Ce cours d’arithmétique dans IN pour le Tronc Commun couvre la divisibilité, les nombres premiers, le PGCD, le PPCM et les démonstrations, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Cours d’arithmétique dans IN Tronc Commun
Arithmétique dans IN
Divisibilité, nombres premiers, PGCD, PPCM et démonstrations de parité.
à maîtriser
1L’ensemble \(\mathbb{N}\)
L’ensemble des entiers naturels non nuls est noté \(\mathbb{N}^*\) : \(\mathbb{N}^* = \{1 ; 2 ; 3 ; \dots\} = \mathbb{N} \setminus \{0\}\).
- \(7 \in \mathbb{N}\) (7 appartient à \(\mathbb{N}\))
- \(-3 \notin \mathbb{N}\) (-3 n’appartient pas à \(\mathbb{N}\))
- \(\frac{8}{2} = 4 \in \mathbb{N}\)
2Diviseurs et Multiples
- 2 si son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
- 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3.
- 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4.
- 5 si son chiffre des unités est 0 ou 5.
- 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9.
- La somme des chiffres est \(5 + 3 + 2 + x = 10 + x\).
- Pour que le nombre soit divisible par 9, \(10 + x\) doit être un multiple de 9.
- Comme \(0 \le x \le 9\), la seule possibilité est \(10 + x = 18\), donc \(x = 8\).
3Nombres Pairs et Impairs
- Un nombre \(n\) est pair s’il existe un entier \(k\) tel que \(n = 2k\).
- Un nombre \(n\) est impair s’il existe un entier \(k\) tel que \(n = 2k + 1\).
| Nombres | \(a + b\) | \(a – b\) | \(a \times b\) |
|---|---|---|---|
| Pair + Pair | Pair | Pair | Pair |
| Pair + Impair | Impair | Impair | Pair |
| Impair + Impair | Pair | Pair | Impair |
- \(a\) est impair, donc \(a = 2k + 1\) avec \(k \in \mathbb{N}\).
- \(a^2 = (2k + 1)^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2 + 2k) + 1\).
- On pose \(k’ = 2k^2 + 2k\), alors \(a^2 = 2k’ + 1\).
- Donc \(a^2\) est bien un nombre impair.
4Nombres Premiers
- 1 n’est pas premier (il n’a qu’un seul diviseur).
- 2 est le seul nombre premier pair.
- Nombres premiers inférieurs à 100 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97.
5PGCD et PPCM
5.1 Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur)
\(56 = 2^3 \times 7\) et \(42 = 2 \times 3 \times 7\).
Facteurs communs : 2 et 7 (avec les plus petits exposants : \(2^1\) et \(7^1\)).
Donc \(\text{PGCD}(56 ; 42) = 2 \times 7 = 14\).
5.2 Le PPCM (Plus Petit Commun Multiple)
\(68 = 2^2 \times 17\) et \(170 = 2 \times 5 \times 17\).
Tous les facteurs avec le plus grand exposant : \(2^2\), \(5^1\) et \(17^1\).
Donc \(\text{PPCM}(68 ; 170) = 2^2 \times 5 \times 17 = 340\).
6Exercices corrigés
Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.
Déterminer les multiples de 9 compris entre 23 et 59.
Voir la solution
Les multiples de 9 s’écrivent \(9k\). On cherche \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(23 \le 9k \le 59\).
Soit \(\frac{23}{9} \le k \le \frac{59}{9}\), donc \(2,55 \le k \le 6,55\).
Les valeurs possibles de \(k\) sont : \(3, 4, 5, 6\).
Les multiples sont donc : \(27, 36, 45, 54\).
Montrer que si \(a\) est pair et \(b\) est impair, alors \(a + b\) est impair.
Voir la solution
\(a\) est pair, donc il existe \(k \in \mathbb{N}\) tel que \(a = 2k\).
\(b\) est impair, donc il existe \(k’ \in \mathbb{N}\) tel que \(b = 2k’ + 1\).
On a : \(a + b = 2k + (2k’ + 1) = 2(k + k’) + 1\).
On pose \(K = k + k’\), on obtient \(a + b = 2K + 1\).
Donc \(a + b\) est un nombre impair.
Le nombre 239 est-il premier ?
Voir la solution
On cherche s’il existe un nombre premier \(p\) tel que \(p^2 \le 239\).
\(15^2 = 225\) et \(16^2 = 256\), donc on teste les nombres premiers jusqu’à 13 : 2, 3, 5, 7, 11, 13.
Aucun de ces nombres ne divise 239.
Donc 239 est un nombre premier.
Calculer le PGCD et le PPCM de 24 et 60.
Voir la solution
On décompose : \(24 = 2^3 \times 3\) et \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\).
PGCD : Facteurs communs avec le plus petit exposant : \(2^2 \times 3 = 12\).
PPCM : Tous les facteurs avec le plus grand exposant : \(2^3 \times 3 \times 5 = 120\).
Vérification : \(12 \times 120 = 1440\) et \(24 \times 60 = 1440\).
Deux voitures partent en même temps. La voiture A fait un tour en 36 minutes, la voiture B en 30 minutes. Au bout de combien de temps se croiseront-elles à nouveau sur la ligne de départ ?
Voir la solution
Le temps cherché est un multiple commun de 36 et 30. On cherche donc le PPCM(36 ; 30).
\(36 = 2^2 \times 3^2\) et \(30 = 2 \times 3 \times 5\).
\(\text{PPCM}(36 ; 30) = 2^2 \times 3^2 \times 5 = 4 \times 9 \times 5 = 180\).
Elles se croiseront à nouveau au bout de 180 minutes, soit 3 heures.
★Fiche résumé à retenir
- Ensemble : \(\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}\) et \(\mathbb{N}^* = \mathbb{N} \setminus \{0\}\).
- Parité : Pair = \(2k\), Impair = \(2k+1\).
- Décomposition : Tout entier se décompose de manière unique en produit de facteurs premiers.
- PGCD : Facteurs communs, plus petit exposant.
- PPCM : Tous les facteurs, plus grand exposant.
- Formule : \(\text{PGCD}(a ; b) \times \text{PPCM}(a ; b) = a \times b\).