Cette série d’exercices corrigés de logique mathématique pour la 1ère Bac Sc Ex propose des corrections détaillées sur les propositions, les quantificateurs et les raisonnements. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.
Exercices corrigés de logique mathématique 1ère Bac
Logique mathématique · Série de synthèse 1ère Bac
📌 Série de synthèse
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1
Donner la négation et la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes (\(a,b,c\) sont des réels).
1) \(P_1:\ \forall x\in\mathbb R,\ x^2\geq0\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Règles de négation : \(\overline{P\text{ et }Q}=\bar P\text{ ou }\bar Q\) ; \(\overline{P\text{ ou }Q}=\bar P\text{ et }\bar Q\) ; \(\overline{P\Rightarrow Q}=P\text{ et }\bar Q\) ; \(\overline{\forall x,\,P(x)}=\exists x,\,\overline{P(x)}\) ; \(\overline{\exists x,\,P(x)}=\forall x,\,\overline{P(x)}\) ; \(\overline{P\Leftrightarrow Q}=(P\text{ et }\bar Q)\text{ ou }(\bar P\text{ et }Q)\). Pour prouver qu’une proposition \(\forall\) est fausse, un contre-exemple suffit ; pour qu’une proposition \(\exists\) est vraie, un exemple suffit.
🔢 Un carré réel est toujours positif.
✅ \(P_1\) est vraie. Négation : \(\exists x\in\mathbb R,\ x^2<0\) (fausse).
2) \(P_2:\ \exists x\in\mathbb R,\ x^2-2=0\).
Correction détaillée
🔢 \(x=\sqrt2\) convient.
✅ \(P_2\) est vraie. Négation : \(\forall x\in\mathbb R,\ x^2-2\neq0\).
3) \(P_3:\ \forall x,y\in\mathbb R,\ x^2\neq y^2\).
Correction détaillée
🔢 Contre-exemple : \(x=y=1\) donne \(x^2=y^2\).
✅ \(P_3\) est fausse. Négation : \(\exists x,y\in\mathbb R,\ x^2=y^2\) (vraie).
4) \(P_4:\ \forall n\in\mathbb N,\ \exists m\in\mathbb N,\ n<m\).
Correction détaillée
🔢 Pour tout \(n\), \(m=n+1\) convient.
✅ \(P_4\) est vraie. Négation : \(\exists n\in\mathbb N,\ \forall m\in\mathbb N,\ n\geq m\).
5) \(P_5:\ \forall x\in\mathbb R,\ \exists y\in\mathbb Q,\ x=y\text{ ou }x>y\).
Correction détaillée
🔢 Pour tout réel \(x\), le rationnel \(y=\lfloor x\rfloor-1\) vérifie \(y<x\) (donc \(x>y\)).
✅ \(P_5\) est vraie. Négation : \(\exists x\in\mathbb R,\ \forall y\in\mathbb Q,\ x\neq y\text{ et }x<y\).
6) \(P_6:\ \exists y\in\mathbb Q,\ \forall x\in\mathbb R,\ x=y\text{ ou }x>y\).
Correction détaillée
🔢 Il faudrait un rationnel \(y\) plus petit que tous les réels. Pour tout rationnel \(y\), \(x=y-1\) est un réel avec \(x\neq y\) et \(x<y\).
✅ \(P_6\) est fausse. Négation : \(\forall y\in\mathbb Q,\ \exists x\in\mathbb R,\ x\neq y\text{ et }x<y\).
7) \(P_7:\ \forall x\in\mathbb R,\ \exists y\in\mathbb Q,\ y^2=x\).
Correction détaillée
🔢 Contre-exemple : \(x=-1\) (aucun carré n’est négatif) ; ou \(x=2\) (\(\sqrt2\notin\mathbb Q\)).
✅ \(P_7\) est fausse. Négation : \(\exists x\in\mathbb R,\ \forall y\in\mathbb Q,\ y^2\neq x\).
8) \(P_8:\ \forall x,y\in\mathbb R,\ x^2=y^2\text{ et }x=y\).
Correction détaillée
🔢 Contre-exemple : \(x=1\), \(y=2\) : \(x^2\neq y^2\).
✅ \(P_8\) est fausse. Négation : \(\exists x,y\in\mathbb R,\ x^2\neq y^2\text{ ou }x\neq y\).
9) \(P_9:\ \forall x\in\mathbb R,\ -1<\cos x<1\).
Correction détaillée
🔢 Contre-exemple : \(x=0\), \(\cos0=1\).
✅ \(P_9\) est fausse. Négation : \(\exists x\in\mathbb R,\ \cos x\leq-1\text{ ou }\cos x\geq1\).
10) \(P_{10}:\ \) « \(a=b=c\) » (c’est-à-dire \(a=b\) et \(b=c\)).
Correction détaillée
🔢 La négation d’une conjonction est la disjonction des négations.
✅ Négation : \(a\neq b\) ou \(b\neq c\). La valeur de vérité dépend de \(a,b,c\).
11) \(P_{11}:\ a>b\Rightarrow a\geq c\).
Correction détaillée
🔢 \(\overline{P\Rightarrow Q}=P\text{ et }\bar Q\).
✅ Négation : \(a>b\) et \(a<c\) (c’est-à-dire \(b<a<c\)). Valeur de vérité selon \(a,b,c\).
12) \(P_{12}:\ \forall x,y\in\mathbb R,\ \big(x-y=1\Leftrightarrow x>1\big)\).
Correction détaillée
🔢 Contre-exemple : \(x=3\), \(y=0\) : \(x>1\) est vraie mais \(x-y=3\neq1\).
✅ \(P_{12}\) est fausse. Négation : \(\exists x,y\in\mathbb R,\ \big(x-y=1\text{ et }x\leq1\big)\text{ ou }\big(x-y\neq1\text{ et }x>1\big)\).
Exercice 2
Déterminer la valeur de vérité et la négation de chaque proposition suivante.
1) \(\forall x\in\mathbb R,\ \big(x^2\leq x\Rightarrow|x|=x\big)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Règles de négation : \(\overline{P\text{ et }Q}=\bar P\text{ ou }\bar Q\) ; \(\overline{P\text{ ou }Q}=\bar P\text{ et }\bar Q\) ; \(\overline{P\Rightarrow Q}=P\text{ et }\bar Q\) ; \(\overline{\forall x,\,P(x)}=\exists x,\,\overline{P(x)}\) ; \(\overline{\exists x,\,P(x)}=\forall x,\,\overline{P(x)}\) ; \(\overline{P\Leftrightarrow Q}=(P\text{ et }\bar Q)\text{ ou }(\bar P\text{ et }Q)\). Pour prouver qu’une proposition \(\forall\) est fausse, un contre-exemple suffit ; pour qu’une proposition \(\exists\) est vraie, un exemple suffit.
🔢 Si \(x^2\leq x\), alors \(x\geq x^2\geq0\), donc \(|x|=x\).
✅ Vraie. Négation : \(\exists x\in\mathbb R,\ x^2\leq x\text{ et }|x|\neq x\).
2) \(x\in\mathbb R,\ \big(x^2=4\Leftrightarrow x=2\big)\).
Correction détaillée
🔢 \(x=2\Rightarrow x^2=4\) est vraie, mais \(x^2=4\Rightarrow x=2\) est fausse (\(x=-2\)).
✅ Fausse (pour \(x=-2\)). Négation : \(\big(x^2=4\text{ et }x\neq2\big)\text{ ou }\big(x^2\neq4\text{ et }x=2\big)\).
3) \((7<5\text{ et }2+1=3)\) ou \((-3\in\mathbb N)\).
Correction détaillée
🔢 \(7<5\) est fausse donc la conjonction est fausse ; \(-3\in\mathbb N\) est fausse.
✅ Fausse. Négation : \((7\geq5\text{ ou }2+1\neq3)\) et \((-3\notin\mathbb N)\) (vraie).
4) \((7<5\Rightarrow2+1=0)\) ou \((-3\in\mathbb N)\).
Correction détaillée
🔢 \(7<5\) est fausse donc l’implication est vraie (faux \(\Rightarrow\) n’importe quoi).
✅ Vraie. Négation : \((7<5\text{ et }2+1\neq0)\) et \((-3\notin\mathbb N)\) (fausse).
5) \(\big(\exists n\in\mathbb Z,\ n^2\leq n\big)\) ; \(\ \big(\forall x\in\mathbb R,\ x^2<x\big)\).
Correction détaillée
🔢 Première : \(n=0\) ou \(n=1\) convient. Seconde : \(x=0\) donne \(0<0\) faux.
✅ La première est vraie, la seconde est fausse. Négations : \(\forall n\in\mathbb Z,\ n^2>n\) et \(\exists x\in\mathbb R,\ x^2\geq x\).
6) \(\big(\forall x\in\mathbb R,\ \exists y\in\mathbb R,\ x-y+3=0\big)\) ; \(\big(\exists y\in\mathbb R,\ \forall x\in\mathbb R,\ x-y+3=0\big)\).
Correction détaillée
🔢 Première : \(y=x+3\) convient. Seconde : \(y\) fixé ne peut pas vérifier \(y=x+3\) pour tout \(x\).
✅ La première est vraie, la seconde est fausse (l’ordre des quantificateurs est essentiel). Négation de la seconde : \(\forall y\in\mathbb R,\ \exists x\in\mathbb R,\ x-y+3\neq0\).
7) \(\forall x\in\mathbb R,\ \big(\sqrt{x^2+3}\geq2\Leftrightarrow x\geq1\big)\).
Correction détaillée
🔢 \(\sqrt{x^2+3}\geq2\iff x^2\geq1\iff x\leq-1\text{ ou }x\geq1\). Contre-exemple : \(x=-2\) : \(\sqrt7\geq2\) mais \(x\ngeq1\).
✅ Fausse. Négation : \(\exists x\in\mathbb R,\ \big(\sqrt{x^2+3}\geq2\text{ et }x<1\big)\text{ ou }\big(\sqrt{x^2+3}<2\text{ et }x\geq1\big)\).
Exercice 3
Donner la négation et la valeur de vérité de chacune des propositions suivantes.
1) « \(x\in[1;2[\) » (\(x\) réel).
Correction détaillée
📘 Méthode : Règles de négation : \(\overline{P\text{ et }Q}=\bar P\text{ ou }\bar Q\) ; \(\overline{P\text{ ou }Q}=\bar P\text{ et }\bar Q\) ; \(\overline{P\Rightarrow Q}=P\text{ et }\bar Q\) ; \(\overline{\forall x,\,P(x)}=\exists x,\,\overline{P(x)}\) ; \(\overline{\exists x,\,P(x)}=\forall x,\,\overline{P(x)}\) ; \(\overline{P\Leftrightarrow Q}=(P\text{ et }\bar Q)\text{ ou }(\bar P\text{ et }Q)\). Pour prouver qu’une proposition \(\forall\) est fausse, un contre-exemple suffit ; pour qu’une proposition \(\exists\) est vraie, un exemple suffit.
🔢 \(x\in[1;2[\iff1\leq x<2\). La négation d’une conjonction est une disjonction.
✅ \(x\notin[1;2[\iff x<1\text{ ou }x\geq2\).
2) « \(\forall n\in\mathbb N,\ \dfrac n2\in\mathbb N\) ».
Correction détaillée
🔢 Contre-exemple : \(n=1\).
✅ Fausse. Négation : \(\exists n\in\mathbb N,\ \dfrac n2\notin\mathbb N\).
3) « \(\forall x\in\mathbb R,\ -1\leq\cos x\leq1\) » ; « \(\forall n\in\mathbb N,\ \exists m\in\mathbb N,\ n<m\) ».
Correction détaillée
🔢 Les deux sont vraies (propriété du cosinus ; \(m=n+1\)).
✅ Négations : \(\exists x\in\mathbb R,\ \cos x<-1\text{ ou }\cos x>1\) ; \(\exists n\in\mathbb N,\ \forall m\in\mathbb N,\ n\geq m\).
4) « \(\exists n\in\mathbb N,\ 2n+1\text{ est pair}\) » ; « \(\forall n\in\mathbb N,\ \sqrt n\in\mathbb N\) ».
Correction détaillée
🔢 \(2n+1\) est toujours impair : fausse. Contre-exemple pour la seconde : \(n=2\).
✅ Les deux sont fausses. Négations : \(\forall n\in\mathbb N,\ 2n+1\text{ est impair}\) ; \(\exists n\in\mathbb N,\ \sqrt n\notin\mathbb N\).
5) « \(\forall x\in\mathbb R,\ \exists y\in\mathbb R,\ y-x>0\) » ; « \(\exists!x\in\mathbb R,\ 2x+4=0\) » ; « \(\exists!x\in\mathbb R,\ x^2=2\) ».
Correction détaillée
🔢 Première : \(y=x+1\). Deuxième : \(x=-2\) est la seule solution. Troisième : deux solutions \(\pm\sqrt2\).
