Ce cours de calcul trigonométrique pour le Tronc Commun présente le cercle trigonométrique, le sinus, le cosinus, la tangente et les angles remarquables, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Cours de calcul trigonométrique Tronc Commun
Calcul Trigonométrique 1
Radians, cercle trigonométrique, abscisses curvilignes et rapports trigonométriques.
à maîtriser
1Le Radian et le Cercle Trigonométrique
- Convertir \(33^\circ\) en radians : \(x = 33 \times \frac{\pi}{180} = \frac{11\pi}{60}\).
- Convertir \(\frac{3\pi}{8}\) rad en degrés : \(y = \frac{3\pi}{8} \times \frac{180}{\pi} = 67,5^\circ\).
| Radians | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) | \(\pi\) | \(2\pi\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Degrés | \(0\) | \(30^\circ\) | \(45^\circ\) | \(60^\circ\) | \(90^\circ\) | \(180^\circ\) | \(360^\circ\) |
2Abscisses Curvilignes et Angles Orientés
Si \(x\) et \(x’\) sont deux abscisses curvilignes du même point, alors \(x – x’ = 2k\pi\). On note \(x \equiv x’ \pmod{2\pi}\).
- On décompose : \(\frac{19\pi}{4} = \frac{16\pi}{4} + \frac{3\pi}{4} = 4\pi + \frac{3\pi}{4}\).
- On sait que \(4\pi = 2 \times 2\pi\), donc c’est un multiple de \(2\pi\).
- Donc \(\frac{19\pi}{4} \equiv \frac{3\pi}{4} \pmod{2\pi}\).
- Comme \(\frac{3\pi}{4} \in ]-\pi ; \pi]\), l’abscisse principale est \(\frac{3\pi}{4}\).
3Rapports Trigonométriques
- Le cosinus de \(x\), noté \(\cos x\), est l’abscisse de \(M\).
- Le sinus de \(x\), noté \(\sin x\), est l’ordonnée de \(M\).
- La tangente de \(x\), notée \(\tan x\), est l’ordonnée du point d’intersection de la droite \((OM)\) avec la tangente au cercle en \(I\) (si \(M \neq J\) et \(M \neq J’\)).
- \(-1 \le \cos x \le 1\) et \(-1 \le \sin x \le 1\)
- Identité trigonométrique : \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\)
- \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\) (pour \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\))
- \(\cos(-x) = \cos x\) et \(\sin(-x) = -\sin x\)
- \(\cos(\pi + x) = -\cos x\) et \(\sin(\pi + x) = -\sin x\)
- \(\cos(\pi – x) = -\cos x\) et \(\sin(\pi – x) = \sin x\)
- \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x\) et \(\sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x\)
- \(\cos\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \sin x\) et \(\sin\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \cos x\)
| \(x\) | \(0\) | \(\frac{\pi}{6}\) | \(\frac{\pi}{4}\) | \(\frac{\pi}{3}\) | \(\frac{\pi}{2}\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\cos x\) | \(1\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{1}{2}\) | \(0\) |
| \(\sin x\) | \(0\) | \(\frac{1}{2}\) | \(\frac{\sqrt{2}}{2}\) | \(\frac{\sqrt{3}}{2}\) | \(1\) |
4Exercices corrigés
Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.
Calculer \(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right)\), \(\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right)\) et \(\tan\left(\frac{5\pi}{6}\right)\).
Voir la solution
On remarque que \(\frac{5\pi}{6} = \pi – \frac{\pi}{6}\).
\(\cos\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \cos\left(\pi – \frac{\pi}{6}\right) = -\cos\left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).
\(\sin\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \sin\left(\pi – \frac{\pi}{6}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\).
\(\tan\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{\sin}{\cos} = \frac{1/2}{-\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}\).
Montrer que \(1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\) (pour \(x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\)).
Voir la solution
On part de l’expression de gauche :
\(1 + \tan^2 x = 1 + \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^2 = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x}\).
On met au même dénominateur : \(\frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}\).
Or, \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) (identité fondamentale).
Donc le résultat est bien \(\frac{1}{\cos^2 x}\).
On donne \(\tan x = \frac{1}{3}\) et \(\frac{\pi}{2} < x < \pi\). Calculer \(\cos x\) et \(\sin x\).
Voir la solution
On utilise l’identité \(1 + \tan^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}\).
\(1 + \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 x} \implies 1 + \frac{1}{9} = \frac{1}{\cos^2 x} \implies \frac{10}{9} = \frac{1}{\cos^2 x}\).
Donc \(\cos^2 x = \frac{9}{10} \implies \cos x = \pm \frac{3}{\sqrt{10}}\).
Comme \(\frac{\pi}{2} < x < \pi\), le cosinus est négatif. Donc \(\cos x = -\frac{3}{\sqrt{10}} = -\frac{3\sqrt{10}}{10}\).
Pour trouver \(\sin x\), on utilise \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \implies \sin x = \tan x \times \cos x\).
\(\sin x = \frac{1}{3} \times \left(-\frac{3\sqrt{10}}{10}\right) = -\frac{\sqrt{10}}{10}\).
On vérifie que \(\sin x < 0\) pour \(x\) dans \(] \pi/2 ; \pi [\), ce qui est bien le cas.
Simplifier : \(A = \sin(\pi – x) \times \cos\left(\frac{\pi}{2} – x\right) – \sin\left(\frac{\pi}{2} – x\right) \times \cos(\pi – x)\).
Voir la solution
On utilise les formules de symétrie :
\(\sin(\pi – x) = \sin x\)
\(\cos\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \sin x\)
\(\sin\left(\frac{\pi}{2} – x\right) = \cos x\)
\(\cos(\pi – x) = -\cos x\)
On remplace dans \(A\) :
\(A = \sin x \times \sin x – \cos x \times (-\cos x)\)
\(A = \sin^2 x + \cos^2 x\)
Or, \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\).
Donc \(A = 1\).
★Fiche résumé à retenir
- Radians : \(x = y \times \frac{\pi}{180}\). Un tour complet = \(2\pi\) rad.
- Abscisse curviligne : \(\alpha + 2k\pi\).
- Abscisse principale : L’unique valeur dans \(]-\pi ; \pi]\).
- Identité : \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\).
- Tangente : \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\).
- Symétries : \(\cos(-x) = \cos x\), \(\sin(-x) = -\sin x\), \(\cos(\pi – x) = -\cos x\), etc.