Ce cours de géométrie dans l’espace pour le Tronc Commun traite des droites, des plans, de l’intersection et du parallélisme, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Cours de géométrie dans l’espace Tronc Commun
Intersection & Parallélisme
Axiomes, positions relatives, et parallélisme dans l’espace.
à maîtriser
1Quelques règles (axiomes d’incidence)
- Axiome 1 : Par deux points distincts \(A\) et \(B\) passe une seule droite, notée \((AB)\).
- Axiome 2 : Par trois points non alignés \(A\), \(B\) et \(C\) passe un seul plan, noté \((ABC)\).
- Axiome 3 : Si \(A\) et \(B\) sont deux points d’un plan \(P\), alors tous les points de la droite \((AB)\) appartiennent au plan \(P\).
- Axiome 4 : Si deux plans sont sécants, leur intersection est une droite.
Voir la solution
Les points \(A’\), \(B’\), \(C’\) appartiennent au plan \(P\).
Ils appartiennent aussi au plan \((ABC)\) (car ils sont sur les droites \((AB)\), \((AC)\) et \((BC)\)).
L’intersection de deux plans sécants est une droite. Donc \(A’\), \(B’\), \(C’\) sont sur la droite d’intersection de \(P\) et \((ABC)\). Ils sont donc alignés.
2Position relative de droites et de plans
2.1 Position relative de deux droites
- Coplanaires : elles sont dans un même plan.
- Sécantes en un point \(A\).
- Strictement parallèles (aucun point commun).
- Confondues.
- Non coplanaires : Aucun plan ne contient les deux droites (elles ne sont ni sécantes, ni parallèles).
2.2 Position relative d’une droite et d’un plan
- Sécants : \(d \cap P = \{A\}\) (un seul point d’intersection).
- Parallèles : \(d \cap P = \emptyset\) (aucun point commun).
- Contenue dans P : \(d \subset P\).
2.3 Position relative de deux plans
- Sécants : leur intersection est une droite \(d\).
- Strictement parallèles : \(P_1 \cap P_2 = \emptyset\).
- Confondus : \(P_1 = P_2\).
3Le parallélisme dans l’espace
- a) Montrer que \((BC)\) est parallèle à \(P\).
- b) Montrer que la médiane issue de \(A\) est parallèle à \(P\).
Voir la solution
a) \((AB) \parallel P\) et \((AC) \parallel P\). Le plan \((ABC)\) contient deux droites sécantes parallèles à \(P\), donc le plan \((ABC)\) est parallèle à \(P\). Toute droite de \((ABC)\) est donc parallèle à \(P\). Ainsi \((BC) \parallel P\).
b) La médiane issue de \(A\) coupe \([BC]\) en son milieu \(I\). Comme \(I \in (BC)\) et \(A \in (ABC)\), la médiane \((AI)\) est contenue dans le plan \((ABC)\). Or \((ABC) \parallel P\), donc \((AI) \parallel P\).
4Exercices corrigés
Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.
\(SABCD\) est une pyramide. \(I, J, K\) sont les milieux respectifs de \([SA]\), \([SB]\) et \([SC]\).
1) Démontrer que la droite \((IK)\) est parallèle au plan \((ABC)\).
2) Démontrer que les plans \((IJK)\) et \((ABC)\) sont parallèles.
Voir la solution
1) Dans le triangle \(SAC\), \(I\) et \(K\) sont les milieux de \([SA]\) et \([SC]\). D’après le théorème des milieux, \((IK) \parallel (AC)\).
Comme \((AC)\) est une droite du plan \((ABC)\) et que \((IK) \parallel (AC)\), on en déduit que \((IK)\) est parallèle au plan \((ABC)\).
2) De même, on démontre que \((IJ) \parallel (AB)\), donc \((IJ)\) est parallèle au plan \((ABC)\).
Les droites \((IK)\) et \((IJ)\) sont sécantes en \(I\) et toutes deux parallèles au plan \((ABC)\). D’après le théorème des plans parallèles, le plan \((IJK)\) est parallèle au plan \((ABC)\).
★Fiche résumé à retenir
- Plans sécants : L’intersection est une droite.
- Théorème du toit : Si deux plans sécants contiennent deux droites parallèles, leur intersection est parallèle à ces droites.
- Droite parallèle à un plan : Si une droite est parallèle à une droite d’un plan, elle est parallèle à ce plan.
- Plans parallèles : Si deux droites sécantes d’un plan sont parallèles à un autre plan, alors les deux plans sont parallèles.