Cette série d’exercices corrigés sur la droite dans le plan pour le Tronc Commun porte sur l’équation de droite, le vecteur directeur et les positions relatives, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Exercices corrigés sur la droite dans le plan Tronc Commun
La droite dans le plan (étude analytique) · Série d’exercices Tronc Commun
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1.1
Coordonnées, milieu et distance
1) Le plan est rapporté au repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\) et soient \(A(1;2)\), \(B(-5;4)\).
1) Déterminer les coordonnées de \(I\) le milieu du segment \([AB]\) et calculer \(AB=\|\overrightarrow{AB}\|\).
2) Déterminer les coordonnées du point \(C\) tel que \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\).
3) Quelle est la nature du quadrilatère \(OACB\) ?
4) Déterminer les coordonnées du vecteur \(\vec u\) tel que \(\vec u=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{IC}\).
1) Déterminer les coordonnées de \(I\) le milieu du segment \([AB]\) et calculer \(AB=\|\overrightarrow{AB}\|\).
2) Déterminer les coordonnées du point \(C\) tel que \(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OC}\).
3) Quelle est la nature du quadrilatère \(OACB\) ?
4) Déterminer les coordonnées du vecteur \(\vec u\) tel que \(\vec u=\overrightarrow{OA}+2\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{IC}\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)\) ; milieu \(I\left(\frac{x_A+x_B}2;\frac{y_A+y_B}2\right)\) ; dans un repère orthonormé \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
🔢 1) \(I\left(\frac{1-5}2;\frac{2+4}2\right)=I(-2;3)\). \(\overrightarrow{AB}(-5-1;4-2)=(-6;2)\) et \(AB=\sqrt{36+4}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\).
🔢 2) \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}=(1-5;2+4)=(-4;6)\), donc \(C(-4;6)\).
🔢 3) \(\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\) : d’après la règle du parallélogramme, \(OACB\) est un parallélogramme. Il n’est ni losange (\(OA=\sqrt5\neq OB=\sqrt{41}\)) ni rectangle (\(\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-5+8=3\ne0\)) : c’est un parallélogramme quelconque.
🔢 4) \(\overrightarrow{OA}(1;2)\), \(2\overrightarrow{OB}(-10;8)\), \(\overrightarrow{IC}(-4+2;6-3)=(-2;3)\). Donc \(\vec u(1-10-2;2+8+3)=(-11;13)\).
✅ 1) \(I(-2;3)\), \(AB=2\sqrt{10}\) ; 2) \(C(-4;6)\) ; 3) parallélogramme ; 4) \(\vec u(-11;13)\).
2) Le plan est rapporté au repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\) et soient les points \(A(1;2)\), \(B(-3;-1)\), \(C(3;-2)\) et les vecteurs \(\vec u(-2;3)\) et \(\vec v(2;4)\).
1) Déterminer les coordonnées du point \(D\) tel que \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}\).
2) Déterminer les coordonnées de \(I\) le milieu du segment \([AB]\).
3) Calculer les distances suivantes : \(AB\), \(AC\) et \(BC\).
1) Déterminer les coordonnées du point \(D\) tel que \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BD}\).
2) Déterminer les coordonnées de \(I\) le milieu du segment \([AB]\).
3) Calculer les distances suivantes : \(AB\), \(AC\) et \(BC\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;y_B-y_A)\) ; milieu \(I\left(\frac{x_A+x_B}2;\frac{y_A+y_B}2\right)\) ; dans un repère orthonormé \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
🔢 1) \(\overrightarrow{AB}(-4;-3)\). \(\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}\) donne \(x_D+3=-4\) et \(y_D+1=-3\), donc \(D(-7;-4)\) (\(B\) est le milieu de \([AD]\)).
🔢 2) \(I\left(\frac{1-3}2;\frac{2-1}2\right)=I\left(-1;\frac12\right)\).
🔢 3) \(AB=\sqrt{16+9}=5\). \(\overrightarrow{AC}(2;-4)\), \(AC=\sqrt{4+16}=2\sqrt5\). \(\overrightarrow{BC}(6;-1)\), \(BC=\sqrt{36+1}=\sqrt{37}\).
✅ 1) \(D(-7;-4)\) ; 2) \(I\left(-1;\frac12\right)\) ; 3) \(AB=5\), \(AC=2\sqrt5\), \(BC=\sqrt{37}\).
Exercice 1.2
Parallélogrammes et coordonnées
1) Dans le plan muni d’un repère \((O;\vec i;\vec j)\), on considère les points \(A(-3;2)\), \(B(-1;-2)\) et \(C(5;-1)\). Déterminer les coordonnées du point \(D\) tel que le quadrilatère \(ABCD\) soit un parallélogramme.
Correction détaillée
📘 Rappel : \(ABCD\) est un parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff\) les diagonales ont le même milieu.
🔢 \(ABCD\) est un parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). \(\overrightarrow{AB}(2;-4)\).
🔢 \(\overrightarrow{DC}(5-x_D;-1-y_D)=(2;-4)\), donc \(x_D=3\) et \(y_D=3\).
✅ \(D(3;3)\).
2) Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\). On considère les points \(A(2;0)\), \(B(-1;3)\) et \(C(-2;-4)\). Déterminer les coordonnées du point \(D\) tel que le quadrilatère \(ABCD\) soit un parallélogramme.
Correction détaillée
📘 Rappel : \(ABCD\) est un parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff\) les diagonales ont le même milieu.
🔢 \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\). \(\overrightarrow{AB}(-3;3)\) et \(\overrightarrow{DC}(-2-x_D;-4-y_D)\).
🔢 \(-2-x_D=-3\iff x_D=1\) et \(-4-y_D=3\iff y_D=-7\).
✅ \(D(1;-7)\).
3) Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\). On considère les points \(A(2;0)\), \(B(-1;4)\) et \(I(0;3)\). Déterminer les coordonnées des points \(C\) et \(D\) tels que le quadrilatère \(ABCD\) soit un parallélogramme de centre \(I\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(ABCD\) est un parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff\) les diagonales ont le même milieu.
🔢 Les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu : \(I\) est le milieu de \([AC]\) et de \([BD]\).
🔢 \(\frac{2+x_C}2=0\) et \(\frac{0+y_C}2=3\), donc \(C(-2;6)\).
🔢 \(\frac{-1+x_D}2=0\) et \(\frac{4+y_D}2=3\), donc \(D(1;2)\).
✅ \(C(-2;6)\) et \(D(1;2)\).
Exercice 1.3
Vecteurs et combinaisons linéaires
1) Dans un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\), on donne les vecteurs \(\vec u(3;2)\), \(\vec v(1;3)\) et \(\vec w(4;6)\).
1) Dans chacun des cas suivants, placer le point \(M\) tel que :
a) \(\overrightarrow{OM}=\vec u+\vec v\).
b) \(\overrightarrow{OM}=2\vec u-\vec w\).
c) \(\overrightarrow{OM}=3\vec w-2\vec v\).
2) Trouver les coordonnées du point \(M\) tel que \(\overrightarrow{OM}=2\vec u-\vec w\).
1) Dans chacun des cas suivants, placer le point \(M\) tel que :
a) \(\overrightarrow{OM}=\vec u+\vec v\).
b) \(\overrightarrow{OM}=2\vec u-\vec w\).
c) \(\overrightarrow{OM}=3\vec w-2\vec v\).
2) Trouver les coordonnées du point \(M\) tel que \(\overrightarrow{OM}=2\vec u-\vec w\).
Correction détaillée
📘 Rappel : pour \(\vec u(a;b)\), \(\vec v(a’;b’)\) et \(k\in\mathbb R\) : \(\vec u+\vec v(a+a’;b+b’)\) et \(k\vec u(ka;kb)\).
🔢 1) a) \(\vec u+\vec v=(3+1;2+3)=(4;5)\) : \(M(4;5)\).
🔢 b) \(2\vec u-\vec w=(6-4;4-6)=(2;-2)\) : \(M(2;-2)\).
🔢 c) \(3\vec w-2\vec v=(12-2;18-6)=(10;12)\) : \(M(10;12)\). (Pour placer \(M\), on reporte les coordonnées dans le repère.)
🔢 2) \(\overrightarrow{OM}=2\vec u-\vec w=(2;-2)\), donc \(M(2;-2)\).
✅ a) \(M(4;5)\) ; b) \(M(2;-2)\) ; c) \(M(10;12)\) ; 2) \(M(2;-2)\).
2) Soient \(A\), \(B\), \(C\) trois points du plan et \(E\) et \(F\) deux points tels que \(\overrightarrow{AF}=\frac54\overrightarrow{AC}-\frac12\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BE}=\frac43\overrightarrow{BC}+\frac13\overrightarrow{BA}\).
1) Montrer que les points \(C\), \(E\), \(F\) sont alignés.
2) Déterminer les coordonnées des points \(A\), \(B\), \(C\), \(E\), \(F\) dans le repère \((C,\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})\).
3) Montrer par une autre méthode que les points \(C\), \(E\), \(F\) sont alignés.
1) Montrer que les points \(C\), \(E\), \(F\) sont alignés.
2) Déterminer les coordonnées des points \(A\), \(B\), \(C\), \(E\), \(F\) dans le repère \((C,\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})\).
3) Montrer par une autre méthode que les points \(C\), \(E\), \(F\) sont alignés.
Correction détaillée
📘 Colinéarité : \(\vec u(a;b)\) et \(\vec v(a’;b’)\) sont colinéaires \(\iff\det(\vec u,\vec v)=ab’-a’b=0\). Trois points \(A,B,C\) sont alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
🔢 1) On exprime tout avec \(\overrightarrow{CA}\) et \(\overrightarrow{CB}\) : \(\overrightarrow{AC}=-\overrightarrow{CA}\), \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\). Alors \(\overrightarrow{AF}=-\frac54\overrightarrow{CA}-\frac12\left(\overrightarrow{CB}-\overrightarrow{CA}\right)=-\frac34\overrightarrow{CA}-\frac12\overrightarrow{CB}\), donc \(\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}=\frac14\overrightarrow{CA}-\frac12\overrightarrow{CB}\).
🔢 \(\overrightarrow{BE}=\frac43\overrightarrow{BC}+\frac13\overrightarrow{BA}=-\frac43\overrightarrow{CB}+\frac13\left(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right)=\frac13\overrightarrow{CA}-\frac53\overrightarrow{CB}\), donc \(\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BE}=\frac13\overrightarrow{CA}-\frac23\overrightarrow{CB}\).
🔢 On remarque que \(\overrightarrow{CE}=\frac43\overrightarrow{CF}\) (\(\frac43\times\frac14=\frac13\) et \(\frac43\times\left(-\frac12\right)=-\frac23\)). Donc \(C\), \(E\), \(F\) sont alignés.
🔢 2) Dans le repère \((C,\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CB})\) : \(A(1;0)\), \(B(0;1)\), \(C(0;0)\), \(E\left(\frac13;-\frac23\right)\), \(F\left(\frac14;-\frac12\right)\).
🔢 3) Autre méthode : \(\det(\overrightarrow{CF},\overrightarrow{CE})=\frac14\times\left(-\frac23\right)-\left(-\frac12\right)\times\frac13=-\frac16+\frac16=0\). Les vecteurs sont colinéaires : \(C\), \(E\), \(F\) sont alignés.
✅ \(\overrightarrow{CE}=\frac43\overrightarrow{CF}\) ; \(A(1;0)\), \(B(0;1)\), \(C(0;0)\), \(E\left(\frac13;-\frac23\right)\), \(F\left(\frac14;-\frac12\right)\) ; \(C,E,F\) alignés.
Exercice 2.1
Colinéarité de deux vecteurs
1) On considère dans la base \((\vec i;\vec j)\) les vecteurs \(\vec u(3;-2)\) et \(\vec v(-6;4)\). Est-ce que les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires ?
Correction détaillée
📘 Colinéarité : \(\vec u(a;b)\) et \(\vec v(a’;b’)\) sont colinéaires \(\iff\det(\vec u,\vec v)=ab’-a’b=0\). Trois points \(A,B,C\) sont alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
🔢 \(\det(\vec u,\vec v)=3\times4-(-2)\times(-6)=12-12=0\). On remarque aussi que \(\vec v=-2\vec u\).
✅ Oui, \(\vec u\) et \(\vec v\) sont colinéaires.
2) Le plan est rapporté au repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\) et soient les points \(A\left(\frac12;3\right)\), \(B(-2;-2)\), \(C(1;4)\) et le vecteur \(\vec u(1;3)\).
1) Déterminer le réel \(x\) pour que les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v(x-2;5)\) soient colinéaires.
2) Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
1) Déterminer le réel \(x\) pour que les vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v(x-2;5)\) soient colinéaires.
2) Montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont alignés.
Correction détaillée
📘 Colinéarité : \(\vec u(a;b)\) et \(\vec v(a’;b’)\) sont colinéaires \(\iff\det(\vec u,\vec v)=ab’-a’b=0\). Trois points \(A,B,C\) sont alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
🔢 1) \(\det(\vec u,\vec v)=1\times5-3(x-2)=11-3x=0\iff x=\frac{11}3\).
