Cercle trigonométrique Tronc Commun : cours

DéfinitionÀ connaître par cœur.

PropriétéÀ retenir et à citer.

ExempleRésolu étape par étape.

AstucePour mieux comprendre.

AttentionErreur fréquente.

1Le Radian et le Cercle Trigonométrique

Définition du Radian Soit un cercle \(\mathcal{C}\) de centre \(O\) et de rayon 1. On appelle radian (noté rad) la mesure de l’angle au centre qui intercepte un arc de longueur 1 du cercle.

Définition du Cercle Trigonométrique On appelle cercle trigonométrique tout cercle de centre \(O\) et de rayon 1 muni d’un point d’origine \(I\) et d’un sens de parcours appelé sens direct (sens contraire au sens des aiguilles d’une montre).

Relation Degré – Radian Les mesures en radian et en degré d’un même angle sont proportionnelles. Si \(x\) est la mesure en radian et \(y\) en degré, alors :

\[ x = y \times \frac{\pi}{180} \quad \text{ou} \quad y = x \times \frac{180}{\pi} \]

Exemple · Conversion

Convertir \(33^\circ\) en radians : \(x = 33 \times \frac{\pi}{180} = \frac{11\pi}{60}\).
Convertir \(\frac{3\pi}{8}\) rad en degrés : \(y = \frac{3\pi}{8} \times \frac{180}{\pi} = 67,5^\circ\).

Correspondances à connaître

Radians	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)	\(\pi\)	\(2\pi\)
Degrés	\(0\)	\(30^\circ\)	\(45^\circ\)	\(60^\circ\)	\(90^\circ\)	\(180^\circ\)	\(360^\circ\)

2Abscisses Curvilignes et Angles Orientés

Abscisse Curviligne Soit \(M\) un point du cercle trigonométrique d’origine \(I\). Tout réel s’écrivant sous la forme \(\alpha + 2k\pi\) (avec \(k \in \mathbb{Z}\)) s’appelle une abscisse curviligne de \(M\).
Si \(x\) et \(x’\) sont deux abscisses curvilignes du même point, alors \(x – x’ = 2k\pi\). On note \(x \equiv x’ \pmod{2\pi}\).

Abscisse Curviligne Principale Parmi toutes les abscisses curvilignes d’un point \(M\), une seule se situe dans l’intervalle \(]-\pi ; \pi]\). On l’appelle l’abscisse curviligne principale.

Exemple · Trouver l’abscisse principale Trouver l’abscisse principale de \(x = \frac{19\pi}{4}\).

On décompose : \(\frac{19\pi}{4} = \frac{16\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 4\pi + \frac{3\pi}{4}\).
On sait que \(4\pi = 2 \times 2\pi\), donc c’est un multiple de \(2\pi\).
Donc \(\frac{19\pi}{4} \equiv \frac{3\pi}{4} \pmod{2\pi}\).
Comme \(\frac{3\pi}{4} \in ]-\pi ; \pi]\), l’abscisse principale est \(\frac{3\pi}{4}\).

Angle Orienté de Deux Demi-Droites Soient \([Ox)\) et \([Oy)\) deux demi-droites. La mesure de l’angle orienté \((Ox; Oy)\) est le réel \(b – a + 2k\pi\), où \(a\) et \(b\) sont les abscisses de \(A\) et \(B\) sur le cercle trigonométrique.

\[ (Ox; Oy) = b – a + 2k\pi \]

Relation de Chasles Pour trois demi-droites \([Ox)\), \([Oy)\) et \([Oz)\) :

\[ (Ox; Oy) + (Oy; Oz) \equiv (Ox; Oz) \pmod{2\pi} \]

3Rapports Trigonométriques

Cosinus, Sinus et Tangente Soit \(x\) un réel et \(M\) le point du cercle trigonométrique associé.

Le cosinus de \(x\), noté \(\cos x\), est l’abscisse de \(M\).
Le sinus de \(x\), noté \(\sin x\), est l’ordonnée de \(M\).
La tangente de \(x\), notée \(\tan x\), est l’ordonnée du point d’intersection de la droite \((OM)\) avec la tangente au cercle en \(I\) (si \(M \neq J\) et \(M \neq J’\)).

Propriétés Fondamentales

\(-1 \le \cos x \le 1\) et \(-1 \le \sin x \le 1\)
Identité trigonométrique : \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)
\(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) (pour \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\))

Formules de Symétrie

\(\cos(-x) = \cos x\) et \(\sin(-x) = -\sin x\)
\(\cos(\pi + x) = -\cos x\) et \(\sin(\pi + x) = -\sin x\)
\(\cos(\pi – x) = -\cos x\) et \(\sin(\pi – x) = \sin x\)
\(\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x\) et \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x\)
\(\cos\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \sin x\) et \(\sin\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \cos x\)

Valeurs Remarquables

\(x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(\cos x\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)
\(\sin x\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)

4Équations trigonométriques élémentaires

1.1 Équation \(\cos x = a\)

Propriété Soit \(a\) un nombre réel.

