Cette série d’exercices corrigés de géométrie analytique de l’espace pour la 1ère Bac Sc Ex porte sur les coordonnées, les droites, les plans et leurs positions relatives, avec corrections détaillées. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.
Exercices corrigés de géométrie analytique de l’espace 1ère Bac
Géométrie analytique de l’espace · Série de synthèse 1ère Bac
📌 Série de synthèse
⏱️ Clique sur + pour voir la correction détaillée
📝 Corrections étape par étape
Exercice 1
Quadruplets de points et repères
1) \(ABCDEFGH\) est un cube. Les quadruplets suivants déterminent-ils un repère de l’espace ? Ce repère est-il orthonormé ? a) \((D,A,C,H)\) ; b) \((D,A,B,H)\) ; c) \((D,B,F,H)\) ; d) \((D,C,H,E)\) ; e) \((A,B,C,G)\) ; f) \((A,B,C,F)\) ; g) \((A,B,C,H)\) ; h) \((A,B,C,E)\).
Correction détaillée
⚠️ La figure est lue avec la convention classique \(E,F,G,H\) au-dessus de \(A,B,C,D\).
📘 Méthode : Repère : \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\) est un repère si \(\vec i,\vec j,\vec k\) ne sont pas coplanaires ; orthonormé si de plus ils sont deux à deux orthogonaux et de norme 1. Si \(\vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k\), on note \(\vec u(x;y;z)\). Cube \(ABCDEFGH\) : \(ABCD\) base, \(E,F,G,H\) au-dessus de \(A,B,C,D\).
🔢 Étape 1 : Posons \(\vec a=\overrightarrow{AB},\ \vec d=\overrightarrow{AD},\ \vec e=\overrightarrow{AE}\) (arêtes issues de \(A\), deux à deux orthogonales, de même longueur).
🔢 Étape 2 : a) \(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DH}\) sont les trois arêtes issues de \(D\) : non coplanaires, orthogonales, de même norme : repère orthonormé (si l’arête vaut 1).
🔢 Étape 3 : b) \(\overrightarrow{DA}\), \(\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}\), \(\overrightarrow{DH}\) : non coplanaires (\(\overrightarrow{DC}\) n’est pas dans le plan \((DA,DH)\)), mais \(\overrightarrow{DA}\cdot\overrightarrow{DB}\neq0\) : repère, non orthonormé.
🔢 Étape 4 : c) \(\overrightarrow{DF}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DB}+\overrightarrow{DH}\) : \(\overrightarrow{DB},\overrightarrow{DF},\overrightarrow{DH}\) coplanaires : pas un repère.
🔢 Étape 5 : d) \(\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DH},\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{DH}\) : non coplanaires, mais \(\overrightarrow{DE}\) n’est pas orthogonal à \(\overrightarrow{DH}\) : repère non orthonormé.
🔢 Étape 6 : e) \(\overrightarrow{AB}=\vec a\), \(\overrightarrow{AC}=\vec a+\vec d\), \(\overrightarrow{AG}=\vec a+\vec d+\vec e\) : déterminant des coordonnées \(=1\neq0\) : repère, non orthonormé.
🔢 Étape 7 : f) \((1,0,0),(1,1,0),(1,0,1)\) : déterminant \(1\) : repère, non orthonormé.
🔢 Étape 8 : g) \(\overrightarrow{AB}(1,0,0)\), \(\overrightarrow{AC}(1,1,0)\), \(\overrightarrow{AH}(0,1,1)\) : déterminant \(1\) : repère, non orthonormé.
🔢 Étape 9 : h) \(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AE}\) : \((1,0,0),(1,1,0),(0,0,1)\) : déterminant \(1\) : repère, non orthonormé (\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\neq0\)).
✅ Repères : a) (orthonormé), b), d), e), f), g), h) (non orthonormés) ; c) n’est pas un repère.
Exercice 2
Coordonnées dans le cube
1) Dans le cube d’arête 1, on considère le repère \((O;\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OC},\overrightarrow{OD})\). Donner les coordonnées des sommets du cube.
Correction détaillée
⚠️ Les sommets \(B,E,F,G\) sont placés d’après la figure (base \(OABC\), \(D\) au-dessus de \(O\), \(E\) au-dessus de \(A\), \(F\) au-dessus de \(B\), \(G\) au-dessus de \(C\)).
📘 Méthode : Repère : \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\) est un repère si \(\vec i,\vec j,\vec k\) ne sont pas coplanaires ; orthonormé si de plus ils sont deux à deux orthogonaux et de norme 1. Si \(\vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k\), on note \(\vec u(x;y;z)\).
🔢 Étape 1 : \(O(0,0,0)\), \(A(1,0,0)\), \(C(0,1,0)\), \(D(0,0,1)\) (par définition du repère).
🔢 Étape 2 : \(B=A+\overrightarrow{OC}\) : \(B(1,1,0)\). \(E=A+\overrightarrow{OD}\) : \(E(1,0,1)\). \(G=C+\overrightarrow{OD}\) : \(G(0,1,1)\). \(F=B+\overrightarrow{OD}\) : \(F(1,1,1)\).
✅ \(O(0,0,0)\), \(A(1,0,0)\), \(B(1,1,0)\), \(C(0,1,0)\), \(D(0,0,1)\), \(E(1,0,1)\), \(F(1,1,1)\), \(G(0,1,1)\).
2) Coordonnées du milieu de \([AE]\) ?
Correction détaillée
🔢 \(\left(\dfrac{1+1}2;\dfrac{0+0}2;\dfrac{0+1}2\right)\).
✅ \(\left(1;0;\dfrac12\right)\).
3) Coordonnées du centre \(I\) du carré \(DEFG\) ?
Correction détaillée
🔢 Milieu de \([DF]\) : \(\left(\dfrac{0+1}2;\dfrac{0+1}2;\dfrac{1+1}2\right)\).
✅ \(I\left(\dfrac12;\dfrac12;1\right)\).
4) Quels sont les points de coordonnées \(\left(0;0;\dfrac12\right)\), \(\left(\dfrac12;\dfrac12;0\right)\), \(\left(\dfrac12;\dfrac12;\dfrac12\right)\) ?
Correction détaillée
🔢 \(\left(0;0;\frac12\right)\) : milieu de \([OD]\). \(\left(\frac12;\frac12;0\right)\) : milieu de \([OB]\), centre de la face \(OABC\). \(\left(\frac12;\frac12;\frac12\right)\) : milieu de \([OF]\), centre du cube.
