Cette série d’exercices corrigés sur la projection pour le Tronc Commun travaille la projection sur une droite, le théorème de Thalès et leurs propriétés, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Exercices corrigés sur la projection Tronc Commun
Projection · Série d’exercices Tronc Commun
📌 Série de synthèse
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1.1
Déterminer des projetés
1) Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) le milieu de \([AB]\).
1) Soit \(P\) la projection sur \((BC)\) parallèlement à \((AC)\). Déterminer \(P(A)\), \(P(C)\), \(P(B)\), \(P(M)\).
2) Soit \(P_2\) la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\). Déterminer \(P_2(A)\), \(P_2(C)\), \(P_2(B)\), \(P_2(M)\).
1) Soit \(P\) la projection sur \((BC)\) parallèlement à \((AC)\). Déterminer \(P(A)\), \(P(C)\), \(P(B)\), \(P(M)\).
2) Soit \(P_2\) la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\). Déterminer \(P_2(A)\), \(P_2(C)\), \(P_2(B)\), \(P_2(M)\).
Correction détaillée
📘 Rappel : la projection sur une droite \((D)\) parallèlement à une droite \((\Delta)\) associe à un point \(M\) le point \(M’\) de \((D)\) tel que \((MM’)\parallel(\Delta)\). Les points de \((D)\) sont invariants et la projection conserve les milieux et le coefficient de colinéarité de deux vecteurs.
🔢 1) La parallèle à \((AC)\) passant par \(A\) est \((AC)\) elle-même ; elle coupe \((BC)\) en \(C\). Donc \(P(A)=C\). Les points \(B\) et \(C\) appartiennent à \((BC)\) : \(P(B)=B\) et \(P(C)=C\).
🔢 La projection conserve les milieux et \(M\) est le milieu de \([AB]\) : \(P(M)\) est le milieu de \([P(A)P(B)]=[CB]\).
🔢 2) \(P_2(A)=A\) et \(P_2(C)=C\) car \(A,C\in(AC)\). La parallèle à \((BC)\) passant par \(B\) est \((BC)\) ; elle coupe \((AC)\) en \(C\). Donc \(P_2(B)=C\).
🔢 \(P_2(M)\) est le milieu de \([P_2(A)P_2(B)]=[AC]\).
✅ 1) \(P(A)=C\), \(P(C)=C\), \(P(B)=B\), \(P(M)=\) milieu de \([BC]\) ; 2) \(P_2(A)=A\), \(P_2(C)=C\), \(P_2(B)=C\), \(P_2(M)=\) milieu de \([AC]\).
Exercice 1.2
Projeté d’un point défini par un vecteur
1) Soient \(ABC\) un triangle et \(M\) un point défini par \(\overrightarrow{AM}=\frac23\overrightarrow{AB}\).
1) Construire le point \(M’\) le projeté de \(M\) sur la droite \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).
2) Montrer que \(\overrightarrow{AM’}=\frac23\overrightarrow{AC}\) et en déduire que \(\overrightarrow{MM’}=\frac23\overrightarrow{BC}\).
1) Construire le point \(M’\) le projeté de \(M\) sur la droite \((AC)\) parallèlement à \((BC)\).
2) Montrer que \(\overrightarrow{AM’}=\frac23\overrightarrow{AC}\) et en déduire que \(\overrightarrow{MM’}=\frac23\overrightarrow{BC}\).
Correction détaillée
📘 Propriété : si la projection envoie \(A,B,M\) sur \(A’,B’,M’\) et si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A’M’}=k\overrightarrow{A’B’}\).
🔢 1) On place \(M\) aux deux tiers de \([AB]\) à partir de \(A\), puis on trace la parallèle à \((BC)\) passant par \(M\) : elle coupe \((AC)\) en \(M’\).
🔢 2) Soit \(p\) la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\) : \(p(A)=A\), \(p(B)=C\), \(p(M)=M’\).
🔢 Comme \(\overrightarrow{AM}=\frac23\overrightarrow{AB}\), la projection conserve le coefficient : \(\overrightarrow{AM’}=\frac23\overrightarrow{AC}\).
🔢 Chasles : \(\overrightarrow{MM’}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AM’}=-\frac23\overrightarrow{AB}+\frac23\overrightarrow{AC}=\frac23\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac23\overrightarrow{BC}\).