Si \(|a| > 1\), l’équation n’a pas de solution (\(S = \emptyset\)).
Si \(a = 1\), \(\cos x = 1 \iff x = 2k\pi\) (\(k \in \mathbb{Z}\)).
Si \(a = -1\), \(\cos x = -1 \iff x = \pi + 2k\pi\) (\(k \in \mathbb{Z}\)).
Si \(-1 < a < 1\), il existe un unique \(\alpha \in [0 ; \pi]\) tel que \(\cos \alpha = a\). Alors :
\[ x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Exemple · Résoudre \(\cos x = \frac{\sqrt{2}}{2}\)

On sait que \(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\).
Donc \(\cos x = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right)\).
Les solutions sont \(x = \frac{\pi}{4} + 2k\pi\) ou \(x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\).
\(S_{\mathbb{R}} = \left\{ \frac{\pi}{4} + 2k\pi ; -\frac{\pi}{4} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\).

1.2 Équation \(\sin x = a\)

Propriété Soit \(a\) un nombre réel.

Si \(|a| > 1\), l’équation n’a pas de solution (\(S = \emptyset\)).
Si \(a = 1\), \(\sin x = 1 \iff x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi\) (\(k \in \mathbb{Z}\)).
Si \(a = -1\), \(\sin x = -1 \iff x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\) (\(k \in \mathbb{Z}\)).
Si \(-1 < a < 1\), il existe un unique \(\alpha \in \left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right]\) tel que \(\sin \alpha = a\). Alors :
\[ x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi – \alpha + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Exemple · Résoudre \(\sin x = -\frac{1}{2}\)

On sait que \(\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}\).
Donc \(\sin x = \sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\).
Les solutions sont \(x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = \pi – \left(-\frac{\pi}{6}\right) + 2k\pi = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\).
\(S_{\mathbb{R}} = \left\{ -\frac{\pi}{6} + 2k\pi ; \frac{7\pi}{6} + 2k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\).

1.3 Équation \(\tan x = a\)

Propriété L’équation \(\tan x = a\) est définie sur \(D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi \mid k \in \mathbb{Z} \right\}\).
Pour tout réel \(a\), il existe un unique \(\alpha \in \left]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}\right[\) tel que \(\tan \alpha = a\). Les solutions sont :

\[ x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Exemple · Résoudre \(4\tan x + 4 = 0\)

Domaine de définition : \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\).
L’équation équivaut à \(\tan x = -1\).
On sait que \(\tan\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -1\).
Les solutions sont \(x = -\frac{\pi}{4} + k\pi\) (\(k \in \mathbb{Z}\)).

5Inéquations trigonométriques élémentaires

Méthode Pour résoudre une inéquation trigonométrique, on utilise le cercle trigonométrique pour visualiser les arcs de cercle correspondant aux valeurs qui vérifient l’inégalité.

Exemple · Résoudre \(\sin x \ge \frac{1}{2}\) sur \([0 ; 2\pi[\)

On sait que \(\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\) et \(\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\).
Sur le cercle trigonométrique, les points dont l’ordonnée est \(\ge \frac{1}{2}\) se trouvent sur l’arc supérieur.
L’intervalle solution est \(S = \left[\frac{\pi}{6} ; \frac{5\pi}{6}\right]\).

Exemple · Résoudre \(\cos x \le \frac{1}{2}\) sur \(]-\pi ; \pi[\)

On sait que \(\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\) et \(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}\).
Les points dont l’abscisse est \(\le \frac{1}{2}\) se trouvent à gauche de la droite verticale passant par \(\frac{1}{2}\).
L’intervalle solution est \(S = \left[-\pi ; -\frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{\pi}{3} ; \pi\right[\).

Exemple · Résoudre \(\tan x \ge 1\) sur \(]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[\)

On sait que \(\tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1\).
Les valeurs de \(\tan x\) sont croissantes sur \(]-\frac{\pi}{2} ; \frac{\pi}{2}[\).
Donc \(\tan x \ge 1 \iff x \ge \frac{\pi}{4}\).
L’intervalle solution est \(S = \left[\frac{\pi}{4} ; \frac{\pi}{2}\right[\).

6Exercices corrigés

Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.

★ Exercice 1 · Calculer des rapports

Calculer \(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)\), \(\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\) et \(\tan\left(\frac{5\pi}{6}\right)\).

Voir la solution

On remarque que \(\frac{5\pi}{6} = \pi – \frac{\pi}{6}\).

\(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi – \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).

\(\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi – \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\).

\(\tan\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\sin}{\cos} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\).

★★ Exercice 2 · Identité trigonométrique

Montrer que \(1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\) (pour \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)).

Voir la solution

On part de l’expression de gauche :

\(1 + \tan^2 x = 1 + \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\).

On met au même dénominateur : \(\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}\).

Or, \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) (identité fondamentale).

Donc le résultat est bien \(\frac{1}{\cos^2 x}\).

★★ Exercice 3 · Trouver cos et sin

On donne \(\tan x = \frac{1}{3}\) et \(\frac{\pi}{2} < x < \pi\). Calculer \(\cos x\) et \(\sin x\).