✅ Milieu de \([OD]\) ; centre du carré \(OABC\) ; centre du cube.
Exercice 3
Même pavé, deux repères
1) \(ABCDEFGH\) est un pavé droit avec \(AB=AD=1\), \(AE=2\) ; \(I\) milieu de \([DH]\). Calculer les coordonnées des huit sommets dans le repère \((D;\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DH})\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Repère : \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\) est un repère si \(\vec i,\vec j,\vec k\) ne sont pas coplanaires ; orthonormé si de plus ils sont deux à deux orthogonaux et de norme 1. Si \(\vec u=x\vec i+y\vec j+z\vec k\), on note \(\vec u(x;y;z)\).
🔢 Étape 1 : Les vecteurs de base sont \(\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DH}\) : \(D(0,0,0)\), \(A(1,0,0)\), \(C(0,1,0)\), \(H(0,0,1)\).
🔢 Étape 2 : \(B=A+\overrightarrow{DC}\) : \((1,1,0)\) ; \(E=A+\overrightarrow{DH}\) : \((1,0,1)\) ; \(G=C+\overrightarrow{DH}\) : \((0,1,1)\) ; \(F=(1,1,1)\).
✅ \(D(0,0,0)\), \(A(1,0,0)\), \(B(1,1,0)\), \(C(0,1,0)\), \(E(1,0,1)\), \(F(1,1,1)\), \(G(0,1,1)\), \(H(0,0,1)\).
2) Même question dans le repère \((D;\overrightarrow{DA},\overrightarrow{DC},\overrightarrow{DI})\).
Correction détaillée
🔢 \(I\) milieu de \([DH]\) : \(\overrightarrow{DH}=2\overrightarrow{DI}\). Les coordonnées selon \(\overrightarrow{DH}\) sont donc doublées : \(H(0,0,2)\), \(E(1,0,2)\), \(F(1,1,2)\), \(G(0,1,2)\).
✅ \(D(0,0,0)\), \(A(1,0,0)\), \(B(1,1,0)\), \(C(0,1,0)\), \(E(1,0,2)\), \(F(1,1,2)\), \(G(0,1,2)\), \(H(0,0,2)\) (et \(I(0,0,1)\)).
Exercice 4
Carrés dans un repère orthonormé
1) Repère orthonormé \((O;\overrightarrow{OI},\overrightarrow{OJ},\overrightarrow{OK})\). \(A(1;1;0)\). Quelle est la nature du quadrilatère \(OIAJ\) ? Calculer \(OA\).
Correction détaillée
🔢 \(O(0,0,0)\), \(I(1,0,0)\), \(A(1,1,0)\), \(J(0,1,0)\) : \(\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{JA}\) et \(OI=OJ=1\), \(\overrightarrow{OI}\perp\overrightarrow{OJ}\).
✅ \(OIAJ\) est un carré de côté 1 ; \(OA=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2\).
2) \(B(0;1;1)\). Nature du quadrilatère \(OJBK\) ? Calculer \(OB\).
Correction détaillée
🔢 \(J(0,1,0)\), \(K(0,0,1)\), \(B(0,1,1)\) : \(\overrightarrow{OJ}=\overrightarrow{KB}\), côtés de longueur 1, angle droit.
✅ \(OJBK\) est un carré ; \(OB=\sqrt2\).
Exercice 5
Coordonnées de vecteurs et de milieux
1) On donne \(A(3;5;-2)\) et \(B(4;-3;1)\). Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) puis du milieu \(I\) de \([AB]\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(x_B-x_A;\,y_B-y_A;\,z_B-z_A)\).
🔢 Étape 2 : \(I\left(\dfrac{x_A+x_B}2;\dfrac{y_A+y_B}2;\dfrac{z_A+z_B}2\right)\).
✅ \(\overrightarrow{AB}(1;-8;3)\) ; \(I\left(\dfrac72;1;-\dfrac12\right)\).
2) Repère orthonormé, \(A(2;4;-7)\), \(B(-2;1;-1)\). Calculer la norme de \(\overrightarrow{AB}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Norme (repère orthonormé) : \(\|\vec u\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\) ; \(AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\).
🔢 \(\overrightarrow{AB}(-4;-3;6)\) et \(\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{16+9+36}\).
✅ \(AB=\sqrt{61}\).
3) \(A(-2;1;10)\), \(B(-3;1;-2)\), \(C\) tel que \(\overrightarrow{OC}=5\vec i+4\vec j-\vec k\). Déterminer les coordonnées de \(\vec u=4\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AB}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(C(5;4;-1)\), \(\overrightarrow{AC}(7;3;-11)\), \(\overrightarrow{AB}(-1;0;-12)\).
🔢 Étape 2 : \(\vec u=(28-2;\ 12+0;\ -44-24)\).
✅ \(\vec u(26;12;-68)\).
Exercice 6
Colinéarité de vecteurs
1) \(\vec u(3;6;12)\) et \(\vec v(2;4;8)\) sont-ils colinéaires ?
Correction détaillée
📘 Méthode : Colinéarité : \(\vec u(x;y;z)\) et \(\vec v(x’;y’;z’)\) sont colinéaires s’il existe \(k\) avec \(\vec v=k\vec u\) (coordonnées proportionnelles). Points alignés : \(A,B,C\) alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires. Coplanarité : \(\vec u,\vec v,\vec w\) coplanaires \(\iff\) le déterminant de leurs coordonnées est nul \(\iff\) l’un est combinaison des deux autres.
🔢 \(\vec u=\dfrac32\vec v\) : \(3=\dfrac32\times2\), \(6=\dfrac32\times4\), \(12=\dfrac32\times8\).
✅ Oui, \(\vec u=\dfrac32\vec v\).
2) Quelles sont les coordonnées de \(\vec u+\vec v\) ? de \(2\vec u-5\vec v\) ?
Correction détaillée
🔢 \(\vec u+\vec v=(5;10;20)\) ; \(2\vec u-5\vec v=(6-10;12-20;24-40)\).
✅ \(\vec u+\vec v(5;10;20)\) ; \(2\vec u-5\vec v(-4;-8;-16)\).
3) \(\vec u(1;-1;2)\), \(\vec v(-2;2;-4)\), \(\vec w(1;1;2)\). Étudier la colinéarité de \(\vec u\) et \(\vec v\), puis de \(\vec u\) et \(\vec w\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\vec v=-2\vec u\) : \((-2;2;-4)=-2\,(1;-1;2)\).
🔢 Étape 2 : \(\vec u\) et \(\vec w\) : \(1=1\times1\) mais \(-1\neq1\times1\) : pas proportionnels.
