Calcul trigonométrique 1ère Bac Sc Ex : cours

Ce cours de calcul trigonométrique pour la 1ère Bac Sc Ex couvre le cercle trigonométrique, les formules d’addition, les équations et les inéquations, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.

Cours de calcul trigonométrique 1ère Bac

DéfinitionÀ connaître par cœur.

PropriétéÀ retenir et à citer.

ExempleRésolu étape par étape.

AstucePour mieux comprendre.

AttentionErreur fréquente.

1Rappels : Cercle trigonométrique

Définition Le cercle trigonométrique est un cercle de centre \(O\) (l’origine du plan), de rayon \(R = 1\), orienté positivement (sens inverse des aiguilles d’une montre), et qui admet une origine \(I\).

Abscisse curviligne Soit \(M\) un point du cercle trigonométrique, d’abscisse curviligne principale \(\alpha \in ]-\pi, \pi]\). Les réels de la forme :

\[ \alpha + 2k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

s’appellent les abscisses curvilignes du point \(M\) sur le cercle.

Tableau des valeurs remarquables

\(x\)	\(0\)	\(\frac{\pi}{6}\)	\(\frac{\pi}{4}\)	\(\frac{\pi}{3}\)	\(\frac{\pi}{2}\)
\(\sin x\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(1\)
\(\cos x\)	\(1\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)

2Formules d’addition

Propriétés Pour tous réels \(x\) et \(y\) :

\[ \cos(x – y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y \]

\[ \cos(x + y) = \cos x \cos y – \sin x \sin y \]

\[ \sin(x + y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y \]

\[ \sin(x – y) = \sin x \cos y – \cos x \sin y \]

Exemple · Calcul de \(\cos\frac{\pi}{12}\) et \(\sin\frac{\pi}{12}\)

\[ \cos\frac{\pi}{12} = \cos\left(\frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} \]

\[ \sin\frac{\pi}{12} = \sin\left(\frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} – \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4} \]

3Formules d’angle double

Propriétés Pour tout réel \(x\) :

\[ \cos(2x) = \cos^2 x – \sin^2 x = 2\cos^2 x – 1 = 1 – 2\sin^2 x \]

\[ \sin(2x) = 2\sin x \cos x \]

Exemple · Calcul de \(\cos\frac{\pi}{8}\) On a \(\frac{\pi}{4} = 2\cdot\frac{\pi}{8}\), donc :

\[ \cos\frac{\pi}{4} = 2\cos^2\frac{\pi}{8} – 1 \implies \cos^2\frac{\pi}{8} = \frac{1 + \cos(\pi/4)}{2} = \frac{2 + \sqrt{2}}{4} \]

Comme \(\cos\frac{\pi}{8} > 0\) :

\[ \cos\frac{\pi}{8} = \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} \]

4Formules du demi-angle et linéarisation

Linéarisation

\[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2} \quad ; \quad \sin^2 x = \frac{1 – \cos(2x)}{2} \]

Demi-angle

\[ \cos x = 2\cos^2\frac{x}{2} – 1 \quad ; \quad \cos x = 1 – 2\sin^2\frac{x}{2} \quad ; \quad \sin x = 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} \]

Exemple · Montrer que \(1 – \cos x + \sin x = 2\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right)\)

\[ 1 – \cos x + \sin x = 2\sin^2\frac{x}{2} + 2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2} = 2\sin\frac{x}{2}\left(\sin\frac{x}{2} + \cos\frac{x}{2}\right) \]

5Formules de la tangente

Propriétés

\[ \tan(x + y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 – \tan x \tan y} \]

\[ \tan(x – y) = \frac{\tan x – \tan y}{1 + \tan x \tan y} \]

\[ \tan(2x) = \frac{2\tan x}{1 – \tan^2 x} \]

Exemple · Calcul de \(\tan\frac{\pi}{12}\)

\[ \tan\frac{\pi}{12} = \tan\left(\frac{\pi}{4} – \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1 – 1/\sqrt{3}}{1 + 1/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} – 1}{\sqrt{3} + 1} = 2 – \sqrt{3} \]