🔢 2) \(\overrightarrow{AB}\left(-\frac52;-5\right)\) et \(\overrightarrow{AC}\left(\frac12;1\right)\). \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=-\frac52\times1-(-5)\times\frac12=-\frac52+\frac52=0\). Donc \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés.
✅ 1) \(x=\frac{11}3\) ; 2) \(A,B,C\) sont alignés.
3) Le plan est rapporté au repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\) et soit \(m\) un paramètre réel. Discuter suivant les valeurs de \(m\) la colinéarité de \(\vec u\) et \(\vec v\) dans chaque cas :
1) \(\vec u(3;2m+1)\) et \(\vec v(2;m)\).
2) \(\vec u(m;1)\) et \(\vec v(1;m)\).
1) \(\vec u(3;2m+1)\) et \(\vec v(2;m)\).
2) \(\vec u(m;1)\) et \(\vec v(1;m)\).
Correction détaillée
📘 Colinéarité : \(\vec u(a;b)\) et \(\vec v(a’;b’)\) sont colinéaires \(\iff\det(\vec u,\vec v)=ab’-a’b=0\). Trois points \(A,B,C\) sont alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
🔢 1) \(\det(\vec u,\vec v)=3m-2(2m+1)=-m-2\). Colinéaires \(\iff m=-2\).
🔢 2) \(\det(\vec u,\vec v)=m\times m-1\times1=m^2-1=(m-1)(m+1)\). Colinéaires \(\iff m=1\) ou \(m=-1\).
✅ 1) colinéaires si et seulement si \(m=-2\) ; 2) colinéaires si et seulement si \(m=1\) ou \(m=-1\) ; dans les autres cas ils ne sont pas colinéaires.
4) Le plan est muni d’un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\).
1) Étudier la colinéarité de \(\vec u\) et \(\vec v\) dans les cas suivants : A) \(\vec u(3;7)\), \(\vec v(1;2)\). B) \(\vec u(\sqrt3;-1)\), \(\vec v(1;\sqrt2)\).
2) Étudier l’alignement des points \(A\), \(B\) et \(C\) dans les cas suivants : A) \(A(-4;2)\), \(B(5;1)\), \(C(11;3)\). B) \(A(-2;3)\), \(B(3;-1)\), \(C(7;-4)\).
1) Étudier la colinéarité de \(\vec u\) et \(\vec v\) dans les cas suivants : A) \(\vec u(3;7)\), \(\vec v(1;2)\). B) \(\vec u(\sqrt3;-1)\), \(\vec v(1;\sqrt2)\).
2) Étudier l’alignement des points \(A\), \(B\) et \(C\) dans les cas suivants : A) \(A(-4;2)\), \(B(5;1)\), \(C(11;3)\). B) \(A(-2;3)\), \(B(3;-1)\), \(C(7;-4)\).
Correction détaillée
📘 Colinéarité : \(\vec u(a;b)\) et \(\vec v(a’;b’)\) sont colinéaires \(\iff\det(\vec u,\vec v)=ab’-a’b=0\). Trois points \(A,B,C\) sont alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
🔢 1) A) \(\det(\vec u,\vec v)=3\times2-7\times1=-1\ne0\) : non colinéaires.
🔢 B) \(\det(\vec u,\vec v)=\sqrt3\times\sqrt2-(-1)\times1=\sqrt6+1\ne0\) : non colinéaires.
🔢 2) A) \(\overrightarrow{AB}(9;-1)\), \(\overrightarrow{AC}(15;1)\). \(\det=9\times1-(-1)\times15=24\ne0\) : non alignés.
🔢 B) \(\overrightarrow{AB}(5;-4)\), \(\overrightarrow{AC}(9;-7)\). \(\det=5\times(-7)-(-4)\times9=-35+36=1\ne0\) : non alignés.
✅ 1) A) et B) non colinéaires ; 2) A) et B) non alignés.
5) Dans un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\), placer les points \(A(-1;2)\), \(B(-3;-1)\), \(C(7;0)\) et \(D(10;1)\). On pose \(\vec u=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{CD}\).
1) Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\) et \(\vec u\).
2) Construire le point \(E\) défini par \(\overrightarrow{OE}=\vec u\).
3) Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{OE}\) sont colinéaires.
1) Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{CD}\) et \(\vec u\).
2) Construire le point \(E\) défini par \(\overrightarrow{OE}=\vec u\).
3) Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{OE}\) sont colinéaires.
Correction détaillée
📘 Colinéarité : \(\vec u(a;b)\) et \(\vec v(a’;b’)\) sont colinéaires \(\iff\det(\vec u,\vec v)=ab’-a’b=0\). Trois points \(A,B,C\) sont alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
🔢 1) \(\overrightarrow{AB}(-3+1;-1-2)=(-2;-3)\), \(\overrightarrow{CD}(10-7;1-0)=(3;1)\), \(\vec u=\overrightarrow{AB}+2\overrightarrow{CD}=(-2+6;-3+2)=(4;-1)\).
🔢 2) \(\overrightarrow{OE}=\vec u\) donne \(E(4;-1)\) : on le place en se déplaçant de 4 unités vers la droite et de 1 vers le bas depuis \(O\).
🔢 3) \(\overrightarrow{AC}(8;-2)\) et \(\overrightarrow{OE}(4;-1)\) : \(\det=8\times(-1)-(-2)\times4=0\). On voit aussi que \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{OE}\).
✅ 1) \(\overrightarrow{AB}(-2;-3)\), \(\overrightarrow{CD}(3;1)\), \(\vec u(4;-1)\) ; 2) \(E(4;-1)\) ; 3) \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{OE}\), donc colinéaires.
Exercice 2.2
Alignement de points
1) Dans le plan muni d’un repère \((O;\vec i;\vec j)\), on considère les points \(A(-4;-2)\), \(B(1;1)\) et \(C(6;3)\). Les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont-ils alignés ?
Correction détaillée
📘 Colinéarité : \(\vec u(a;b)\) et \(\vec v(a’;b’)\) sont colinéaires \(\iff\det(\vec u,\vec v)=ab’-a’b=0\). Trois points \(A,B,C\) sont alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
🔢 \(\overrightarrow{AB}(5;3)\) et \(\overrightarrow{AC}(10;5)\). \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=5\times5-3\times10=-5\neq0\).
✅ Non, \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés.
2) \(ABCD\) est un parallélogramme. \(E\) et \(F\) deux points tels que \(\overrightarrow{AE}=\frac32\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{DF}=-2\overrightarrow{DA}\). On considère le repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})\).
1) Déterminer les coordonnées des points \(E\), \(F\) et \(C\).
2) Calculer \(\det(\overrightarrow{EF};\overrightarrow{EC})\).
3) Que peut-on dire des points \(E\), \(F\) et \(C\) ?
1) Déterminer les coordonnées des points \(E\), \(F\) et \(C\).
2) Calculer \(\det(\overrightarrow{EF};\overrightarrow{EC})\).
3) Que peut-on dire des points \(E\), \(F\) et \(C\) ?
Correction détaillée
📘 Colinéarité : \(\vec u(a;b)\) et \(\vec v(a’;b’)\) sont colinéaires \(\iff\det(\vec u,\vec v)=ab’-a’b=0\). Trois points \(A,B,C\) sont alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
🔢 1) Dans ce repère : \(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(D(0;1)\). Comme \(ABCD\) est un parallélogramme, \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\), donc \(C(1;1)\). \(\overrightarrow{AE}=\frac32\overrightarrow{AB}\) donne \(E\left(\frac32;0\right)\). \(\overrightarrow{DF}=-2\overrightarrow{DA}=2\overrightarrow{AD}\), donc \(F=D+2\overrightarrow{AD}\) : \(F(0;3)\).
🔢 2) \(\overrightarrow{EF}\left(-\frac32;3\right)\), \(\overrightarrow{EC}\left(-\frac12;1\right)\). \(\det=-\frac32\times1-3\times\left(-\frac12\right)=-\frac32+\frac32=0\).
🔢 3) Le déterminant est nul : \(\overrightarrow{EF}\) et \(\overrightarrow{EC}\) sont colinéaires (\(\overrightarrow{EF}=3\overrightarrow{EC}\)), donc \(E\), \(F\), \(C\) sont alignés.
✅ 1) \(E\left(\frac32;0\right)\), \(F(0;3)\), \(C(1;1)\) ; 2) \(\det=0\) ; 3) \(E,F,C\) sont alignés.
3) Dans un repère \((O;\vec i;\vec j)\), on donne les points \(A(5;2)\), \(B(3;-4)\), \(C(-6;-1)\) et \(D(-1;4)\).
1) Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
2) Que peut-on dire des droites \((BC)\) et \((AD)\) ? Justifier.
3) Déterminer les coordonnées de \(I\) milieu du segment \([BC]\).
4) Soit \(K\) le point défini par \(\overrightarrow{BK}=\frac13(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})\).
a) Montrer que les coordonnées de \(K\) sont \(\left(\frac23;-1\right)\).
b) Montrer que les points \(A\), \(K\) et \(I\) sont alignés.
1) Calculer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{AD}\).
2) Que peut-on dire des droites \((BC)\) et \((AD)\) ? Justifier.
3) Déterminer les coordonnées de \(I\) milieu du segment \([BC]\).
4) Soit \(K\) le point défini par \(\overrightarrow{BK}=\frac13(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{BC})\).
a) Montrer que les coordonnées de \(K\) sont \(\left(\frac23;-1\right)\).
b) Montrer que les points \(A\), \(K\) et \(I\) sont alignés.
Correction détaillée
📘 Colinéarité : \(\vec u(a;b)\) et \(\vec v(a’;b’)\) sont colinéaires \(\iff\det(\vec u,\vec v)=ab’-a’b=0\). Trois points \(A,B,C\) sont alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
🔢 1) \(\overrightarrow{AB}(-2;-6)\), \(\overrightarrow{BC}(-9;3)\), \(\overrightarrow{AD}(-6;2)\).
🔢 2) \(\det(\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AD})=(-9)\times2-3\times(-6)=-18+18=0\) (on voit aussi \(\overrightarrow{BC}=\frac32\overrightarrow{AD}\)). Les droites \((BC)\) et \((AD)\) sont parallèles (elles ne sont pas confondues car \(\overrightarrow{AB}\) n’est pas colinéaire à \(\overrightarrow{AD}\)).
🔢 3) \(I\left(\frac{3-6}2;\frac{-4-1}2\right)=I\left(-\frac32;-\frac52\right)\).
🔢 4) a) \(\overrightarrow{BA}(2;6)\) et \(\overrightarrow{BC}(-9;3)\), donc \(\overrightarrow{BK}=\frac13(-7;9)=\left(-\frac73;3\right)\). Alors \(K\left(3-\frac73;-4+3\right)=K\left(\frac23;-1\right)\).
🔢 b) \(\overrightarrow{AK}\left(\frac23-5;-1-2\right)=\left(-\frac{13}3;-3\right)\) et \(\overrightarrow{AI}\left(-\frac32-5;-\frac52-2\right)=\left(-\frac{13}2;-\frac92\right)\). \(\det=\left(-\frac{13}3\right)\left(-\frac92\right)-(-3)\left(-\frac{13}2\right)=\frac{39}2-\frac{39}2=0\). Donc \(A\), \(K\), \(I\) sont alignés.
✅ 1) \(\overrightarrow{AB}(-2;-6)\), \(\overrightarrow{BC}(-9;3)\), \(\overrightarrow{AD}(-6;2)\) ; 2) \((BC)\parallel(AD)\) ; 3) \(I\left(-\frac32;-\frac52\right)\) ; 4) \(K\left(\frac23;-1\right)\) et \(A,K,I\) alignés.
4) Soit \(ABCD\) un parallélogramme et \(E\) et \(F\) deux points tels que \(\overrightarrow{AE}=-\frac12\overrightarrow{AD}\) et \(\overrightarrow{EF}=\frac12\overrightarrow{BA}\).
1) Montrer que les points \(C\), \(A\) et \(F\) sont alignés.
2) Montrer analytiquement que les points \(C\), \(A\) et \(F\) sont alignés en utilisant le repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})\).
1) Montrer que les points \(C\), \(A\) et \(F\) sont alignés.
2) Montrer analytiquement que les points \(C\), \(A\) et \(F\) sont alignés en utilisant le repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})\).
Correction détaillée
📘 Colinéarité : \(\vec u(a;b)\) et \(\vec v(a’;b’)\) sont colinéaires \(\iff\det(\vec u,\vec v)=ab’-a’b=0\). Trois points \(A,B,C\) sont alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
🔢 1) Chasles : \(\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EF}=-\frac12\overrightarrow{AD}+\frac12\overrightarrow{BA}=-\frac12\overrightarrow{AD}-\frac12\overrightarrow{AB}=-\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}\right)=-\frac12\overrightarrow{AC}\). Donc \(\overrightarrow{AF}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires : \(C\), \(A\), \(F\) sont alignés.
🔢 2) Dans le repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})\) : \(A(0;0)\), \(C(1;1)\), \(E\left(0;-\frac12\right)\). \(\overrightarrow{EF}=\frac12\overrightarrow{BA}=\left(-\frac12;0\right)\), donc \(F\left(-\frac12;-\frac12\right)\).