✅ \(\vec u,\vec v\) colinéaires ; \(\vec u,\vec w\) non colinéaires.
Exercice 7
Alignement de points
1) Repère \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\) ; \(A(1;2;1)\), \(B(2;1;3)\), \(C(-1;4;-3)\), \(D(2;3;3)\). Étudier l’alignement de \(A,B,C\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Colinéarité : \(\vec u(x;y;z)\) et \(\vec v(x’;y’;z’)\) sont colinéaires s’il existe \(k\) avec \(\vec v=k\vec u\) (coordonnées proportionnelles). Points alignés : \(A,B,C\) alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires. Coplanarité : \(\vec u,\vec v,\vec w\) coplanaires \(\iff\) le déterminant de leurs coordonnées est nul \(\iff\) l’un est combinaison des deux autres.
🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(1;-1;2)\) et \(\overrightarrow{AC}(-2;2;-4)\).
🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AC}=-2\overrightarrow{AB}\).
✅ \(A,B,C\) sont alignés.
2) Étudier l’alignement de \(A,B,D\).
Correction détaillée
🔢 \(\overrightarrow{AD}(1;1;2)\) et \(\overrightarrow{AB}(1;-1;2)\) : \(\dfrac11\neq\dfrac1{-1}\).
✅ \(A,B,D\) ne sont pas alignés.
3) \(A(-1;-2;-3)\), \(B(1;1;1)\), \(C(3;4;5)\). Montrer que \(A,B,C\) sont alignés.
Correction détaillée
🔢 \(\overrightarrow{AB}(2;3;4)\), \(\overrightarrow{AC}(4;6;8)=2\overrightarrow{AB}\).
✅ Alignés.
Exercice 8
Coplanarité de trois vecteurs
1) \(\vec u(2;-4;3)\), \(\vec v(-1;1;2)\), \(\vec w(3;1;-1)\) sont-ils coplanaires ?
Correction détaillée
📘 Méthode : Colinéarité : \(\vec u(x;y;z)\) et \(\vec v(x’;y’;z’)\) sont colinéaires s’il existe \(k\) avec \(\vec v=k\vec u\) (coordonnées proportionnelles). Points alignés : \(A,B,C\) alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires. Coplanarité : \(\vec u,\vec v,\vec w\) coplanaires \(\iff\) le déterminant de leurs coordonnées est nul \(\iff\) l’un est combinaison des deux autres.
🔢 Étape 1 : Déterminant : \(\begin{vmatrix}2&-4&3\\-1&1&2\\3&1&-1\end{vmatrix}=2(-1-2)+4(1-6)+3(-1-3)\).
🔢 Étape 2 : \(=-6-20-12=-38\neq0\).
✅ Non, \(\vec u,\vec v,\vec w\) ne sont pas coplanaires.
2) \(\vec u(2m+1;3;2-m)\), \(\vec v(-1;2;3)\), \(\vec w(-3;1;2)\). Déterminer \(m\) pour que \(\vec u,\vec v,\vec w\) soient coplanaires.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Déterminant \(=(2m+1)(4-3)-3(-2+9)+(2-m)(-1+6)\).
🔢 Étape 2 : \(=2m+1-21+10-5m=-3m-10\). Il est nul si et seulement si \(m=-\dfrac{10}3\).
✅ \(m=-\dfrac{10}3\).
Exercice 9
Système de trois équations
1) Résoudre dans \(\mathbb R^3\) : \(\begin{cases}2x+y-z=2\\x-y+3z=3\\-x+2y+z=-1\end{cases}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \((1)+(2)\) : \(3x+2z=5\). \((2)+(3)\) : \(y+4z=2\), donc \(y=2-4z\).
🔢 Étape 2 : Dans \((1)\) : \(2x+2-4z-z=2\), donc \(x=\dfrac52z\). Dans \(3x+2z=5\) : \(\dfrac{19}2z=5\), \(z=\dfrac{10}{19}\).
🔢 Étape 3 : Alors \(x=\dfrac{25}{19}\) et \(y=2-\dfrac{40}{19}=-\dfrac2{19}\).
✅ \(S=\left\{\left(\dfrac{25}{19};-\dfrac2{19};\dfrac{10}{19}\right)\right\}\) (vérifié dans les trois équations).
Exercice 10
Points définis vectoriellement
1) \(A(2;1;3)\), \(B(4;-1;5)\), \(C(4;2;-7)\). Montrer que \(A,B,C\) ne sont pas alignés.
Correction détaillée
📘 Méthode : Colinéarité : \(\vec u(x;y;z)\) et \(\vec v(x’;y’;z’)\) sont colinéaires s’il existe \(k\) avec \(\vec v=k\vec u\) (coordonnées proportionnelles). Points alignés : \(A,B,C\) alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires. Coplanarité : \(\vec u,\vec v,\vec w\) coplanaires \(\iff\) le déterminant de leurs coordonnées est nul \(\iff\) l’un est combinaison des deux autres.
🔢 \(\overrightarrow{AB}(2;-2;2)\), \(\overrightarrow{AC}(2;1;-10)\) : \(\dfrac22=1\) mais \(\dfrac{-2}1=-2\).
✅ Non alignés.
2) Calculer les coordonnées du point \(D\) tel que \(2\overrightarrow{AB}+3\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{BC}(0;3;-12)\) ; \(3\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}-2\overrightarrow{AB}=(-4;7;-16)\).
🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{AD}=\left(-\dfrac43;\dfrac73;-\dfrac{16}3\right)\), donc \(D=A+\overrightarrow{AD}\).
✅ \(D\left(\dfrac23;\dfrac{10}3;-\dfrac73\right)\).
3) Coordonnées du milieu \(E\) de \([BC]\) ; du centre de gravité \(F\) de \(ABC\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(E\left(\dfrac{4+4}2;\dfrac{-1+2}2;\dfrac{5-7}2\right)\).
🔢 Étape 2 : \(F\left(\dfrac{2+4+4}3;\dfrac{1-1+2}3;\dfrac{3+5-7}3\right)\).
✅ \(E\left(4;\dfrac12;-1\right)\) ; \(F\left(\dfrac{10}3;\dfrac23;\dfrac13\right)\).
4) Déterminer \(G\) tel que \(3\overrightarrow{GA}-2\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{CG}\).
Correction détaillée
⚠️ L’égalité du sujet est lue \(3\overrightarrow{GA}-2\overrightarrow{GB}=\overrightarrow{CG}\).
