Cette série d’exercices corrigés sur l’orthogonalité dans l’espace pour le Tronc Commun traite des droites orthogonales et de la perpendicularité d’une droite et d’un plan, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Exercices corrigés sur l’orthogonalité dans l’espace Tronc Commun
Géométrie dans l’espace – Orthogonalité · Série d’exercices Tronc Commun
📌 Série de synthèse
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1.1
Droites orthogonales dans un cube
1) \(ABCDEFGH\) est un cube, \(AB=4\) cm. \(O\) est le centre du carré \(EFGH\).
2)
a) Dessiner en vraie grandeur le rectangle \(HFBD\), placer \(O\).
b) En calculant \(\tan\widehat{HDO}\) et \(\tan\widehat{DBH}\), prouver que \((HB)\) et \((OD)\) sont perpendiculaires.
2)
a) Dessiner en vraie grandeur le rectangle \(HFBD\), placer \(O\).
b) En calculant \(\tan\widehat{HDO}\) et \(\tan\widehat{DBH}\), prouver que \((HB)\) et \((OD)\) sont perpendiculaires.
Correction détaillée
Deux angles aigus de même tangente sont égaux.
🔢 2) a) \(HD=4\) cm et \(HF=4\sqrt2\) cm (diagonale d’une face). \(HFBD\) est un rectangle de dimensions \(4\sqrt2\times4\) ; \(O\), centre de \(EFGH\), est le milieu de \([HF]\) :
🔢
🔢 2) b) Dans le triangle \(HDO\), rectangle en \(H\) : \(HO=\dfrac{HF}{2}=2\sqrt2\) et \(\tan\widehat{HDO}=\dfrac{HO}{HD}=\dfrac{2\sqrt2}{4}=\dfrac{\sqrt2}{2}\).
🔢 2) b) Dans le triangle \(HDB\), rectangle en \(D\) : \(DB=4\sqrt2\) et \(\tan\widehat{DBH}=\dfrac{DH}{DB}=\dfrac{4}{4\sqrt2}=\dfrac{\sqrt2}{2}\). Les deux angles aigus ont la même tangente : \(\widehat{HDO}=\widehat{DBH}\).
🔢 2) b) Soit \(T\) le point d’intersection de \((HB)\) et \((OD)\). Dans le triangle \(HDB\) rectangle en \(D\) : \(\widehat{DHB}+\widehat{DBH}=90^\circ\). Dans le triangle \(HDT\) : \(\widehat{HTD}=180^\circ-\widehat{HDO}-\widehat{DHB}=180^\circ-\widehat{DBH}-\widehat{DHB}=90^\circ\).
✅ 2) a) rectangle de dimensions \(4\sqrt2\) et \(4\), \(O\) milieu de \([HF]\) ; b) \(\tan\widehat{HDO}=\tan\widehat{DBH}=\frac{\sqrt2}{2}\) donc \((HB)\perp(OD)\).
Exercice 2.1
Droite orthogonale à un plan
1) \(ABCDEFGH\) est un cube, \(AB=4\) cm. \(O\) est le centre du carré \(EFGH\).
3)
a) Démontrer que \((HD)\) est orthogonale à \((EG)\).
b) En déduire que \((EG)\) est orthogonale au plan \((HFBD)\), puis à \((HB)\).
4) Démontrer que \((HB)\) est orthogonale au plan \((DEG)\).
3)
a) Démontrer que \((HD)\) est orthogonale à \((EG)\).
b) En déduire que \((EG)\) est orthogonale au plan \((HFBD)\), puis à \((HB)\).
4) Démontrer que \((HB)\) est orthogonale au plan \((DEG)\).
Correction détaillée
Une droite orthogonale à deux droites sécantes d’un plan est orthogonale à ce plan.
🔢 3) a) \((HD)\) est une arête du cube, perpendiculaire à la face \(EFGH\) en \(H\) : elle est orthogonale à toute droite de ce plan, en particulier à \((EG)\).