🔢 \(\overrightarrow{AC}(1;1)\) et \(\overrightarrow{AF}\left(-\frac12;-\frac12\right)\) : \(\det=1\times\left(-\frac12\right)-1\times\left(-\frac12\right)=0\). Donc \(C\), \(A\), \(F\) sont alignés.
✅ \(\overrightarrow{AF}=-\frac12\overrightarrow{AC}\) : \(C\), \(A\), \(F\) sont alignés.
5) Dans le repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\), les points \(N\), \(G\) et \(S\) ont pour coordonnées respectives \(N(2;-4)\), \(G\left(6;-\frac83\right)\) et \(S(1;-1)\).
1) Faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure.
2) Déterminer par le calcul les coordonnées de \(L\), image de \(S\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{NG}\).
3) Soit \(A\) le milieu de \([SG]\). Montrer que \(L\), \(A\) et \(N\) sont alignés.
4) Quelle est la nature du quadrilatère \(SNGL\) ? Soyez aussi précis que possible.
5) \((SG)\) coupe l’axe des ordonnées en \(K\). Déterminer les coordonnées de \(K\).
6)
a) Soit \(M\) le point défini par \(\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MG}=\vec0\). Déterminer les coordonnées de \(M\).
b) Soit \(I\) le milieu de \([SN]\). Déterminer les coordonnées de \(I\) puis montrer que \(I\), \(M\) et \(G\) sont alignés.
1) Faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure.
2) Déterminer par le calcul les coordonnées de \(L\), image de \(S\) par la translation de vecteur \(\overrightarrow{NG}\).
3) Soit \(A\) le milieu de \([SG]\). Montrer que \(L\), \(A\) et \(N\) sont alignés.
4) Quelle est la nature du quadrilatère \(SNGL\) ? Soyez aussi précis que possible.
5) \((SG)\) coupe l’axe des ordonnées en \(K\). Déterminer les coordonnées de \(K\).
6)
a) Soit \(M\) le point défini par \(\overrightarrow{MS}+\overrightarrow{MN}+\overrightarrow{MG}=\vec0\). Déterminer les coordonnées de \(M\).
b) Soit \(I\) le milieu de \([SN]\). Déterminer les coordonnées de \(I\) puis montrer que \(I\), \(M\) et \(G\) sont alignés.
Correction détaillée
📘 Colinéarité : \(\vec u(a;b)\) et \(\vec v(a’;b’)\) sont colinéaires \(\iff\det(\vec u,\vec v)=ab’-a’b=0\). Trois points \(A,B,C\) sont alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
🔢 1) On place \(N(2;-4)\), \(G\left(6;-\frac83\right)\) et \(S(1;-1)\) dans le repère, puis les points suivants au fur et à mesure.
🔢 2) \(\overrightarrow{NG}\left(4;\frac43\right)\). \(\overrightarrow{SL}=\overrightarrow{NG}\) donne \(L\left(1+4;-1+\frac43\right)=L\left(5;\frac13\right)\).
🔢 3) \(A\) milieu de \([SG]\) : \(A\left(\frac72;-\frac{11}6\right)\). \(\overrightarrow{NL}\left(3;\frac{13}3\right)\) et \(\overrightarrow{NA}\left(\frac32;\frac{13}6\right)\) : \(\overrightarrow{NL}=2\overrightarrow{NA}\). Donc \(L\), \(A\), \(N\) sont alignés (et \(A\) est le milieu de \([NL]\)).
🔢 4) \(\overrightarrow{SL}=\overrightarrow{NG}\) donc \(SNGL\) est un parallélogramme. \(\overrightarrow{SN}(1;-3)\) et \(\overrightarrow{NG}\left(4;\frac43\right)\) : \(\overrightarrow{SN}\cdot\overrightarrow{NG}=4-4=0\), donc \(\widehat{SNG}=90^\circ\) (repère orthonormé). Mais \(SN=\sqrt{10}\ne NG=\frac{4\sqrt{10}}3\). C’est un rectangle (non carré).
🔢 5) \(\overrightarrow{SG}\left(5;-\frac53\right)\) est colinéaire à \((3;-1)\). \(K(0;y)\in(SG)\iff\det(\overrightarrow{SK},\overrightarrow{SG})=0\) avec \(\overrightarrow{SK}(-1;y+1)\) : \(-1\times\left(-\frac53\right)-5(y+1)=0\iff y+1=\frac13\iff y=-\frac23\). Donc \(K\left(0;-\frac23\right)\).
🔢 6) a) \(M\) est le centre de gravité du triangle \(SNG\) : \(x_M=\frac{1+2+6}3=3\), \(y_M=\frac{-1-4-\frac83}3=-\frac{23}9\). Donc \(M\left(3;-\frac{23}9\right)\).
🔢 b) \(I\left(\frac32;-\frac52\right)\). \(\overrightarrow{IM}\left(\frac32;-\frac1{18}\right)\) et \(\overrightarrow{IG}\left(\frac92;-\frac16\right)\) : \(\overrightarrow{IG}=3\overrightarrow{IM}\). Donc \(I\), \(M\), \(G\) sont alignés.
✅ 2) \(L\left(5;\frac13\right)\) ; 3) \(\overrightarrow{NL}=2\overrightarrow{NA}\) ; 4) rectangle ; 5) \(K\left(0;-\frac23\right)\) ; 6) \(M\left(3;-\frac{23}9\right)\), \(I\left(\frac32;-\frac52\right)\) et \(I,M,G\) alignés.
Exercice 3.1
Vecteurs directeurs
1) Le plan est muni d’un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\).
1) Construire la droite \((D)\) passant par \(A(0;1)\) et dirigée par \(\vec u(1;1)\).
2) Construire la droite \((\Delta)\) passant par \(B(-1;1)\) et de vecteur directeur \(\vec v(-1;2)\).
3) Déterminer les vecteurs directeurs de l’axe des abscisses et de l’axe des ordonnées.
1) Construire la droite \((D)\) passant par \(A(0;1)\) et dirigée par \(\vec u(1;1)\).
2) Construire la droite \((\Delta)\) passant par \(B(-1;1)\) et de vecteur directeur \(\vec v(-1;2)\).
3) Déterminer les vecteurs directeurs de l’axe des abscisses et de l’axe des ordonnées.
Correction détaillée
📘 Rappel : une droite est déterminée par un point et un vecteur directeur : \(D(A;\vec u)=\{M\ /\ \overrightarrow{AM}\text{ colinéaire à }\vec u\}\).
🔢 1) \((D)\) passe par \(A(0;1)\) et par \(A+\vec u=(1;2)\) : on trace la droite passant par ces deux points.
🔢 2) \((\Delta)\) passe par \(B(-1;1)\) et par \(B+\vec v=(-2;3)\) : on trace la droite passant par ces deux points.
🔢 3) L’axe des abscisses est dirigé par \(\vec i(1;0)\) et l’axe des ordonnées par \(\vec j(0;1)\).
✅ 3) Vecteur directeur de l’axe des abscisses : \(\vec i(1;0)\) ; de l’axe des ordonnées : \(\vec j(0;1)\).
2) Déterminer un vecteur directeur de la droite \((D)\) dans chaque cas :
1) \((D):2x+5y+2=0\).
2) \((D):y=-x+1\).
3) \((D):x=5y+3\).
4) \((D):\frac{x-9}2=\frac{y-7}6\).
1) \((D):2x+5y+2=0\).
2) \((D):y=-x+1\).
3) \((D):x=5y+3\).
4) \((D):\frac{x-9}2=\frac{y-7}6\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(ax+by+c=0\) a pour vecteur directeur \(\vec u(-b;a)\).
🔢 1) \(ax+by+c=0\) admet \(\vec u(-b;a)\) : ici \(\vec u(-5;2)\).
🔢 2) \(y=-x+1\iff x+y-1=0\) : \(\vec u(-1;1)\) (ou \((1;-1)\)).
🔢 3) \(x=5y+3\iff x-5y-3=0\) : \(\vec u(5;1)\).
🔢 4) \(\frac{x-9}2=\frac{y-7}6\) : le dénominateur de chaque fraction donne une coordonnée de \(\vec u(2;6)\) (ou \(\vec u(1;3)\)).
✅ 1) \(\vec u(-5;2)\) ; 2) \(\vec u(1;-1)\) ; 3) \(\vec u(5;1)\) ; 4) \(\vec u(2;6)\).
Exercice 4.1
Écrire une représentation paramétrique
1) Donner une représentation paramétrique de la droite \(D(A;\vec u)\) qui passe par \(A(3;-5)\) et \(\vec u(-2;3)\) un vecteur directeur.
Correction détaillée
📘 Rappel : la droite \(D(A;\vec u)\) avec \(\vec u(a;b)\) a pour représentation paramétrique \(\begin{cases}x=x_A+at\\y=y_A+bt\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).
🔢 \(M(x;y)\in D\iff\overrightarrow{AM}=t\vec u\) : \(x-3=-2t\) et \(y+5=3t\).
✅ \(\begin{cases}x=3-2t\\y=-5+3t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).
2) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((D)\) passant par \(A\) et dirigée par \(\vec u\) dans les cas suivants :
1) \(A(-1;2)\), \(\vec u=3\vec i+4\vec j\).
2) \(A(2;-3)\), \(\vec u=\vec i-2\vec j\).
3) \(A(1;0)\), \(\vec u(5;-7)\).
1) \(A(-1;2)\), \(\vec u=3\vec i+4\vec j\).
2) \(A(2;-3)\), \(\vec u=\vec i-2\vec j\).
3) \(A(1;0)\), \(\vec u(5;-7)\).
Correction détaillée
📘 Rappel : la droite \(D(A;\vec u)\) avec \(\vec u(a;b)\) a pour représentation paramétrique \(\begin{cases}x=x_A+at\\y=y_A+bt\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).
🔢 1) \(\vec u(3;4)\) : \(\begin{cases}x=-1+3t\\y=2+4t\end{cases}\).
🔢 2) \(\vec u(1;-2)\) : \(\begin{cases}x=2+t\\y=-3-2t\end{cases}\).
🔢 3) \(\begin{cases}x=1+5t\\y=-7t\end{cases}\).
✅ 1) \(x=-1+3t,\ y=2+4t\) ; 2) \(x=2+t,\ y=-3-2t\) ; 3) \(x=1+5t,\ y=-7t\) (\(t\in\mathbb R\)).
3) Soient \(A(1;2)\) et \(B(-3;0)\).
1) Donner une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).
2) Déterminer si chacun des points suivants appartient ou non à la droite \((AB)\) : \(C(0;2)\), \(D(-1;1)\), \(E(9;6)\).
1) Donner une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).
2) Déterminer si chacun des points suivants appartient ou non à la droite \((AB)\) : \(C(0;2)\), \(D(-1;1)\), \(E(9;6)\).
Correction détaillée
📘 Rappel : la droite \(D(A;\vec u)\) avec \(\vec u(a;b)\) a pour représentation paramétrique \(\begin{cases}x=x_A+at\\y=y_A+bt\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).
🔢 1) \(\overrightarrow{AB}(-4;-2)\) est un vecteur directeur : \(\begin{cases}x=1-4t\\y=2-2t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).
🔢 2) \(C(0;2)\) : \(0=1-4t\iff t=\frac14\), puis \(y=2-\frac12=\frac32\ne2\). Donc \(C\notin(AB)\).
🔢 \(D(-1;1)\) : \(-1=1-4t\iff t=\frac12\), puis \(y=2-1=1\) ✓. Donc \(D\in(AB)\).
🔢 \(E(9;6)\) : \(9=1-4t\iff t=-2\), puis \(y=2+4=6\) ✓. Donc \(E\in(AB)\).
✅ 1) \(\begin{cases}x=1-4t\\y=2-2t\end{cases}\) ; 2) \(C\notin(AB)\), \(D\in(AB)\), \(E\in(AB)\).
4) Le plan est rapporté au repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\) et soient les points \(A(-2;1)\), \(B(3;7)\).
1) Donner une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).
2) Déterminer les points d’intersection de la droite \((AB)\) avec les axes du repère.
1) Donner une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).
2) Déterminer les points d’intersection de la droite \((AB)\) avec les axes du repère.
Correction détaillée
📘 Rappel : la droite \(D(A;\vec u)\) avec \(\vec u(a;b)\) a pour représentation paramétrique \(\begin{cases}x=x_A+at\\y=y_A+bt\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).
🔢 1) \(\overrightarrow{AB}(5;6)\) : \(\begin{cases}x=-2+5t\\y=1+6t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).
🔢 2) Avec l’axe des abscisses : \(y=0\iff t=-\frac16\), donc \(x=-2-\frac56=-\frac{17}6\) : point \(\left(-\frac{17}6;0\right)\).
🔢 Avec l’axe des ordonnées : \(x=0\iff t=\frac25\), donc \(y=1+\frac{12}5=\frac{17}5\) : point \(\left(0;\frac{17}5\right)\).
✅ 1) \(\begin{cases}x=-2+5t\\y=1+6t\end{cases}\) ; 2) \(\left(-\frac{17}6;0\right)\) et \(\left(0;\frac{17}5\right)\).
Exercice 4.2
Lire une représentation paramétrique
1) Donner un point et un vecteur directeur de la droite \(D\) de représentation paramétrique \(\begin{cases}x=7t-1\\y=-4t+11\end{cases}\) avec \(t\in\mathbb R\).