🔢 Étape 1 : \(3(A-G)-2(B-G)=G-C\iff2G=3A-2B+C\).
🔢 Étape 2 : \(3A-2B+C=(6-8+4;\ 3+2+2;\ 9-10-7)=(2;7;-8)\).
✅ \(G\left(1;\dfrac72;-4\right)\).
Exercice 11
Parallélogramme et coplanarité
1) \(A(2;1;5)\), \(B\left(\dfrac12;0;\dfrac12\right)\), \(C(0;-5;3)\). Déterminer \(D\) pour que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
Correction détaillée
🔢 \(ABCD\) parallélogramme \(\iff\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\iff D=A+C-B\).
✅ \(D\left(\dfrac32;-4;\dfrac{15}2\right)\).
2) \(A\left(1;3;\dfrac12\right)\), \(B(-1;4;1)\), \(C(2;3;0)\), \(D(1;4;0)\). Montrer que \(A,B,C,D\) sont coplanaires.
Correction détaillée
📘 Méthode : Colinéarité : \(\vec u(x;y;z)\) et \(\vec v(x’;y’;z’)\) sont colinéaires s’il existe \(k\) avec \(\vec v=k\vec u\) (coordonnées proportionnelles). Points alignés : \(A,B,C\) alignés \(\iff\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) colinéaires. Coplanarité : \(\vec u,\vec v,\vec w\) coplanaires \(\iff\) le déterminant de leurs coordonnées est nul \(\iff\) l’un est combinaison des deux autres.
🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}\left(-2;1;\dfrac12\right)\), \(\overrightarrow{AC}\left(1;0;-\dfrac12\right)\), \(\overrightarrow{AD}\left(0;1;-\dfrac12\right)\).
🔢 Étape 2 : Cherchons \(\overrightarrow{AB}=a\overrightarrow{AC}+b\overrightarrow{AD}\) : \(x\) : \(a=-2\) ; \(y\) : \(b=1\) ; \(z\) : \(-\dfrac a2-\dfrac b2=1-\dfrac12=\dfrac12\) ✓.
✅ \(\overrightarrow{AB}=-2\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\) : \(A,B,C,D\) sont coplanaires.
Exercice 12
Cube de côté 10 et centre de gravité
1) Dans le cube de la figure (repère orthonormé \((O;\vec i,\vec j,\vec k)\) avec \(\overrightarrow{OA}=10\vec i\), \(\overrightarrow{OB}=10\vec j\), \(\overrightarrow{OC}=10\vec k\)), déterminer les coordonnées de \(E\) tel que \(\overrightarrow{OE}=\dfrac32\overrightarrow{OA}+\dfrac25\overrightarrow{OB}-\dfrac3{10}\overrightarrow{OC}\).
Correction détaillée
⚠️ Les sommets du cube sont lus sur la figure : \(O(0;0;0)\) (sommet arrière caché), \(A(10;0;0)\), \(B(0;10;0)\), \(C(0;0;10)\), \(D(10;10;0)\), \(F(10;0;10)\), \(G(10;10;10)\), \(H(0;10;10)\). Cette lecture est à vérifier.
🔢 \(\overrightarrow{OE}=\dfrac32(10;0;0)+\dfrac25(0;10;0)-\dfrac3{10}(0;0;10)\).
✅ \(E(15;4;-3)\).
2) Coordonnées de \(F\), \(G\), \(H\) (sommets du cube), puis de \(K\) tel que \(\overrightarrow{OK}=\dfrac65\overrightarrow{OG}+\dfrac15\overrightarrow{OE}\) et de \(L\) tel que \(\overrightarrow{AL}=\dfrac25\overrightarrow{DB}-\dfrac12\overrightarrow{OF}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(F(10;0;10)\), \(G(10;10;10)\), \(H(0;10;10)\), \(D(10;10;0)\).
🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{OK}=\dfrac65(10;10;10)+\dfrac15(15;4;-3)=(12+3;\ 12+0{,}8;\ 12-0{,}6)\).
🔢 Étape 3 : \(\overrightarrow{DB}=(-10;0;0)\), \(\overrightarrow{OF}=(10;0;10)\) : \(\overrightarrow{AL}=(-4-5;\ 0;\ -5)=(-9;0;-5)\), donc \(L=A+\overrightarrow{AL}\).
✅ \(K\left(15;\dfrac{64}5;\dfrac{57}5\right)\) ; \(L(1;0;-5)\).
3) \(A(3;0;0)\), \(B(0;5;0)\), \(C(0;0;4)\). Calculer les coordonnées du centre de gravité \(G\) du triangle \(ABC\).
Correction détaillée
🔢 \(G=\dfrac{A+B+C}3\).
✅ \(G\left(1;\dfrac53;\dfrac43\right)\).
Exercice 13
Droite : paramétrique et cartésienne
1) Soit \((D)\) : \(\begin{cases}x=-3+2k\\y=-k\\z=4+4k\end{cases}\) (\(k\in\mathbb R\)). Le point \(B(3;2;5)\) appartient-il à \((D)\) ?
Correction détaillée
📘 Méthode : Droite \((D)\) passant par \(A(x_0;y_0;z_0)\) de vecteur directeur \(\vec u(a;b;c)\) : \(\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}\ (t\in\mathbb R)\) ; si \(abc\neq0\), forme symétrique \(\dfrac{x-x_0}a=\dfrac{y-y_0}b=\dfrac{z-z_0}c\).
🔢 \(x=3\Rightarrow-3+2k=3\Rightarrow k=3\). Alors \(y=-3\neq2\).
✅ Non, \(B\notin(D)\).
2) Déterminer un point de \((D)\) et un vecteur directeur de \((D)\).
Correction détaillée
🔢 \(k=0\) : point \((-3;0;4)\). Le vecteur directeur est le vecteur des coefficients de \(k\).
✅ Point \((-3;0;4)\), vecteur directeur \(\vec u(2;-1;4)\).
3) \(A(-1;1;0)\), \(B(2;-1;1)\), \(C(0;-1;2)\). Déterminer deux équations cartésiennes de la droite \((AB)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(3;-2;1)\) : \(x=-1+3t,\ y=1-2t,\ z=t\).
🔢 Étape 2 : On élimine \(t=z\) : \(x=-1+3z\) et \(y=1-2z\).
✅ \((AB)\) : \(\begin{cases}x-3z+1=0\\y+2z-1=0\end{cases}\).
4) Le point \(C(0;-1;2)\) appartient-il à \((AB)\) ?
Correction détaillée
🔢 \(x-3z+1=0-6+1=-5\neq0\).