✅ Vraie ; vraie ; fausse. Négation de « \(\exists!x\) » : « il n’existe aucun \(x\) ou il en existe au moins deux ».
6) « \(\exists x\in\mathbb Z,\ \dfrac x4\in\mathbb Z\) » ; « \(\forall x\in\mathbb Z,\ \exists y\in\mathbb R,\ y^2=x\) ».
Correction détaillée
🔢 Première : \(x=0\) (ou \(4\)). Seconde : contre-exemple \(x=-1\).
✅ Vraie ; fausse. Négations : \(\forall x\in\mathbb Z,\ \dfrac x4\notin\mathbb Z\) ; \(\exists x\in\mathbb Z,\ \forall y\in\mathbb R,\ y^2\neq x\).
Exercice 4
Écrire la négation des propositions suivantes (en langage courant puis, si possible, en langage mathématique).
1) « Toutes les voitures rapides sont rouges ».
Correction détaillée
📘 Méthode : Règles de négation : \(\overline{P\text{ et }Q}=\bar P\text{ ou }\bar Q\) ; \(\overline{P\text{ ou }Q}=\bar P\text{ et }\bar Q\) ; \(\overline{P\Rightarrow Q}=P\text{ et }\bar Q\) ; \(\overline{\forall x,\,P(x)}=\exists x,\,\overline{P(x)}\) ; \(\overline{\exists x,\,P(x)}=\forall x,\,\overline{P(x)}\) ; \(\overline{P\Leftrightarrow Q}=(P\text{ et }\bar Q)\text{ ou }(\bar P\text{ et }Q)\). Pour prouver qu’une proposition \(\forall\) est fausse, un contre-exemple suffit ; pour qu’une proposition \(\exists\) est vraie, un exemple suffit.
🔢 Forme : \(\forall v,\ (v\text{ rapide}\Rightarrow v\text{ rouge})\). La négation est \(\exists v,\ v\text{ rapide et non rouge}\).
✅ « Il existe une voiture rapide qui n’est pas rouge ».
2) « Tout triangle rectangle possède un angle droit ».
Correction détaillée
🔢 \(\forall T,\ (T\text{ rectangle}\Rightarrow T\text{ possède un angle droit})\).
✅ « Il existe un triangle rectangle qui ne possède pas d’angle droit » (la proposition de départ est vraie par définition, sa négation est fausse).
3) « Dans toutes les prisons, tous les détenus détestent tous les gardiens ».
Correction détaillée
🔢 \(\forall\text{ prison},\ \forall d,\ \forall g,\ d\text{ déteste }g\). On nie en remplaçant chaque \(\forall\) par \(\exists\) et on nie la conclusion.
✅ « Il existe une prison dans laquelle il existe un détenu et un gardien tels que le détenu ne déteste pas le gardien ».
4) « Pour tout entier \(x\) il existe un entier \(y\) tel que, pour tout entier \(z\), la relation \(z<y\) implique la relation \(z<x+1\) ».
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Symboliquement : \(\forall x\in\mathbb Z,\ \exists y\in\mathbb Z,\ \forall z\in\mathbb Z,\ (z<y\Rightarrow z<x+1)\).
🔢 Étape 2 : On inverse chaque quantificateur et on nie l’implication : \(P\Rightarrow Q\) devient \(P\) et \(\bar Q\).
✅ \(\exists x\in\mathbb Z,\ \forall y\in\mathbb Z,\ \exists z\in\mathbb Z,\ (z<y\text{ et }z\geq x+1)\).
5) « Il existe un mouton écossais dont au moins un côté est noir ».
Correction détaillée
🔢 \(\exists m,\ \big(m\text{ écossais}\text{ et }\text{(au moins un côté de }m\text{ est noir)}\big)\).
✅ « Tous les moutons écossais ont leurs deux côtés non noirs » (ou : « tous les côtés de tous les moutons écossais sont non noirs »).
6) Négation de a) \((P\text{ et }Q)\) ; b) \((\text{non }P\text{ et non }Q)\) ; c) \((P\Rightarrow Q)\).
Correction détaillée
🔢 Lois de De Morgan et \(P\Rightarrow Q\equiv\bar P\text{ ou }Q\).
✅ a) \(\bar P\text{ ou }\bar Q\) ; b) \(P\text{ ou }Q\) ; c) \(P\text{ et }\bar Q\).
Exercice 5
Supposons que les chiens aboient et que la caravane passe. On note \(p\) : « les chiens aboient » et \(q\) : « la caravane passe ». Traduire en langage propositionnel les phrases suivantes.
a) « Si la caravane passe, alors les chiens aboient. »
Correction détaillée
📘 Méthode : Traduction : « si … alors … » \(\to\Rightarrow\) ; « et » \(\to\wedge\) ; « ou » \(\to\vee\) ; « ne … pas » \(\to\) négation.
🔢 \(p\) : les chiens aboient ; \(q\) : la caravane passe.
✅ \(q\Rightarrow p\).
b) « Les chiens n’aboient pas. »
Correction détaillée
🔢 C’est la négation de \(p\).
✅ \(\bar p\).
c) « La caravane ne passe pas ou les chiens aboient. »
Correction détaillée
🔢 \(\bar q\text{ ou }p\) (équivalente à \(q\Rightarrow p\)).
✅ \(\bar q\vee p\).
d) « Les chiens n’aboient pas et la caravane ne passe pas. »
Correction détaillée
🔢 Conjonction de deux négations.
✅ \(\bar p\wedge\bar q\) (équivalente à la négation de \(p\vee q\)).
Exercice 6
Soient les assertions suivantes ; dire si elles sont vraies ou fausses et donner leur négation.
1) \(P_1:\ \exists x\in\mathbb R,\ \forall y\in\mathbb R,\ x+y>0\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Règles de négation : \(\overline{P\text{ et }Q}=\bar P\text{ ou }\bar Q\) ; \(\overline{P\text{ ou }Q}=\bar P\text{ et }\bar Q\) ; \(\overline{P\Rightarrow Q}=P\text{ et }\bar Q\) ; \(\overline{\forall x,\,P(x)}=\exists x,\,\overline{P(x)}\) ; \(\overline{\exists x,\,P(x)}=\forall x,\,\overline{P(x)}\) ; \(\overline{P\Leftrightarrow Q}=(P\text{ et }\bar Q)\text{ ou }(\bar P\text{ et }Q)\). Pour prouver qu’une proposition \(\forall\) est fausse, un contre-exemple suffit ; pour qu’une proposition \(\exists\) est vraie, un exemple suffit.
🔢 Pour \(x\) fixé, \(y=-x\) donne \(x+y=0\), non \(>0\).
✅ Fausse. Négation : \(\forall x\in\mathbb R,\ \exists y\in\mathbb R,\ x+y\leq0\).
2) \(P_2:\ \forall x\in\mathbb R,\ \exists y\in\mathbb R,\ x+y>0\).
Correction détaillée
🔢 Prendre \(y=-x+1\).
✅ Vraie. Négation : \(\exists x\in\mathbb R,\ \forall y\in\mathbb R,\ x+y\leq0\).
3) \(P_3:\ \exists x\in\mathbb R,\ \forall y\in\mathbb R,\ y^2>x\).
Correction détaillée
🔢 Prendre \(x=-1\) : \(y^2\geq0>-1\).
✅ Vraie. Négation : \(\forall x\in\mathbb R,\ \exists y\in\mathbb R,\ y^2\leq x\).
4) \(P_4:\ \forall\varepsilon\in\mathbb R^{+*},\ \exists\alpha\in\mathbb R^{+*},\ \big(|x|<\alpha\Rightarrow|x^2|<\varepsilon\big)\) (\(x\in\mathbb R\)).
Correction détaillée
🔢 Soit \(\varepsilon>0\). Prenons \(\alpha=\sqrt\varepsilon>0\). Si \(|x|<\alpha\), alors \(x^2<\alpha^2=\varepsilon\).
✅ Vraie. Négation : \(\exists\varepsilon>0,\ \forall\alpha>0,\ \exists x\in\mathbb R,\ |x|<\alpha\text{ et }|x^2|\geq\varepsilon\).
5) \(Q:\ (\exists x\in\mathbb R):\ \big(x<2\Rightarrow x^2\geq2019\big)\) et \(P:\ (\forall x\in\mathbb R):\ \big(x\neq2\Rightarrow x^2\neq4\big)\). Écrire leurs négations.
Correction détaillée
🔢 Négation de \(Q\) : on change \(\exists\) en \(\forall\) et on nie l’implication. Négation de \(P\) : \(\exists\) et \(x\neq2\) et \(x^2=4\).
✅ \(\bar Q:\ \forall x\in\mathbb R,\ (x<2\text{ et }x^2<2019)\) ; \(\bar P:\ \exists x\in\mathbb R,\ (x\neq2\text{ et }x^2=4)\) (vraie : \(x=-2\) ; donc \(P\) est fausse).
Exercice 7
Étudier la vérité des propositions suivantes.
1) \(\forall x\in\mathbb R:\ 2x^2+x+3>0\).
Correction détaillée
🔢 \(\Delta=1-24=-23<0\) et le coefficient de \(x^2\) est positif.
✅ Vraie (le trinôme est strictement positif sur \(\mathbb R\)).
2) \(\forall(a;b)\in\mathbb Q^{*2}:\ a\sqrt2+b\neq0\).
Correction détaillée
🔢 Si \(a\sqrt2+b=0\), alors \(\sqrt2=-\dfrac ba\in\mathbb Q\) (car \(a\neq0\)) : contradiction avec \(\sqrt2\notin\mathbb Q\).
✅ Vraie.
3) \(\forall n\in\mathbb N^*:\ \dfrac{n+1}n\notin\mathbb N\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{n+1}n=1+\dfrac1n\). Pour \(n=1\) : \(2\in\mathbb N\).
✅ Fausse (contre-exemple \(n=1\)).
4) \(\exists x\in\mathbb R:\ |x^2-x|+3x=0\).
Correction détaillée
🔢 \(x=0\) : \(0+0=0\).
✅ Vraie (\(x=0\) ; on peut aussi chercher d’autres solutions : pour \(x<0\), \(|x^2-x|=x^2-x\) et \(x^2+2x=0\Rightarrow x=-2\) convient).
5) \(\exists x>0:\ x^2+3x=0\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x>0\), \(x^2+3x>0\).
✅ Fausse.
Exercice 8
Écrire à l’aide de quantificateurs les propositions suivantes, puis dire si elles sont vraies ou fausses.
1) Il existe un réel \(M\) tel que pour tout \(x\in\mathbb R\) on a \(x\leq M\).
Correction détaillée
📘 Méthode : \(\forall\) = « quel que soit », \(\exists\) = « il existe », \(\exists!\) = « il existe un unique ». L’ordre des quantificateurs compte : \(\forall x\,\exists y\) n’est pas équivalent à \(\exists y\,\forall x\).
🔢 « Il existe … tel que pour tout … ».
✅ \(\exists M\in\mathbb R,\ \forall x\in\mathbb R,\ x\leq M\) (fausse : prendre \(x=M+1\)).
2) Le carré de tout réel est positif.
Correction détaillée
🔢 Quantificateur universel sur \(\mathbb R\).
✅ \(\forall x\in\mathbb R,\ x^2\geq0\) (vraie).
3) Certains réels sont strictement supérieurs à leur carré.
Correction détaillée
🔢 « Certains » = « il existe au moins un ».
✅ \(\exists x\in\mathbb R,\ x>x^2\) (vraie : \(x=\tfrac12\)).
4) Il n’existe aucun nombre rationnel qui résout l’équation \(x^2=2\).
Correction détaillée
🔢 Négation d’un \(\exists\) : \(\forall\) avec la négation de la propriété.
✅ \(\forall x\in\mathbb Q,\ x^2\neq2\) (vraie, car \(\sqrt2\notin\mathbb Q\)).
5) \(f\) est une fonction constante sur \(\mathbb R\) ; puis : \(f\) n’est pas constante.
Correction détaillée
🔢 Constante : tous les images sont égales.
✅ \(\forall x,y\in\mathbb R,\ f(x)=f(y)\) ; négation : \(\exists x,y\in\mathbb R,\ f(x)\neq f(y)\).
6) Entre deux réels distincts, il existe un rationnel.
Correction détaillée
🔢 Si \(a<b\), il existe un rationnel \(r\) avec \(a<r<b\).
✅ \(\forall a,b\in\mathbb R,\ a<b\Rightarrow\exists r\in\mathbb Q,\ a<r<b\) (vraie).
7) Il existe un entier multiple de tous les autres.
Correction détaillée
🔢 « \(m\) est multiple de \(n\) » s’écrit \(\exists k\in\mathbb Z,\ m=kn\).
✅ \(\exists m\in\mathbb Z,\ \forall n\in\mathbb Z,\ \exists k\in\mathbb Z,\ m=kn\) (vraie : \(m=0\)).
