Ce cours de statistiques pour le Tronc Commun aborde les séries statistiques, la moyenne, la médiane, l’écart type et les représentations, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Cours de statistiques Tronc Commun
Statistiques
Vocabulaire, effectifs, paramètres de position et de dispersion, et représentations graphiques.
à maîtriser
1Population et Caractère
- Caractère qualitatif : ne peut pas s’exprimer par des nombres (ex : couleur des yeux, sexe, groupe sanguin).
- Caractère quantitatif : peut s’exprimer par des nombres.
- Discret : prend des valeurs isolées (ex : notes, nombre d’enfants).
- Continu : prend des valeurs dans un intervalle (ex : taille, poids, vitesse).
2Effectifs et Fréquences
- Effectif \(n_i\) : nombre d’individus associés à la valeur \(x_i\).
- Effectif total \(N\) : \(N = n_1 + n_2 + \dots + n_k\).
- Fréquence \(f_i\) : \(f_i = \frac{n_i}{N}\).
- Pourcentage \(p_i\) : \(p_i = 100 \times f_i\).
On peut dresser le tableau des effectifs :
| Note \(x_i\) | 8 | 9 | 10 | 12 | 15 | 16 | 18 | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif \(n_i\) | 4 | 2 | 5 | 4 | 3 | 1 | 1 | 20 |
La fréquence de la note 8 est \(f_1 = \frac{4}{20} = 0,2\), soit \(20\%\).
3Paramètres de Position
3.1 Le Mode
3.2 La Moyenne
3.3 La Médiane
- Si \(N\) est impair, la médiane est la valeur de rang \(\frac{N+1}{2}\).
- Si \(N\) est pair, la médiane est la demi-somme des valeurs de rang \(\frac{N}{2}\) et \(\frac{N}{2} + 1\).
En rangeant dans l’ordre : 8, 8, 8, 8, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 12…
Les 10ème et 11ème valeurs sont toutes les deux 10. Donc la médiane est 10.
4Paramètres de Dispersion
L’écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne. Plus il est grand, plus les valeurs sont dispersées.
5Représentations Graphiques
5.1 Diagramme en bâtons
5.2 Histogramme
Si les classes ont la même amplitude, la hauteur est proportionnelle à l’effectif.
5.3 Diagramme circulaire
Angle d’un secteur = \(f_i \times 360^\circ\).
- Football : \(240 \times 0,583 \approx 140\) adhérents.
- Tennis : \(240 \times 0,25 = 60\) adhérents.
- Handball : \(240 \times 0,167 \approx 40\) adhérents.
6Exercices corrigés
Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.
Soit la série suivante :
Caractère : 1, 2, 5, 7
Effectif : 5, 4, 1, 1
Calculer la moyenne de cette série.
Voir la solution
L’effectif total est \(N = 5 + 4 + 1 + 1 = 11\).
La moyenne est :
\(\bar{x} = \frac{1 \times 5 + 2 \times 4 + 5 \times 1 + 7 \times 1}{11}\)
\(\bar{x} = \frac{5 + 8 + 5 + 7}{11} = \frac{25}{11} \approx 2,27\).
Reprendre la série précédente et calculer la variance et l’écart-type.
Voir la solution
On a \(\bar{x} = \frac{25}{11}\).
La variance est :
\(V = \frac{5(1 – \frac{25}{11})^2 + 4(2 – \frac{25}{11})^2 + 1(5 – \frac{25}{11})^2 + 1(7 – \frac{25}{11})^2}{11}\)
\(V = \frac{5(-\frac{14}{11})^2 + 4(-\frac{3}{11})^2 + 1(\frac{30}{11})^2 + 1(\frac{52}{11})^2}{11}\)
\(V = \frac{5 \times \frac{196}{121} + 4 \times \frac{9}{121} + \frac{900}{121} + \frac{2704}{121}}{11}\)
\(V = \frac{\frac{980 + 36 + 900 + 2704}{121}}{11} = \frac{4620}{1331} \approx 3,47\).
L’écart-type est \(\sigma = \sqrt{V} \approx \sqrt{3,47} \approx 1,86\).
Deux classes ont les notes moyennes suivantes : Classe A : moyenne = 12, écart-type = 1. Classe B : moyenne = 12, écart-type = 4. Que peut-on dire ?
Voir la solution
Les deux classes ont la même moyenne (12).
Cependant, l’écart-type de la classe A (1) est plus petit que celui de la classe B (4).
Cela signifie que les notes de la classe A sont plus regroupées autour de la moyenne, tandis que celles de la classe B sont plus dispersées (il y a plus d’écarts importants par rapport à la moyenne).
★Fiche résumé à retenir
- Fréquence : \(f_i = \frac{n_i}{N}\).
- Moyenne : \(\bar{x} = \frac{\sum n_i x_i}{N}\).
- Médiane : Valeur centrale de la série ordonnée.
- Écart-type : \(\sigma = \sqrt{V}\). Mesure la dispersion.
- Diagramme en bâtons : Caractère discret.
- Histogramme : Caractère continu (classes).
- Diagramme circulaire : Caractère qualitatif.