Paraboles et hyperboles Tronc Commun : cours

Ce cours sur les paraboles et hyperboles pour le Tronc Commun étudie les fonctions x² et 1/x, leurs courbes, leurs variations et les équations associées, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.

Cours sur les paraboles et hyperboles Tronc Commun

DéfinitionÀ connaître par cœur.

PropriétéÀ retenir et à citer.

ExempleRésolu étape par étape.

AstucePour mieux comprendre.

AttentionErreur fréquente.

1La fonction \(x \mapsto ax^2\) (Parabole)

Propriétés générales Soit \(f(x) = ax^2\) avec \(a \in \mathbb{R}^*\).

Domaine : \(D_f = \mathbb{R}\).
Parité : \(f\) est une fonction paire (car \(f(-x) = f(x)\)). Il suffit de l’étudier sur \([0; +\infty[\).
Variations :
- Si \(a > 0\), \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty; 0]\) et strictement croissante sur \([0; +\infty[\).
- Si \(a < 0\), \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty; 0]\) et strictement décroissante sur \([0; +\infty[\).

Courbe représentative Dans un repère orthonormé, la courbe de \(f(x) = ax^2\) s’appelle une parabole.

Son sommet est l’origine du repère \(O(0;0)\).
Son axe de symétrie est l’axe des ordonnées (\(x = 0\)).
Si \(a > 0\), la parabole est « tournée vers le haut » (sommet = minimum).
Si \(a < 0\), la parabole est « tournée vers le bas » (sommet = maximum).

Exemples

\(f(x) = \frac{1}{2}x^2\) : Parabole tournée vers le haut.
\(f(x) = -\frac{1}{2}x^2\) : Parabole tournée vers le bas.

2La fonction \(x \mapsto ax^2+bx+c\) (Parabole)

Forme canonique Soit \(f(x) = ax^2+bx+c\) avec \(a \neq 0\). On peut l’écrire sous la forme :

\[ f(x) = a(x – \alpha)^2 + \beta \]

Avec :

\[ \alpha = -\frac{b}{2a} \quad \text{et} \quad \beta = f(\alpha) = -\frac{\Delta}{4a} \]

Courbe représentative La courbe de \(f(x) = ax^2+bx+c\) est une parabole de sommet \(S(\alpha ; \beta)\) et d’axe de symétrie la droite d’équation \(x = \alpha\).

Variations

Si \(a > 0\) : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty; \alpha]\) et croissante sur \([\alpha; +\infty[\). Le sommet est un minimum.
Si \(a < 0\) : \(f\) est croissante sur \(]-\infty; \alpha]\) et décroissante sur \([\alpha; +\infty[\). Le sommet est un maximum.

Exemple Soit \(f(x) = 2x^2 – 4x – 2\).

On identifie : \(a = 2\), \(b = -4\), \(c = -2\).
\(\alpha = -\frac{-4}{2(2)} = 1\).
\(\beta = f(1) = 2(1)^2 – 4(1) – 2 = 2 – 4 – 2 = -4\).
La forme canonique est \(f(x) = 2(x – 1)^2 – 4\).
Le sommet est \(S(1 ; -4)\) et l’axe de symétrie est \(x = 1\).

3La fonction \(x \mapsto \frac{a}{x}\) (Hyperbole)

Propriétés générales Soit \(f(x) = \frac{a}{x}\) avec \(a \in \mathbb{R}^*\).

Domaine : \(D_f = \mathbb{R}^* = ]-\infty; 0[ \cup ]0; +\infty[\).
Parité : \(f\) est une fonction impaire (car \(f(-x) = -f(x)\)).
Variations :
- Si \(a > 0\), \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty; 0[\) et sur \(]0; +\infty[\).
- Si \(a < 0\), \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty; 0[\) et sur \(]0; +\infty[\).

Courbe représentative La courbe de \(f(x) = \frac{a}{x}\) s’appelle une hyperbole.

Son centre de symétrie est l’origine \(O(0;0)\).
Elle admet deux asymptotes : l’axe des abscisses (\(y=0\)) et l’axe des ordonnées (\(x=0\)).

Astuce · Les deux branches L’hyperbole est composée de deux branches. Si \(a > 0\), elles sont dans les quadrants 1 et 3. Si \(a < 0\), elles sont dans les quadrants 2 et 4.