8) Aucun entier n’est supérieur à tous les autres.
Correction détaillée
🔢 Négation de « il existe un entier supérieur à tous les autres ».
✅ \(\forall m\in\mathbb Z,\ \exists n\in\mathbb Z,\ n>m\) (vraie : \(n=m+1\)).
9) Tous les réels ne sont pas des quotients d’entiers.
Correction détaillée
🔢 Négation de : tout réel est un quotient d’entiers.
✅ \(\exists x\in\mathbb R,\ \forall(p,q)\in\mathbb Z\times\mathbb Z^*,\ x\neq\dfrac pq\) (vraie : \(\sqrt2\)).
10) Pour tout entier naturel \(n\), il existe au moins un entier naturel \(k\) tel que \(k\leq n\).
Correction détaillée
🔢 \(k=n\) ou \(k=0\) convient.
✅ \(\forall n\in\mathbb N,\ \exists k\in\mathbb N,\ k\leq n\) (vraie).
11) Il n’existe pas de nombre rationnel solution de \(x^2-3=0\).
Correction détaillée
🔢 Même technique qu’en 4).
✅ \(\forall x\in\mathbb Q,\ x^2-3\neq0\).
Exercice 9
Écrire à l’aide de quantificateurs la phrase suivante.
1) « Pour tout nombre réel, son carré est positif ».
Correction détaillée
📘 Méthode : \(\forall\) = « quel que soit », \(\exists\) = « il existe », \(\exists!\) = « il existe un unique ». L’ordre des quantificateurs compte : \(\forall x\,\exists y\) n’est pas équivalent à \(\exists y\,\forall x\).
🔢 Forme : \(\forall x\in\mathbb R,\ \dots\)
✅ \(\forall x\in\mathbb R,\ x^2\geq0\).
2) « Pour chaque réel, je peux trouver un entier relatif tel que leur produit soit strictement plus grand que \(1\) ».
Correction détaillée
🔢 Pour \(x\) fixé, il faut \(n\in\mathbb Z\) avec \(nx>1\).
✅ \(\forall x\in\mathbb R,\ \exists n\in\mathbb Z,\ nx>1\). Fausse : pour \(x=0\), \(nx=0\leq1\).
3) « Pour tout entier \(n\), il existe un unique réel \(x\) tel que \(x>n\) ».
Correction détaillée
🔢 \(\exists!\) : existence et unicité.
✅ \(\forall n\in\mathbb Z,\ \exists!x\in\mathbb R,\ x>n\). Fausse : il y a une infinité de tels réels (\(n+1\), \(n+2\), …).
Exercice 10
Écrire avec des quantificateurs les propositions suivantes puis dire si elles sont vraies ou fausses.
1) Tout entier naturel est pair ou impair.
Correction détaillée
📘 Méthode : \(\forall\) = « quel que soit », \(\exists\) = « il existe », \(\exists!\) = « il existe un unique ». L’ordre des quantificateurs compte : \(\forall x\,\exists y\) n’est pas équivalent à \(\exists y\,\forall x\).
🔢 « \(n\) est pair » \(\iff\exists k\in\mathbb N,\ n=2k\) ; « impair » \(\iff\exists k\in\mathbb N,\ n=2k+1\).
✅ \(\forall n\in\mathbb N,\ (\exists k\in\mathbb N,\ n=2k)\text{ ou }(\exists k\in\mathbb N,\ n=2k+1)\). Vraie (division euclidienne par \(2\)).
2) Tout entier naturel est pair ou tout entier naturel est impair.
Correction détaillée
🔢 Le « ou » est ici entre deux propositions universelles.
✅ \((\forall n\in\mathbb N,\ n\text{ pair})\text{ ou }(\forall n\in\mathbb N,\ n\text{ impair})\). Fausse : \(0\) est pair mais \(1\) ne l’est pas.
3) Il y a un entier plus grand que tous les entiers.
Correction détaillée
🔢 \(\exists m\in\mathbb Z,\ \forall n\in\mathbb Z,\ n\leq m\).
✅ Fausse : pour tout \(m\), \(n=m+1>m\).
Exercice 11
Déterminer les valeurs de vérité des propositions suivantes.
1) \((3\text{ est un nombre impair})\Rightarrow(6\text{ est un nombre premier})\).
Correction détaillée
📘 Méthode : \(P\Rightarrow Q\) est fausse uniquement si \(P\) est vraie et \(Q\) fausse ; \(P\Rightarrow Q\equiv\bar P\text{ ou }Q\) ; contraposée : \(P\Rightarrow Q\equiv\bar Q\Rightarrow\bar P\) ; réciproque : \(Q\Rightarrow P\). « \(P\Rightarrow Q\) » se lit : \(P\) est une condition suffisante pour \(Q\), et \(Q\) est une condition nécessaire pour \(P\). Une tautologie (loi logique) est une proposition toujours vraie.
🔢 Prémisse vraie, conclusion fausse (\(6=2\times3\)).
✅ Fausse.
2) \((\sqrt2\text{ est irrationnel})\Rightarrow\big[\forall x\in\mathbb R,\ 1+2x<x^2\big]\).
Correction détaillée
🔢 Prémisse vraie. Conclusion : \(x^2-2x-1>0\) n’est pas vraie pour tout \(x\) (par ex. \(x=0\) : \(-1>0\) faux) : conclusion fausse.
✅ Fausse.
3) \((5\text{ est positif})\Rightarrow(3\text{ divise }18)\).
Correction détaillée
🔢 Prémisse vraie ; \(18=3\times6\), conclusion vraie.
✅ Vraie.
Exercice 12
Donner des conditions comme demandé : 1) une condition nécessaire et non suffisante ; 2) une condition suffisante et non nécessaire.
1.a) Donner une condition nécessaire et non suffisante pour \(x\in[1,2]\).
Correction détaillée
📘 Méthode : \(P\Rightarrow Q\) est fausse uniquement si \(P\) est vraie et \(Q\) fausse ; \(P\Rightarrow Q\equiv\bar P\text{ ou }Q\) ; contraposée : \(P\Rightarrow Q\equiv\bar Q\Rightarrow\bar P\) ; réciproque : \(Q\Rightarrow P\). « \(P\Rightarrow Q\) » se lit : \(P\) est une condition suffisante pour \(Q\), et \(Q\) est une condition nécessaire pour \(P\). Une tautologie (loi logique) est une proposition toujours vraie.
🔢 Il faut un ensemble plus grand qui contient \([1,2]\) strictement : par exemple \(x\geq0\) (si \(x\in[1,2]\) alors \(x\geq0\), mais \(x=0\) est un contre-exemple de la réciproque).
✅ Condition : « \(x\geq0\) » (ou « \(x\in[0,3]\) »).
1.b) Donner une condition nécessaire et non suffisante pour « \(n\) divise \(6\) ».
Correction détaillée
🔢 Si \(n\) divise \(6\), alors \(n\) divise \(12\) ; mais \(n=4\) divise \(12\) et non \(6\).
✅ Condition : « \(n\) divise \(12\) » (ou « \(n\leq6\) »).
2.a) Donner une condition suffisante et non nécessaire pour \(x\in[1,2]\).
Correction détaillée
🔢 Il faut un ensemble strictement contenu dans \([1,2]\).
✅ Condition : « \(x\in[1{,}2;1{,}5]\) » (\(x=1\) est dans \([1,2]\) sans vérifier la condition).
2.b) Donner une condition suffisante et non nécessaire pour « \(n\) divise \(6\) ».
Correction détaillée
🔢 Par exemple \(n=3\).
✅ Condition : « \(n=3\) » (\(n=2\) divise \(6\) sans vérifier la condition).
Exercice 13
Soient \(p\) et \(q\) deux propositions. Montrer, par deux méthodes différentes (table de vérité et transformations logiques), que chaque proposition est une loi logique ; sinon, le dire.
a) \(p\Rightarrow(q\Rightarrow p)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : \(P\Rightarrow Q\) est fausse uniquement si \(P\) est vraie et \(Q\) fausse ; \(P\Rightarrow Q\equiv\bar P\text{ ou }Q\) ; contraposée : \(P\Rightarrow Q\equiv\bar Q\Rightarrow\bar P\) ; réciproque : \(Q\Rightarrow P\). « \(P\Rightarrow Q\) » se lit : \(P\) est une condition suffisante pour \(Q\), et \(Q\) est une condition nécessaire pour \(P\). Une tautologie (loi logique) est une proposition toujours vraie.
🔢 Étape 1 : \(q\Rightarrow p\equiv\bar q\text{ ou }p\). Donc \(p\Rightarrow(q\Rightarrow p)\equiv\bar p\text{ ou }\bar q\text{ ou }p\), qui contient \(\bar p\text{ ou }p\).
🔢 Étape 2 :
| \(p\) | \(q\) | \(q\Rightarrow p\) | \(p\Rightarrow(q\Rightarrow p)\) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | V | V |
| F | V | F | V |
| F | F | V | V |
✅ C’est une tautologie (une loi logique).
b) \(p\Rightarrow(\bar p\Rightarrow q)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\bar p\Rightarrow q\equiv p\text{ ou }q\). Donc \(p\Rightarrow(\bar p\Rightarrow q)\equiv\bar p\text{ ou }p\text{ ou }q\).
🔢 Étape 2 :
| \(p\) | \(q\) | \(\bar p\Rightarrow q\) | \(p\Rightarrow(\bar p\Rightarrow q)\) |
|---|---|---|---|
| V | V | V | V |
| V | F | V | V |
| F | V | V | V |
| F | F | F | V |
✅ C’est une tautologie.
c) \((\bar p\Rightarrow q)\Rightarrow p\) est-elle une proposition ? Est-ce une loi logique ?
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : C’est une proposition (composée de \(p\) et \(q\)). \(\bar p\Rightarrow q\equiv p\text{ ou }q\), donc \((\bar p\Rightarrow q)\Rightarrow p\equiv\overline{p\text{ ou }q}\text{ ou }p\equiv p\text{ ou }\bar q\).
🔢 Étape 2 :
| \(p\) | \(q\) | \((\bar p\Rightarrow q)\Rightarrow p\) |
|---|---|---|
| V | V | V |
| V | F | V |
| F | V | F |
| F | F | V |
✅ C’est une proposition, mais pas une tautologie : elle est fausse pour \(p\) fausse et \(q\) vraie.
Exercice 14
À l’aide d’une table de vérité, dire si la formule « \(P\) ou \(\bar P\) » est une tautologie.
Correction détaillée
📘 Méthode : \(P\Rightarrow Q\) est fausse uniquement si \(P\) est vraie et \(Q\) fausse ; \(P\Rightarrow Q\equiv\bar P\text{ ou }Q\) ; contraposée : \(P\Rightarrow Q\equiv\bar Q\Rightarrow\bar P\) ; réciproque : \(Q\Rightarrow P\). « \(P\Rightarrow Q\) » se lit : \(P\) est une condition suffisante pour \(Q\), et \(Q\) est une condition nécessaire pour \(P\). Une tautologie (loi logique) est une proposition toujours vraie.
🔢
| \(P\) | \(\bar P\) | \(P\text{ ou }\bar P\) |
|---|---|---|
| V | F | V |
| F | V | V |
✅ Oui : « \(P\) ou non \(P\) » est toujours vraie (principe du tiers exclu).
Exercice 15
Montrer que \(\big(p\Rightarrow(q\Rightarrow r)\big)\Longleftrightarrow\big((p\text{ et }q)\Rightarrow r\big)\) par équivalences successives.
Correction détaillée
📘 Méthode : \(P\Rightarrow Q\) est fausse uniquement si \(P\) est vraie et \(Q\) fausse ; \(P\Rightarrow Q\equiv\bar P\text{ ou }Q\) ; contraposée : \(P\Rightarrow Q\equiv\bar Q\Rightarrow\bar P\) ; réciproque : \(Q\Rightarrow P\). « \(P\Rightarrow Q\) » se lit : \(P\) est une condition suffisante pour \(Q\), et \(Q\) est une condition nécessaire pour \(P\). Une tautologie (loi logique) est une proposition toujours vraie.
🔢 Étape 1 : \(p\Rightarrow(q\Rightarrow r)\equiv\bar p\text{ ou }(\bar q\text{ ou }r)\) (\(\Rightarrow\) remplacée).
🔢 Étape 2 : \(\equiv(\bar p\text{ ou }\bar q)\text{ ou }r\) (associativité de « ou »).
🔢 Étape 3 : \(\equiv\overline{p\text{ et }q}\text{ ou }r\) (De Morgan) \(\equiv(p\text{ et }q)\Rightarrow r\).
✅ Les deux propositions sont équivalentes.
Exercice 16
On considère l’implication suivante \(P(a,b):\ a+b+ab+1=0\Rightarrow(a=-1\text{ ou }b=-1)\).