✅ \(\overrightarrow{AM’}=\frac23\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{MM’}=\frac23\overrightarrow{BC}\).
Exercice 2.1
Projections orthogonales et symétries
1) \(ABC\) est un triangle isocèle de sommet \(A\), \(I\) est le milieu de \([BC]\).
1) Construire \(J\) et \(K\) les projections orthogonales de \(I\) respectivement sur \((AB)\) et \((AC)\).
2)
a) Construire \(L\) projection de \(J\) sur \((AI)\) parallèlement à \((IK)\).
b) Montrer que le quadrilatère \(IKLJ\) est un parallélogramme, puis que c’est un losange.
c) En déduire la projection du point \(K\) sur \((AI)\) parallèlement à \((IJ)\).
1) Construire \(J\) et \(K\) les projections orthogonales de \(I\) respectivement sur \((AB)\) et \((AC)\).
2)
a) Construire \(L\) projection de \(J\) sur \((AI)\) parallèlement à \((IK)\).
b) Montrer que le quadrilatère \(IKLJ\) est un parallélogramme, puis que c’est un losange.
c) En déduire la projection du point \(K\) sur \((AI)\) parallèlement à \((IJ)\).
Correction détaillée
📘 Rappel : la projection orthogonale sur \((D)\) est la projection parallèlement à la perpendiculaire à \((D)\). Une symétrie (axiale ou centrale) conserve les distances et transforme une droite perpendiculaire en une droite perpendiculaire.
🔢 1) \(J\) est le pied de la perpendiculaire à \((AB)\) menée par \(I\) ; \(K\) est le pied de la perpendiculaire à \((AC)\) menée par \(I\).
🔢 2) a) On trace la parallèle à \((IK)\) passant par \(J\) : elle coupe \((AI)\) en \(L\).
🔢 b) Le triangle \(ABC\) est isocèle en \(A\) et \(I\) est le milieu de \([BC]\) : \((AI)\) est l’axe de symétrie du triangle. Soit \(s\) la symétrie orthogonale d’axe \((AI)\) : \(s(B)=C\), donc \(s((AB))=(AC)\). Comme \(I\) est invariant et que \(s\) conserve l’orthogonalité, \(s(J)=K\). De plus \(s(I)=I\) et \(s(L)=L\) car \(I,L\in(AI)\).
🔢 On a \((JL)\parallel(IK)\). En appliquant \(s\) : \((KL)\parallel(IJ)\). Le quadrilatère \(IKLJ\) a ses côtés opposés parallèles deux à deux : c’est un parallélogramme.
🔢 Comme \(s\) conserve les distances et \(s(J)=K\) : \(IJ=IK\). Un parallélogramme ayant deux côtés consécutifs égaux est un losange.
🔢 c) \(L\in(AI)\) et \((KL)\parallel(IJ)\) : \(L\) est la projection de \(K\) sur \((AI)\) parallèlement à \((IJ)\).
✅ \(IKLJ\) est un parallélogramme, et même un losange ; la projection de \(K\) sur \((AI)\) parallèlement à \((IJ)\) est \(L\).
2) \(ABCD\) est un parallélogramme de centre \(O\). \(I\) et \(J\) sont respectivement les projections orthogonales de \(C\) et \(A\) sur la droite \((BD)\).
1) Montrer que \(BI=JD\).
2) Montrer que \(O\) est le milieu de \([IJ]\).
3) En déduire que \(BJ=ID\).
1) Montrer que \(BI=JD\).
2) Montrer que \(O\) est le milieu de \([IJ]\).
3) En déduire que \(BJ=ID\).
Correction détaillée
📘 Rappel : la projection orthogonale sur \((D)\) est la projection parallèlement à la perpendiculaire à \((D)\). Une symétrie (axiale ou centrale) conserve les distances et transforme une droite perpendiculaire en une droite perpendiculaire.
🔢 Soit \(s\) la symétrie centrale de centre \(O\). Comme les diagonales d’un parallélogramme se coupent en leur milieu : \(s(A)=C\), \(s(B)=D\), \(s(D)=B\). La droite \((BD)\) passe par \(O\), donc \(s((BD))=(BD)\).
🔢 \(s\) transforme la perpendiculaire à \((BD)\) passant par \(A\) en la perpendiculaire à \((BD)\) passant par \(C\) ; leurs pieds sont donc échangés : \(s(J)=I\).