🔢 3) b) \((EG)\perp(HF)\) (diagonales d’un carré) et \((EG)\perp(HD)\). Les droites \((HF)\) et \((HD)\) sont sécantes en \(H\) et contenues dans le plan \((HFBD)\) : \((EG)\) est orthogonale au plan \((HFBD)\). Elle est donc orthogonale à toute droite de ce plan, en particulier à \((HB)\).
🔢 4) \((HB)\perp(EG)\) (question 3.b) et \((HB)\perp(OD)\) (question 2.b). Les droites \((EG)\) et \((OD)\) sont sécantes en \(O\) et contenues dans le plan \((DEG)\) : \((HB)\) est orthogonale au plan \((DEG)\).
✅ 3) a) \((HD)\perp(EG)\) ; b) \((EG)\perp(HFBD)\) puis \((EG)\perp(HB)\) ; 4) \((HB)\perp(DEG)\).
2) \(ABCDEFGH\) est un parallélépipède rectangle, \(AB=10\), \(AD=25\) et \(AE=7\) (unité : le cm).
1)
a) Calculer la distance \(BD\).
b) Montrer que la droite \((DH)\) est perpendiculaire au plan \((ABCD)\).
c) En déduire que le triangle \(BDH\) est rectangle en \(D\).
d) Calculer \(BH\).
1)
a) Calculer la distance \(BD\).
b) Montrer que la droite \((DH)\) est perpendiculaire au plan \((ABCD)\).
c) En déduire que le triangle \(BDH\) est rectangle en \(D\).
d) Calculer \(BH\).
Correction détaillée
Une droite orthogonale à deux droites sécantes d’un plan est perpendiculaire à ce plan.
🔢 1) a) \(ABD\) est rectangle en \(A\) : \(BD^2=AB^2+AD^2=100+625=725\), donc \(BD=\sqrt{725}=5\sqrt{29}\approx26{,}9\) cm.
🔢 1) b) \((DH)\) est une arête du parallélépipède : \((DH)\perp(DA)\) et \((DH)\perp(DC)\) (faces rectangulaires). \((DA)\) et \((DC)\) sont sécantes en \(D\) dans le plan \((ABCD)\) : \((DH)\perp(ABCD)\).
🔢 1) c) \((DH)\perp(ABCD)\) et \((BD)\subset(ABCD)\) : \((DH)\perp(BD)\). Le triangle \(BDH\) est rectangle en \(D\).
🔢 1) d) \(DH=AE=7\). Dans le triangle \(BDH\) rectangle en \(D\) : \(BH^2=BD^2+DH^2=725+49=774\), \(BH=\sqrt{774}=3\sqrt{86}\approx27{,}8\) cm.
✅ 1) a) \(BD=5\sqrt{29}\approx26{,}9\) cm ; b) \((DH)\perp(ABCD)\) ; c) \(BDH\) rectangle en \(D\) ; d) \(BH=3\sqrt{86}\approx27{,}8\) cm.
3) La figure représente une pyramide \(SABCD\) de hauteur \(h=SH=12\) telle que \((SH)\perp(ABCD)\), \(H\in[AC]\), et de base un carré \(ABCD\) de côté \(a=5\). \(K\) est un point de \([SH]\) tel que \(h’=KH=4\) (unité : le cm).
1) Montrer que chacun des triangles \(SHA\), \(SHB\), \(SHC\) et \(SHD\) est un triangle rectangle en \(H\).
1) Montrer que chacun des triangles \(SHA\), \(SHB\), \(SHC\) et \(SHD\) est un triangle rectangle en \(H\).
Correction détaillée
Une droite perpendiculaire à un plan est orthogonale à toutes les droites de ce plan.
🔢 1) \((SH)\perp(ABCD)\) : \((SH)\) est orthogonale à toute droite du plan \((ABCD)\), en particulier à \((HA)\), \((HB)\), \((HC)\) et \((HD)\), qui passent par \(H\).
🔢 1) Chacun des triangles \(SHA\), \(SHB\), \(SHC\), \(SHD\) a donc un angle droit en \(H\).