4La fonction homographique \(x \mapsto \frac{ax+b}{cx+d}\)

Définition et Domaine Soit \(f(x) = \frac{ax+b}{cx+d}\) avec \(a \neq 0\), \(c \neq 0\) et \(ad – bc \neq 0\).
La valeur interdite est \(x = -\frac{d}{c}\).

\[ D_f = \mathbb{R} \setminus \left\{-\frac{d}{c}\right\} \]

Forme réduite et Asymptotes On peut écrire \(f(x)\) sous la forme :

\[ f(x) = \beta + \frac{\gamma}{x – \alpha} \]

Avec \(\alpha = -\frac{d}{c}\), \(\beta = \frac{a}{c}\), et \(\gamma = -\frac{ad-bc}{c^2}\).

La courbe est une hyperbole.
Son centre de symétrie est le point \(W(\alpha ; \beta)\).
Ses asymptotes sont les droites d’équation \(x = \alpha\) et \(y = \beta\).

Exemple Soit \(f(x) = \frac{2x+1}{x-1}\).

Domaine : \(x – 1 \neq 0 \implies x \neq 1\). Donc \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{1\}\).
Forme réduite : \(f(x) = \frac{2(x-1)+3}{x-1} = 2 + \frac{3}{x-1}\).
Le centre de symétrie est \(W(1 ; 2)\).
Les asymptotes sont \(x = 1\) et \(y = 2\).

5Applications et Exercices

Position relative de deux courbes Pour étudier la position relative de deux courbes \(C_f\) et \(C_g\) :

On résout \(f(x) = g(x)\) pour trouver les abscisses des points d’intersection.
On étudie le signe de \(f(x) – g(x)\) :
- Si \(f(x) – g(x) > 0\), \(C_f\) est au-dessus de \(C_g\).
- Si \(f(x) – g(x) < 0\), \(C_f\) est au-dessous de \(C_g\).

★ Exercice 1 · Parabole

Soit \(f(x) = -x^2 + 4x – 3\). Déterminer le sommet de la parabole et dresser le tableau de variations.

Voir la solution

\(a = -1\), \(b = 4\), \(c = -3\).

\(\alpha = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{-2} = 2\).

\(\beta = f(2) = -(2)^2 + 4(2) – 3 = -4 + 8 – 3 = 1\).

Le sommet est \(S(2 ; 1)\).

Comme \(a = -1 < 0\), la fonction est croissante sur \(]-\infty; 2]\) et décroissante sur \([2; +\infty[\).

★★ Exercice 2 · Hyperbole

Soit \(f(x) = \frac{x+2}{x-3}\). Donner son domaine, son centre de symétrie et ses asymptotes.

Voir la solution

Domaine : \(x – 3 \neq 0 \implies x \neq 3\). Donc \(D_f = \mathbb{R} \setminus \{3\}\).

Forme réduite : \(f(x) = \frac{(x-3)+5}{x-3} = 1 + \frac{5}{x-3}\).

Centre de symétrie : \(W(3 ; 1)\).

Asymptotes : \(x = 3\) (verticale) et \(y = 1\) (horizontale).

★★★ Exercice 3 · Position relative

Étudier la position relative de \(C_f\) et \(C_g\) avec \(f(x) = x^2 – 3x – 4\) et \(g(x) = 3x + 12\).

Voir la solution

On cherche \(f(x) = g(x) \implies x^2 – 6x – 16 = 0\).

\(\Delta = 36 + 64 = 100\). Racines : \(x_1 = 8\) et \(x_2 = -2\).

On étudie le signe de \(f(x) – g(x) = x^2 – 6x – 16\).

Comme \(a = 1 > 0\), le trinôme est positif à l’extérieur des racines.

Donc \(C_f\) est au-dessus de \(C_g\) sur \(]-\infty ; -2[\) et sur \(]8 ; +\infty[\).

\(C_f\) est en dessous de \(C_g\) sur \(]-2 ; 8[\).

★Fiche résumé à retenir

Parabole \(ax^2\) : Sommet \((0,0)\), axe \(x=0\).
Parabole \(ax^2+bx+c\) : Sommet \((-\frac{b}{2a} ; f(-\frac{b}{2a}))\).
Hyperbole \(a/x\) : Centre \((0,0)\), asymptotes \(x=0\) et \(y=0\).
Hyperbole homographique : Centre \((-\frac{d}{c} ; \frac{a}{c})\), asymptotes \(x=-\frac{d}{c}\) et \(y=\frac{a}{c}\).

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