1) Déterminer l’implication contraposée de \(P(a,b)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : \(P\Rightarrow Q\) est fausse uniquement si \(P\) est vraie et \(Q\) fausse ; \(P\Rightarrow Q\equiv\bar P\text{ ou }Q\) ; contraposée : \(P\Rightarrow Q\equiv\bar Q\Rightarrow\bar P\) ; réciproque : \(Q\Rightarrow P\). « \(P\Rightarrow Q\) » se lit : \(P\) est une condition suffisante pour \(Q\), et \(Q\) est une condition nécessaire pour \(P\). Une tautologie (loi logique) est une proposition toujours vraie.
🔢 \(P\Rightarrow Q\) a pour contraposée \(\bar Q\Rightarrow\bar P\) ; \(\overline{a=-1\text{ ou }b=-1}=(a\neq-1\text{ et }b\neq-1)\).
✅ \(\big(a\neq-1\text{ et }b\neq-1\big)\Rightarrow a+b+ab+1\neq0\).
2) Déterminer la négation de \(P(a,b)\).
Correction détaillée
🔢 \(\overline{P\Rightarrow Q}=P\text{ et }\bar Q\).
✅ \(a+b+ab+1=0\text{ et }a\neq-1\text{ et }b\neq-1\).
3) Montrer que \(P(a,b)\) est une implication vraie.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(a+b+ab+1=(a+1)(b+1)\).
🔢 Étape 2 : Si \((a+1)(b+1)=0\), un produit nul impose \(a+1=0\) ou \(b+1=0\).
✅ \(a=-1\) ou \(b=-1\) : l’implication est vraie.
Exercice 17
On considère l’implication \(P:\ \forall x\in[0,+\infty[,\ \forall y\in[1,+\infty[:\ \Big(\sqrt x+\sqrt{y-1}=\tfrac12(x+y+1)\Big)\Rightarrow(x=1\text{ et }y=2)\).
1) Écrire \(P\) sans utiliser le connecteur \(\Rightarrow\) ni l’expression « si … alors … ».
Correction détaillée
📘 Méthode : \(P\Rightarrow Q\) est fausse uniquement si \(P\) est vraie et \(Q\) fausse ; \(P\Rightarrow Q\equiv\bar P\text{ ou }Q\) ; contraposée : \(P\Rightarrow Q\equiv\bar Q\Rightarrow\bar P\) ; réciproque : \(Q\Rightarrow P\). « \(P\Rightarrow Q\) » se lit : \(P\) est une condition suffisante pour \(Q\), et \(Q\) est une condition nécessaire pour \(P\). Une tautologie (loi logique) est une proposition toujours vraie.
🔢 \(A\Rightarrow B\equiv\bar A\text{ ou }B\).
✅ \(\forall x\geq0,\ \forall y\geq1,\ \Big(\sqrt x+\sqrt{y-1}\neq\tfrac12(x+y+1)\Big)\text{ ou }(x=1\text{ et }y=2)\).
2) Déterminer la négation de \(P\).
Correction détaillée
🔢 On change les quantificateurs et on nie \(A\Rightarrow B\) : \(A\) et \(\bar B\).
✅ \(\exists x\geq0,\ \exists y\geq1,\ \Big(\sqrt x+\sqrt{y-1}=\tfrac12(x+y+1)\text{ et }(x\neq1\text{ ou }y\neq2)\Big)\).
3) Déterminer l’implication contraposée de \(P\).
Correction détaillée
🔢 Contraposée de \(A\Rightarrow B\) : \(\bar B\Rightarrow\bar A\).
✅ \(\forall x\geq0,\ \forall y\geq1,\ (x\neq1\text{ ou }y\neq2)\Rightarrow\sqrt x+\sqrt{y-1}\neq\tfrac12(x+y+1)\).
4) Déterminer la valeur de vérité de \(P\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Pour \(x\geq0\) : \(\sqrt x\leq\dfrac{x+1}2\) (car \((\sqrt x-1)^2\geq0\)), égalité ssi \(x=1\).
🔢 Étape 2 : Pour \(y\geq1\) : \(\sqrt{y-1}\leq\dfrac{(y-1)+1}2=\dfrac y2\), égalité ssi \(y-1=1\).
🔢 Étape 3 : En ajoutant : \(\sqrt x+\sqrt{y-1}\leq\dfrac{x+1}2+\dfrac y2=\dfrac12(x+y+1)\), avec égalité ssi \(x=1\) et \(y=2\).
✅ \(P\) est vraie.
Exercice 18
(Raisonnement direct) Soient \(a\in\mathbb R^{+*}\) et \(b\in\mathbb R^+\).
1) Montrer que si \(a\leq b\) alors \(a\leq\dfrac{a+b}2\leq b\) et \(0\leq\sqrt{ab}\leq b\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Raisonnement direct : on suppose l’hypothèse \(P\) vraie et on enchaîne des implications pour atteindre \(Q\). Équivalences successives : on transforme \(P\) en \(Q\) par des équivalences (utile pour résoudre équations et inéquations). Pour comparer, on peut étudier un signe ou utiliser l’identité \(a^2+b^2\geq2ab\).
🔢 Étape 1 : \(a\leq b\Rightarrow2a\leq a+b\Rightarrow a\leq\dfrac{a+b}2\). De même \(a+b\leq2b\Rightarrow\dfrac{a+b}2\leq b\).
🔢 Étape 2 : \(a>0\), \(b>0\) : \(\sqrt{ab}\geq0\). Et \(a\leq b\Rightarrow ab\leq b^2\Rightarrow\sqrt{ab}\leq b\) (la racine est croissante).
✅ Les deux encadrements sont démontrés.
Exercice 19
Montrer que \(\begin{cases}0<x<2\\0<y<2\end{cases}\Rightarrow\dfrac1x+\dfrac1y>1\).
Correction détaillée
⚠️ Le scan écrit \(0\leq x<2\), \(0\leq y<2\) ; mais \(\dfrac1x\) n’existe pas pour \(x=0\) : on a pris \(0<x<2\), \(0<y<2\).
📘 Méthode : Raisonnement direct : on suppose l’hypothèse \(P\) vraie et on enchaîne des implications pour atteindre \(Q\). Équivalences successives : on transforme \(P\) en \(Q\) par des équivalences (utile pour résoudre équations et inéquations). Pour comparer, on peut étudier un signe ou utiliser l’identité \(a^2+b^2\geq2ab\).
🔢 Étape 1 : \(0<x<2\Rightarrow\dfrac1x>\dfrac12\) (la fonction inverse est décroissante sur \(\mathbb R^{+*}\)). De même \(\dfrac1y>\dfrac12\).
🔢 Étape 2 : On additionne les deux inégalités strictes.
✅ \(\dfrac1x+\dfrac1y>\dfrac12+\dfrac12=1\).
Exercice 20
Soit \(x\in\mathbb R^+\). Montrer que \(\dfrac1{1+\sqrt x}=1-\sqrt x\Rightarrow x=0\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Raisonnement direct : on suppose l’hypothèse \(P\) vraie et on enchaîne des implications pour atteindre \(Q\). Équivalences successives : on transforme \(P\) en \(Q\) par des équivalences (utile pour résoudre équations et inéquations). Pour comparer, on peut étudier un signe ou utiliser l’identité \(a^2+b^2\geq2ab\).
🔢 Étape 1 : \(1+\sqrt x>0\), on multiplie : \(1=(1-\sqrt x)(1+\sqrt x)=1-x\).
🔢 Étape 2 : Donc \(x=0\).
✅ L’implication est vraie.
Exercice 21
Exercice de déduction.
1) Montrer que \(\forall(a;b)\in\mathbb R^2:\ a^2+b^2=0\Rightarrow a=0\text{ et }b=0\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Raisonnement direct : on suppose l’hypothèse \(P\) vraie et on enchaîne des implications pour atteindre \(Q\). Équivalences successives : on transforme \(P\) en \(Q\) par des équivalences (utile pour résoudre équations et inéquations). Pour comparer, on peut étudier un signe ou utiliser l’identité \(a^2+b^2\geq2ab\).
🔢 \(a^2\geq0\) et \(b^2\geq0\) ; une somme de deux réels positifs est nulle ssi les deux sont nuls : \(a^2=b^2=0\).
✅ \(a=0\) et \(b=0\).
2) Soient \(x\in\mathbb R^{+*}\) et \(y\in\mathbb R^{+*}\). Montrer que \(x+y+2=2\sqrt x+2\sqrt y\Rightarrow x=y=1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x+y+2-2\sqrt x-2\sqrt y=(\sqrt x-1)^2+(\sqrt y-1)^2=0\).
🔢 Étape 2 : Par 1) : \(\sqrt x=1\) et \(\sqrt y=1\).
✅ \(x=y=1\).
3) Soient \(a,b\in\mathbb R^+\). Montrer que \(a+b=0\iff a=0\text{ et }b=0\).
Correction détaillée
🔢 (\(\Leftarrow\)) évident. (\(\Rightarrow\)) \(a\geq0\), \(b\geq0\) et \(a+b=0\Rightarrow a=-b\leq0\Rightarrow a=0\), puis \(b=0\).
✅ L’équivalence est vraie ; on en déduit :
4) En déduire les solutions de l’équation \(x^2+y^2-2x+4y+5=0\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2+y^2-2x+4y+5=(x-1)^2+(y+2)^2\). On applique 1) (ou 3)).
✅ \(x=1\) et \(y=-2\) : l’unique solution est \((1,-2)\).
Exercice 22
Montrer que \(\forall(a;b)\in\mathbb R^2:\ a^2+b^2=1\Rightarrow|a+b|\leq\sqrt2\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Raisonnement direct : on suppose l’hypothèse \(P\) vraie et on enchaîne des implications pour atteindre \(Q\). Équivalences successives : on transforme \(P\) en \(Q\) par des équivalences (utile pour résoudre équations et inéquations). Pour comparer, on peut étudier un signe ou utiliser l’identité \(a^2+b^2\geq2ab\).
🔢 Étape 1 : \((a+b)^2=a^2+b^2+2ab\leq a^2+b^2+(a^2+b^2)=2(a^2+b^2)\) car \(2ab\leq a^2+b^2\).
🔢 Étape 2 : Donc \((a+b)^2\leq2\).
✅ \(|a+b|\leq\sqrt2\).
Exercice 23
Montrer que si \(a\in\mathbb Q\) et \(b\in\mathbb Q\) alors \(a+b\in\mathbb Q\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Raisonnement direct : on suppose l’hypothèse \(P\) vraie et on enchaîne des implications pour atteindre \(Q\). Équivalences successives : on transforme \(P\) en \(Q\) par des équivalences (utile pour résoudre équations et inéquations). Pour comparer, on peut étudier un signe ou utiliser l’identité \(a^2+b^2\geq2ab\).
🔢 Étape 1 : \(a=\dfrac pq\), \(b=\dfrac{p’}{q’}\) avec \(p,p’\in\mathbb Z\), \(q,q’\in\mathbb Z^*\).
🔢 Étape 2 : \(a+b=\dfrac{pq’+p’q}{qq’}\) avec \(pq’+p’q\in\mathbb Z\) et \(qq’\in\mathbb Z^*\).
✅ \(a+b\in\mathbb Q\).
Exercice 24
Soit \(f(x)=\dfrac{x+2}{2x+1}\) sur \(\mathbb R-\{-\tfrac12\}\). Montrer que \(|x-1|<\dfrac12\Rightarrow\dfrac14|x-1|\leq|f(x)-f(1)|\leq\dfrac12|x-1|\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Raisonnement direct : on suppose l’hypothèse \(P\) vraie et on enchaîne des implications pour atteindre \(Q\). Équivalences successives : on transforme \(P\) en \(Q\) par des équivalences (utile pour résoudre équations et inéquations). Pour comparer, on peut étudier un signe ou utiliser l’identité \(a^2+b^2\geq2ab\).
🔢 Étape 1 : \(f(1)=1\). \(f(x)-f(1)=\dfrac{x+2-2x-1}{2x+1}=\dfrac{1-x}{2x+1}\). Donc \(|f(x)-f(1)|=\dfrac{|x-1|}{|2x+1|}\).
🔢 Étape 2 : \(|x-1|<\dfrac12\Rightarrow\dfrac12<x<\dfrac32\Rightarrow2<2x+1<4\Rightarrow\dfrac14<\dfrac1{2x+1}<\dfrac12\).
🔢 Étape 3 : On multiplie par \(|x-1|\geq0\).
✅ \(\dfrac14|x-1|\leq|f(x)-f(1)|\leq\dfrac12|x-1|\).
Exercice 25
Montrer que pour tout \(n\in\mathbb N\), \(\dfrac{n+1}{n+2}\notin\mathbb N\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Raisonnement direct : on suppose l’hypothèse \(P\) vraie et on enchaîne des implications pour atteindre \(Q\). Équivalences successives : on transforme \(P\) en \(Q\) par des équivalences (utile pour résoudre équations et inéquations). Pour comparer, on peut étudier un signe ou utiliser l’identité \(a^2+b^2\geq2ab\).