✅ Non, \(C\notin(AB)\).
Exercice 14
Forme symétrique d’une droite
1) Soit \((D)\) la droite d’équations \(\dfrac{2x-1}3=\dfrac{y+1}4=\dfrac{3-4z}4\). Déterminer un point et un vecteur directeur de \((D)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Droite \((D)\) passant par \(A(x_0;y_0;z_0)\) de vecteur directeur \(\vec u(a;b;c)\) : \(\begin{cases}x=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{cases}\ (t\in\mathbb R)\) ; si \(abc\neq0\), forme symétrique \(\dfrac{x-x_0}a=\dfrac{y-y_0}b=\dfrac{z-z_0}c\).
🔢 Étape 1 : \(\dfrac{2x-1}3=\dfrac{x-\frac12}{\frac32}\) ; \(\dfrac{3-4z}4=\dfrac{z-\frac34}{-1}\).
🔢 Étape 2 : Forme symétrique \(\dfrac{x-\frac12}{\frac32}=\dfrac{y+1}4=\dfrac{z-\frac34}{-1}\).
✅ Point \(\left(\dfrac12;-1;\dfrac34\right)\), vecteur directeur \(\vec u\left(\dfrac32;4;-1\right)\) (ou \((3;8;-2)\)).
2) Déterminer une représentation paramétrique de \((D)\).
Correction détaillée
🔢 Avec \(\vec u(3;8;-2)\) : \(x=\dfrac12+3t\), \(y=-1+8t\), \(z=\dfrac34-2t\).
✅ \(\begin{cases}x=\frac12+3t\\y=-1+8t\\z=\frac34-2t\end{cases}\ (t\in\mathbb R)\) ; vérification : \(\dfrac{2x-1}3=2t=\dfrac{y+1}4=\dfrac{3-4z}4\).
Exercice 15
Droites parallèles et plan d’équation donnée
1) \(A(-3;4;6)\), \(B(2;3;1)\), \(C(1;3;3)\), \(D(6;2;-2)\). Calculer les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{CD}\).
Correction détaillée
🔢 \(\overrightarrow{AB}(5;-1;-5)\), \(\overrightarrow{AC}(4;-1;-3)\), \(\overrightarrow{CD}(5;-1;-5)\).
✅ \(\overrightarrow{AB}(5;-1;-5)\), \(\overrightarrow{AC}(4;-1;-3)\), \(\overrightarrow{CD}(5;-1;-5)\).
2) \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont-ils colinéaires ? Justifier que \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\dfrac54\neq\dfrac{-1}{-1}\) : \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) ne sont pas colinéaires, donc \(C\notin(AB)\).
🔢 Étape 2 : \(\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AB}\) : droites parallèles, et distinctes car \(C\notin(AB)\).
✅ \((AB)\parallel(CD)\) strictement ; \(ABDC\) est un parallélogramme.
3) On considère l’équation \((E)\) : \(2x+5y+z=20\) et \(F(1;1;1)\). a) Vérifier que \(A,B,C,D\) vérifient \((E)\).
Correction détaillée
🔢 \(A\) : \(-6+20+6=20\) ✓. \(B\) : \(4+15+1=20\) ✓. \(C\) : \(2+15+3=20\) ✓. \(D\) : \(12+10-2=20\) ✓.
✅ Les quatre points vérifient \((E)\) : ils sont coplanaires (plan d’équation \((E)\)).
4) b) Déterminer \(S\) tel que \(A,B,S\) soient alignés et \(x_S=7\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AS}=t\overrightarrow{AB}\) : \(x_S=-3+5t=7\Rightarrow t=2\).
🔢 Étape 2 : \(S=A+2\overrightarrow{AB}=(-3+10;\ 4-2;\ 6-10)\). Contrôle : \(14+10-4=20\) ✓ (\(S\in(E)\) comme il se doit).
✅ \(S(7;2;-4)\).
5) c) Déterminer le point \(P\) vérifiant \((E)\) tel que \(O,F,P\) soient alignés.
Correction détaillée
🔢 \(O,F,P\) alignés : \(P=(\lambda;\lambda;\lambda)\). \((E)\) : \(8\lambda=20\).
✅ \(P\left(\dfrac52;\dfrac52;\dfrac52\right)\).
Exercice 16
Plan : points, vecteurs directeurs, équation
1) Déterminer une représentation paramétrique du plan passant par \(A(2;-1;-3)\), \(B(0;1;4)\), \(C(-3;0;0)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Plan \((P)\) passant par \(A\), de vecteurs directeurs \(\vec u,\vec v\) (non colinéaires) : \(\overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v\) (représentation paramétrique). Équation cartésienne : \(ax+by+cz+d=0\), \(\vec n(a;b;c)\) est un vecteur normal. Plan de vecteur normal \(\vec n\) passant par \(A\) : \(\vec n\cdot\overrightarrow{AM}=0\).
🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}(-2;2;7)\) et \(\overrightarrow{AC}(-5;1;3)\) non colinéaires.
🔢 Étape 2 : \(M\in(ABC)\iff\overrightarrow{AM}=s\overrightarrow{AB}+t\overrightarrow{AC}\).
✅ \(\begin{cases}x=2-2s-5t\\y=-1+2s+t\\z=-3+7s+3t\end{cases}\ (s,t\in\mathbb R)\).
2) \((P)\) : \(\begin{cases}x=3+2t-4s\\y=2+t-s\\z=5t-5s\end{cases}\). Déterminer un point de \((P)\) et deux vecteurs directeurs.
Correction détaillée
🔢 On lit : \(t=s=0\) donne \((3;2;0)\) ; coefficients de \(t\) : \((2;1;5)\) ; de \(s\) : \((-4;-1;-5)\).
✅ Point \((3;2;0)\) ; \(\vec u(2;1;5)\), \(\vec v(-4;-1;-5)\) (non colinéaires).
3) Déterminer l’équation cartésienne du plan \(P(A;\vec u;\vec v)\) passant par \(A(1;-3;1)\) et de vecteurs directeurs \(\vec u(-2;4;1)\), \(\vec v(-1;0;2)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Vecteur normal \(\vec n=\vec u\wedge\vec v=(4\cdot2-1\cdot0;\ 1\cdot(-1)-(-2)\cdot2;\ -2\cdot0-4\cdot(-1))=(8;3;4)\).
🔢 Étape 2 : Plan : \(8x+3y+4z+d=0\) ; \(A\) : \(8-9+4+d=0\Rightarrow d=-3\). Contrôle : \(\vec n\cdot\vec u=-16+12+4=0\), \(\vec n\cdot\vec v=-8+8=0\).
