Calcul Vectoriel dans le Plan · Cours Tronc Commun

Ce cours de calcul vectoriel dans le plan pour le Tronc Commun présente les vecteurs, l’addition, la colinéarité et la relation de Chasles, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.

Cours de calcul vectoriel dans le plan Tronc Commun

DéfinitionÀ connaître par cœur.
PropriétéÀ retenir et à citer.
ExempleRésolu étape par étape.
AstucePour mieux comprendre.
AttentionErreur fréquente.

1Vecteurs du Plan

Définition Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan. Un vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est défini par trois données :
  • Une direction : celle de la droite \((AB)\).
  • Un sens : de \(A\) vers \(B\).
  • Une norme (ou longueur) : notée \(\|\overrightarrow{AB}\| = AB\).
Attention Ne pas confondre le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) (qui a une direction, un sens et une norme) avec la longueur \(AB\) (qui est juste un nombre positif).

2L’égalité de deux vecteurs

Définition Deux vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
\[ \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \]
Propriétés
  • \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \iff ABDC\) est un parallélogramme.
  • \(\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} \iff A = B\).
  • \(\overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB}\) (c’est le vecteur opposé).

3Somme de deux vecteurs

Relation de Chasles Pour tous points \(A, B, C\) du plan :
\[ \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} \]
Règle du parallélogramme Si \(ABCD\) est un parallélogramme, alors :
\[ \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \]
★ Application · Simplification

Simplifier les vecteurs suivants :

\(U = \overrightarrow{BC} – \overrightarrow{AC} – \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB}\)

\(V = \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{DF} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{FA}\)

Voir la solution

Pour U :

\(U = \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB}\)

Par Chasles, \(\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{BA}\).

Donc \(U = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BB} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{0} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AB}\).

Pour V :

On regroupe : \(V = (\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FA}) + (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{DF})\)

\(\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{EF} + \overrightarrow{FA} = \overrightarrow{BA}\)

\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{ED} + \overrightarrow{DF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{EF}\)

Donc \(V = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{BB} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{EF}\).

4Multiplication d’un vecteur par un réel

Définition Soit \(\vec{u}\) un vecteur non nul et \(k\) un nombre réel non nul. Le vecteur \(k\vec{u}\) a :
  • La même direction que \(\vec{u}\).
  • Le même sens que \(\vec{u}\) si \(k > 0\) ; un sens contraire si \(k < 0\).
  • Une norme égale à \(|k| \times \|\vec{u}\|\).
Propriétés Pour tous vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}\) et tous réels \(a, b\) :
  • \(a(\vec{u} + \vec{v}) = a\vec{u} + a\vec{v}\)
  • \((a + b)\vec{u} = a\vec{u} + b\vec{u}\)
  • \(a(b\vec{u}) = (ab)\vec{u}\)
★★ Application · Simplification

Simplifier : \(W_1 = 2(\vec{u} + \vec{v}) – 4\left(\frac{1}{2}\vec{u} – \vec{v}\right)\)

Voir la solution

On développe :

\(W_1 = 2\vec{u} + 2\vec{v} – 4 \times \frac{1}{2}\vec{u} + 4\vec{v}\)

\(W_1 = 2\vec{u} + 2\vec{v} – 2\vec{u} + 4\vec{v}\)

On regroupe les termes en \(\vec{u}\) et en \(\vec{v}\) :

\(W_1 = (2 – 2)\vec{u} + (2 + 4)\vec{v} = 0\vec{u} + 6\vec{v} = 6\vec{v}\).

5La Colinéarité

Définition Deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s’il existe un réel \(k\) tel que :
\[ \vec{u} = k\vec{v} \]

Cela signifie qu’ils ont la même direction (ou sont nuls).

Applications à la géométrie
  • Les points \(A, B, C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
  • Les droites \((AB)\) et \((CD)\) sont parallèles si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
★★★ Application · Alignement

Soit \(ABC\) un triangle. Les points \(E\) et \(F\) sont tels que : \(\overrightarrow{AF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{CE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\). Montrer que \(E, F, B\) sont alignés.

Voir la solution

On cherche à exprimer \(\overrightarrow{BF}\) en fonction de \(\overrightarrow{EF}\).

On sait que \(\overrightarrow{CE} = \frac{1}{4}\overrightarrow{AB}\), donc \(\overrightarrow{AB} = 4\overrightarrow{CE}\) et \(\overrightarrow{BA} = 4\overrightarrow{EC}\).

Exprimons \(\overrightarrow{BF}\) :

\(\overrightarrow{BF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AF} = 4\overrightarrow{EC} + \frac{4}{3}\overrightarrow{AC} = 4\left(\overrightarrow{EC} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)\)

Or, \(\overrightarrow{AF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AC} \implies \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CF} = \frac{4}{3}\overrightarrow{AC} \implies \overrightarrow{CF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\).

Donc \(\overrightarrow{BF} = 4(\overrightarrow{EC} + \overrightarrow{CF}) = 4\overrightarrow{EF}\).

Puisque \(\overrightarrow{BF} = 4\overrightarrow{EF}\), les vecteurs sont colinéaires, donc les points \(E, F, B\) sont alignés.

6Milieu d’un segment

Propriétés Soient \(A, B\) et \(I\) trois points du plan. Les assertions suivantes sont équivalentes :
  1. \(I\) est le milieu du segment \([AB]\).
  2. \(\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB}\).
  3. \(\overrightarrow{AI} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\).
  4. \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}\).
Caractérisation du milieu \(I\) est le milieu de \([AB]\) si et seulement si pour tout point \(M\) :
\[ \overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI} \]
★★★ Application · Milieu

Soit \(ABC\) un triangle. Les points \(E\) et \(F\) sont tels que : \(\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC}\). Montrer que \(C\) est le milieu de \([EF]\).

Voir la solution

On veut montrer que \(\overrightarrow{CE} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{0}\) (ou \(\overrightarrow{CE} = -\overrightarrow{CF}\)).

D’une part : \(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \implies \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC} \implies \overrightarrow{CE} = \overrightarrow{BA}\).

D’autre part : \(\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \implies \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} \implies \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{AB}\).

On additionne : \(\overrightarrow{CE} + \overrightarrow{CF} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{BB} = \overrightarrow{0}\).

Donc \(C\) est bien le milieu du segment \([EF]\).

★Fiche résumé à retenir

  • Vecteur : Direction + Sens + Norme.
  • Chasles : \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\).
  • Colinéarité : \(\vec{u} = k\vec{v}\). Sert à prouver l’alignement ou le parallélisme.
  • Milieu I : \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{0}\) ou \(\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} = 2\overrightarrow{MI}\).
C’est en forgeant que l’on devient forgeron !
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