🔢 \(0<\dfrac{n+1}{n+2}<1\) car \(0<n+1<n+2\). Aucun entier n’est strictement compris entre \(0\) et \(1\).
✅ \(\dfrac{n+1}{n+2}\notin\mathbb N\).
Exercice 26
Montrer les inégalités suivantes.
1) Montrer que \(\forall x\in[-2;2]:\ 2\sqrt2>\sqrt{4-x^2}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Raisonnement direct : on suppose l’hypothèse \(P\) vraie et on enchaîne des implications pour atteindre \(Q\). Équivalences successives : on transforme \(P\) en \(Q\) par des équivalences (utile pour résoudre équations et inéquations). Pour comparer, on peut étudier un signe ou utiliser l’identité \(a^2+b^2\geq2ab\).
🔢 \(x^2\geq0\Rightarrow4-x^2\leq4\Rightarrow\sqrt{4-x^2}\leq2<2\sqrt2\).
✅ L’inégalité est vraie.
2) Montrer que \(\forall x\in\mathbb R:\ |x-1|\leq x^2-x+1\).
Correction détaillée
🔢 Cas \(x\geq1\) : \(x^2-x+1-(x-1)=x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0\). Cas \(x<1\) : \(x^2-x+1-(1-x)=x^2>0\) (ou \(\geq0\)).
✅ Vrai pour tout réel \(x\) (on a distingué deux cas selon le signe de \(x-1\)).
3) Montrer que \(\forall x\in\mathbb R:\ \sqrt{x^2+1}+x>0\).
Correction détaillée
🔢 \(\sqrt{x^2+1}>\sqrt{x^2}=|x|\geq-x\).
✅ \(\sqrt{x^2+1}+x>0\).
4) Montrer que \(\forall x>0:\ x+\dfrac1x\geq2\).
Correction détaillée
🔢 \(x+\dfrac1x-2=\dfrac{x^2-2x+1}x=\dfrac{(x-1)^2}x\geq0\).
✅ \(x+\dfrac1x\geq2\) (égalité ssi \(x=1\)).
5) Soit \(x\in\mathbb R\). Montrer que \(|x-1|\leq\dfrac12\Leftrightarrow\dfrac25\leq\dfrac1{x+1}\leq\dfrac23\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(|x-1|\leq\dfrac12\iff\dfrac12\leq x\leq\dfrac32\iff\dfrac32\leq x+1\leq\dfrac52\).
🔢 Étape 2 : Tous positifs : on passe à l’inverse en renversant l’ordre : \(\dfrac25\leq\dfrac1{x+1}\leq\dfrac23\) (chaque étape est une équivalence).
✅ L’équivalence est démontrée.
6) Soit \(x,y\in\mathbb R\). Montrer que \(|x-y|\leq2\sqrt{x^2+y^2+xy}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2+y^2+xy=\left(x+\tfrac y2\right)^2+\tfrac34y^2\geq0\) : la racine existe.
🔢 Étape 2 : \(|x-y|\leq2\sqrt{\cdot}\iff(x-y)^2\leq4(x^2+y^2+xy)\iff0\leq3x^2+3y^2+6xy=3(x+y)^2\) (vrai).
✅ L’inégalité est vraie pour tous réels \(x\) et \(y\).
7) Soient \(a,b\in]-1;1[\). Montrer que \(-1<\dfrac{a+b}{1+ab}<1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(1+ab>0\) car \(|ab|<1\).
🔢 Étape 2 : \(1-\dfrac{a+b}{1+ab}=\dfrac{(1-a)(1-b)}{1+ab}>0\) et \(1+\dfrac{a+b}{1+ab}=\dfrac{(1+a)(1+b)}{1+ab}>0\).
✅ \(-1<\dfrac{a+b}{1+ab}<1\).
Exercice 27
Résoudre dans \(\mathbb R\) (équivalences successives).
1) Résoudre \(1-\dfrac x4>\dfrac1{\sqrt{1+x}}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Raisonnement direct : on suppose l’hypothèse \(P\) vraie et on enchaîne des implications pour atteindre \(Q\). Équivalences successives : on transforme \(P\) en \(Q\) par des équivalences (utile pour résoudre équations et inéquations). Pour comparer, on peut étudier un signe ou utiliser l’identité \(a^2+b^2\geq2ab\).
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x>-1\). Posons \(t=\sqrt{1+x}>0\) : \(x=t^2-1\), l’inéquation devient \(\dfrac{5-t^2}4>\dfrac1t\iff t(5-t^2)>4\iff t^3-5t+4<0\).
🔢 Étape 2 : \(t^3-5t+4=(t-1)(t^2+t-4)\). Les racines sont \(1\) et \(\dfrac{-1+\sqrt{17}}2\approx1{,}56\). Le produit est négatif pour \(1<t<\dfrac{\sqrt{17}-1}2\).
🔢 Étape 3 : \(x=t^2-1\) : \(t=1\Rightarrow x=0\) ; \(t=\dfrac{\sqrt{17}-1}2\Rightarrow t^2=\dfrac{9-\sqrt{17}}2\Rightarrow x=\dfrac{7-\sqrt{17}}2\).
✅ \(S=\left]0,\dfrac{7-\sqrt{17}}2\right[\approx]0;1{,}44[\).
2) Résoudre \(|x-1|+2x-3\geq0\).
Correction détaillée
🔢 Si \(x\geq1\) : \(3x-4\geq0\iff x\geq\dfrac43\). Si \(x<1\) : \(x-2\geq0\iff x\geq2\), incompatible avec \(x<1\).
✅ \(S=\left[\dfrac43,+\infty\right[\).
3) Résoudre \(x^2-|x-2|+5=0\).
Correction détaillée
🔢 Si \(x\geq2\) : \(x^2-x+7=0\), \(\Delta=1-28<0\). Si \(x<2\) : \(x^2+x+3=0\), \(\Delta=1-12<0\).
✅ \(S=\varnothing\).
4) Résoudre \(\sqrt{x^2+1}=2x\).
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x\geq0\). On élève au carré (équivalent pour \(x\geq0\)) : \(x^2+1=4x^2\iff x^2=\dfrac13\).
✅ \(S=\left\{\dfrac{\sqrt3}3\right\}\) (la racine négative est rejetée).
5) Soit \(x,y\in\mathbb R\). Montrer que \(\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}=2\Leftrightarrow x=y=0\).
Correction détaillée
🔢 (\(\Leftarrow\)) Évident. (\(\Rightarrow\)) \(\sqrt{x^2+1}\geq1\) et \(\sqrt{y^2+1}\geq1\) ; leur somme vaut \(2\) ssi les deux valent \(1\) ssi \(x^2=y^2=0\).
✅ L’équivalence est vraie.
Exercice 28
Écrire les contraposées des implications suivantes et les démontrer. (\(n\) est un entier naturel, \(x\) et \(y\) sont des réels.)
1) \(n\) premier \(\Rightarrow n=2\) ou \(n\) impair (\(n\in\mathbb N\)).
Correction détaillée
📘 Méthode : Contraposée : pour démontrer \(P\Rightarrow Q\), on démontre \(\bar Q\Rightarrow\bar P\) (équivalente). Utile quand la conclusion est une négation (« \(\neq\) », « n’est pas »). Négation : \(\overline{A\text{ et }B}=\bar A\text{ ou }\bar B\) ; \(\overline{A\text{ ou }B}=\bar A\text{ et }\bar B\).
🔢 Étape 1 : Contraposée : \(n\neq2\) et \(n\) pair \(\Rightarrow n\) non premier.
🔢 Étape 2 : Si \(n\) est pair et \(n\neq2\), alors \(2\mid n\) avec \(2\neq1\) et \(2\neq n\) : \(n\) admet un diviseur autre que \(1\) et \(n\) (\(n\geq4\), donc non premier ; \(n=0\) n’est pas premier non plus).
✅ La contraposée est vraie, donc l’implication aussi.
2) \(xy\neq0\Rightarrow x\neq0\text{ et }y\neq0\) (\(x,y\in\mathbb R\)).
Correction détaillée
🔢 Contraposée : \(x=0\text{ ou }y=0\Rightarrow xy=0\). Si \(x=0\) alors \(xy=0\) ; si \(y=0\) alors \(xy=0\).
✅ La contraposée est triviale, donc l’implication est vraie.
3) \(x\neq y\Rightarrow(x+1)(y-1)\neq(x-1)(y+1)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Contraposée : \((x+1)(y-1)=(x-1)(y+1)\Rightarrow x=y\).
🔢 Étape 2 : \(xy-x+y-1=xy+x-y-1\Rightarrow-x+y=x-y\Rightarrow2y=2x\).
✅ \(x=y\) : la contraposée est vraie, donc l’implication.
Exercice 29
Raisonnement par contraposée : montrer les implications suivantes (ou dire si l’une d’elles est fausse).
1) Montrer que \(x\neq2\text{ et }y\neq2\Rightarrow2x+2y-xy-2\neq2\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Contraposée : pour démontrer \(P\Rightarrow Q\), on démontre \(\bar Q\Rightarrow\bar P\) (équivalente). Utile quand la conclusion est une négation (« \(\neq\) », « n’est pas »). Négation : \(\overline{A\text{ et }B}=\bar A\text{ ou }\bar B\) ; \(\overline{A\text{ ou }B}=\bar A\text{ et }\bar B\).
🔢 Étape 1 : Contraposée : \(2x+2y-xy-2=2\Rightarrow x=2\text{ ou }y=2\).
🔢 Étape 2 : \(2x+2y-xy-4=0\iff xy-2x-2y+4=0\iff(x-2)(y-2)=0\).
✅ \(x=2\) ou \(y=2\) : la contraposée est vraie.
2) Soit \(x\neq-5\). Montrer que \(x\neq-8\Rightarrow\dfrac{x+2}{x+5}\neq2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Contraposée : \(\dfrac{x+2}{x+5}=2\Rightarrow x=-8\).
🔢 Étape 2 : \(x+2=2x+10\Rightarrow x=-8\).
✅ La contraposée est vraie.
3) Soit \(a,b\in\mathbb R\) avec \(b\neq2a\). Montrer que \(b\neq\dfrac a4\Rightarrow\dfrac{a+2b}{2a-b}\neq\dfrac67\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Contraposée : \(\dfrac{a+2b}{2a-b}=\dfrac67\Rightarrow b=\dfrac a4\).
🔢 Étape 2 : \(7(a+2b)=6(2a-b)\iff7a+14b=12a-6b\iff20b=5a\iff b=\dfrac a4\).
✅ La contraposée est vraie.
4) Soient \(x,y\in]1,+\infty[\). Montrer que \(x\neq y\Rightarrow x^2-3x\neq y^2-3y\).
Correction détaillée
⚠️ Énoncé source : \(x,y\in]1,+\infty[\). Pour que le résultat soit vrai il faut \(x,y\in]\frac32,+\infty[\) (ou \(x,y\in[\frac32,+\infty[\)) ; l’énoncé tel quel est faux, comme le montre le contre-exemple.
🔢 Étape 1 : Contraposée : \(x^2-3x=y^2-3y\Rightarrow x=y\).
🔢 Étape 2 : \(x^2-y^2-3(x-y)=0\iff(x-y)(x+y-3)=0\). Or \(x>1\) et \(y>1\) donnent \(x+y-3>-1\) : attention, \(x+y-3\) peut s’annuler (par exemple \(x=1{,}2\), \(y=1{,}8\)) !
✅ En réalité l’implication est fausse : avec \(x=1{,}2\) et \(y=1{,}8\), \(x\neq y\) mais \(x^2-3x=y^2-3y=-2{,}16\). (Elle serait vraie pour \(x,y>\tfrac32\).)
Exercice 30
Parité et contraposée.
1) Soit \(n\in\mathbb N\). Montrer que si \(n^2\) est impair alors \(n\) est impair.
Correction détaillée
📘 Méthode : Contraposée : pour démontrer \(P\Rightarrow Q\), on démontre \(\bar Q\Rightarrow\bar P\) (équivalente). Utile quand la conclusion est une négation (« \(\neq\) », « n’est pas »). Négation : \(\overline{A\text{ et }B}=\bar A\text{ ou }\bar B\) ; \(\overline{A\text{ ou }B}=\bar A\text{ et }\bar B\).
🔢 Contraposée : \(n\) pair \(\Rightarrow n^2\) pair. Si \(n=2k\), \(n^2=4k^2=2(2k^2)\).
✅ La contraposée est vraie, donc l’implication aussi.
2) Soit \(n\in\mathbb N\). Montrer que si \(n^2\) est pair alors \(n\) est pair.