Correction détaillée
📘 Rappel : la droite \(D(A;\vec u)\) avec \(\vec u(a;b)\) a pour représentation paramétrique \(\begin{cases}x=x_A+at\\y=y_A+bt\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).
🔢 Pour \(t=0\) : \(x=-1\), \(y=11\). Les coefficients de \(t\) donnent le vecteur directeur.
✅ Le point \(A(-1;11)\) appartient à \(D\) et \(\vec u(7;-4)\) est un vecteur directeur.
2) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((D)\) définie par son équation cartésienne dans les cas suivants :
1) \((D):3x-2y+2=0\).
2) \((D):2x+3y-2=0\).
3) \((D):x+2y=0\).
4) \((D):-7x-3y+6=0\).
1) \((D):3x-2y+2=0\).
2) \((D):2x+3y-2=0\).
3) \((D):x+2y=0\).
4) \((D):-7x-3y+6=0\).
Correction détaillée
📘 Méthode : pour \(ax+by+c=0\), on prend \(\vec u(-b;a)\) et un point dont on trouve les coordonnées en choisissant \(x\) ou \(y\).
🔢 1) \(\vec u(2;3)\) et le point \((0;1)\in(D)\) : \(x=2t\), \(y=1+3t\).
🔢 2) \(\vec u(-3;2)\) et le point \((1;0)\in(D)\) : \(x=1-3t\), \(y=2t\).
🔢 3) \(\vec u(-2;1)\) et le point \((0;0)\in(D)\) : \(x=-2t\), \(y=t\).
🔢 4) \(\vec u(3;-7)\) et le point \((0;2)\in(D)\) : \(x=3t\), \(y=2-7t\).
✅ 1) \(x=2t,\ y=1+3t\) ; 2) \(x=1-3t,\ y=2t\) ; 3) \(x=-2t,\ y=t\) ; 4) \(x=3t,\ y=2-7t\).
Exercice 5.1
Droite définie par un point et un vecteur directeur
1) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par le point \(A(1;-1)\) et de vecteur directeur \(\vec u(-1;3)\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(M(x;y)\in D(A;\vec u)\iff\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0\). Pour \(\vec u(a;b)\) cela donne \(b(x-x_A)-a(y-y_A)=0\) ; une équation cartésienne est de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma=0\) avec \((\alpha;\beta)\ne(0;0)\).
🔢 \(M(x;y)\in(D)\iff\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0\) : \((x-1)\times3-(y+1)\times(-1)=0\).
🔢 \(3x-3+y+1=0\iff3x+y-2=0\).
✅ \((D):3x+y-2=0\).
2) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(A\) et dirigée par \(\vec u\) dans les cas suivants :
1) \(A(-1;2)\), \(\vec u=3\vec i+4\vec j\).
2) \(A(2;-3)\), \(\vec u=\vec i-2\vec j\).
3) \(A(1;0)\), \(\vec u(5;-7)\).
1) \(A(-1;2)\), \(\vec u=3\vec i+4\vec j\).
2) \(A(2;-3)\), \(\vec u=\vec i-2\vec j\).
3) \(A(1;0)\), \(\vec u(5;-7)\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(M(x;y)\in D(A;\vec u)\iff\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0\). Pour \(\vec u(a;b)\) cela donne \(b(x-x_A)-a(y-y_A)=0\) ; une équation cartésienne est de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma=0\) avec \((\alpha;\beta)\ne(0;0)\).
🔢 1) \(\vec u(3;4)\) : \(4(x+1)-3(y-2)=0\iff4x-3y+10=0\).
🔢 2) \(\vec u(1;-2)\) : \(-2(x-2)-(y+3)=0\iff2x+y-1=0\).
🔢 3) \(\vec u(5;-7)\) : \(-7(x-1)-5y=0\iff7x+5y-7=0\).
✅ 1) \(4x-3y+10=0\) ; 2) \(2x+y-1=0\) ; 3) \(7x+5y-7=0\).
3) Déterminer une équation cartésienne et une représentation paramétrique de la droite \(D(A;\vec u)\) dans chaque cas :
1) \(A(3;0)\) et \(\vec u(5;-7)\).
2) \(A(1;3)\) et \(\vec u(1;-2)\).
1) \(A(3;0)\) et \(\vec u(5;-7)\).
2) \(A(1;3)\) et \(\vec u(1;-2)\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(M(x;y)\in D(A;\vec u)\iff\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0\). Pour \(\vec u(a;b)\) cela donne \(b(x-x_A)-a(y-y_A)=0\) ; une équation cartésienne est de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma=0\) avec \((\alpha;\beta)\ne(0;0)\).
🔢 1) Équation : \(-7(x-3)-5y=0\iff7x+5y-21=0\). Paramétrique : \(x=3+5t\), \(y=-7t\).
🔢 2) Équation : \(-2(x-1)-(y-3)=0\iff2x+y-5=0\). Paramétrique : \(x=1+t\), \(y=3-2t\).
✅ 1) \(7x+5y-21=0\) et \(x=3+5t,\ y=-7t\) ; 2) \(2x+y-5=0\) et \(x=1+t,\ y=3-2t\).
Exercice 5.2
Droite définie par deux points
1) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par les points \(A(2;4)\) et \(B(5;-1)\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(M(x;y)\in D(A;\vec u)\iff\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0\). Pour \(\vec u(a;b)\) cela donne \(b(x-x_A)-a(y-y_A)=0\) ; une équation cartésienne est de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma=0\) avec \((\alpha;\beta)\ne(0;0)\).
🔢 \(\overrightarrow{AB}(3;-5)\) est un vecteur directeur. \(M(x;y)\in(D)\iff\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})=0\) : \((x-2)(-5)-(y-4)\times3=0\).
🔢 \(-5x+10-3y+12=0\iff5x+3y-22=0\). Vérification avec \(B\) : \(25-3-22=0\) ✓.
✅ \((D):5x+3y-22=0\).
2) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par les points \(A(5;13)\) et \(B(10;23)\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(M(x;y)\in D(A;\vec u)\iff\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0\). Pour \(\vec u(a;b)\) cela donne \(b(x-x_A)-a(y-y_A)=0\) ; une équation cartésienne est de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma=0\) avec \((\alpha;\beta)\ne(0;0)\).
🔢 \(\overrightarrow{AB}(5;10)\), colinéaire à \((1;2)\). \(\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})=0\) : \((x-5)\times10-(y-13)\times5=0\iff2(x-5)-(y-13)=0\).
🔢 \(2x-y+3=0\). Vérification avec \(B\) : \(20-23+3=0\) ✓.
✅ \((D):2x-y+3=0\).
3) Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par \(A\) et \(B\) dans les cas suivants :
1) \(A\left(\frac12;-2\right)\), \(B\left(\frac52;3\right)\).
2) \(A\left(-\frac12;3\right)\), \(B\left(\frac32;-1\right)\).
1) \(A\left(\frac12;-2\right)\), \(B\left(\frac52;3\right)\).
2) \(A\left(-\frac12;3\right)\), \(B\left(\frac32;-1\right)\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(M(x;y)\in D(A;\vec u)\iff\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0\). Pour \(\vec u(a;b)\) cela donne \(b(x-x_A)-a(y-y_A)=0\) ; une équation cartésienne est de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma=0\) avec \((\alpha;\beta)\ne(0;0)\).
🔢 1) \(\overrightarrow{AB}(2;5)\). \(5\left(x-\frac12\right)-2(y+2)=0\iff5x-\frac52-2y-4=0\iff10x-4y-13=0\). Vérification avec \(B\) : \(25-12-13=0\) ✓.
🔢 2) \(\overrightarrow{AB}(2;-4)\), colinéaire à \((1;-2)\). \(-2\left(x+\frac12\right)-(y-3)=0\iff-2x-1-y+3=0\iff2x+y-2=0\). Vérification avec \(B\) : \(3-1-2=0\) ✓.
✅ 1) \(10x-4y-13=0\) ; 2) \(2x+y-2=0\).
4) Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\). On considère les points \(A(2;3)\) et \(B(-5;2)\).
1) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
2) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).
1) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
2) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(M(x;y)\in D(A;\vec u)\iff\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0\). Pour \(\vec u(a;b)\) cela donne \(b(x-x_A)-a(y-y_A)=0\) ; une équation cartésienne est de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma=0\) avec \((\alpha;\beta)\ne(0;0)\).
🔢 \(\overrightarrow{AB}(-7;-1)\), colinéaire à \((7;1)\).
🔢 1) \(\det(\overrightarrow{AM},\overrightarrow{AB})=0\) : \((x-2)\times(-1)-(y-3)\times(-7)=0\iff x-7y+19=0\). Vérification avec \(B\) : \(-5-14+19=0\) ✓.
🔢 2) \(\begin{cases}x=2-7t\\y=3-t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).
✅ 1) \(x-7y+19=0\) ; 2) \(x=2-7t,\ y=3-t\).
5) Soient \(A(-6;-1)\), \(B(2;3)\) et \(C(9;6)\) trois points dans le plan. Déterminer une représentation paramétrique et une équation cartésienne des droites suivantes : \((AB)\), \((AC)\) et \((BC)\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(M(x;y)\in D(A;\vec u)\iff\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0\). Pour \(\vec u(a;b)\) cela donne \(b(x-x_A)-a(y-y_A)=0\) ; une équation cartésienne est de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma=0\) avec \((\alpha;\beta)\ne(0;0)\).
🔢 \((AB)\) : \(\overrightarrow{AB}(8;4)\), colinéaire à \((2;1)\). Paramétrique : \(x=-6+2t\), \(y=-1+t\). Équation : \((x+6)-2(y+1)=0\iff x-2y+4=0\) (vérification avec \(B\) : \(2-6+4=0\) ✓).
🔢 \((AC)\) : \(\overrightarrow{AC}(15;7)\). Paramétrique : \(x=-6+15t\), \(y=-1+7t\). Équation : \(7(x+6)-15(y+1)=0\iff7x-15y+27=0\) (vérification avec \(C\) : \(63-90+27=0\) ✓).
🔢 \((BC)\) : \(\overrightarrow{BC}(7;3)\). Paramétrique : \(x=2+7t\), \(y=3+3t\). Équation : \(3(x-2)-7(y-3)=0\iff3x-7y+15=0\) (vérification avec \(C\) : \(27-42+15=0\) ✓).
✅ \((AB):x-2y+4=0\) ; \((AC):7x-15y+27=0\) ; \((BC):3x-7y+15=0\).
Exercice 5.3
Équation et représentation paramétrique
1) Soient \(A(-2;-1)\) et \(B\left(\frac12;-2\right)\) deux points dans le plan.
1) A) Donner une équation cartésienne de la droite \((AB)\). B) Déterminer les coordonnées du point \(I\) intersection de la droite \((AB)\) et de l’axe des abscisses.
2) Soit \((\Delta)\) la droite définie par sa représentation paramétrique \((\Delta):\begin{cases}x=-1+3t\\y=-4+4t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb R\)). A) Établir que le point \(B\) appartient à la droite \((\Delta)\). B) Donner une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\).
3) Construire les droites \((\Delta)\) et \((AB)\).
1) A) Donner une équation cartésienne de la droite \((AB)\). B) Déterminer les coordonnées du point \(I\) intersection de la droite \((AB)\) et de l’axe des abscisses.
2) Soit \((\Delta)\) la droite définie par sa représentation paramétrique \((\Delta):\begin{cases}x=-1+3t\\y=-4+4t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb R\)). A) Établir que le point \(B\) appartient à la droite \((\Delta)\). B) Donner une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\).
3) Construire les droites \((\Delta)\) et \((AB)\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(M(x;y)\in D(A;\vec u)\iff\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0\). Pour \(\vec u(a;b)\) cela donne \(b(x-x_A)-a(y-y_A)=0\) ; une équation cartésienne est de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma=0\) avec \((\alpha;\beta)\ne(0;0)\).
🔢 1) A) \(\overrightarrow{AB}\left(\frac52;-1\right)\), colinéaire à \((5;-2)\). \(-2(x+2)-5(y+1)=0\iff2x+5y+9=0\). Vérification avec \(B\) : \(1-10+9=0\) ✓.
🔢 B) \(y=0\) : \(2x+9=0\iff x=-\frac92\). Donc \(I\left(-\frac92;0\right)\).
🔢 2) A) \(x_B=\frac12=-1+3t\iff t=\frac12\). Pour \(t=\frac12\) : \(y=-4+2=-2=y_B\). Donc \(B\in(\Delta)\).
🔢 B) \(\vec u(3;4)\) et le point \(P(-1;-4)\in(\Delta)\) : \(4(x+1)-3(y+4)=0\iff4x-3y-8=0\). Vérification avec \(B\) : \(2+6-8=0\) ✓.
🔢 3) \((AB)\) passe par \(A(-2;-1)\) et \(B\left(\frac12;-2\right)\) ; \((\Delta)\) passe par \(P(-1;-4)\) et \(B\left(\frac12;-2\right)\) : les deux droites se coupent en \(B\).