✅ Les triangles \(SHA\), \(SHB\), \(SHC\), \(SHD\) sont rectangles en \(H\).
Exercice 3.1
Perpendiculaire à un plan et théorème du toit
1) \(ABCD\) est un carré et \(S\) un point de l’espace n’appartenant pas au plan \((ABCD)\), tels que \(SAB\) et \(SAD\) sont des triangles rectangles en \(A\), avec \(AB=8\) et \(SA=6\).
1)
a) Montrer que \((SA)\) est perpendiculaire à \((ABCD)\).
b) Calculer les distances \(AC\) et \(SC\).
2) Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(S\) et parallèle à \((AB)\).
a) Montrer que les droites \((DC)\) et \((\Delta)\) sont parallèles.
b) En déduire l’intersection des plans \((SAB)\) et \((SDC)\).
1)
a) Montrer que \((SA)\) est perpendiculaire à \((ABCD)\).
b) Calculer les distances \(AC\) et \(SC\).
2) Soit \((\Delta)\) la droite passant par \(S\) et parallèle à \((AB)\).
a) Montrer que les droites \((DC)\) et \((\Delta)\) sont parallèles.
b) En déduire l’intersection des plans \((SAB)\) et \((SDC)\).
Correction détaillée
Théorème de Pythagore dans un triangle rectangle ; théorème du toit pour l’intersection.
🔢 1) a) \(SAB\) rectangle en \(A\) : \((SA)\perp(AB)\). \(SAD\) rectangle en \(A\) : \((SA)\perp(AD)\). \((AB)\) et \((AD)\) sont sécantes en \(A\) dans le plan \((ABCD)\) : donc \((SA)\perp(ABCD)\).
🔢 1) b) \(ABCD\) est un carré de côté \(8\) : \(AC=8\sqrt2\). \((SA)\perp(ABCD)\) donc \(SA\perp AC\) et dans le triangle \(SAC\) rectangle en \(A\) : \(SC^2=SA^2+AC^2=36+128=164\), \(SC=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\).
🔢 2) a) \((DC)\parallel(AB)\) (côtés opposés du carré) et \((\Delta)\parallel(AB)\) : donc \((DC)\parallel(\Delta)\).
🔢 2) b) \(S\) est commun aux plans \((SAB)\) et \((SDC)\), qui sont distincts. \((AB)\subset(SAB)\), \((DC)\subset(SDC)\) et \((AB)\parallel(DC)\) : d’après le théorème du toit, \((SAB)\cap(SDC)=(\Delta)\).
✅ 1) a) \((SA)\perp(ABCD)\) ; b) \(AC=8\sqrt2\) et \(SC=2\sqrt{41}\) ; 2) a) \((DC)\parallel(\Delta)\) ; b) \((SAB)\cap(SDC)=(\Delta)\).
Exercice 4.1
Aires et volumes d’un parallélépipède et d’une pyramide
1) \(ABCDEFGH\) est un parallélépipède rectangle, \(AB=10\), \(AD=25\) et \(AE=7\) (unité : le cm).
2) Soit \(P\) le périmètre de la base \(EFGH\) du parallélépipède et \(S\) sa surface.
a) Calculer \(P\) et \(S\).
b) Donner l’expression de la surface latérale \(S_L\) et celle de la surface totale \(S_T\) du parallélépipède. Calculer \(S_L\) et \(S_T\).
c) Donner l’expression de \(V_1\) le volume du parallélépipède \(ABCDEFGH\), puis le calculer.
d) Donner l’expression de \(V_2\) le volume de la pyramide \(DEFGH\), puis le calculer.
2) Soit \(P\) le périmètre de la base \(EFGH\) du parallélépipède et \(S\) sa surface.
a) Calculer \(P\) et \(S\).
b) Donner l’expression de la surface latérale \(S_L\) et celle de la surface totale \(S_T\) du parallélépipède. Calculer \(S_L\) et \(S_T\).
c) Donner l’expression de \(V_1\) le volume du parallélépipède \(ABCDEFGH\), puis le calculer.
d) Donner l’expression de \(V_2\) le volume de la pyramide \(DEFGH\), puis le calculer.