Correction détaillée
🔢 Contraposée : \(n\) impair \(\Rightarrow n^2\) impair. \(n=2k+1\Rightarrow n^2=2(2k^2+2k)+1\).
✅ La contraposée est vraie.
3) Soit \(a>0\) et \(b>0\). Montrer que \(\dfrac a{1+b}=\dfrac b{1+a}\Rightarrow a=b\).
Correction détaillée
🔢 Directement : \(a(1+a)=b(1+b)\Rightarrow(a-b)(a+b+1)=0\) ; or \(a+b+1>0\) donc \(a=b\).
✅ \(a=b\) (preuve directe, la contraposée étant équivalente).
Exercice 31
Écrire les réponses aux questions suivantes, portant sur des entiers naturels, sous la forme d’assertions mathématiques (avec \(\forall\), « et », « ou », \(\Rightarrow\), \(\Leftrightarrow\)) et les prouver.
1) Le produit de deux nombres pairs est-il pair ?
Correction détaillée
📘 Méthode : Disjonction des cas : on partage les situations possibles en cas exhaustifs (pair/impair, \(n\) modulo \(3\), signe de \(x\), …) et on démontre la propriété dans chaque cas. Parité : \(n\) est pair \(\iff n=2k\) ; impair \(\iff n=2k+1\) (\(k\in\mathbb Z\)).
🔢 \(n=2i\), \(m=2j\Rightarrow nm=4ij=2(2ij)\).
✅ Oui : \(\forall n,m\in\mathbb N,\ (n\text{ pair et }m\text{ pair})\Rightarrow nm\text{ pair}\).
2) Le produit de deux nombres impairs est-il impair ?
Correction détaillée
🔢 \(n=2i+1\), \(m=2j+1\Rightarrow nm=4ij+2i+2j+1=2(2ij+i+j)+1\).
✅ Oui : \(n,m\text{ impairs}\Rightarrow nm\text{ impair}\).
3) Le produit d’un nombre pair et d’un nombre impair est-il pair ou impair ?
Correction détaillée
🔢 \(n=2i\) pair, \(m\) quelconque : \(nm=2(im)\).
✅ Pair : \(n\text{ pair et }m\text{ impair}\Rightarrow nm\text{ pair}\).
4) Un nombre entier est-il pair si et seulement si son carré est pair ?
Correction détaillée
🔢 (\(\Rightarrow\)) \(n\) pair \(\Rightarrow n^2=n\times n\) pair d’après 1). (\(\Leftarrow\)) Si \(n\) était impair, \(n^2\) serait impair d’après 2), donc par contraposée \(n^2\) pair \(\Rightarrow n\) pair.
✅ Oui : \(n\text{ pair}\iff n^2\text{ pair}\).
Exercice 32
Montrer que pour tout \(n\in\mathbb N\), \(n(n+1)(n+2)\) est un multiple de \(3\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Disjonction des cas : on partage les situations possibles en cas exhaustifs (pair/impair, \(n\) modulo \(3\), signe de \(x\), …) et on démontre la propriété dans chaque cas. Parité : \(n\) est pair \(\iff n=2k\) ; impair \(\iff n=2k+1\) (\(k\in\mathbb Z\)).
🔢 Étape 1 : Division de \(n\) par \(3\) : \(n=3k\), \(3k+1\) ou \(3k+2\).
🔢 Étape 2 : Si \(n=3k\) : \(3\mid n\). Si \(n=3k+1\) : \(n+2=3(k+1)\). Si \(n=3k+2\) : \(n+1=3(k+1)\).
✅ Dans les trois cas l’un des facteurs est un multiple de \(3\) : le produit l’est.
Exercice 33
Soit \(n\in\mathbb N\). Montrer que \(n(n+1)\) est divisible par \(2\) (distinguer \(n\) pair et \(n\) impair).
Correction détaillée
📘 Méthode : Disjonction des cas : on partage les situations possibles en cas exhaustifs (pair/impair, \(n\) modulo \(3\), signe de \(x\), …) et on démontre la propriété dans chaque cas. Parité : \(n\) est pair \(\iff n=2k\) ; impair \(\iff n=2k+1\) (\(k\in\mathbb Z\)).
🔢 Si \(n\) est pair, \(2\mid n\), donc \(2\mid n(n+1)\). Si \(n\) est impair, \(n+1\) est pair et \(2\mid n(n+1)\).
✅ \(n(n+1)\) est toujours pair.
Exercice 34
Soit \(n\in\mathbb N\). Montrer que \(\dfrac{n(n^2+1)}2\in\mathbb N\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Disjonction des cas : on partage les situations possibles en cas exhaustifs (pair/impair, \(n\) modulo \(3\), signe de \(x\), …) et on démontre la propriété dans chaque cas. Parité : \(n\) est pair \(\iff n=2k\) ; impair \(\iff n=2k+1\) (\(k\in\mathbb Z\)).
🔢 Si \(n\) est pair, \(n(n^2+1)\) est pair. Si \(n\) est impair, \(n^2\) est impair, donc \(n^2+1\) est pair et le produit est pair.
✅ Dans les deux cas \(n(n^2+1)\) est pair, donc \(\dfrac{n(n^2+1)}2\in\mathbb N\).
Exercice 35
Soient \(n,p\in\mathbb N\). Montrer que \(n\times p\) est pair ou \(n^2-p^2\) est un multiple de \(8\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Disjonction des cas : on partage les situations possibles en cas exhaustifs (pair/impair, \(n\) modulo \(3\), signe de \(x\), …) et on démontre la propriété dans chaque cas. Parité : \(n\) est pair \(\iff n=2k\) ; impair \(\iff n=2k+1\) (\(k\in\mathbb Z\)).
🔢 Étape 1 : Si \(n\) ou \(p\) est pair, \(np\) est pair.
🔢 Étape 2 : Sinon \(n=2a+1\), \(p=2b+1\). \(n^2-p^2=4a(a+1)-4b(b+1)\). Or \(a(a+1)\) et \(b(b+1)\) sont pairs (produit de deux entiers consécutifs), donc \(n^2-p^2\) est un multiple de \(8\).
✅ Dans tous les cas la proposition est vraie.
Exercice 36
Soit \(n\in\mathbb N\). Montrer que soit \(4\) divise \(n^2\), soit \(4\) divise \(n^2-1\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Disjonction des cas : on partage les situations possibles en cas exhaustifs (pair/impair, \(n\) modulo \(3\), signe de \(x\), …) et on démontre la propriété dans chaque cas. Parité : \(n\) est pair \(\iff n=2k\) ; impair \(\iff n=2k+1\) (\(k\in\mathbb Z\)).
🔢 Si \(n=2k\) : \(n^2=4k^2\). Si \(n=2k+1\) : \(n^2-1=4k^2+4k=4k(k+1)\).
✅ Dans chaque cas l’une des deux propriétés est vraie.
Exercice 37
Démontrer que pour tout \(n\in\mathbb N\) : (indication : factoriser et raisonner modulo \(2,3,5,7\)).
1) \(n^3-n\) est divisible par \(6\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Disjonction des cas : on partage les situations possibles en cas exhaustifs (pair/impair, \(n\) modulo \(3\), signe de \(x\), …) et on démontre la propriété dans chaque cas. Parité : \(n\) est pair \(\iff n=2k\) ; impair \(\iff n=2k+1\) (\(k\in\mathbb Z\)).
🔢 Étape 1 : \(n^3-n=n(n-1)(n+1)\), produit de trois entiers consécutifs.
🔢 Étape 2 : Il contient un multiple de \(2\) (\(n\) ou \(n+1\) pair) et un multiple de \(3\) (cas \(n=3k,3k+1,3k+2\)). Comme \(2\) et \(3\) sont premiers entre eux, \(6\mid n^3-n\).
✅ Pour tout \(n\in\mathbb N\), \(6\mid n^3-n\).
2) \(n^5-n\) est divisible par \(30\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(n^5-n=n(n-1)(n+1)(n^2+1)\), divisible par \(6\) d’après 1).
🔢 Étape 2 : Modulo \(5\) : \(n\equiv0,1,2,3,4\) : \(n\equiv0\Rightarrow5\mid n\) ; \(n\equiv1\Rightarrow5\mid n-1\) ; \(n\equiv4\Rightarrow5\mid n+1\) ; \(n\equiv2\) ou \(3\Rightarrow n^2+1\equiv5\equiv0\).
🔢 Étape 3 : \(2,3,5\) premiers deux à deux : \(30\mid n^5-n\).
✅ Pour tout \(n\in\mathbb N\), \(30\mid n^5-n\).
3) \(n^7-n\) est divisible par \(42\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(n^7-n=n(n^6-1)=(n^3-n)(n^4+n^2+1)\), divisible par \(6\) d’après 1).
🔢 Étape 2 : Modulo \(7\), \(n^7\equiv n\) : on vérifie les restes \(0,\dots,6\) : \(1^7=1\), \(2^7=128=7\times18+2\), \(3^7=2187=7\times312+3\), \(4^7=16384=7\times2340+4\), \(5^7=78125=7\times11160+5\), \(6^7=279936=7\times39990+6\).
🔢 Étape 3 : \(6\) et \(7\) premiers entre eux : \(42\mid n^7-n\).
✅ Pour tout \(n\in\mathbb N\), \(42\mid n^7-n\).
Exercice 38
Montrer que \(\sqrt2\notin\mathbb Q\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Absurde : pour démontrer \(P\), on suppose \(\bar P\) et on aboutit à une contradiction. Pour \(P\Rightarrow Q\), on suppose \(P\) et \(\bar Q\). Rappel : \(\sqrt2\notin\mathbb Q\) (démontré par l’absurde : \(\sqrt2=\frac pq\) irréductible \(\Rightarrow p^2=2q^2\Rightarrow p,q\) pairs, contradiction).
🔢 Étape 1 : Supposons \(\sqrt2=\dfrac pq\) avec \(p,q\in\mathbb N^*\) premiers entre eux.
🔢 Étape 2 : \(p^2=2q^2\Rightarrow p^2\) pair \(\Rightarrow p\) pair, \(p=2p’\). Alors \(4p’^2=2q^2\Rightarrow q^2=2p’^2\Rightarrow q\) pair.
🔢 Étape 3 : \(p\) et \(q\) sont pairs : contradiction avec \(p\wedge q=1\).
✅ \(\sqrt2\notin\mathbb Q\).
Exercice 39
1) Soient \(a,b\in\mathbb Q\). Montrer que \(a+b\sqrt2=0\Rightarrow a=b=0\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Absurde : pour démontrer \(P\), on suppose \(\bar P\) et on aboutit à une contradiction. Pour \(P\Rightarrow Q\), on suppose \(P\) et \(\bar Q\). Rappel : \(\sqrt2\notin\mathbb Q\) (démontré par l’absurde : \(\sqrt2=\frac pq\) irréductible \(\Rightarrow p^2=2q^2\Rightarrow p,q\) pairs, contradiction).
🔢 Supposons \(b\neq0\). Alors \(\sqrt2=-\dfrac ab\in\mathbb Q\), contradiction. Donc \(b=0\), puis \(a=0\).
✅ \(a=b=0\).
2) En déduire que \(a+b\sqrt2=a’+b’\sqrt2\Rightarrow a=a’\) et \(b=b’\).
Correction détaillée
🔢 \((a-a’)+(b-b’)\sqrt2=0\) avec \(a-a’,b-b’\in\mathbb Q\). On applique 1).
✅ \(a=a’\) et \(b=b’\) (unicité de l’écriture \(a+b\sqrt2\)).
3) Sachant que \(\sqrt2\notin\mathbb Q\), montrer que \(\forall r\in\mathbb Q,\ r+\sqrt2\notin\mathbb Q\).
Correction détaillée
🔢 Supposons \(r+\sqrt2=q\in\mathbb Q\). Alors \(\sqrt2=q-r\in\mathbb Q\) (différence de rationnels).
✅ Contradiction : \(r+\sqrt2\notin\mathbb Q\).
Exercice 40
Soit \(n\) un nombre impair, \(A=\{1;2;3;\dots;n\}\), et soient \(x_1,x_2,\dots,x_n\) des éléments de \(A\) distincts deux à deux. Montrer que \(\exists i\in A,\ x_i-i\) est pair.
Correction détaillée
📘 Méthode : Absurde : pour démontrer \(P\), on suppose \(\bar P\) et on aboutit à une contradiction. Pour \(P\Rightarrow Q\), on suppose \(P\) et \(\bar Q\). Rappel : \(\sqrt2\notin\mathbb Q\) (démontré par l’absurde : \(\sqrt2=\frac pq\) irréductible \(\Rightarrow p^2=2q^2\Rightarrow p,q\) pairs, contradiction).
🔢 Étape 1 : Supposons que pour tout \(i\), \(x_i-i\) est impair.
🔢 Étape 2 : Les \(x_i\) sont distincts : \((x_1,\dots,x_n)\) est une permutation de \(1,\dots,n\), donc \(\sum x_i=\sum i\), soit \(\sum_{i=1}^n(x_i-i)=0\).
