Orthogonalité dans l’espace Tronc Commun : cours

Ce cours sur l’orthogonalité dans l’espace pour le Tronc Commun présente les droites orthogonales, la perpendicularité d’une droite et d’un plan, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.

Cours sur l’orthogonalité dans l’espace Tronc Commun

DéfinitionÀ connaître par cœur.

PropriétéÀ retenir et à citer.

ExempleRésolu étape par étape.

AstucePour mieux comprendre.

AttentionErreur fréquente.

1Orthogonalité d’une droite et d’un plan

Définition Une droite \(d\) est orthogonale (ou perpendiculaire) à un plan \(P\) si elle est perpendiculaire à deux droites sécantes de \(P\).

Propriétés fondamentales

Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.
Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.
Si une droite \(d\) est orthogonale à un plan \(P\), alors elle est orthogonale à toute droite de \(P\).

Astuce · Comment prouver qu’une droite est orthogonale à un plan ? Il suffit de trouver deux droites sécantes dans le plan qui sont toutes les deux perpendiculaires à la droite.

2Orthogonalité de deux droites

Définition Deux droites \(d\) et \(\Delta\) (non nécessairement coplanaires) sont orthogonales si les parallèles à \(d\) et \(\Delta\) menées par un point quelconque de l’espace sont perpendiculaires.

Attention Ne pas confondre orthogonales (qui peuvent ne pas se couper) et perpendiculaires (qui se coupent en formant un angle droit). Dans l’espace, deux droites orthogonales ne sont pas forcément coplanaires.

3Le Plan Médiateur

Définition Le plan médiateur d’un segment \([AB]\) est le plan perpendiculaire à la droite \((AB)\) et passant par le milieu \(I\) du segment \([AB]\).

Propriété caractéristique Le plan médiateur du segment \([AB]\) est l’ensemble des points \(M\) de l’espace qui sont équidistants de \(A\) et de \(B\), c’est-à-dire tels que :

\[ MA = MB \]

4Orthogonalité de deux plans

Définition Deux plans \(P\) et \(Q\) sont perpendiculaires si l’un d’eux contient une droite orthogonale à l’autre plan.

Propriété Si deux plans sécants sont perpendiculaires à un même troisième plan, alors leur droite d’intersection est orthogonale à ce troisième plan.

Exemple dans un cube \(ABCDEFGH\)

Le plan \((BCF)\) est perpendiculaire au plan \((ABC)\) (car la droite \((FB)\) est orthogonale au plan \((ABC)\)).
Le plan \((AED)\) est perpendiculaire au plan \((ABC)\) (car la droite \((EA)\) est orthogonale au plan \((ABC)\)).

5Exercice corrigé

Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.

★★★ Exercice · Section d’un solide

\(ABCDEFGH\) est un pavé droit. \(I\) est un point de l’arête \([EF]\), \(J\) est un point de l’arête \([AB]\) et \(K\) est un point de la face \(EFGH\). Construire la section du pavé par le plan \((IJK)\).

Voir la solution (Méthode)

1) Le plan \((IJK)\) coupe la face \(ABFE\) suivant la droite \((IJ)\). On trace le segment \([IJ]\).

2) Le plan \((IJK)\) coupe la face \(EFGH\) suivant la droite \((IK)\). Soit \(L\) le point d’intersection de \((IK)\) avec l’arête \([HG]\). On trace le segment \([IL]\).

3) Les faces \(ABFE\) et \(DCGH\) sont parallèles. Le plan \((IJK)\) coupe donc la face \(DCGH\) suivant une droite parallèle à \((IJ)\) passant par \(L\). Cette droite coupe \([CG]\) en \(M\).

4) On justifie de même que le plan \((IJK)\) coupe la face \(ABCD\) suivant une droite parallèle à \((IK)\) passant par \(J\). Cette droite coupe \([BC]\) en \(N\).

5) On termine en traçant le segment \([MN]\).

★Fiche résumé à retenir

Droite orthogonale à un plan : Elle est perpendiculaire à deux droites sécantes de ce plan.
Conséquence : Elle est orthogonale à toutes les droites du plan.
Plan médiateur : \(MA = MB\) pour tout point \(M\) du plan médiateur de \([AB]\).
Plans orthogonaux : L’un contient une droite orthogonale à l’autre.

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