🔢 1) \(s\) conserve les distances et \(s(B)=D\), \(s(I)=J\) : \(BI=DJ\).
🔢 2) \(s(I)=J\) signifie que \(O\) est le milieu de \([IJ]\).
🔢 3) \(s(B)=D\) et \(s(J)=I\) : \(BJ=DI\).
✅ \(BI=JD\) ; \(O\) est le milieu de \([IJ]\) ; \(BJ=ID\).
Exercice 3.1
Appliquer le théorème de Thalès
1) \(ABC\) est un triangle et \(M\) un point du segment \([AB]\), soit le point \(M’\) la projection du point \(M\) sur la droite \((AC)\) parallèlement à la droite \((BC)\), et le point \(D\) la projection du point \(M’\) sur la droite \((BC)\) parallèlement à la droite \((AB)\). Montrer que \(\frac{MM’}{BC}=1-\frac{CD}{CB}\).
Correction détaillée
📘 Thalès : si \(M\in(AB)\), \(N\in(AC)\) et \((MN)\parallel(BC)\), alors \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}\).
🔢 \((MM’)\parallel(BD)\) (car \((MM’)\parallel(BC)\)) et \((M’D)\parallel(MB)\) (car \((M’D)\parallel(AB)\)) : \(MM’DB\) est un parallélogramme. Donc \(MM’=BD\).
🔢 \(M\in[AB]\) donc \(M’\in[AC]\) et \(D\in[BC]\) : \(BD=BC-CD\).
🔢 Ainsi \(\dfrac{MM’}{BC}=\dfrac{BD}{BC}=\dfrac{BC-CD}{BC}=1-\dfrac{CD}{CB}\).
✅ \(\dfrac{MM’}{BC}=1-\dfrac{CD}{CB}\).
2) \(ABDC\) est un quadrilatère avec un angle droit en \(D\) (\((BD)\perp(DC)\)). \(I\) et \(J\) sont les milieux respectifs de \([AC]\) et \([BC]\). La droite parallèle à \((BD)\) passant par \(J\) coupe \([DC]\) en \(K\).
1) Montrer que \(K\) est le milieu de \([CD]\).
2) Montrer que \((KJ)\) est la médiatrice de \([CD]\). En déduire la nature du triangle \(JDC\).
3) En déduire que \((IK)\) est parallèle à \((AD)\).
1) Montrer que \(K\) est le milieu de \([CD]\).
2) Montrer que \((KJ)\) est la médiatrice de \([CD]\). En déduire la nature du triangle \(JDC\).
3) En déduire que \((IK)\) est parallèle à \((AD)\).
Correction détaillée
📘 Thalès : si \(M\in(AB)\), \(N\in(AC)\) et \((MN)\parallel(BC)\), alors \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}\).
🔢 1) Dans le triangle \(BCD\) : \(J\in(BC)\), \(K\in(CD)\), \((JK)\parallel(BD)\). Thalès : \(\frac{CK}{CD}=\frac{CJ}{CB}=\frac12\). Donc \(K\) est le milieu de \([CD]\).
🔢 2) \((JK)\parallel(BD)\) et \((BD)\perp(DC)\) donc \((JK)\perp(DC)\). La droite \((JK)\) est perpendiculaire à \((CD)\) en son milieu \(K\) : c’est la médiatrice de \([CD]\).
🔢 \(J\) appartient à la médiatrice de \([CD]\) donc \(JD=JC\) : le triangle \(JDC\) est isocèle en \(J\).
🔢 3) Dans le triangle \(ACD\), \(I\) est le milieu de \([AC]\) et \(K\) le milieu de \([CD]\) : d’après la droite des milieux, \((IK)\parallel(AD)\).
✅ \(K\) est le milieu de \([CD]\) ; \((KJ)\) est la médiatrice de \([CD]\) et \(JDC\) est isocèle en \(J\) ; \((IK)\parallel(AD)\).
3) Soit \(ABC\) un triangle isocèle en \(A\) (\(AB=AC=a\)) et \(M\) un point de \([BC]\) différent de \(B\) et de \(C\). Le point \(D\) est le projeté de \(M\) sur \((AC)\) parallèlement à \((AB)\). Le point \(E\) est le projeté de \(M\) sur \((AB)\) parallèlement à \((AC)\). Montrer que \(EM+MD=a\).