Voir la solution

On utilise l’identité \(1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\).

\(1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 x} \implies 1 + \frac{1}{9} = \frac{1}{\cos^2 x} \implies \frac{10}{9} = \frac{1}{\cos^2 x}\).

Donc \(\cos^2 x = \frac{9}{10} \implies \cos x = \pm \frac{3}{\sqrt{10}}\).

Comme \(\frac{\pi}{2} < x < \pi\), le cosinus est négatif. Donc \(\cos x = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}\).

Pour trouver \(\sin x\), on utilise \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \implies \sin x = \tan x \times \cos x\).

\(\sin x = \frac{1}{3} \times \left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right) = -\frac{\sqrt{10}}{10}\).

On vérifie que \(\sin x < 0\) pour \(x\) dans \(] \pi/2 ; \pi [\), ce qui est bien le cas.

★★★ Exercice 4 · Simplification

Simplifier : \(A = \sin(\pi – x) \times \cos\left(\frac{\pi}{2} – x\right) – \sin\left(\frac{\pi}{2} – x\right) \times \cos(\pi – x)\).

Voir la solution

On utilise les formules de symétrie :

\(\sin(\pi – x) = \sin x\)

\(\cos\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \sin x\)

\(\sin\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \cos x\)

\(\cos(\pi – x) = -\cos x\)

On remplace dans \(A\) :

\(A = \sin x \times \sin x – \cos x \times (-\cos x)\)

\(A = \sin^2 x + \cos^2 x\)

Or, \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\).

Donc \(A = 1\).

★ Exercice 5 · Équations dans \(\mathbb{R}\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation : \(\cos 2x = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Voir la solution

On sait que \(\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}\).

Donc \(\cos 2x = \cos\left(\frac{\pi}{6}\right) \iff 2x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(2x = -\frac{\pi}{6} + 2k\pi\).

En divisant par 2 : \(x = \frac{\pi}{12} + k\pi\) ou \(x = -\frac{\pi}{12} + k\pi\) (\(k \in \mathbb{Z}\)).

★★ Exercice 6 · Équation avec restriction

Résoudre dans \(\left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{5\pi}{2}\right]\) l’équation : \(2\sqrt{2} \sin x + 2 = 0\).

Voir la solution

\(2\sqrt{2} \sin x + 2 = 0 \iff \sin x = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

On sait que \(\sin\left(-\frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).

Donc \(x = -\frac{\pi}{4} + 2k\pi\) ou \(x = \frac{5\pi}{4} + 2k\pi\).

On cherche les \(k\) tels que \(x \in \left[-\frac{\pi}{2} ; \frac{5\pi}{2}\right]\).

Pour la 1ère série : \(k=0 \implies x = -\frac{\pi}{4}\) (convient) ; \(k=1 \implies x = \frac{7\pi}{4}\) (convient).

Pour la 2ème série : \(k=0 \implies x = \frac{5\pi}{4}\) (convient).

Donc \(S = \left\{-\frac{\pi}{4} ; \frac{5\pi}{4} ; \frac{7\pi}{4}\right\}\).

★★★ Exercice 7 · Équation du second degré

Résoudre dans \([0 ; 2\pi]\) l’inéquation : \(2\sin^2 x – 9\sin x – 5 \le 0\).

Voir la solution

On pose \(t = \sin x\). L’inéquation devient \(2t^2 – 9t – 5 \le 0\).

\(\Delta = (-9)^2 – 4(2)(-5) = 81 + 40 = 121\).

Racines : \(t_1 = \frac{9-11}{4} = -0,5\) et \(t_2 = \frac{9+11}{4} = 5\).

Donc \(-0,5 \le \sin x \le 5\).

Comme \(\sin x \le 1 < 5\), la condition se réduit à \(\sin x \ge -0,5\).

Sur \([0 ; 2\pi]\), \(\sin x \ge -0,5 \iff x \in \left[0 ; \frac{7\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{11\pi}{6} ; 2\pi\right]\).

★Fiche résumé à retenir

Radians : \(x = y \times \frac{\pi}{180}\). Un tour complet = \(2\pi\) rad.
Abscisse curviligne : \(\alpha + 2k\pi\).
Abscisse principale : L’unique valeur dans \(]-\pi ; \pi]\).
Identité : \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\).
Tangente : \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\).
Symétries : \(\cos(-x) = \cos x\), \(\sin(-x) = -\sin x\), \(\cos(\pi – x) = -\cos x\), etc.
\(\cos x = a\) : \(x = \pm \alpha + 2k\pi\) (où \(\cos \alpha = a\)).
\(\sin x = a\) : \(x = \alpha + 2k\pi\) ou \(x = \pi – \alpha + 2k\pi\).
\(\tan x = a\) : \(x = \alpha + k\pi\) (avec \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)).
Inéquations : Utiliser le cercle trigonométrique pour identifier les arcs solutions.
Attention : Toujours vérifier le domaine de définition (surtout pour \(\tan\)).

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