🔢 Étape 3 : Mais c’est une somme de \(n\) nombres impairs avec \(n\) impair : elle est impaire, donc \(\neq0\). Contradiction.
✅ Il existe \(i\in A\) tel que \(x_i-i\) soit pair.
Exercice 41
Soit \(f(x)=x^2+2x\). Montrer qu’il n’existe pas de nombre positif \(M\) tel que \(\forall x\in\mathbb R,\ f(x)\leq M\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Absurde : pour démontrer \(P\), on suppose \(\bar P\) et on aboutit à une contradiction. Pour \(P\Rightarrow Q\), on suppose \(P\) et \(\bar Q\). Rappel : \(\sqrt2\notin\mathbb Q\) (démontré par l’absurde : \(\sqrt2=\frac pq\) irréductible \(\Rightarrow p^2=2q^2\Rightarrow p,q\) pairs, contradiction).
🔢 Étape 1 : Supposons qu’il existe \(M>0\) avec \(f(x)\leq M\) pour tout \(x\). Pour \(x=M\) : \(f(M)=M^2+2M>M\) (car \(M>0\)).
🔢 Étape 2 : Contradiction avec \(f(M)\leq M\).
✅ \(f\) n’est majorée par aucun nombre positif.
Exercice 42
Raisonnement par l’absurde.
1) Soit \(n\geq2\) un entier. Montrer par l’absurde que, si \(n\) n’est pas premier, il admet un diviseur premier \(p\) tel que \(p\leq\sqrt n\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Absurde : pour démontrer \(P\), on suppose \(\bar P\) et on aboutit à une contradiction. Pour \(P\Rightarrow Q\), on suppose \(P\) et \(\bar Q\). Rappel : \(\sqrt2\notin\mathbb Q\) (démontré par l’absurde : \(\sqrt2=\frac pq\) irréductible \(\Rightarrow p^2=2q^2\Rightarrow p,q\) pairs, contradiction).
🔢 Étape 1 : Supposons que \(n\) n’a pas de diviseur premier \(\leq\sqrt n\). \(n\) non premier \(\Rightarrow n=ab\) avec \(a,b\geq2\). Tout nombre \(x\geq2\) a un diviseur premier \(\leq x\).
🔢 Étape 2 : Si \(a\leq\sqrt n\) ou \(b\leq\sqrt n\), un diviseur premier de \(a\) (ou \(b\)) est \(\leq\sqrt n\) : contradiction. Sinon \(a>\sqrt n\) et \(b>\sqrt n\), d’où \(ab>n\) : absurde.
✅ \(n\) non premier admet un diviseur premier \(p\leq\sqrt n\).
2) À l’aide de ce critère, déterminer si \(89\), \(167\), \(191\) sont premiers.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\sqrt{89}\approx9{,}4\) : \(89\) n’est divisible par aucun de \(2,3,5,7\) : premier.
🔢 Étape 2 : \(\sqrt{167}\approx12{,}9\) : pas divisible par \(2,3,5,7,11\) : premier.
🔢 Étape 3 : \(\sqrt{191}\approx13{,}8\) : pas divisible par \(2,3,5,7,11,13\) : premier.
✅ \(89\), \(167\) et \(191\) sont premiers.
3) Montrer que \(\sqrt{89}\) est irrationnel.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Supposons \(\sqrt{89}=\dfrac pq\), \(p,q\) premiers entre eux. \(89q^2=p^2\). Comme \(89\) est premier et divise \(p^2\), \(89\mid p\) : \(p=89k\).
🔢 Étape 2 : \(89q^2=89^2k^2\Rightarrow q^2=89k^2\Rightarrow89\mid q\). Donc \(89\) divise \(p\) et \(q\) : contradiction.
✅ \(\sqrt{89}\notin\mathbb Q\).
Exercice 43
Raisonnement par l’absurde (suite).
1) Soit \(n\in\mathbb N^*\). Montrer que \(\sqrt{n^2+1}\) n’est pas un entier.
Correction détaillée
📘 Méthode : Absurde : pour démontrer \(P\), on suppose \(\bar P\) et on aboutit à une contradiction. Pour \(P\Rightarrow Q\), on suppose \(P\) et \(\bar Q\). Rappel : \(\sqrt2\notin\mathbb Q\) (démontré par l’absurde : \(\sqrt2=\frac pq\) irréductible \(\Rightarrow p^2=2q^2\Rightarrow p,q\) pairs, contradiction).
🔢 Étape 1 : Supposons \(\sqrt{n^2+1}=k\in\mathbb N\). \(k^2-n^2=1\Rightarrow(k-n)(k+n)=1\).
🔢 Étape 2 : Avec \(k+n\geq n\geq1\) entier positif de produit \(1\) : \(k+n=1\) et \(k-n=1\Rightarrow n=0\), contradiction avec \(n\geq1\).
✅ \(\sqrt{n^2+1}\notin\mathbb N\).
2) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N^*,\ \sqrt{\dfrac n{n+1}}\notin\mathbb Q\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Supposons \(\sqrt{\dfrac n{n+1}}=\dfrac pq\), fraction irréductible. Alors \(\dfrac n{n+1}=\dfrac{p^2}{q^2}\), et \(n\), \(n+1\) sont premiers entre eux : donc \(n=p^2\) et \(n+1=q^2\).
🔢 Étape 2 : \(q^2-p^2=1\Rightarrow(q-p)(q+p)=1\Rightarrow q+p=1\), or \(p\geq1\) et \(q\geq2\) : contradiction.
✅ \(\sqrt{\dfrac n{n+1}}\notin\mathbb Q\).
3) Soit \(n\in\mathbb N\) et \(A=\dfrac{n+3}{n+5}\). Montrer que \(A\neq1\).
Correction détaillée
🔢 Si \(A=1\), alors \(n+3=n+5\), soit \(3=5\).
✅ Absurde : \(A\neq1\).
Exercice 44
Pour \(n\in\mathbb N\), on définit les propriétés \(P_n\) : « \(10^n-1\) est divisible par \(9\) » et \(Q_n\) : « \(10^n+1\) est divisible par \(9\) ».
1) Soient \(P_n\) : « \(10^n-1\) est divisible par \(9\) » et \(Q_n\) : « \(10^n+1\) est divisible par \(9\) ». Démontrer que \(P_n\Rightarrow P_{n+1}\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Absurde : pour démontrer \(P\), on suppose \(\bar P\) et on aboutit à une contradiction. Pour \(P\Rightarrow Q\), on suppose \(P\) et \(\bar Q\). Rappel : \(\sqrt2\notin\mathbb Q\) (démontré par l’absurde : \(\sqrt2=\frac pq\) irréductible \(\Rightarrow p^2=2q^2\Rightarrow p,q\) pairs, contradiction).
🔢 \(10^{n+1}-1=10(10^n-1)+9\).
✅ Si \(9\mid10^n-1\), alors \(9\mid10^{n+1}-1\).
2) Démontrer que \(Q_n\Rightarrow Q_{n+1}\).
Correction détaillée
🔢 \(10^{n+1}+1=10(10^n+1)-9\).
✅ Si \(9\mid10^n+1\), alors \(9\mid10^{n+1}+1\).
3) Un élève affirme : « Donc \(P_n\) et \(Q_n\) sont vraies pour tout entier naturel \(n\). » Expliquer pourquoi il commet une erreur grave.
Correction détaillée
🔢 L’hérédité ne suffit pas : il faut aussi l’initialisation. Pour \(Q_0\) : \(10^0+1=2\) n’est pas divisible par \(9\).
✅ Sans initialisation, l’hérédité ne prouve rien : \(P_0\) est vraie (\(10^0-1=0\)), mais \(Q_0\) est fausse.
4) Démontrer que \(P_n\) est vraie pour tout \(n\in\mathbb N\).
Correction détaillée
🔢 Initialisation : \(10^0-1=0\), divisible par \(9\). Hérédité : question 1).
✅ \(P_n\) est vraie pour tout \(n\in\mathbb N\).
5) Démontrer que \(Q_n\) est fausse pour tout \(n\in\mathbb N\) (absurde).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Si \(Q_n\) était vraie pour un \(n\), alors \(9\mid10^n+1\) et \(9\mid10^n-1\) (par 4)).
🔢 Étape 2 : Donc \(9\) diviserait leur différence \((10^n+1)-(10^n-1)=2\) : absurde.
✅ \(Q_n\) est fausse pour tout \(n\in\mathbb N\).
Exercice 45
Pour \(n\in\mathbb N\), on définit deux propriétés : \(P_n\) : « \(3\) divise \(4^n-1\) » et \(Q_n\) : « \(3\) divise \(4^n+1\) ».
1) Prouver que pour tout \(n\in\mathbb N\), \(P_n\Rightarrow P_{n+1}\) et \(Q_n\Rightarrow Q_{n+1}\), avec \(P_n\) : « \(3\mid4^n-1\) » et \(Q_n\) : « \(3\mid4^n+1\) ».
Correction détaillée
📘 Méthode : Absurde : pour démontrer \(P\), on suppose \(\bar P\) et on aboutit à une contradiction. Pour \(P\Rightarrow Q\), on suppose \(P\) et \(\bar Q\). Rappel : \(\sqrt2\notin\mathbb Q\) (démontré par l’absurde : \(\sqrt2=\frac pq\) irréductible \(\Rightarrow p^2=2q^2\Rightarrow p,q\) pairs, contradiction).
🔢 \(4^{n+1}-1=4(4^n-1)+3\) ; \(4^{n+1}+1=4(4^n+1)-3\).
✅ \(P_n\Rightarrow P_{n+1}\) et \(Q_n\Rightarrow Q_{n+1}\).
2) Montrer que \(P_n\) est vraie pour tout \(n\in\mathbb N\).
Correction détaillée
🔢 Initialisation : \(4^0-1=0\). Hérédité : question 1).
✅ \(P_n\) est vraie pour tout \(n\).
3) Que penser de l’assertion \(\exists n_0\in\mathbb N,\ \forall n\in\mathbb N,\ n\geq n_0\Rightarrow Q_n\) ?
Correction détaillée
🔢 Supposons-la vraie. Alors \(Q_{n_0}\) est vraie et \(P_{n_0}\) aussi, donc \(3\) divise \((4^{n_0}+1)+(4^{n_0}-1)=2\cdot4^{n_0}\). Or le seul premier divisant \(2\cdot4^{n_0}\) est \(2\) : absurde.
✅ L’assertion est fausse (aucun \(Q_n\) n’est vrai).
Exercice 46
Montrer que les propositions suivantes sont fausses.
1) \(P:\forall x\in[0,1],\ x^2\geq x\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Contre-exemple : pour montrer qu’une proposition de la forme \(\forall x,\ P(x)\) est fausse, il suffit d’exhiber un \(x\) pour lequel \(P(x)\) est fausse. Pour montrer qu’une proposition \(\exists x,P(x)\) est fausse, on montre sa négation \(\forall x,\overline{P(x)}\).
🔢 Contre-exemple : \(x=\dfrac12\) : \(x^2=\dfrac14<\dfrac12=x\).
✅ \(P\) est fausse.
2) \(P:\forall x\in\mathbb R,\ \forall y\in\mathbb R,\ x^2+y^2\geq x+y\).
Correction détaillée
🔢 \(x=y=\dfrac12\) : \(x^2+y^2=\dfrac12<1=x+y\).
✅ \(P\) est fausse.
3) \(P:\forall(a;b)\in\mathbb R^2,\ \sqrt{a^2+b^2}=a+b\).
Correction détaillée
🔢 \(a=b=1\) : \(\sqrt2\neq2\).
✅ \(P\) est fausse.
4) « Tout entier positif est somme de trois carrés » (carrés : \(0^2,1^2,2^2,\dots\)).
Correction détaillée
🔢 Les carrés \(\leq7\) sont \(0,1,4\). Les sommes de trois d’entre eux sont \(0,1,2,3,4,5,6,8,9,12\) : \(7\) n’apparaît pas.
✅ Fausse (contre-exemple : \(7\)).
5) \(P:\forall x\in\mathbb R^*,\ x+\dfrac1x\geq2\).
Correction détaillée
🔢 \(x=-1\) : \(x+\dfrac1x=-2<2\).
✅ \(P\) est fausse (elle est vraie pour \(x>0\)).
6) Montrer que \(f(x)=2x^2-x+3\) n’est ni paire ni impaire.
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=4\) et \(f(-1)=6\) : \(f(-1)\neq f(1)\) (pas paire) et \(f(-1)\neq-f(1)\) (pas impaire).
✅ \(f\) n’est ni paire ni impaire.
7) \(P:\forall(a,b,c,d)\in\mathbb R^{*4},\ \begin{cases}a\neq b\\c\neq d\end{cases}\Rightarrow a+c\neq b+d\).