Correction détaillée
📘 Thalès : si \(M\in(AB)\), \(N\in(AC)\) et \((MN)\parallel(BC)\), alors \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}\).
🔢 Dans le triangle \(BAC\) : \(E\in(BA)\), \(M\in(BC)\) et \((EM)\parallel(AC)\). Thalès : \(\frac{EM}{AC}=\frac{BM}{BC}\), donc \(EM=a\cdot\frac{BM}{BC}\).
🔢 Dans le triangle \(CAB\) : \(D\in(CA)\), \(M\in(CB)\) et \((MD)\parallel(AB)\). Thalès : \(\frac{MD}{AB}=\frac{CM}{CB}\), donc \(MD=a\cdot\frac{CM}{CB}\).
🔢 On additionne : \(EM+MD=a\cdot\frac{BM+CM}{BC}=a\cdot\frac{BC}{BC}=a\) car \(M\in[BC]\).
✅ \(EM+MD=a\).
Exercice 4.1
Réciproque de Thalès
1) (Réciproque de Thalès) Soient \(ABC\) un triangle et \(I\) et \(I’\) deux points tels que \(\overrightarrow{AI}=\frac23\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AI’}=\frac23\overrightarrow{AB}\).
1) Montrer que \(I’\) est la projection de \(I\) sur la droite \((AB)\) parallèlement à \((BC)\).
2) Soit \(M\) le milieu de \([BC]\) ; la droite \((AM)\) coupe la droite \((II’)\) en \(G\). Montrer que \(\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AM}\).
1) Montrer que \(I’\) est la projection de \(I\) sur la droite \((AB)\) parallèlement à \((BC)\).
2) Soit \(M\) le milieu de \([BC]\) ; la droite \((AM)\) coupe la droite \((II’)\) en \(G\). Montrer que \(\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AM}\).
Correction détaillée
📘 Réciproque : si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AN}=k\overrightarrow{AC}\) (même coefficient), alors \((MN)\parallel(BC)\).
🔢 1) \(\overrightarrow{I’I}=\overrightarrow{AI}-\overrightarrow{AI’}=\frac23\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=\frac23\overrightarrow{BC}\). Donc \((I’I)\parallel(BC)\) et \(I’\in(AB)\) : \(I’\) est la projection de \(I\) sur \((AB)\) parallèlement à \((BC)\).
🔢 2) \(M\) milieu de \([BC]\) : \(\overrightarrow{AM}=\frac12\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right)\). Comme \(G\in(AM)\), \(\overrightarrow{AG}=k\overrightarrow{AM}=\frac k2\overrightarrow{AB}+\frac k2\overrightarrow{AC}\).
🔢 Comme \(G\in(II’)\), \(\overrightarrow{AG}=\overrightarrow{AI’}+t\overrightarrow{I’I}=\frac23(1-t)\overrightarrow{AB}+\frac{2t}3\overrightarrow{AC}\).
🔢 \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires : on identifie les coefficients, \(\frac k2=\frac23(1-t)=\frac{2t}3\). Donc \(t=\frac12\) et \(\frac k2=\frac13\), soit \(k=\frac23\).
✅ \(I’\) est le projeté de \(I\) ; \(\overrightarrow{AG}=\frac23\overrightarrow{AM}\).
Exercice 5.1
Thalès et projection
1) Soient \(ABC\) un triangle et \(I\) le milieu de \([AC]\). \(E\) un point de \((AC)\) tel que \(\overrightarrow{IE}=\frac13\overrightarrow{IC}\) et \(F\) le projeté de \(E\) sur \((AB)\) parallèlement à \((IB)\). Faire une figure et montrer que \(\overrightarrow{BF}=\frac13\overrightarrow{AB}\).
Correction détaillée
📘 Propriété : si la projection envoie \(A,B,M\) sur \(A’,B’,M’\) et si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A’M’}=k\overrightarrow{A’B’}\).
🔢 Figure : on place \(I\), milieu de \([AC]\), puis \(E\) sur \([IC]\) au tiers de \([IC]\) à partir de \(I\) ; la parallèle à \((IB)\) passant par \(E\) coupe \((AB)\) en \(F\), au-delà de \(B\).
🔢 Soit \(p\) la projection sur \((AB)\) parallèlement à \((IB)\) : \(p(A)=A\), \(p(I)=B\) (car \(I\) et \(B\) sont alignés dans la direction de projection), \(p(E)=F\).