✅ 1) \(2x+5y+9=0\), \(I\left(-\frac92;0\right)\) ; 2) \(B\in(\Delta)\) et \((\Delta):4x-3y-8=0\).
2) Soit \(ABC\) un triangle dans le plan.
1) Construire les points \(L\), \(M\) et \(N\) tels que : \(\overrightarrow{BN}=\frac12\overrightarrow{BC}\) ; \(\overrightarrow{MB}=\frac13\overrightarrow{MA}\) ; \(\overrightarrow{CL}=\frac14\overrightarrow{CA}\).
2) Déterminer les coordonnées des points \(L\), \(M\) et \(N\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})\).
3) Écrire une équation cartésienne de la droite \((LM)\).
4) Montrer que les points \(L\), \(M\) et \(N\) sont alignés.
1) Construire les points \(L\), \(M\) et \(N\) tels que : \(\overrightarrow{BN}=\frac12\overrightarrow{BC}\) ; \(\overrightarrow{MB}=\frac13\overrightarrow{MA}\) ; \(\overrightarrow{CL}=\frac14\overrightarrow{CA}\).
2) Déterminer les coordonnées des points \(L\), \(M\) et \(N\) dans le repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})\).
3) Écrire une équation cartésienne de la droite \((LM)\).
4) Montrer que les points \(L\), \(M\) et \(N\) sont alignés.
Correction détaillée
📘 Rappel : \(M(x;y)\in D(A;\vec u)\iff\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0\). Pour \(\vec u(a;b)\) cela donne \(b(x-x_A)-a(y-y_A)=0\) ; une équation cartésienne est de la forme \(\alpha x+\beta y+\gamma=0\) avec \((\alpha;\beta)\ne(0;0)\).
🔢 1) \(N\) est le milieu de \([BC]\) ; \(L\) est sur \([CA]\) au quart de \([CA]\) à partir de \(C\) ; pour \(M\), \(\overrightarrow{MB}=\frac13\overrightarrow{MA}\) donne \(\overrightarrow{AM}=\frac32\overrightarrow{AB}\) (calcul au 2) : \(M\) est sur \((AB)\) au-delà de \(B\).
🔢 2) Dans le repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})\) : \(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(C(0;1)\). \(N\) milieu de \([BC]\) : \(N\left(\frac12;\frac12\right)\).
🔢 \(\overrightarrow{MB}=\frac13\overrightarrow{MA}\iff\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AM}=-\frac13\overrightarrow{AM}\iff\overrightarrow{AM}=\frac32\overrightarrow{AB}\) : \(M\left(\frac32;0\right)\).
🔢 \(\overrightarrow{CL}=\frac14\overrightarrow{CA}\) : \(L\) a pour coordonnées \(\left(0;1-\frac14\right)=L\left(0;\frac34\right)\).
🔢 3) \(\overrightarrow{LM}\left(\frac32;-\frac34\right)\), colinéaire à \((2;-1)\). \(-1\times(x-0)-2\left(y-\frac34\right)=0\iff x+2y-\frac32=0\iff2x+4y-3=0\). Vérification avec \(M\) : \(3-3=0\) ✓.
🔢 4) Pour \(N\left(\frac12;\frac12\right)\) : \(2\times\frac12+4\times\frac12-3=0\). Donc \(N\in(LM)\) : \(L\), \(M\), \(N\) sont alignés.
✅ 2) \(N\left(\frac12;\frac12\right)\), \(M\left(\frac32;0\right)\), \(L\left(0;\frac34\right)\) ; 3) \((LM):2x+4y-3=0\) ; 4) \(L,M,N\) alignés.
Exercice 6.1
Droites horizontales et verticales
1) Représenter graphiquement les droites suivantes :
1) \((D_1):2x+y-3=0\).
2) \((D_2):x=3\).
3) \((D_3):y=2\).
1) \((D_1):2x+y-3=0\).
2) \((D_2):x=3\).
3) \((D_3):y=2\).
Correction détaillée
📘 Rappel : \(x=k\) est une droite verticale (vecteur directeur \(\vec j\)) ; \(y=h\) est une droite horizontale (vecteur directeur \(\vec i\)).
🔢 1) Deux points suffisent : pour \(x=0\), \(y=3\) donc \((0;3)\) ; pour \(y=0\), \(x=\frac32\) donc \(\left(\frac32;0\right)\). On trace la droite passant par ces points.
🔢 2) \(x=3\) : droite verticale (parallèle à l’axe des ordonnées) passant par \((3;0)\) et \((3;1)\).
🔢 3) \(y=2\) : droite horizontale (parallèle à l’axe des abscisses) passant par \((0;2)\) et \((1;2)\).
✅ \((D_1)\) passe par \((0;3)\) et \(\left(\frac32;0\right)\) ; \((D_2)\) est verticale en \(x=3\) ; \((D_3)\) est horizontale en \(y=2\).
Exercice 6.2
Droites parallèles
1) Dans un repère on considère la droite \((d)\) d’équation \(2x+3y-5=0\).
1) Donner un vecteur directeur et un point de cette droite. La tracer.
2) Donner une équation de droite parallèle à \((d)\) passant par le point \(A(3;-2)\).
1) Donner un vecteur directeur et un point de cette droite. La tracer.
2) Donner une équation de droite parallèle à \((d)\) passant par le point \(A(3;-2)\).
Correction détaillée
📘 Rappel : deux droites parallèles ont des équations de la forme \(ax+by+c=0\) et \(ax+by+c’=0\) (mêmes \(a\) et \(b\)).
🔢 1) \(\vec u(-3;2)\) est un vecteur directeur. Pour \(x=1\) : \(3y=3\), donc le point \((1;1)\) appartient à \((d)\) ; on trace la droite par \((1;1)\) de vecteur directeur \(\vec u\) (elle passe aussi par \((-2;3)\)).
🔢 2) Une droite parallèle à \((d)\) a une équation de la forme \(2x+3y+c=0\). Elle passe par \(A(3;-2)\) : \(6-6+c=0\iff c=0\).
✅ 1) \(\vec u(-3;2)\) et \((1;1)\in(d)\) ; 2) \(2x+3y=0\).
2) Déterminer une équation de la droite \(D’\) parallèle à \(D\) passant par \(A\) dans les cas suivants :
1) \(A(-3;0)\) ; \(D:y=-2x+\frac12\).
2) \(A(0;-1)\) ; \(D:y=x\).
3) \(A(3;2)\) ; \(D:y=1\).
4) \(A(7;2)\) ; \(D:x=4\).
1) \(A(-3;0)\) ; \(D:y=-2x+\frac12\).
2) \(A(0;-1)\) ; \(D:y=x\).
3) \(A(3;2)\) ; \(D:y=1\).
4) \(A(7;2)\) ; \(D:x=4\).
Correction détaillée
📘 Rappel : si \(\beta\ne0\), \(\alpha x+\beta y+\gamma=0\iff y=-\frac\alpha\beta x-\frac\gamma\beta\). Le coefficient directeur est \(m=-\frac\alpha\beta\) et \(\vec u(1;m)\) est un vecteur directeur. La droite \(x=k\) est verticale (pas de coefficient directeur) et \(y=h\) est horizontale (\(m=0\)).
🔢 1) \(D’\) a le même coefficient directeur \(-2\) : \(y=-2x+p\). Avec \(A(-3;0)\) : \(0=6+p\iff p=-6\). Donc \(y=-2x-6\).
🔢 2) Coefficient directeur \(1\) : \(y=x+p\). Avec \(A(0;-1)\) : \(p=-1\). Donc \(y=x-1\).
🔢 3) \(D\) est horizontale, donc \(D’\) aussi : \(y=2\).
🔢 4) \(D\) est verticale, donc \(D’\) aussi : \(x=7\).
✅ 1) \(y=-2x-6\) ; 2) \(y=x-1\) ; 3) \(y=2\) ; 4) \(x=7\).
Exercice 7.1
Équation réduite et coefficient directeur
1) Soit \((D)\) la droite d’équation cartésienne \(4x+2y+3=0\). Déterminer l’équation réduite de la droite \((D)\), son coefficient directeur et un vecteur directeur.
Correction détaillée
📘 Rappel : si \(\beta\ne0\), \(\alpha x+\beta y+\gamma=0\iff y=-\frac\alpha\beta x-\frac\gamma\beta\). Le coefficient directeur est \(m=-\frac\alpha\beta\) et \(\vec u(1;m)\) est un vecteur directeur. La droite \(x=k\) est verticale (pas de coefficient directeur) et \(y=h\) est horizontale (\(m=0\)).
🔢 \(2y=-4x-3\iff y=-2x-\frac32\).
🔢 Le coefficient directeur est \(m=-2\). Un vecteur directeur est \(\vec u(1;m)=(1;-2)\) (ou \(\vec u(-b;a)=(-2;4)\)).
✅ \(y=-2x-\frac32\) ; \(m=-2\) ; \(\vec u(1;-2)\).
Exercice 8.1
Position relative de deux droites
1) Étudier la position relative des deux droites \((D)\) et \((D’)\) dans chaque cas suivant :
1) \((D):2x-4y+3=0\) et \((D’):-x+2y+5=0\).
2) \((D):2x+5y-2=0\) et \((D’):x+3y-2=0\).
1) \((D):2x-4y+3=0\) et \((D’):-x+2y+5=0\).
2) \((D):2x+5y-2=0\) et \((D’):x+3y-2=0\).
Correction détaillée
📘 Position relative de \(ax+by+c=0\) et \(a’x+b’y+c’=0\) : si \(ab’-a’b\ne0\) elles sont sécantes (leur point commun s’obtient en résolvant le système) ; si \(ab’-a’b=0\) elles sont parallèles (confondues si de plus les équations sont proportionnelles).
🔢 1) \(ab’-a’b=2\times2-(-1)\times(-4)=4-4=0\) : les droites sont parallèles. De plus \((D’)\) multipliée par \(-2\) donne \(2x-4y-10=0\), différente de \((D)\) (\(+3\)) : elles sont strictement parallèles.
🔢 2) \(ab’-a’b=2\times3-1\times5=1\ne0\) : les droites sont sécantes.
✅ 1) \((D)\) et \((D’)\) sont strictement parallèles ; 2) \((D)\) et \((D’)\) sont sécantes.
2) Le plan est rapporté au repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\) et soient les points \(A(1;2)\), \(B(3;-2)\) et les droites \((D_1):6x+3y+2=0\) et \((D_2):3x-2y-1=0\).
1) Montrer que les droites \((D_1)\) et \((D_2)\) sont sécantes et déterminer le point d’intersection \(H(x;y)\).
2) Donner une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
3) Étudier la position relative des droites \((AB)\) et \((D_1)\).
4) Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) qui passe par le point \(C(1;2)\) et parallèle à \((D_2)\).
1) Montrer que les droites \((D_1)\) et \((D_2)\) sont sécantes et déterminer le point d’intersection \(H(x;y)\).
2) Donner une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
3) Étudier la position relative des droites \((AB)\) et \((D_1)\).
4) Donner une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) qui passe par le point \(C(1;2)\) et parallèle à \((D_2)\).
Correction détaillée
📘 Position relative de \(ax+by+c=0\) et \(a’x+b’y+c’=0\) : si \(ab’-a’b\ne0\) elles sont sécantes (leur point commun s’obtient en résolvant le système) ; si \(ab’-a’b=0\) elles sont parallèles (confondues si de plus les équations sont proportionnelles).
🔢 1) \(ab’-a’b=6\times(-2)-3\times3=-21\ne0\) : sécantes. On résout \(6x+3y=-2\) et \(3x-2y=1\) : en multipliant la seconde par 2, \(6x-4y=2\) ; en soustrayant, \(7y=-4\iff y=-\frac47\). Puis \(3x=1+2y=-\frac17\iff x=-\frac1{21}\). Donc \(H\left(-\frac1{21};-\frac47\right)\).
🔢 2) \(\overrightarrow{AB}(2;-4)\), colinéaire à \((1;-2)\). \(-2(x-1)-(y-2)=0\iff2x+y-4=0\). Vérification avec \(B\) : \(6-2-4=0\) ✓.
🔢 3) \((AB):2x+y-4=0\) et \((D_1):6x+3y+2=0\) : \(ab’-a’b=2\times3-6\times1=0\), donc parallèles. \((AB)\) multipliée par 3 donne \(6x+3y-12=0\ne6x+3y+2\) : strictement parallèles.
🔢 4) Un vecteur directeur de \((D_2):3x-2y-1=0\) est \(\vec u(2;3)\). \((\Delta)\) est parallèle à \((D_2)\), donc dirigée par \(\vec u\) : \(\begin{cases}x=1+2t\\y=2+3t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).
✅ 1) \(H\left(-\frac1{21};-\frac47\right)\) ; 2) \(2x+y-4=0\) ; 3) strictement parallèles ; 4) \(x=1+2t,\ y=2+3t\).
3) Dans le plan rapporté au repère \((O;\vec i;\vec j)\), on considère les points \(A(-4;2)\), \(B(4;4)\) et \(C(5;0)\).
1) Déterminer une équation cartésienne de \((AB)\).
2) On considère la droite \((L):3x+5y=0\). Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(C\) et parallèle à \((L)\).
3) Déterminer la position relative de \((D)\) et \((AB)\).