Correction détaillée
🔢 \(a=1,b=2,c=2,d=1\) : \(a\neq b\), \(c\neq d\), mais \(a+c=3=b+d\).
✅ \(P\) est fausse.
8) \(P:\forall x\in\mathbb R,\ \exists y\in\mathbb R,\ x^2-xy+y^2=0\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x=1\) : \(y^2-y+1=0\) a pour discriminant \(-3<0\), pas de solution réelle.
✅ \(P\) est fausse.
9) Est-ce que pour tout \(x\in\mathbb R\) on a \(x<2\Rightarrow x^2<4\) ?
Correction détaillée
🔢 \(x=-3\) : \(-3<2\) mais \(x^2=9>4\).
✅ Non : l’implication est fausse pour \(x=-3\).
10) \(P:\forall x\in\mathbb R,\ \exists y\in\mathbb R:\ xy=2\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x=0\) : \(0\times y=0\neq2\).
✅ \(P\) est fausse.
11) « Tous les nombres premiers sont impairs ».
Correction détaillée
🔢 \(2\) est premier et pair.
✅ Fausse.
12) « \(\forall n\in\mathbb N,\ n^2+n+1\) est un nombre premier ».
Correction détaillée
🔢 \(n=4\) : \(16+4+1=21=3\times7\).
✅ Fausse (contre-exemple \(n=4\) ; \(n=1,2,3\) donnent \(3,7,13\) premiers mais cela ne suffit pas).
Exercice 47
Démontrer par récurrence les inégalités suivantes.
1) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N,\ 3^n\geq1+2n\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Récurrence : pour montrer \(\forall n\geq n_0,\ P(n)\) : Initialisation \(P(n_0)\) vraie ; Hérédité : pour \(n\geq n_0\) fixé, on suppose \(P(n)\) (hypothèse de récurrence) et on démontre \(P(n+1)\) ; Conclusion. Divisibilité : pour \(a\mid u_n\), on écrit \(u_{n+1}=\lambda u_n+(\text{multiple de }a)\). Somme : \(S_{n+1}=S_n+\text{terme}_{n+1}\).
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(n=0\) : \(1\geq1\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : supposons \(3^n\geq1+2n\). Alors \(3^{n+1}=3\times3^n\geq3+6n\geq1+2(n+1)=2n+3\) car \(3+6n-(2n+3)=4n\geq0\).
✅ \(3^n\geq1+2n\) pour tout \(n\in\mathbb N\).
2) Montrer que \(\forall n\geq5,\ 2^n\geq6n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(n=5\) : \(32\geq30\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(n\geq5\), \(2^n\geq6n\Rightarrow2^{n+1}\geq12n=6n+6n\geq6n+6=6(n+1)\) car \(n\geq1\).
✅ \(2^n\geq6n\) pour tout \(n\geq5\).
3) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N-\{0,1,2,3\},\ n^2\leq2^n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(n=4\) : \(16\leq16\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(n\geq4\), \(n^2\leq2^n\). Comme \(n>2\), \(2n<n\times n=n^2\), donc \(2n+1\leq n^2\) (car \(n^2-2n-1=(n-1)^2-2>0\) pour \(n\geq3\)).
🔢 Étape 3 : \((n+1)^2=n^2+2n+1\leq n^2+n^2=2n^2\leq2\times2^n=2^{n+1}\).
✅ \(n^2\leq2^n\) pour \(n\geq4\).
4) Soit \(a\in\mathbb R^{+*}\). Montrer que \(\forall n\in\mathbb N,\ (1+a)^n\geq1+na\) (inégalité de Bernoulli).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(n=0\) : \(1\geq1\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \((1+a)^{n+1}=(1+a)(1+a)^n\geq(1+a)(1+na)=1+(n+1)a+na^2\geq1+(n+1)a\) car \(1+a>0\) et \(na^2\geq0\).
✅ \((1+a)^n\geq1+na\) pour tout \(n\in\mathbb N\).
Exercice 48
Démontrer par récurrence les formules suivantes (la dernière peut se faire en utilisant les sommes classiques).
1) \(\forall n\in\mathbb N^*,\ 1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}2\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Récurrence : pour montrer \(\forall n\geq n_0,\ P(n)\) : Initialisation \(P(n_0)\) vraie ; Hérédité : pour \(n\geq n_0\) fixé, on suppose \(P(n)\) (hypothèse de récurrence) et on démontre \(P(n+1)\) ; Conclusion. Divisibilité : pour \(a\mid u_n\), on écrit \(u_{n+1}=\lambda u_n+(\text{multiple de }a)\). Somme : \(S_{n+1}=S_n+\text{terme}_{n+1}\).
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(n=1\) : \(1=\dfrac{1\times2}2\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(1+\dots+n+(n+1)=\dfrac{n(n+1)}2+(n+1)=\dfrac{(n+1)(n+2)}2\).
✅ La formule est vraie pour tout \(n\geq1\).
2) \(\forall n\in\mathbb N^*,\ \displaystyle\sum_{k=1}^nk^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(1=\dfrac{1\times2\times3}6\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6+(n+1)^2=\dfrac{(n+1)\big[n(2n+1)+6(n+1)\big]}6=\dfrac{(n+1)(2n^2+7n+6)}6=\dfrac{(n+1)(n+2)(2n+3)}6\).
✅ La formule est vraie pour tout \(n\geq1\).
3) \(\forall n\in\mathbb N^*,\ \displaystyle\sum_{k=1}^nk^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}4\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(1=\dfrac{1\times4}4\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(\dfrac{n^2(n+1)^2}4+(n+1)^3=\dfrac{(n+1)^2\big[n^2+4(n+1)\big]}4=\dfrac{(n+1)^2(n+2)^2}4\).
✅ La formule est vraie pour tout \(n\geq1\).
4) \(\forall n\in\mathbb N,\ 1+3+5+\dots+(2n+1)=\displaystyle\sum_{i=0}^n(2i+1)=(n+1)^2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(n=0\) : \(1=1^2\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \((n+1)^2+(2n+3)=n^2+4n+4=(n+2)^2\).
✅ La formule est vraie pour tout \(n\in\mathbb N\).
5) \(\forall n\in\mathbb N^*,\ 1\times2+2\times3+\dots+n(n+1)=\displaystyle\sum_{i=1}^ni(i+1)=\dfrac13n(n+1)(n+2)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(1\times2=2=\dfrac13\times1\times2\times3\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(\dfrac13n(n+1)(n+2)+(n+1)(n+2)=\dfrac13(n+1)(n+2)(n+3)\).
✅ La formule est vraie.
6) \(\forall n\in\mathbb N^*,\ \displaystyle\sum_{i=1}^n\dfrac1{(2i-1)(2i+1)}=\dfrac n{2n+1}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(\dfrac1{1\times3}=\dfrac13\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(\dfrac n{2n+1}+\dfrac1{(2n+1)(2n+3)}=\dfrac{n(2n+3)+1}{(2n+1)(2n+3)}=\dfrac{(2n+1)(n+1)}{(2n+1)(2n+3)}=\dfrac{n+1}{2n+3}\).
✅ La formule est vraie.
7) \(\forall n\in\mathbb N^*,\ \displaystyle\sum_{k=1}^n\dfrac1{k(k+2)}=\dfrac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(\dfrac13=\dfrac{8}{4\times2\times3}\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(\dfrac{n(3n+5)}{4(n+1)(n+2)}+\dfrac1{(n+1)(n+3)}=\dfrac{n(3n+5)(n+3)+4(n+2)}{4(n+1)(n+2)(n+3)}=\dfrac{3n^3+14n^2+19n+8}{4(n+1)(n+2)(n+3)}\). Or \(3n^3+14n^2+19n+8=(n+1)(3n^2+11n+8)=(n+1)(n+1)(3n+8)\). On simplifie : \(\dfrac{(n+1)(3n+8)}{4(n+2)(n+3)}=\dfrac{(n+1)\big(3(n+1)+5\big)}{4(n+2)(n+3)}\).
✅ La formule est vraie pour tout \(n\geq1\).
8) \(\forall n\in\mathbb N^*,\ \displaystyle\sum_{k=1}^nk(n+k)=\dfrac{n(n+1)(5n+1)}6\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Ici \(n\) apparaît dans le terme général : on calcule directement (une récurrence est moins adaptée).
🔢 Étape 2 : \(\sum k(n+k)=n\sum k+\sum k^2=n\times\dfrac{n(n+1)}2+\dfrac{n(n+1)(2n+1)}6=\dfrac{n(n+1)\big[3n+2n+1\big]}6\).
✅ \(\displaystyle\sum_{k=1}^nk(n+k)=\dfrac{n(n+1)(5n+1)}6\).
Exercice 49
Démontrer par récurrence que, pour tout \(n\) entier naturel (ou non nul selon le cas) :
1) \(\forall n\in\mathbb N,\ n^3+2n\) est divisible par \(3\).
Correction détaillée
📘 Méthode : Récurrence : pour montrer \(\forall n\geq n_0,\ P(n)\) : Initialisation \(P(n_0)\) vraie ; Hérédité : pour \(n\geq n_0\) fixé, on suppose \(P(n)\) (hypothèse de récurrence) et on démontre \(P(n+1)\) ; Conclusion. Divisibilité : pour \(a\mid u_n\), on écrit \(u_{n+1}=\lambda u_n+(\text{multiple de }a)\). Somme : \(S_{n+1}=S_n+\text{terme}_{n+1}\).
🔢 Initialisation : \(n=0\) : \(0\). Hérédité : \((n+1)^3+2(n+1)=n^3+2n+3(n^2+n+1)\).
✅ \(3\mid n^3+2n\) pour tout \(n\).
2) \(\forall n\in\mathbb N,\ 4^n+6n-1\) est divisible par \(9\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(n=0\) : \(1-1=0\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(4^{n+1}+6(n+1)-1=4(4^n+6n-1)-18n+9=4(4^n+6n-1)-9(2n-1)\).
✅ \(9\mid4^n+6n-1\) pour tout \(n\).
3) \(\forall n\in\mathbb N,\ 7^n-1\) est divisible par \(6\).
Correction détaillée
🔢 Initialisation : \(0\). Hérédité : \(7^{n+1}-1=7(7^n-1)+6\).
✅ \(6\mid7^n-1\) (donc aussi par \(3\)).
4) \(\forall n\in\mathbb N,\ 3^{3n+2}+2^{n+4}\) est divisible par \(5\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(9+16=25\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(3^{3n+5}+2^{n+5}=27\times3^{3n+2}+2\times2^{n+4}=27(3^{3n+2}+2^{n+4})-25\times2^{n+4}\).
✅ \(5\mid3^{3n+2}+2^{n+4}\) pour tout \(n\in\mathbb N\) (donc aussi pour \(n\in\mathbb N^*\)).
5) \(\forall n\in\mathbb N^*,\ 3\) divise \(4n^3-n\).
Correction détaillée
⚠️ Expression lue \(4n^3-n\) sur le scan.
🔢 Initialisation : \(n=1\) : \(3\). Hérédité : \(4(n+1)^3-(n+1)=4n^3-n+12n^2+12n+3\).
✅ \(3\mid4n^3-n\) (ou directement \(4n^3-n\equiv n^3-n\equiv0\pmod3\)).
6) \(\forall n\in\mathbb N,\ 8\) divise \(1+5^{n+1}+2\times3^n\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(1+5+2=8\).
🔢 Étape 2 : \(u_{n+1}-u_n=4\times5^{n+1}+4\times3^n=4(5^{n+1}+3^n)\) ; \(5^{n+1}+3^n\) est une somme de deux impairs, donc pair : \(8\mid u_{n+1}-u_n\).
✅ \(8\mid u_n\) pour tout \(n\) (\(u_{n+1}=u_n+(\text{multiple de }8)\)).
7) \(\forall n\in\mathbb N,\ 17\) divise \(3\times5^{2n+1}+2^{3n+1}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Initialisation : \(15+2=17\).
🔢 Étape 2 : Hérédité : \(u_{n+1}=3\times25\times5^{2n+1}+8\times2^{3n+1}=8u_n+51\times5^{2n+1}\).
✅ \(17\mid u_n\) pour tout \(n\) (\(51=3\times17\)).
8) \(P(n):\ 7^n-1\) est divisible par \(3\). Démontrer que \(P(n)\Rightarrow P(n+1)\) ; que peut-on conclure ?
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(7^{n+1}-1=7(7^n-1)+6\) : si \(3\mid7^n-1\), alors \(3\mid7^{n+1}-1\).
🔢 Étape 2 : Cette hérédité seule ne permet pas de conclure. Mais \(P(0)\) : \(7^0-1=0\) est vraie, donc par récurrence \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\in\mathbb N\).
✅ L’hérédité est vérifiée ; avec l’initialisation \(P(0)\), \(P(n)\) est vraie pour tout \(n\in\mathbb N\).