🔢 Comme \(I\) est le milieu de \([AC]\), \(\overrightarrow{AI}=\frac12\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{IC}=\overrightarrow{AI}\). Alors \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IE}=\overrightarrow{AI}+\frac13\overrightarrow{AI}=\frac43\overrightarrow{AI}\).
🔢 La projection conserve le coefficient : \(\overrightarrow{AF}=\frac43\overrightarrow{AB}\).
🔢 Chasles : \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{AB}+\frac43\overrightarrow{AB}=\frac13\overrightarrow{AB}\).
✅ \(\overrightarrow{BF}=\frac13\overrightarrow{AB}\).
2) Soient \(ABC\) un triangle et \(I\) le milieu de \([AC]\). \(E\) un point tel que \(\overrightarrow{BC}=4\overrightarrow{BE}\). La droite qui passe par \(E\) et parallèle à \((IB)\) coupe \((AC)\) en \(J\).
1) Montrer que \(\overrightarrow{IC}=4\overrightarrow{IJ}\) et en déduire que \(\overrightarrow{AJ}=5\overrightarrow{IJ}\).
2) Si \((IB)\cap(AE)=\{K\}\), montrer que \(\overrightarrow{AE}=5\overrightarrow{KE}\).
1) Montrer que \(\overrightarrow{IC}=4\overrightarrow{IJ}\) et en déduire que \(\overrightarrow{AJ}=5\overrightarrow{IJ}\).
2) Si \((IB)\cap(AE)=\{K\}\), montrer que \(\overrightarrow{AE}=5\overrightarrow{KE}\).
Correction détaillée
📘 Propriété : si la projection envoie \(A,B,M\) sur \(A’,B’,M’\) et si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A’M’}=k\overrightarrow{A’B’}\).
🔢 1) Soit \(p\) la projection sur \((AC)\) parallèlement à \((IB)\) : \(p(B)=I\), \(p(C)=C\), \(p(E)=J\). De \(\overrightarrow{BE}=\frac14\overrightarrow{BC}\) on déduit \(\overrightarrow{IJ}=\frac14\overrightarrow{IC}\), soit \(\overrightarrow{IC}=4\overrightarrow{IJ}\).
🔢 \(I\) est le milieu de \([AC]\) donc \(\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{IC}=4\overrightarrow{IJ}\). Chasles : \(\overrightarrow{AJ}=\overrightarrow{AI}+\overrightarrow{IJ}=4\overrightarrow{IJ}+\overrightarrow{IJ}=5\overrightarrow{IJ}\).
🔢 2) Soit \(q\) la projection sur \((AE)\) parallèlement à \((IB)\) : \(q(A)=A\), \(q(J)=E\) (car \((JE)\parallel(IB)\)) et \(q(I)=K\) (car \(I\in(IB)\) et \(K\in(IB)\cap(AE)\)).
🔢 La relation \(\overrightarrow{AJ}=5\overrightarrow{IJ}\) s’écrit avec les images : \(\overrightarrow{AE}=5\overrightarrow{KE}\).
✅ \(\overrightarrow{IC}=4\overrightarrow{IJ}\), \(\overrightarrow{AJ}=5\overrightarrow{IJ}\) et \(\overrightarrow{AE}=5\overrightarrow{KE}\).
3) Soit \(ABC\) un triangle et \(E\), \(F\) et \(G\) des points tels que \(\overrightarrow{EB}=-2\overrightarrow{EC}\) ; \(3\overrightarrow{FA}+2\overrightarrow{FC}=\vec0\) et \(\overrightarrow{GB}=3\overrightarrow{GA}\).
1) Construire les points \(E\), \(F\) et \(G\).
2) En utilisant la projection, montrer que les points \(E\), \(F\) et \(G\) sont alignés.
1) Construire les points \(E\), \(F\) et \(G\).
2) En utilisant la projection, montrer que les points \(E\), \(F\) et \(G\) sont alignés.
Correction détaillée
📘 Thalès : si \(M\in(AB)\), \(N\in(AC)\) et \((MN)\parallel(BC)\), alors \(\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}\). Les coefficients se lisent sur les projections de \(E\) sur \((AB)\) et \((AC)\).