✅ \(8x+3y+4z-3=0\).
Exercice 17
Vecteur normal et équation cartésienne
1) Donner un vecteur normal à chacun des plans : \(P_1:-x+y+2z-1=0\) ; \(P_2:3x-y=0\) ; \(P_3:2y-1=0\) ; \(P_4:2x-z+3=0\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Plan \((P)\) passant par \(A\), de vecteurs directeurs \(\vec u,\vec v\) (non colinéaires) : \(\overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v\) (représentation paramétrique). Équation cartésienne : \(ax+by+cz+d=0\), \(\vec n(a;b;c)\) est un vecteur normal. Plan de vecteur normal \(\vec n\) passant par \(A\) : \(\vec n\cdot\overrightarrow{AM}=0\).
🔢 Les coefficients de \(x,y,z\) donnent \(\vec n\).
✅ \(\vec n_1(-1;1;2)\) ; \(\vec n_2(3;-1;0)\) ; \(\vec n_3(0;2;0)\) (ou \((0;1;0)\)) ; \(\vec n_4(2;0;-1)\).
2) Déterminer une équation du plan \(P\) passant par \(A\) et de vecteur normal \(\vec n\) : a) \(A(2;-3;5)\), \(\vec n(3;2;1)\) ; b) \(A(4;-2;1)\), \(\vec n(5;3;2)\) ; c) \(A(1;1;0)\), \(\vec n(0;2;1)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : a) \(3x+2y+z+d=0\) : \(6-6+5+d=0\Rightarrow d=-5\).
🔢 Étape 2 : b) \(5x+3y+2z+d=0\) : \(20-6+2+d=0\Rightarrow d=-16\).
🔢 Étape 3 : c) \(2y+z+d=0\) : \(2+0+d=0\Rightarrow d=-2\).
✅ a) \(3x+2y+z-5=0\) ; b) \(5x+3y+2z-16=0\) ; c) \(2y+z-2=0\).
Exercice 18
Plan d’équation \(ax+by+cz+d=0\)
1) Le plan \((P)\) a pour équation \(x+3y-z+7=0\). Donner un vecteur normal à \((P)\) et les coordonnées d’un point \(M\) de \((P)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Plan \((P)\) passant par \(A\), de vecteurs directeurs \(\vec u,\vec v\) (non colinéaires) : \(\overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v\) (représentation paramétrique). Équation cartésienne : \(ax+by+cz+d=0\), \(\vec n(a;b;c)\) est un vecteur normal. Plan de vecteur normal \(\vec n\) passant par \(A\) : \(\vec n\cdot\overrightarrow{AM}=0\).
🔢 \(\vec n(1;3;-1)\). Avec \(x=y=0\) : \(z=7\).
✅ \(\vec n(1;3;-1)\) ; \(M(0;0;7)\).
2) Le point \(L(1;-1;2)\) appartient-il à \((P)\) ? Déterminer \(z\) pour que \(N(2;5;z)\in(P)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(L\) : \(1-3-2+7=3\neq0\).
🔢 Étape 2 : \(N\) : \(2+15-z+7=0\Rightarrow z=24\).
✅ \(L\notin(P)\) ; \(z=24\).
3) Le plan \((P)\) a pour équation \(2x+y+z=6\). Donner un vecteur normal. Déterminer \(A=(P)\cap(Ox)\), \(B=(P)\cap(Oy)\), \(C=(P)\cap(Oz)\).
Correction détaillée
⚠️ La question « placer \(A,B,C\) et tracer les droites » est une construction : décrite, non dessinée.
🔢 Étape 1 : \(\vec n(2;1;1)\).
🔢 Étape 2 : \((Ox)\) : \(y=z=0\Rightarrow x=3\) ; \((Oy)\) : \(y=6\) ; \((Oz)\) : \(z=6\).
✅ \(\vec n(2;1;1)\) ; \(A(3;0;0)\), \(B(0;6;0)\), \(C(0;0;6)\) ; les droites \((AB)\), \((AC)\), \((BC)\) sont les traces de \((P)\) sur les plans de coordonnées (figure à tracer à la règle).
Exercice 19
Plans parallèles et distance
1) \(P:2x-3y+6z-18=0\). Donner un vecteur normal \(\vec n\) à \(P\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Plan \((P)\) passant par \(A\), de vecteurs directeurs \(\vec u,\vec v\) (non colinéaires) : \(\overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v\) (représentation paramétrique). Équation cartésienne : \(ax+by+cz+d=0\), \(\vec n(a;b;c)\) est un vecteur normal. Plan de vecteur normal \(\vec n\) passant par \(A\) : \(\vec n\cdot\overrightarrow{AM}=0\).
🔢 Coefficients de \(x,y,z\).
✅ \(\vec n(2;-3;6)\).
2) Déterminer une équation du plan \(P’\) parallèle à \(P\) passant par \(B(6;-4;-4)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(P’\) a le même vecteur normal : \(2x-3y+6z+d=0\).
🔢 Étape 2 : \(B\) : \(12+12-24+d=0\Rightarrow d=0\).
✅ \(P’:2x-3y+6z=0\).
3) Déterminer le point \(A\) de \(P\) tel que \(\overrightarrow{BA}\) et \(\vec n\) soient colinéaires. En déduire la distance entre les plans parallèles \(P\) et \(P’\).
Correction détaillée
⚠️ Dans le sujet, « \(\overrightarrow{AB}\) colinéaire à \(\vec n\) » : \(B\) est le point \(B(6;-4;-4)\) de l’exercice précédent (\(\in P’\)).
🔢 Étape 1 : \(A=B+t\vec n=(6+2t;\,-4-3t;\,-4+6t)\) ; \(A\in P\) : \(2(6+2t)-3(-4-3t)+6(-4+6t)-18=49t-18=0\Rightarrow t=\dfrac{18}{49}\).
🔢 Étape 2 : \(A=\left(\dfrac{330}{49};-\dfrac{250}{49};-\dfrac{88}{49}\right)\) ; \(AB=|t|\,\|\vec n\|=\dfrac{18}{49}\times7\).
✅ \(A\left(\dfrac{330}{49};-\dfrac{250}{49};-\dfrac{88}{49}\right)\) ; \(d(P,P’)=AB=\dfrac{18}7\) (contrôle : \(\dfrac{|-18-0|}{\sqrt{4+9+36}}=\dfrac{18}7\)).