1) Déterminer une équation cartésienne de \((AB)\).
2) On considère la droite \((L):3x+5y=0\). Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(C\) et parallèle à \((L)\).
3) Déterminer la position relative de \((D)\) et \((AB)\).
Correction détaillée
📘 Position relative de \(ax+by+c=0\) et \(a’x+b’y+c’=0\) : si \(ab’-a’b\ne0\) elles sont sécantes (leur point commun s’obtient en résolvant le système) ; si \(ab’-a’b=0\) elles sont parallèles (confondues si de plus les équations sont proportionnelles).
🔢 1) \(\overrightarrow{AB}(8;2)\), colinéaire à \((4;1)\). \((x+4)\times1-(y-2)\times4=0\iff x-4y+12=0\). Vérification avec \(B\) : \(4-16+12=0\) ✓.
🔢 2) \((D)\parallel(L)\) donc \((D):3x+5y+c=0\). Avec \(C(5;0)\) : \(15+c=0\iff c=-15\). Donc \(3x+5y-15=0\).
🔢 3) \(ab’-a’b=3\times(-4)-1\times5=-17\ne0\) pour \((D):3x+5y-15=0\) et \((AB):x-4y+12=0\) : les droites sont sécantes. Point d’intersection : \(x=4y-12\) donne \(12y-36+5y-15=0\iff y=3\), \(x=0\) : le point \((0;3)\).
✅ 1) \(x-4y+12=0\) ; 2) \(3x+5y-15=0\) ; 3) sécantes en \((0;3)\).
4) Étudier l’intersection de deux droites \((D)\) et \((D’)\) dans les cas suivants :
1) \((D):\begin{cases}x=4-3k\\y=1+2k\end{cases}\) (\(k\in\mathbb R\)) et \((D’):\begin{cases}x=3-t\\y=2+2t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb R\)).
2) \((D):2x-y+3=0\) et \((D’):\begin{cases}x=2-t\\y=3-t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb R\)).
3) \((D):2x+y-3=0\) et \((D’):x-y+1=0\).
1) \((D):\begin{cases}x=4-3k\\y=1+2k\end{cases}\) (\(k\in\mathbb R\)) et \((D’):\begin{cases}x=3-t\\y=2+2t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb R\)).
2) \((D):2x-y+3=0\) et \((D’):\begin{cases}x=2-t\\y=3-t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb R\)).
3) \((D):2x+y-3=0\) et \((D’):x-y+1=0\).
Correction détaillée
📘 Position relative de \(ax+by+c=0\) et \(a’x+b’y+c’=0\) : si \(ab’-a’b\ne0\) elles sont sécantes (leur point commun s’obtient en résolvant le système) ; si \(ab’-a’b=0\) elles sont parallèles (confondues si de plus les équations sont proportionnelles).
🔢 1) Vecteurs directeurs \((-3;2)\) et \((-1;2)\) : \(\det=-6+2=-4\ne0\), les droites sont sécantes. On résout \(4-3k=3-t\) et \(1+2k=2+2t\) : \(t=3k-1\) puis \(1+2k=6k\iff k=\frac14\), \(t=-\frac14\). Le point commun est \(\left(\frac{13}4;\frac32\right)\).
🔢 2) On remplace dans \((D)\) : \(2(2-t)-(3-t)+3=4-t=0\iff t=4\). Le point d’intersection est \((2-4;3-4)=(-2;-1)\). (Vérification : \(-4+1+3=0\) ✓.)
🔢 3) \(ab’-a’b=2\times(-1)-1\times1=-3\ne0\) : sécantes. En additionnant : \(3x-2=0\iff x=\frac23\), puis \(y=\frac53\). Le point d’intersection est \(\left(\frac23;\frac53\right)\).
✅ 1) sécantes en \(\left(\frac{13}4;\frac32\right)\) ; 2) sécantes en \((-2;-1)\) ; 3) sécantes en \(\left(\frac23;\frac53\right)\).
Exercice 8.2
Intersection de droites et paramètres
1) Soient \(A(-2;1)\), \(B(2;4)\), \(\vec u(5;2)\), \((D):2x-3y+1=0\) et \((D_m):(m-1)x-2my+3=0\) avec \(m\in\mathbb R\).
1) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\) passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec u\).
2) Vérifier que \((D)\) et \((\Delta)\) sont sécantes et déterminer leur intersection.
3) A) Déterminer la valeur de \(m\) pour que \((D)\) et \((D_m)\) soient parallèles. B) Déterminer la valeur de \(m\) pour que \(B\in(D_m)\).
4) A) Construire \((D_0)\), \((D_1)\) et \((D_2)\). B) Montrer que toutes les droites \((D_m)\) passent par le point \(C\left(3;\frac32\right)\).
1) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\) passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec u\).
2) Vérifier que \((D)\) et \((\Delta)\) sont sécantes et déterminer leur intersection.
3) A) Déterminer la valeur de \(m\) pour que \((D)\) et \((D_m)\) soient parallèles. B) Déterminer la valeur de \(m\) pour que \(B\in(D_m)\).
4) A) Construire \((D_0)\), \((D_1)\) et \((D_2)\). B) Montrer que toutes les droites \((D_m)\) passent par le point \(C\left(3;\frac32\right)\).
Correction détaillée
📘 Position relative de \(ax+by+c=0\) et \(a’x+b’y+c’=0\) : si \(ab’-a’b\ne0\) elles sont sécantes (leur point commun s’obtient en résolvant le système) ; si \(ab’-a’b=0\) elles sont parallèles (confondues si de plus les équations sont proportionnelles).
🔢 1) \(\det(\overrightarrow{AM},\vec u)=0\) : \((x+2)\times2-(y-1)\times5=0\iff2x-5y+9=0\). Vérification avec \(A\) : \(-4-5+9=0\) ✓.
🔢 2) \((D):2x-3y+1=0\) et \((\Delta):2x-5y+9=0\) : \(ab’-a’b=2\times(-5)-2\times(-3)=-4\ne0\), donc sécantes. En soustrayant : \(2y-8=0\iff y=4\), puis \(2x=11\iff x=\frac{11}2\). L’intersection est \(\left(\frac{11}2;4\right)\).
🔢 3) A) Parallélisme : \(2\times(-2m)-(m-1)\times(-3)=-4m+3m-3=-m-3=0\iff m=-3\). Pour \(m=-3\), \((D_{-3}):-4x+6y+3=0\) n’est pas confondue avec \((D)\) (\(-2\times(2x-3y+1)=-4x+6y-2\ne-4x+6y+3\)) : strictement parallèles.
🔢 B) \(B(2;4)\in(D_m)\iff2(m-1)-8m+3=0\iff-6m+1=0\iff m=\frac16\).
🔢 4) A) \((D_0):-x+3=0\), soit \(x=3\) (verticale). \((D_1):-2y+3=0\), soit \(y=\frac32\) (horizontale). \((D_2):x-4y+3=0\), qui passe par \((1;1)\) et \((5;2)\).
🔢 B) Pour \(C\left(3;\frac32\right)\) : \((m-1)\times3-2m\times\frac32+3=3m-3-3m+3=0\) pour tout \(m\). Donc toutes les droites \((D_m)\) passent par \(C\).
✅ 1) \(2x-5y+9=0\) ; 2) \(\left(\frac{11}2;4\right)\) ; 3) A) \(m=-3\), B) \(m=\frac16\) ; 4) B) \(C\in(D_m)\) pour tout \(m\).
2) On considère les points \(A(0;3)\), \(B(-1;2)\) et la droite \((D):2x-3y-7=0\).
1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).
2) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
3) Montrer que \((AB)\) et \((D)\) sont sécantes en un point.
4) Déterminer les coordonnées de \(E\) le point d’intersection de \((AB)\) et \((D)\).
1) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((AB)\).
2) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
3) Montrer que \((AB)\) et \((D)\) sont sécantes en un point.
4) Déterminer les coordonnées de \(E\) le point d’intersection de \((AB)\) et \((D)\).
Correction détaillée
📘 Position relative de \(ax+by+c=0\) et \(a’x+b’y+c’=0\) : si \(ab’-a’b\ne0\) elles sont sécantes (leur point commun s’obtient en résolvant le système) ; si \(ab’-a’b=0\) elles sont parallèles (confondues si de plus les équations sont proportionnelles).
🔢 1) \(\overrightarrow{AB}(-1;-1)\) : \(\begin{cases}x=-t\\y=3-t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).
🔢 2) \(x\times(-1)-(y-3)\times(-1)=0\iff-x+y-3=0\iff x-y+3=0\). Vérification avec \(B\) : \(-1-2+3=0\) ✓.
🔢 3) \((AB):x-y+3=0\) et \((D):2x-3y-7=0\) : \(ab’-a’b=1\times(-3)-2\times(-1)=-1\ne0\). Elles sont sécantes.
🔢 4) \(x=y-3\) donne \(2y-6-3y-7=0\iff y=-13\), puis \(x=-16\). Vérification avec \((D)\) : \(-32+39-7=0\) ✓.
✅ 1) \(x=-t,\ y=3-t\) ; 2) \(x-y+3=0\) ; 3) sécantes ; 4) \(E(-16;-13)\).
3) On considère les deux droites \((\Delta):3x-4y+1=0\) et \((D):\begin{cases}x=2-6t\\y=-3+8t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb R\)) et le point \(K(5;2)\).
1) Est-ce que \(K\in(D)\) ? Est-ce que \(K\in(\Delta)\) ? Justifier votre réponse.
2) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\).
3) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\).
4) Étudier la position de \((D)\) et \((\Delta)\).
5) Représenter les deux droites \((D)\) et \((\Delta)\) dans un même repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\).
1) Est-ce que \(K\in(D)\) ? Est-ce que \(K\in(\Delta)\) ? Justifier votre réponse.
2) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\).
3) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\).
4) Étudier la position de \((D)\) et \((\Delta)\).
5) Représenter les deux droites \((D)\) et \((\Delta)\) dans un même repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\).
Correction détaillée
📘 Position relative de \(ax+by+c=0\) et \(a’x+b’y+c’=0\) : si \(ab’-a’b\ne0\) elles sont sécantes (leur point commun s’obtient en résolvant le système) ; si \(ab’-a’b=0\) elles sont parallèles (confondues si de plus les équations sont proportionnelles).
🔢 1) \(K\in(D)\) : \(5=2-6t\iff t=-\frac12\), puis \(y=-3-4=-7\ne2\). Donc \(K\notin(D)\). \(K\in(\Delta)\) : \(15-8+1=8\ne0\). Donc \(K\notin(\Delta)\).
🔢 2) \(\vec u(-6;8)\) est colinéaire à \((-3;4)\) et \((2;-3)\in(D)\) : \(4(x-2)+3(y+3)=0\iff4x+3y+1=0\). Vérification avec \(t=1\), le point \((-4;5)\) : \(-16+15+1=0\) ✓.
🔢 3) Vecteur directeur de \((\Delta)\) : \(\vec v(4;3)\). Le point \((1;1)\) appartient à \((\Delta)\) (\(3-4+1=0\)). Donc \(\begin{cases}x=1+4t\\y=1+3t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).
🔢 4) \((D):4x+3y+1=0\) et \((\Delta):3x-4y+1=0\) : \(ab’-a’b=4\times(-4)-3\times3=-25\ne0\) : sécantes. En fait \(\vec u\cdot\vec v=-6\times4+8\times3=0\) : elles sont perpendiculaires. Le point commun : \(16x+12y+4=0\) et \(9x-12y+3=0\), d’où \(25x+7=0\iff x=-\frac7{25}\), puis \(y=\frac1{25}\).
🔢 5) \((D)\) passe par \((2;-3)\) et \((-4;5)\) ; \((\Delta)\) passe par \((1;1)\) et \((-3;-2)\) ; elles se coupent en \(\left(-\frac7{25};\frac1{25}\right)\).
✅ 1) \(K\notin(D)\) et \(K\notin(\Delta)\) ; 2) \(4x+3y+1=0\) ; 3) \(x=1+4t,\ y=1+3t\) ; 4) sécantes (perpendiculaires) en \(\left(-\frac7{25};\frac1{25}\right)\).
4) On considère les deux droites \((\Delta):2x-y+1=0\) et \((D):x+3y-5=0\).
1) Montrer que \((D)\) et \((\Delta)\) sont sécantes en un seul point \(K\) dont on déterminera les coordonnées.
2) Représenter les deux droites \((D)\) et \((\Delta)\) dans un même repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\).
3) Résoudre géométriquement le système d’inéquations suivant : \((S):\begin{cases}2x-y+1\le0\\x+3y-5\ge0\end{cases}\).
1) Montrer que \((D)\) et \((\Delta)\) sont sécantes en un seul point \(K\) dont on déterminera les coordonnées.
2) Représenter les deux droites \((D)\) et \((\Delta)\) dans un même repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\).
3) Résoudre géométriquement le système d’inéquations suivant : \((S):\begin{cases}2x-y+1\le0\\x+3y-5\ge0\end{cases}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : pour représenter un système d’inéquations, on trace les droites, on teste un point (souvent le plus simple) pour choisir le demi-plan de chaque inéquation, puis on prend l’intersection des demi-plans.