🔢 1) On exprime chaque point avec \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\). \(\overrightarrow{EB}=-2\overrightarrow{EC}\) donne \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AE}=-2\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AE}\), donc \(\overrightarrow{AE}=\frac13\overrightarrow{AB}+\frac23\overrightarrow{AC}\) : \(E\) est sur \((BC)\), aux deux tiers de \([BC]\) à partir de \(B\) (\(\overrightarrow{BE}=\frac23\overrightarrow{BC}\)).
🔢 \(3\overrightarrow{FA}+2\overrightarrow{FC}=\vec0\) donne \(2\overrightarrow{AC}=5\overrightarrow{AF}\), soit \(\overrightarrow{AF}=\frac25\overrightarrow{AC}\) : \(F\) est sur \([AC]\) aux deux cinquièmes à partir de \(A\).
🔢 \(\overrightarrow{GB}=3\overrightarrow{GA}\) donne \(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AG}=-3\overrightarrow{AG}\), soit \(\overrightarrow{AG}=-\frac12\overrightarrow{AB}\) : \(G\) est sur \((AB)\), de l’autre côté de \(A\) par rapport à \(B\), avec \(AG=\frac12AB\).
🔢 2) Soit \(E_1\) la projection de \(E\) sur \((AB)\) parallèlement à \((AC)\) : comme \(\overrightarrow{AE}=\frac13\overrightarrow{AB}+\frac23\overrightarrow{AC}\), on a \(\overrightarrow{AE_1}=\frac13\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{E_1E}=\frac23\overrightarrow{AC}\).
🔢 La droite \((GE)\) coupe \((AC)\) en un point \(F’\). Dans le triangle \(GE_1E\), \(A\in(GE_1)\), \(F’\in(GE)\) et \((AF’)\parallel(E_1E)\) : \(\frac{\overrightarrow{AF’}}{\overrightarrow{E_1E}}=\frac{GA}{GE_1}\). Or \(\overrightarrow{GA}=\frac12\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{GE_1}=\frac12\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AB}=\frac56\overrightarrow{AB}\), donc le rapport vaut \(\frac35\).
🔢 Ainsi \(\overrightarrow{AF’}=\frac35\times\frac23\overrightarrow{AC}=\frac25\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AF}\). Donc \(F’=F\) : \(F\in(GE)\).
✅ \(E\), \(F\) et \(G\) sont alignés.
Exercice 6.1
Conservation du coefficient
1) Soit \(ABC\) un triangle et \(M\) et \(N\) deux points tels que \(\overrightarrow{AN}+2\overrightarrow{AB}=\vec0\) et \(3\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}\). Et soient \(M’\) et \(N’\) leurs projections sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\). Montrer que \(\overrightarrow{NN’}=-2\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{MM’}=\frac13\overrightarrow{BC}\).
Correction détaillée
📘 Propriété : si la projection envoie \(A,B,M\) sur \(A’,B’,M’\) et si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A’M’}=k\overrightarrow{A’B’}\).
🔢 On a \(\overrightarrow{AN}=-2\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AM}=\frac13\overrightarrow{AB}\).
🔢 La projection sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\) envoie \(A\) sur \(A\), \(B\) sur \(C\), et conserve le coefficient : \(\overrightarrow{AN’}=-2\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{AM’}=\frac13\overrightarrow{AC}\).
🔢 \(\overrightarrow{NN’}=\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{AN’}=2\overrightarrow{AB}-2\overrightarrow{AC}=-2\left(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}\right)=-2\overrightarrow{BC}\).
🔢 \(\overrightarrow{MM’}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{AM’}=-\frac13\overrightarrow{AB}+\frac13\overrightarrow{AC}=\frac13\overrightarrow{BC}\).
✅ \(\overrightarrow{NN’}=-2\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{MM’}=\frac13\overrightarrow{BC}\).
2) \(ABC\) est un triangle, et soit le point \(M\) défini par \(\overrightarrow{AM}=\frac25\overrightarrow{AB}\). Soit \(M_1\) la projection du point \(M\) sur la droite \((AC)\) parallèlement à la droite \((BC)\). Soit \(M_2\) la projection du point \(M_1\) sur la droite \((BC)\) parallèlement à la droite \((AB)\). Soit \(M’\) la projection du point \(M_2\) sur la droite \((AB)\) parallèlement à la droite \((AC)\).