Exercice 20
Plan passant par trois points
1) \(A(2;1;1)\), \(B(3;0;2)\), \(C(0;2;1)\). Calculer \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), vérifier que \(A,B,C\) définissent un plan.
Correction détaillée
📘 Méthode : Plan \((P)\) passant par \(A\), de vecteurs directeurs \(\vec u,\vec v\) (non colinéaires) : \(\overrightarrow{AM}=s\vec u+t\vec v\) (représentation paramétrique). Équation cartésienne : \(ax+by+cz+d=0\), \(\vec n(a;b;c)\) est un vecteur normal. Plan de vecteur normal \(\vec n\) passant par \(A\) : \(\vec n\cdot\overrightarrow{AM}=0\).
🔢 \(\overrightarrow{AB}(1;-1;1)\), \(\overrightarrow{AC}(-2;1;0)\) : non colinéaires.
✅ \(A,B,C\) non alignés : ils définissent un plan.
2) Déterminer un vecteur normal \(\vec n(a;b;c)\) au plan \((ABC)\), puis une équation de \((ABC)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\overrightarrow{AB}\cdot\vec n=a-b+c=0\) et \(\overrightarrow{AC}\cdot\vec n=-2a+b=0\). Avec \(a=1\) : \(b=2\), \(c=1\).
🔢 Étape 2 : \(x+2y+z+d=0\) ; \(A\) : \(2+2+1+d=0\Rightarrow d=-5\).
✅ \(\vec n(1;2;1)\) ; \((ABC):x+2y+z-5=0\).
3) Deuxième méthode : écrire que \(A,B,C\) vérifient \(ax+by+cz=d\) (on choisit \(a=1\)).
Correction détaillée
🔢 \(2a+b+c=d\) ; \(3a+2c=d\) ; \(2b+c=d\). Avec \(a=1\) : \(3+2c=2+b+c\Rightarrow b=1+c\) ; \(2b+c=3+2c\Rightarrow c=1\), \(b=2\), \(d=5\).
✅ \(x+2y+z=5\) : même plan.
Exercice 21
Position relative de deux droites
1) \((D_1)\) : \(x=-2+k,\ y=2-2k,\ z=4+k\) et \((\Delta_1)\) : \(x=-1-t,\ y=2t,\ z=1+t\). Étudier la position relative.
Correction détaillée
📘 Méthode : Deux droites : directions colinéaires ? Oui : parallèles (confondues si un point de l’une est sur l’autre) ; non : on cherche l’intersection (système) ; une solution : sécantes ; aucune : non coplanaires. Droite / plan : \(\vec u\cdot\vec n\neq0\) sécants ; \(=0\) parallèles (contenue si un point de la droite est dans le plan). Deux plans : \(\vec n,\vec n’\) colinéaires : parallèles (confondus si mêmes équations à un facteur près) ; sinon sécants suivant une droite.
🔢 Étape 1 : Directions \((1;-2;1)\) et \((-1;2;1)\) : non colinéaires.
🔢 Étape 2 : Système : \(-2+k=-1-t\) ; \(2-2k=2t\) ; \(4+k=1+t\). Les deux premières donnent \(k+t=1\) ; la troisième : \(t=k+3\). Donc \(k=-1\), \(t=2\), qui vérifient les trois.
🔢 Étape 3 : Point : \((-3;4;3)\).
✅ \((D_1)\) et \((\Delta_1)\) sont sécantes en \((-3;4;3)\).
2) \((D_2)\) : \(x=1+k,\ y=-2-k,\ z=2+3k\) et \((\Delta_2)\) : \(x=2t,\ y=1-t,\ z=3+t\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Directions \((1;-1;3)\) et \((2;-1;1)\) non colinéaires.
🔢 Étape 2 : \(1+k=2t\) et \(-2-k=1-t\) donnent \(t=-2\), \(k=-5\). Alors \(z\) : \(2+3k=-13\) et \(3+t=1\) : \(-13\neq1\).
✅ Pas d’intersection : les droites sont non coplanaires.
3) \((D_3)\) : \(x=1+k,\ y=-2,\ z=2-k\) et \((\Delta_3)\) : \(x=2t,\ y=1,\ z=3-2t\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Directions \((1;0;-1)\) et \((2;0;-2)=2(1;0;-1)\) : colinéaires.
🔢 Étape 2 : \(y=-2\) sur \((D_3)\), \(y=1\) sur \((\Delta_3)\) : aucun point commun.
✅ Droites strictement parallèles.
4) \((D_3′)\) : \(x=k-3,\ y=-k+3,\ z=2\) et \((D_4)\) : \(x=-2t+1,\ y=2t-1,\ z=2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Directions \((1;-1;0)\) et \((-2;2;0)=-2(1;-1;0)\) : colinéaires.
🔢 Étape 2 : Point \((-3;3;2)\in(D_3′)\) (\(k=0\)). Dans \((D_4)\) : \(t=2\) donne \((-3;3;2)\) ✓.
✅ Droites confondues.
5) \((D)\) : \(x=k,\ y=1-k,\ z=3-2k\) et \((D’)\) : \(x=2+6k’,\ y=-3-12k’,\ z=4+3k’\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Directions \((1;-1;-2)\) et \((6;-12;3)\) non colinéaires.
🔢 Étape 2 : \(k=2+6k’\) ; \(1-k=-3-12k’\Rightarrow-1-6k’=-3-12k’\Rightarrow k’=-\dfrac13\), \(k=0\). Contrôle \(z\) : \(3-0=3=4+3\left(-\dfrac13\right)\) ✓.
✅ Sécantes en \((0;1;3)\).
Exercice 22
Droite et plan
1) \((D_1)\) : \(x=-4t+2,\ y=2t-1,\ z=3t\) et \((P_1)\) : \(3x+2y+z+1=0\). Étudier la position relative.
Correction détaillée
📘 Méthode : Deux droites : directions colinéaires ? Oui : parallèles (confondues si un point de l’une est sur l’autre) ; non : on cherche l’intersection (système) ; une solution : sécantes ; aucune : non coplanaires. Droite / plan : \(\vec u\cdot\vec n\neq0\) sécants ; \(=0\) parallèles (contenue si un point de la droite est dans le plan). Deux plans : \(\vec n,\vec n’\) colinéaires : parallèles (confondus si mêmes équations à un facteur près) ; sinon sécants suivant une droite.
🔢 Étape 1 : \(\vec u(-4;2;3)\), \(\vec n(3;2;1)\) : \(\vec u\cdot\vec n=-12+4+3=-5\neq0\) : sécants.
