dessus de l’axe des abscisses.
✅ \(S = [-4 ; \alpha[ \cup [1 ; 3[\).
5) Discuter suivant \(m\) le nombre de solutions de \(h(x) = m\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : On compte les points d’intersection de \(C_h\) avec la droite horizontale \(y = m\). Les images des quatre morceaux monotones sont : \([1 ; 5]\), \([-1 ; 5]\), \([1 ; 3]\), \([0 ; 3]\).
🔢 Étape 2 : \(m < -1\) ou \(m > 5\) : \(0\) solution. \(m = -1\) : \(1\) solution (\(x = 0\)). \(-1 < m < 0\) : \(1\) solution.
🔢 Étape 3 : \(m = 0\) : \(2\) solutions (\(\alpha\) et \(3\)). \(0 < m < 1\) : \(2\) solutions.
🔢 Étape 4 : \(1 \leq m < 3\) : \(4\) solutions. \(m = 3\) : \(3\) solutions (le sommet \(x = 2\) compte une fois). \(3 < m < 5\) : \(2\) solutions. \(m = 5\) : \(1\) solution (\(x = -2\)).
✅ \(0\) si \(m < -1\) ou \(m > 5\) ; \(1\) si \(m \in [-1 ; 0[\) ou \(m = 5\) ; \(2\) si \(m \in [0 ; 1[\) ou \(m \in ]3 ; 5[\) ; \(3\) si \(m = 3\) ; \(4\) si \(m \in [1 ; 3[\).
6) Déterminer les extremums de \(h\) sur \(D_h\).
Correction détaillée
🔢 Le plus grand \(y\) atteint est \(5\) en \(x = -2\). Le plus petit \(y\) atteint est \(-1\) en \(x = 0\).
✅ Maximum \(5\) en \(x = -2\) ; minimum \(-1\) en \(x = 0\).
Exercice 3
1) (P) Donner la négation de \((P)\) : \(\forall x \in \mathbb{R},\ \exists k \in \mathbb{Z}\ /\ k \leq x < k + 1\).
Correction détaillée
🔢 On change \(\forall\) en \(\exists\), \(\exists\) en \(\forall\) et on nie la propriété finale : \(\neg(k \leq x < k + 1) = (x < k \text{ ou } x \geq k + 1)\).
✅ \(\neg P\) : \(\exists x \in \mathbb{R},\ \forall k \in \mathbb{Z},\ (x < k \text{ ou } x \geq k + 1)\).
1) (Q) Donner la négation de \((Q)\) : \(\forall(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2,\ \left(\alpha – \beta > 1 \Rightarrow \exists N \in \mathbb{Z}\ /\ \alpha < N < \beta\right)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\neg(A \Rightarrow B) = A \text{ et } \neg B\). Ici \(\neg B\) : \(\forall N \in \mathbb{Z},\ (N \leq \alpha \text{ ou } N \geq \beta)\).
🔢 Étape 2 : Remarque : \(Q\) est fausse telle qu’écrite (si \(\alpha – \beta > 1\), on a \(\beta < \alpha\), donc aucun \(N\) ne vérifie \(\alpha < N < \beta\) ; par ex. \(\alpha = 3\), \(\beta = 1\)).
✅ \(\neg Q\) : \(\exists(\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2,\ \left(\alpha – \beta > 1 \text{ et } \forall N \in \mathbb{Z},\ (N \leq \alpha \text{ ou } N \geq \beta)\right)\).
2) Montrer par la contraposée : \(\forall n \in \mathbb{N},\ \dfrac{n^2}{3} \in \mathbb{N} \Rightarrow \dfrac{n}{3} \in \mathbb{N}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Contraposée : \(\dfrac{n}{3} \notin \mathbb{N} \Rightarrow \dfrac{n^2}{3} \notin \mathbb{N}\), c’est-à-dire : si \(3 \nmid n\), alors \(3 \nmid n^2\).
🔢 Étape 2 : Si \(3 \nmid n\) : \(n = 3k + 1\) ou \(n = 3k + 2\).
🔢 Étape 3 : \(n = 3k + 1 \Rightarrow n^2 = 9k^2 + 6k + 1 = 3(3k^2 + 2k) + 1\) : reste \(1\). \(n = 3k + 2 \Rightarrow n^2 = 3(3k^2 + 4k + 1) + 1\) : reste \(1\). Dans les deux cas \(3 \nmid n^2\).
✅ L’implication est démontrée.
3) En déduire par l’absurde que \(\sqrt{3} \notin \mathbb{Q}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Supposons \(\sqrt{3} = \dfrac{p}{q}\) avec \(p \wedge q = 1\). Alors \(p^2 = 3q^2\), donc \(\dfrac{p^2}{3} = q^2 \in \mathbb{N}\).
🔢 Étape 2 : Par la question 2 : \(\dfrac{p}{3} \in \mathbb{N}\), donc \(p = 3k\). Alors \(9k^2 = 3q^2\), soit \(q^2 = 3k^2\) et \(\dfrac{q^2}{3} = k^2 \in \mathbb{N}\), d’où \(\dfrac{q}{3} \in \mathbb{N}\).
🔢 Étape 3 : Donc \(3\) divise à la fois \(p\) et \(q\) : contradiction avec \(p \wedge q = 1\).
✅ \(\sqrt{3}\) est irrationnel.
4) Soit \(q \in \mathbb{R}^+ \setminus \{1\}\). Montrer par récurrence : \(\forall n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\}\), \(q + q^2 + \cdots + q^n = \dfrac{q^n – 1}{q – 1} \times q\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation (\(n = 2\)) : \(q + q^2 = q(1 + q)\) et \(\dfrac{q^2 – 1}{q – 1} \times q = (q + 1)q\) ✓.
🔢 Étape 2 : Hérédité : supposons la formule au rang \(n \geq 2\). Alors \(q + \cdots + q^n + q^{n+1} = \dfrac{q(q^n – 1)}{q – 1} + q^{n+1} = \dfrac{q^{n+1} – q + q^{n+2} – q^{n+1}}{q – 1} = \dfrac{q^{n+2} – q}{q – 1} = \dfrac{q^{n+1} – 1}{q – 1} \times q\).
✅ La formule est vraie pour tout \(n \geq 2\).