🔢 1) \(ab’-a’b=2\times3-1\times(-1)=7\ne0\) : sécantes. \(y=2x+1\) donne \(x+6x+3-5=0\iff x=\frac27\), \(y=\frac{11}7\). Donc \(K\left(\frac27;\frac{11}7\right)\).
🔢 2) \((\Delta)\) passe par \((0;1)\) et \((1;3)\) ; \((D)\) passe par \(\left(0;\frac53\right)\) et \((5;0)\).
🔢 3) \(2x-y+1\le0\iff y\ge2x+1\) : demi-plan fermé au-dessus de \((\Delta)\). \(x+3y-5\ge0\iff y\ge\frac{5-x}3\) : demi-plan fermé au-dessus de \((D)\). Test avec \((0;3)\) : \(-3+1\le0\) ✓ et \(9-5\ge0\) ✓. La solution est l’intersection : la région angulaire de sommet \(K\), située au-dessus des deux droites, bords inclus.
✅ 1) \(K\left(\frac27;\frac{11}7\right)\) ; 3) \(S=\{(x;y)\ /\ y\ge2x+1\text{ et }y\ge\frac{5-x}3\}\) : région au-dessus des deux droites, bords inclus.
Exercice 8.3
Intersection : parallélogrammes et triangles
1) Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\). On considère les points \(A(4;2)\), \(B(-1;4)\), \(C(-3;1)\), \(D(6;5)\) et la droite \((\Delta):\begin{cases}x=9t-3\\y=4t+1\end{cases}\) (\(t\in\mathbb R\)).
1) Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{DB}\).
2) Montrer que le quadrilatère \(ACBD\) est un parallélogramme.
3) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
4) Montrer que la droite \((\Delta)\) passe par les points \(C\) et \(D\).
5) Déterminer les coordonnées de \(E\) point d’intersection de \((AB)\) et \((\Delta)\) de deux manières différentes.
6) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\).
7) Construire \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) et les droites \((AB)\) et \((\Delta)\).
1) Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{DB}\).
2) Montrer que le quadrilatère \(ACBD\) est un parallélogramme.
3) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((AB)\).
4) Montrer que la droite \((\Delta)\) passe par les points \(C\) et \(D\).
5) Déterminer les coordonnées de \(E\) point d’intersection de \((AB)\) et \((\Delta)\) de deux manières différentes.
6) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((\Delta)\).
7) Construire \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) et les droites \((AB)\) et \((\Delta)\).
Correction détaillée
📘 Position relative de \(ax+by+c=0\) et \(a’x+b’y+c’=0\) : si \(ab’-a’b\ne0\) elles sont sécantes (leur point commun s’obtient en résolvant le système) ; si \(ab’-a’b=0\) elles sont parallèles (confondues si de plus les équations sont proportionnelles).
🔢 1) \(\overrightarrow{AB}(-5;2)\), \(\overrightarrow{AC}(-7;-1)\), \(\overrightarrow{DB}(-7;-1)\).
🔢 2) \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{DB}\) : le quadrilatère \(ACBD\) est un parallélogramme.
🔢 3) \((x-4)\times2-(y-2)\times(-5)=0\iff2x+5y-18=0\). Vérification avec \(B\) : \(-2+20-18=0\) ✓.
🔢 4) Pour \(C(-3;1)\) : \(9t-3=-3\iff t=0\) et \(y=1\) ✓. Pour \(D(6;5)\) : \(9t-3=6\iff t=1\) et \(y=4+1=5\) ✓. Donc \((\Delta)=(CD)\).
🔢 5) Méthode 1 : on remplace dans \((AB)\) : \(2(9t-3)+5(4t+1)-18=0\iff38t-19=0\iff t=\frac12\). Donc \(E\left(\frac32;3\right)\).
🔢 Méthode 2 : avec l’équation de \((\Delta)\) trouvée en 6) : \(4x-9y+21=0\) et \(2x+5y-18=0\). En doublant la seconde : \(4x+10y-36=0\). On soustrait : \(19y-57=0\iff y=3\), puis \(x=\frac32\) ✓.
🔢 6) \(\vec u(9;4)\), \(C(-3;1)\in(\Delta)\) : \(4(x+3)-9(y-1)=0\iff4x-9y+21=0\). Vérification avec \(D\) : \(24-45+21=0\) ✓.
🔢 7) On place les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\left(\frac32;3\right)\) puis on trace \((AB)\) (par \(A\) et \(B\)) et \((\Delta)\) (par \(C\) et \(D\)).
✅ 1) \(\overrightarrow{AB}(-5;2)\), \(\overrightarrow{AC}(-7;-1)\), \(\overrightarrow{DB}(-7;-1)\) ; 3) \(2x+5y-18=0\) ; 5) \(E\left(\frac32;3\right)\) ; 6) \(4x-9y+21=0\).
2) Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\). On considère les points \(A(-1;1)\), \(B(0;-2)\), \(C(4;-1)\), \(D(3;2)\) et la droite \((\Delta):\begin{cases}x=3t+3\\y=4t+2\end{cases}\) (\(t\in\mathbb R\)).
1) Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BD}\).
2) Montrer que \(ABCD\) est un parallélogramme.
3) Déterminer l’équation cartésienne de la droite \((\Delta’)\) passant par les points \(A\) et \(C\).
4) Montrer que \((\Delta)\) passe par les points \(B\) et \(D\).
5) Déterminer les coordonnées de \(E\) point d’intersection de \((\Delta)\) et \((\Delta’)\).
6) Déterminer une équation cartésienne de \((\Delta)\).
7) Construire les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) et les droites \((\Delta)\) et \((\Delta’)\).
1) Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BD}\).
2) Montrer que \(ABCD\) est un parallélogramme.
3) Déterminer l’équation cartésienne de la droite \((\Delta’)\) passant par les points \(A\) et \(C\).
4) Montrer que \((\Delta)\) passe par les points \(B\) et \(D\).
5) Déterminer les coordonnées de \(E\) point d’intersection de \((\Delta)\) et \((\Delta’)\).
6) Déterminer une équation cartésienne de \((\Delta)\).
7) Construire les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) et les droites \((\Delta)\) et \((\Delta’)\).
Correction détaillée
📘 Position relative de \(ax+by+c=0\) et \(a’x+b’y+c’=0\) : si \(ab’-a’b\ne0\) elles sont sécantes (leur point commun s’obtient en résolvant le système) ; si \(ab’-a’b=0\) elles sont parallèles (confondues si de plus les équations sont proportionnelles).
🔢 1) \(\overrightarrow{AB}(1;-3)\), \(\overrightarrow{AC}(5;-2)\), \(\overrightarrow{BD}(3;4)\).
🔢 2) \(\overrightarrow{DC}(4-3;-1-2)=(1;-3)=\overrightarrow{AB}\) : \(ABCD\) est un parallélogramme.
🔢 3) \((x+1)\times(-2)-(y-1)\times5=0\iff2x+5y-3=0\). Vérification avec \(C\) : \(8-5-3=0\) ✓.
🔢 4) Pour \(B(0;-2)\) : \(3t+3=0\iff t=-1\) et \(y=-4+2=-2\) ✓. Pour \(D(3;2)\) : \(t=0\) et \(y=2\) ✓. Donc \((\Delta)=(BD)\).
🔢 5) On remplace dans \((\Delta’)\) : \(2(3t+3)+5(4t+2)-3=26t+13=0\iff t=-\frac12\). Donc \(E\left(\frac32;0\right)\) (c’est le centre du parallélogramme, milieu de \([AC]\) et de \([BD]\)).
🔢 6) \(\vec u(3;4)\) et \(B(0;-2)\) : \(4x-3(y+2)=0\iff4x-3y-6=0\). Vérification avec \(D\) : \(12-6-6=0\) ✓.
🔢 7) On place \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\left(\frac32;0\right)\) puis on trace \((\Delta’)=(AC)\) et \((\Delta)=(BD)\).
✅ 1) \(\overrightarrow{AB}(1;-3)\), \(\overrightarrow{AC}(5;-2)\), \(\overrightarrow{BD}(3;4)\) ; 3) \(2x+5y-3=0\) ; 5) \(E\left(\frac32;0\right)\) ; 6) \(4x-3y-6=0\).
3) Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\). On considère les points \(A(-1;2)\), \(B(4;4)\), \(C(2;-1)\).
1) Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\) et montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont non alignés.
2) Montrer que le triangle \(ABC\) est isocèle.
3) Soit \((\Delta)\) la droite d’équation \(x-\frac52y-\frac92=0\).
a) Montrer que \((\Delta)\) passe par \(C\) et est parallèle à \((AB)\).
b) Déterminer l’équation réduite de \((\Delta)\).
c) Déterminer l’équation réduite de la droite \((\Delta’)\) passant par \(A\) et perpendiculaire à \((\Delta)\).
1) Déterminer les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\) et montrer que les points \(A\), \(B\) et \(C\) sont non alignés.
2) Montrer que le triangle \(ABC\) est isocèle.
3) Soit \((\Delta)\) la droite d’équation \(x-\frac52y-\frac92=0\).
a) Montrer que \((\Delta)\) passe par \(C\) et est parallèle à \((AB)\).
b) Déterminer l’équation réduite de \((\Delta)\).
c) Déterminer l’équation réduite de la droite \((\Delta’)\) passant par \(A\) et perpendiculaire à \((\Delta)\).
Correction détaillée
📘 Position relative de \(ax+by+c=0\) et \(a’x+b’y+c’=0\) : si \(ab’-a’b\ne0\) elles sont sécantes (leur point commun s’obtient en résolvant le système) ; si \(ab’-a’b=0\) elles sont parallèles (confondues si de plus les équations sont proportionnelles).
🔢 1) \(\overrightarrow{AB}(5;2)\) et \(\overrightarrow{BC}(-2;-5)\). \(\overrightarrow{AC}(3;-3)\). \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})=5\times(-3)-2\times3=-21\ne0\) : \(A\), \(B\), \(C\) ne sont pas alignés.
🔢 2) \(AB=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\) et \(BC=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}\). Donc \(AB=BC\) : le triangle \(ABC\) est isocèle en \(B\).
🔢 3) a) Pour \(C(2;-1)\) : \(2+\frac52-\frac92=0\) ✓. Un vecteur directeur de \((\Delta)\) est \(\left(\frac52;1\right)\), colinéaire à \((5;2)=\overrightarrow{AB}\). Donc \((\Delta)\parallel(AB)\).
🔢 b) \(\frac52y=x-\frac92\iff y=\frac25x-\frac95\).
🔢 c) Le coefficient directeur de \((\Delta)\) est \(\frac25\) ; celui d’une perpendiculaire est \(-\frac52\) (produit égal à \(-1\) en repère orthonormé). Avec \(A(-1;2)\) : \(2=\frac52+p\iff p=-\frac12\). Donc \((\Delta’):y=-\frac52x-\frac12\).
✅ 1) non alignés ; 2) isocèle en \(B\) ; 3) b) \(y=\frac25x-\frac95\), c) \(y=-\frac52x-\frac12\)
4) 4) Soit \((D)\) la droite définie par \((D):\begin{cases}x=2t-3\\y=3t-3\end{cases}\) (\(t\in\mathbb R\)).
a) Montrer que \((\Delta)\) et \((D)\) sont sécantes sans déterminer leur point d’intersection.
b) Construire les points \(A\), \(B\), \(C\) et les droites \((\Delta)\) et \((D)\) dans le repère \((O;\vec i;\vec j)\).
c) Déterminer graphiquement des valeurs approchées des coordonnées de \(E\) point d’intersection de \((\Delta)\) et \((D)\).
d) Déterminer algébriquement les coordonnées de \(E\).
a) Montrer que \((\Delta)\) et \((D)\) sont sécantes sans déterminer leur point d’intersection.
b) Construire les points \(A\), \(B\), \(C\) et les droites \((\Delta)\) et \((D)\) dans le repère \((O;\vec i;\vec j)\).
c) Déterminer graphiquement des valeurs approchées des coordonnées de \(E\) point d’intersection de \((\Delta)\) et \((D)\).
d) Déterminer algébriquement les coordonnées de \(E\).
Correction détaillée
📘 Position relative de \(ax+by+c=0\) et \(a’x+b’y+c’=0\) : si \(ab’-a’b\ne0\) elles sont sécantes (leur point commun s’obtient en résolvant le système) ; si \(ab’-a’b=0\) elles sont parallèles (confondues si de plus les équations sont proportionnelles).
🔢 4) a) Vecteur directeur de \((D)\) : \((2;3)\). Vecteur directeur de \((\Delta)\) : \((5;2)\). \(\det=2\times2-3\times5=-11\ne0\) : sécantes.
🔢 b) \((\Delta)\) passe par \(C(2;-1)\) et \((7;1)\) ; \((D)\) passe par \((-3;-3)\) et \((-1;0)\) ; on place aussi \(A\), \(B\), \(C\).
🔢 c) Graphiquement, on lit \(E\approx(-3;-3)\), ce que confirme le calcul.
🔢 d) On remplace dans l’équation de \((\Delta)\) : \((2t-3)-\frac52(3t-3)-\frac92=0\). En multipliant par 2 : \(4t-6-15t+15-9=0\iff-11t=0\iff t=0\). Donc \(E(-3;-3)\).