🔢 Étape 2 : \(3(-4t+2)+2(2t-1)+3t+1=-5t+5=0\Rightarrow t=1\).
✅ Sécants en \((-2;1;3)\).
2) \((D_2)\) : \(x=-4+5t,\ y=-1-2t,\ z=-3+t\) et \((P_2)\) : \(x+3y+z+4=0\).
Correction détaillée
⚠️ Le sujet nomme le plan « \((P_2)\) » dans l’énoncé et « \((P_1)\) » dans l’équation ; j’ai pris \((P_2)\) : \(x+3y+z+4=0\).
🔢 Étape 1 : \(\vec u(5;-2;1)\), \(\vec n(1;3;1)\) : \(\vec u\cdot\vec n=5-6+1=0\) : parallèles.
🔢 Étape 2 : Point \(t=0\) : \((-4;-1;-3)\) : \(-4-3-3+4=-6\neq0\).
✅ \((D_2)\parallel(P_2)\) strictement (droite non contenue dans le plan).
Exercice 23
Position relative de deux plans
1) \(P:2x+y-z+2=0\) et \(P’:3x+y+4z-1=0\). Étudier la position relative.
Correction détaillée
📘 Méthode : Deux droites : directions colinéaires ? Oui : parallèles (confondues si un point de l’une est sur l’autre) ; non : on cherche l’intersection (système) ; une solution : sécantes ; aucune : non coplanaires. Droite / plan : \(\vec u\cdot\vec n\neq0\) sécants ; \(=0\) parallèles (contenue si un point de la droite est dans le plan). Deux plans : \(\vec n,\vec n’\) colinéaires : parallèles (confondus si mêmes équations à un facteur près) ; sinon sécants suivant une droite.
🔢 Étape 1 : \(\vec n(2;1;-1)\), \(\vec n'(3;1;4)\) non colinéaires : sécants.
🔢 Étape 2 : \(P’-P\) : \(x+5z-3=0\), \(x=3-5z\) ; \(y=-2-2x+z=-8+11z\). Avec \(z=t\).
✅ Sécants suivant la droite \(\begin{cases}x=3-5t\\y=-8+11t\\z=t\end{cases}\) (vérifié dans \(P\) et \(P’\)).
2) \(Q:(1-\sqrt2)x-\dfrac{\sqrt2}2y+z-\sqrt2=0\) et \(Q’:(\sqrt2-2)x-y+\sqrt2z-2=0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\vec n’=\sqrt2\,\vec n\) : \(\dfrac{\sqrt2-2}{1-\sqrt2}=\sqrt2\), \(\dfrac{-1}{-\sqrt2/2}=\sqrt2\), \(\dfrac{\sqrt2}1=\sqrt2\).
🔢 Étape 2 : Constantes : \(\sqrt2\times(-\sqrt2)=-2\) : \(Q’=\sqrt2\,Q\).
✅ Plans confondus.
3) \(P:x-y-3z-2=0\) et \(Q:2x+y+z-1=0\). Déterminer une représentation paramétrique de leur intersection.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(P+Q\) : \(3x-2z-3=0\), donc \(x=1+\dfrac23z\). Posons \(z=3s\) : \(x=1+2s\).
🔢 Étape 2 : \(y=x-3z-2=1+2s-9s-2=-1-7s\).
✅ \((D)\) : \(\begin{cases}x=1+2s\\y=-1-7s\\z=3s\end{cases}\ (s\in\mathbb R)\) (contrôle sur \(Q\) : \(2+4s-1-7s+3s-1=0\)).
4) Étudier si les plans \(P\) et \(P’\) sont parallèles : a) \(2x+y-z=5\) et \(-x+\frac12y-\frac12z=7\) ; b) \(x+3y-5z=4\) et \(-3x-9y+15z=-6\) ; c) \(x+3y-2z=8\) et \(-4x-12y+8z=-32\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : a) \(\vec n(2;1;-1)\), \(\vec n’\left(-1;\frac12;-\frac12\right)\) : \(\dfrac2{-1}=-2\neq\dfrac1{1/2}=2\) : non colinéaires.
🔢 Étape 2 : b) \(\vec n’=-3\vec n\), mais \(-3\times4=-12\neq-6\) : parallèles, non confondus (\(P’\iff x+3y-5z=2\)).
🔢 Étape 3 : c) \(\vec n’=-4\vec n\) et \(-4\times8=-32\) : \(P’=P\).
✅ a) sécants ; b) strictement parallèles ; c) confondus.
Exercice 24
Plans perpendiculaires et paramètre
1) \(P:(\cos t)x+(\sin t)y-z=0\) et \(P’:(\cos t)x+(\sin t)y+z=0\) (\(t\) réel) dans un repère orthonormé. \(P\) et \(P’\) sont-ils perpendiculaires ?
Correction détaillée
📘 Méthode : Plans perpendiculaires : \(\vec n\cdot\vec n’=0\). Distance d’un point à un plan : \(d(A,P)=\dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\).
🔢 \(\vec n(\cos t;\sin t;-1)\), \(\vec n'(\cos t;\sin t;1)\) : \(\vec n\cdot\vec n’=\cos^2t+\sin^2t-1=0\).
✅ Oui, pour tout \(t\) : \(P\perp P’\).
2) Pour quelles valeurs de \(t\) l’axe \((Ox)\) est-il parallèle à \(P\) ?
Correction détaillée
🔢 \(\vec i(1;0;0)\perp\vec n\iff\vec i\cdot\vec n=\cos t=0\). Alors \(O\in P\) (équation vérifiée en \((0,0,0)\)), donc \((Ox)\) est même contenue dans \(P\).
✅ \(t=\dfrac\pi2+k\pi\) (\(k\in\mathbb Z\)) ; dans ce cas \((Ox)\subset P\).
3) Donner un vecteur directeur de la droite intersection des deux plans.
Correction détaillée
🔢 \(\vec n\wedge\vec n’=(\sin t\cdot1-(-1)\sin t;\ (-1)\cos t-\cos t\cdot1;\ 0)=(2\sin t;-2\cos t;0)\).
✅ \(\vec w(\sin t;-\cos t;0)\) (vérifié : \(\vec w\cdot\vec n=0\) et \(\vec w\cdot\vec n’=0\)).
4) Calculer la distance de \(A(\cos t;\sin t;-3)\) au plan \(P\).
Correction détaillée
🔢 \(d=\dfrac{|\cos^2t+\sin^2t+3|}{\sqrt{\cos^2t+\sin^2t+1}}=\dfrac4{\sqrt2}\).
✅ \(d(A,P)=2\sqrt2\).