Correction détaillée
Prisme droit : \(V=\text{aire de la base}\times\text{hauteur}\) ; pyramide : \(V=\dfrac13\times\text{aire de la base}\times\text{hauteur}\).
🔢 2) a) La base \(EFGH\) est un rectangle \(10\times25\) : \(P=2(10+25)=70\) cm et \(S=10\times25=250\) cm\(^2\).
🔢 2) b) \(S_L=P\times AE=70\times7=490\) cm\(^2\) et \(S_T=S_L+2S=490+2\times250=990\) cm\(^2\).
🔢 2) c) \(V_1=AB\times AD\times AE=10\times25\times7=1750\) cm\(^3\).
🔢 2) d) La pyramide \(DEFGH\) a pour base \(EFGH\) et pour hauteur \(DH=7\) (car \((DH)\perp(EFGH)\)) : \(V_2=\dfrac13\times S\times DH=\dfrac13\times250\times7=\dfrac{1750}{3}\approx583{,}3\) cm\(^3\).
✅ a) \(P=70\) cm, \(S=250\) cm\(^2\) ; b) \(S_L=P\times AE=490\) cm\(^2\), \(S_T=S_L+2S=990\) cm\(^2\) ; c) \(V_1=1750\) cm\(^3\) ; d) \(V_2=\frac13S\times DH=\frac{1750}{3}\approx583{,}3\) cm\(^3\).
2) La figure représente une pyramide \(SABCD\) de hauteur \(h=SH=12\) telle que \((SH)\perp(ABCD)\), \(H\in[AC]\), et de base un carré \(ABCD\) de côté \(a=5\). \(K\) est un point de \([SH]\) tel que \(h’=KH=4\) (unité : le cm).
2) Calculer la distance \(AC\). En déduire \(BD\).
3) Sachant que \(AH=\sqrt2\), calculer la distance \(SA\), en déduire \(SC\).
4) Calculer \(V_1\) le volume de la pyramide \(SABCD\), puis \(V_2\) le volume de la pyramide \(KABCD\).
2) Calculer la distance \(AC\). En déduire \(BD\).
3) Sachant que \(AH=\sqrt2\), calculer la distance \(SA\), en déduire \(SC\).
4) Calculer \(V_1\) le volume de la pyramide \(SABCD\), puis \(V_2\) le volume de la pyramide \(KABCD\).
Correction détaillée
Volume d’une pyramide : \(V=\dfrac13\times B\times h\).
🔢 2) \(ABCD\) est un carré de côté \(5\) : \(AC=5\sqrt2\) cm. Les diagonales d’un carré sont égales : \(BD=AC=5\sqrt2\) cm.
🔢 3) Le triangle \(SHA\) est rectangle en \(H\) : \(SA^2=SH^2+AH^2=144+2=146\), \(SA=\sqrt{146}\) cm.
🔢 3) \(H\in[AC]\) donc \(HC=AC-AH=5\sqrt2-\sqrt2=4\sqrt2\). Dans le triangle \(SHC\) rectangle en \(H\) : \(SC^2=SH^2+HC^2=144+32=176\), \(SC=\sqrt{176}=4\sqrt{11}\) cm.
🔢 4) \(V_1=\dfrac13\times a^2\times SH=\dfrac13\times25\times12=100\) cm\(^3\).
🔢 4) \(V_2=\dfrac13\times a^2\times KH=\dfrac13\times25\times4=\dfrac{100}{3}\approx33{,}3\) cm\(^3\).
✅ 2) \(AC=BD=5\sqrt2\) cm ; 3) \(SA=\sqrt{146}\) cm et \(SC=4\sqrt{11}\) cm ; 4) \(V_1=100\) cm\(^3\) et \(V_2=\frac{100}{3}\approx33{,}3\) cm\(^3\).