✅ 4) sécantes en \(E(-3;-3)\).
5) \(ABC\) est un triangle. \(I\), \(J\) et \(K\) trois points tels que : \(I\) milieu de \([BC]\), \(\overrightarrow{AJ}=\frac32\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CK}=-\frac14\overrightarrow{AC}\). Le plan est rapporté au repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})\).
1) Déterminer les coordonnées des points \(I\), \(J\) et \(K\).
2) Montrer que \(I\), \(J\) et \(K\) sont alignés.
3) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((IJ)\).
1) Déterminer les coordonnées des points \(I\), \(J\) et \(K\).
2) Montrer que \(I\), \(J\) et \(K\) sont alignés.
3) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((IJ)\).
Correction détaillée
📘 Position relative de \(ax+by+c=0\) et \(a’x+b’y+c’=0\) : si \(ab’-a’b\ne0\) elles sont sécantes (leur point commun s’obtient en résolvant le système) ; si \(ab’-a’b=0\) elles sont parallèles (confondues si de plus les équations sont proportionnelles).
🔢 1) Dans ce repère : \(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(C(0;1)\). \(I\left(\frac12;\frac12\right)\). \(\overrightarrow{AJ}=\frac32\overrightarrow{AB}\) donne \(J\left(\frac32;0\right)\). \(\overrightarrow{CK}=-\frac14\overrightarrow{AC}=\left(0;-\frac14\right)\) donne \(K\left(0;\frac34\right)\).
🔢 2) \(\overrightarrow{IJ}\left(1;-\frac12\right)\) et \(\overrightarrow{IK}\left(-\frac12;\frac14\right)\). \(\det=1\times\frac14-\left(-\frac12\right)\times\left(-\frac12\right)=\frac14-\frac14=0\). Donc \(I\), \(J\), \(K\) sont alignés.
🔢 3) \((IJ)\) passe par \(I\left(\frac12;\frac12\right)\) et est dirigée par \(\overrightarrow{IJ}\), colinéaire à \((2;-1)\) : \(\begin{cases}x=\frac12+2t\\y=\frac12-t\end{cases}\), \(t\in\mathbb R\).
✅ 1) \(I\left(\frac12;\frac12\right)\), \(J\left(\frac32;0\right)\), \(K\left(0;\frac34\right)\) ; 2) alignés ; 3) \(x=\frac12+2t,\ y=\frac12-t\)
6) 4) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((BC)\).
5) Montrer que \((BC)\) et \((IJ)\) sont sécantes.
5) Montrer que \((BC)\) et \((IJ)\) sont sécantes.
Correction détaillée
📘 Position relative de \(ax+by+c=0\) et \(a’x+b’y+c’=0\) : si \(ab’-a’b\ne0\) elles sont sécantes (leur point commun s’obtient en résolvant le système) ; si \(ab’-a’b=0\) elles sont parallèles (confondues si de plus les équations sont proportionnelles).
🔢 4) \(\overrightarrow{BC}(-1;1)\). \((x-1)\times1-(y-0)\times(-1)=0\iff x+y-1=0\).
🔢 5) Un vecteur directeur de \((BC)\) est \((-1;1)\) et un de \((IJ)\) est \((2;-1)\) : \(\det=(-1)\times(-1)-1\times2=-1\ne0\). Les droites sont sécantes (en \(I\), car \(I\in(BC)\) et \(I\in(IJ)\)).
✅ 4) \(x+y-1=0\) ; 5) sécantes en \(I\).
Exercice 8.4
Droites, trapèze et médianes
1) Soit \(ABCD\) un trapèze à bases \([AB]\) et \([CD]\), \(I\) le point d’intersection de ses diagonales \([AC]\) et \([BD]\), \(J\) le point d’intersection de ses côtés \([AD]\) et \([BC]\). On munit le plan d’un repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AD})\) et on pose \(x_C=a\) (l’abscisse du point \(C\)).
1) Donner des équations cartésiennes des droites \((AC)\) et \((BD)\) puis vérifier que \(\left(\frac a{a+1};\frac1{a+1}\right)\) est le couple des coordonnées du point \(I\).
2) Donner des équations cartésiennes des droites \((AD)\) et \((BC)\) puis déterminer le couple des coordonnées du point \(J\).
1) Donner des équations cartésiennes des droites \((AC)\) et \((BD)\) puis vérifier que \(\left(\frac a{a+1};\frac1{a+1}\right)\) est le couple des coordonnées du point \(I\).
2) Donner des équations cartésiennes des droites \((AD)\) et \((BC)\) puis déterminer le couple des coordonnées du point \(J\).
Correction détaillée
📘 Position relative de \(ax+by+c=0\) et \(a’x+b’y+c’=0\) : si \(ab’-a’b\ne0\) elles sont sécantes (leur point commun s’obtient en résolvant le système) ; si \(ab’-a’b=0\) elles sont parallèles (confondues si de plus les équations sont proportionnelles).
🔢 1) Dans ce repère : \(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(D(0;1)\). Comme \((CD)\parallel(AB)\), \(C\) a pour ordonnée \(1\) : \(C(a;1)\).
🔢 \(\overrightarrow{AC}(a;1)\) : \((AC):x-ay=0\). \(\overrightarrow{BD}(-1;1)\) : \((BD):(x-1)\times1-y\times(-1)=0\iff x+y-1=0\).
🔢 Pour \(\left(\frac a{a+1};\frac1{a+1}\right)\) : \(\frac a{a+1}-a\times\frac1{a+1}=0\) ✓ et \(\frac a{a+1}+\frac1{a+1}-1=0\) ✓. Les deux droites sont sécantes (\(ab’-a’b=1\times1-1\times(-a)=1+a\ne0\)), donc ce couple est bien celui de \(I\).
🔢 2) \((AD)\) : \(A(0;0)\) et \(D(0;1)\), donc \(x=0\). \(\overrightarrow{BC}(a-1;1)\) : \((x-1)\times1-y(a-1)=0\iff x-(a-1)y-1=0\).
🔢 \(J\in(AD)\) donc \(x_J=0\), puis \(-(a-1)y_J-1=0\iff y_J=\frac1{1-a}\) (avec \(a\ne1\), sinon \(ABCD\) serait un parallélogramme et \((AD)\parallel(BC)\)).
✅ 1) \((AC):x-ay=0\), \((BD):x+y-1=0\), \(I\left(\frac a{a+1};\frac1{a+1}\right)\) ; 2) \((AD):x=0\), \((BC):x-(a-1)y-1=0\), \(J\left(0;\frac1{1-a}\right)\).
2) On considère un triangle \(ABC\) et on munit le plan du repère \((A;\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})\).
1) Donner les équations de deux médianes du triangle \(ABC\).
2) En déduire les coordonnées du centre de gravité du triangle \(ABC\).
1) Donner les équations de deux médianes du triangle \(ABC\).
2) En déduire les coordonnées du centre de gravité du triangle \(ABC\).
Correction détaillée
📘 Position relative de \(ax+by+c=0\) et \(a’x+b’y+c’=0\) : si \(ab’-a’b\ne0\) elles sont sécantes (leur point commun s’obtient en résolvant le système) ; si \(ab’-a’b=0\) elles sont parallèles (confondues si de plus les équations sont proportionnelles).
🔢 1) Dans ce repère : \(A(0;0)\), \(B(1;0)\), \(C(0;1)\). Milieu de \([BC]\) : \(\left(\frac12;\frac12\right)\) ; milieu de \([AC]\) : \(\left(0;\frac12\right)\).
🔢 Médiane issue de \(A\) : droite passant par \(A\) et \(\left(\frac12;\frac12\right)\), soit \(x-y=0\).
🔢 Médiane issue de \(B\) : droite passant par \(B(1;0)\) et \(\left(0;\frac12\right)\), de vecteur directeur \(\left(-1;\frac12\right)\), colinéaire à \((2;-1)\) : \((x-1)\times(-1)-y\times2=0\iff x+2y-1=0\).
🔢 2) Le centre de gravité \(G\) est à l’intersection des médianes : \(x=y\) et \(x+2y=1\) donnent \(3x=1\). Donc \(G\left(\frac13;\frac13\right)\). (Vérification avec la médiane issue de \(C\), d’équation \(2x+y-1=0\) : \(\frac23+\frac13-1=0\) ✓.)
✅ 1) \(x-y=0\) et \(x+2y-1=0\) ; 2) \(G\left(\frac13;\frac13\right)\).
Exercice 8.5
Systèmes d’inéquations
1) Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\). On considère les points \(A(-1;3)\), \(B(-3;-1)\), \(C(3;-2)\) et les droites \((\Delta_1):2x-y+5=0\), \((\Delta_2):5x+4y-7=0\), \((\Delta_3):x+6y+9=0\).
1) Vérifier que \((\Delta_1)\) passe par \(A\) et \(B\) ; que \((\Delta_2)\) passe par \(A\) et \(C\) et que \((\Delta_3)\) passe par \(B\) et \(C\).
2) Tracer les droites \((\Delta_1)\), \((\Delta_2)\) et \((\Delta_3)\).
3) Résoudre graphiquement le système : \((S):\begin{cases}2x-y+5\ge0\\5x+4y-7\le0\\x+6y+9\ge0\end{cases}\).
1) Vérifier que \((\Delta_1)\) passe par \(A\) et \(B\) ; que \((\Delta_2)\) passe par \(A\) et \(C\) et que \((\Delta_3)\) passe par \(B\) et \(C\).
2) Tracer les droites \((\Delta_1)\), \((\Delta_2)\) et \((\Delta_3)\).
3) Résoudre graphiquement le système : \((S):\begin{cases}2x-y+5\ge0\\5x+4y-7\le0\\x+6y+9\ge0\end{cases}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : pour représenter un système d’inéquations, on trace les droites, on teste un point (souvent le plus simple) pour choisir le demi-plan de chaque inéquation, puis on prend l’intersection des demi-plans.
🔢 1) \((\Delta_1)\) : \(A\) : \(-2-3+5=0\) ✓ ; \(B\) : \(-6+1+5=0\) ✓. \((\Delta_2)\) : \(A\) : \(-5+12-7=0\) ✓ ; \(C\) : \(15-8-7=0\) ✓. \((\Delta_3)\) : \(B\) : \(-3-6+9=0\) ✓ ; \(C\) : \(3-12+9=0\) ✓.
🔢 2) \((\Delta_1)=(AB)\), \((\Delta_2)=(AC)\), \((\Delta_3)=(BC)\) : on trace les trois droites par les points correspondants.
🔢 3) Test avec le point intérieur \(\left(-\frac13;0\right)\) : \(2\left(-\frac13\right)+5>0\) ✓, \(-\frac53-7<0\) ✓, \(-\frac13+9>0\) ✓. Il vérifie les trois inéquations. La solution est donc l’ensemble des points du triangle \(ABC\), côtés inclus.
✅ \((S)\) est le triangle \(ABC\) (intérieur et côtés).
2) Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O;\vec i;\vec j)\). On considère les points \(A(1;1)\), \(B(-1;5)\) et la droite \((D):\begin{cases}x=-\frac12-t\\y=-1+2t\end{cases}\) (\(t\in\mathbb R\)).
1) Déterminer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) et étudier la position relative des droites \((AB)\) et \((D)\).
2) Déterminer les équations cartésiennes des droites \((AB)\) et \((D)\).
3) Résoudre graphiquement le système : \(\begin{cases}2x+y-3\ge0\\2x+y+2\le0\end{cases}\).
1) Déterminer les coordonnées du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) et étudier la position relative des droites \((AB)\) et \((D)\).
2) Déterminer les équations cartésiennes des droites \((AB)\) et \((D)\).
3) Résoudre graphiquement le système : \(\begin{cases}2x+y-3\ge0\\2x+y+2\le0\end{cases}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : pour représenter un système d’inéquations, on trace les droites, on teste un point (souvent le plus simple) pour choisir le demi-plan de chaque inéquation, puis on prend l’intersection des demi-plans.
🔢 1) \(\overrightarrow{AB}(-2;4)\). Un vecteur directeur de \((D)\) est \(\vec u(-1;2)\), et \(\overrightarrow{AB}=2\vec u\) : les droites sont parallèles. \(A(1;1)\in(D)\) ? \(1=-\frac12-t\iff t=-\frac32\), puis \(y=-1-3=-4\ne1\) : non. Donc \((AB)\) et \((D)\) sont strictement parallèles.
🔢 2) \((AB)\) : \(\vec u(-1;2)\) et \(A(1;1)\) : \(2(x-1)+(y-1)=0\iff2x+y-3=0\) (vérification avec \(B\) : \(-2+5-3=0\) ✓). \((D)\) : point \(\left(-\frac12;-1\right)\) : \(2\left(x+\frac12\right)+(y+1)=0\iff2x+y+2=0\).
🔢 3) Le système s’écrit \(2x+y\ge3\) et \(2x+y\le-2\). Aucun point ne peut vérifier les deux (\(3>-2\)) : les demi-plans, bordés par les droites parallèles \((AB)\) et \((D)\), sont disjoints.
✅ 1) \((AB)\) et \((D)\) sont strictement parallèles ; 2) \((AB):2x+y-3=0\), \((D):2x+y+2=0\) ; 3) \(S=\varnothing\).