1) Exprimer le vecteur \(\overrightarrow{BM’}\) en fonction du vecteur \(\overrightarrow{BA}\).
2) Peut-on dire que les segments \([AB]\) et \([MM’]\) ont le même milieu ? Justifier votre réponse.
1) Exprimer le vecteur \(\overrightarrow{BM’}\) en fonction du vecteur \(\overrightarrow{BA}\).
2) Peut-on dire que les segments \([AB]\) et \([MM’]\) ont le même milieu ? Justifier votre réponse.
Correction détaillée
📘 Propriété : si la projection envoie \(A,B,M\) sur \(A’,B’,M’\) et si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A’M’}=k\overrightarrow{A’B’}\).
🔢 1) Première projection (sur \((AC)\) parallèlement à \((BC)\)) : \(A\mapsto A\), \(B\mapsto C\), \(M\mapsto M_1\). Donc \(\overrightarrow{AM_1}=\frac25\overrightarrow{AC}\).
🔢 Deuxième projection (sur \((BC)\) parallèlement à \((AB)\)) : \(A\mapsto B\), \(C\mapsto C\), \(M_1\mapsto M_2\). Donc \(\overrightarrow{BM_2}=\frac25\overrightarrow{BC}\).
🔢 Troisième projection (sur \((AB)\) parallèlement à \((AC)\)) : \(B\mapsto B\), \(C\mapsto A\), \(M_2\mapsto M’\). Donc \(\overrightarrow{BM’}=\frac25\overrightarrow{BA}\).
🔢 2) \(\overrightarrow{AM}=\frac25\overrightarrow{AB}\) donne \(\overrightarrow{BM}=\frac35\overrightarrow{BA}\) ; et \(\overrightarrow{BM’}=\frac25\overrightarrow{BA}\). Le milieu \(O\) de \([MM’]\) vérifie \(\overrightarrow{BO}=\frac12\left(\frac35+\frac25\right)\overrightarrow{BA}=\frac12\overrightarrow{BA}\) : c’est le milieu de \([AB]\).
✅ 1) \(\overrightarrow{BM’}=\frac25\overrightarrow{BA}\) ; 2) oui, \([AB]\) et \([MM’]\) ont le même milieu.
3) \(ABC\) un triangle et \(A’\) le milieu de \([BC]\). Soit \(D\) un point tel que \(\overrightarrow{AD}=\frac34\overrightarrow{AA’}\).
1) Construire les points \(E\) et \(F\) tels que \(E\) est le projeté de \(D\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AB)\) et \(F\) est le projeté de \(D\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AC)\).
2) Montrer que \(\overrightarrow{BE}=\frac34\overrightarrow{BA’}\) et \(\overrightarrow{CF}=\frac34\overrightarrow{CA’}\).
1) Construire les points \(E\) et \(F\) tels que \(E\) est le projeté de \(D\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AB)\) et \(F\) est le projeté de \(D\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AC)\).
2) Montrer que \(\overrightarrow{BE}=\frac34\overrightarrow{BA’}\) et \(\overrightarrow{CF}=\frac34\overrightarrow{CA’}\).
Correction détaillée
📘 Propriété : si la projection envoie \(A,B,M\) sur \(A’,B’,M’\) et si \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{AB}\), alors \(\overrightarrow{A’M’}=k\overrightarrow{A’B’}\).
🔢 1) On place \(D\) sur \([AA’]\) aux trois quarts à partir de \(A\). La parallèle à \((AB)\) passant par \(D\) coupe \((BC)\) en \(E\) ; la parallèle à \((AC)\) passant par \(D\) coupe \((BC)\) en \(F\).
🔢 2) Projection sur \((BC)\) parallèlement à \((AB)\) : \(A\mapsto B\), \(A’\mapsto A’\), \(D\mapsto E\). De \(\overrightarrow{AD}=\frac34\overrightarrow{AA’}\) on déduit \(\overrightarrow{BE}=\frac34\overrightarrow{BA’}\).
🔢 Projection sur \((BC)\) parallèlement à \((AC)\) : \(A\mapsto C\), \(A’\mapsto A’\), \(D\mapsto F\). On obtient \(\overrightarrow{CF}=\frac34\overrightarrow{CA’}\).
✅ \(\overrightarrow{BE}=\frac34\overrightarrow{BA’}\) et \(\overrightarrow{CF}=\frac34\overrightarrow{CA’}\).