6Substitution \(t = \tan\frac{x}{2}\)

Propriétés Soit \(t = \tan\frac{x}{2}\) (avec \(x \neq \pi + 2k\pi\)). On a :

\[ \cos x = \frac{1 – t^2}{1 + t^2} \quad ; \quad \sin x = \frac{2t}{1 + t^2} \quad ; \quad \tan x = \frac{2t}{1 – t^2} \]

Exemple · \(\tan\frac{a}{2} = \sqrt{2}\)

\[ \cos a = \frac{1 – 2}{1 + 2} = -\frac{1}{3} \quad ; \quad \sin a = \frac{2\sqrt{2}}{1 + 2} = \frac{2\sqrt{2}}{3} \quad ; \quad \tan a = \frac{2\sqrt{2}}{1 – 2} = -2\sqrt{2} \]

7Transformations sommes ↔ produits

Sommes en produits

\[ \sin p + \sin q = 2\sin\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2} \]

\[ \sin p – \sin q = 2\cos\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2} \]

\[ \cos p + \cos q = 2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2} \]

\[ \cos p – \cos q = -2\sin\frac{p+q}{2}\sin\frac{p-q}{2} \]

Produits en sommes (linéarisation)

\[ \cos x \cos y = \frac{1}{2}[\cos(x+y) + \cos(x-y)] \]

\[ \sin x \sin y = -\frac{1}{2}[\cos(x+y) – \cos(x-y)] \]

\[ \sin x \cos y = \frac{1}{2}[\sin(x+y) + \sin(x-y)] \]

Exemple · Transformer \(A(x) = \sin 2x + \sin 4x\)

\[ A(x) = 2\sin\frac{2x+4x}{2}\cos\frac{2x-4x}{2} = 2\sin 3x \cos(-2x) = 2\sin 3x \cos 2x \]

8Équations trigonométriques

\(\cos x = a\)

Si \(|a| > 1\), \(S = \emptyset\).
Si \(|a| \le 1\), on cherche \(\alpha\) tel que \(\cos\alpha = a\) :
\[ \cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\alpha + 2k\pi \]

\(\sin x = a\)

Si \(|a| > 1\), \(S = \emptyset\).
Si \(|a| \le 1\), on cherche \(\alpha\) tel que \(\sin\alpha = a\) :
\[ \sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \pi – \alpha + 2k\pi \]

\(\tan x = a\)

\[ \tan x = \tan\alpha \iff x = \alpha + k\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \]

Équation \(a\cos x + b\sin x = c\) On transforme \(a\cos x + b\sin x = \sqrt{a^2+b^2}\cos(x – \varphi)\) avec :

\[ \cos\varphi = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} \quad ; \quad \sin\varphi = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}} \]

L’équation devient \(\cos(x – \varphi) = \frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\), que l’on résout classiquement.

9Inéquations trigonométriques

Méthode

Résoudre l’équation associée pour trouver les valeurs frontières.
Placer les points sur le cercle trigonométrique.
Lire les arcs solutions sur le cercle (en rouge).
Tenir compte de l’intervalle demandé.

Exemple · \(\cos x \ge \frac{1}{2}\) sur \([0, 2\pi]\)

\(\cos x = \frac{1}{2} \iff x = \frac{\pi}{3}\) ou \(x = \frac{5\pi}{3}\).
Sur le cercle, \(\cos x \ge \frac{1}{2}\) correspond à l’arc passant par le point \((1, 0)\).
Solution : \(S = \left[0, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{5\pi}{3}, 2\pi\right]\).

10Exercices corrigés

Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.

★ Exercice 1 · Calcul de \(\cos\frac{11\pi}{12}\) et \(\sin\frac{11\pi}{12}\)

Calculer \(\cos\frac{11\pi}{12}\) et \(\sin\frac{11\pi}{12}\).

Voir la solution

\(\frac{11\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3}\).

\(\cos\frac{11\pi}{12} = \cos\left(\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) – \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = -\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}\).

\(\sin\frac{11\pi}{12} = \sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6} – \sqrt{2}}{4}\).

★★ Exercice 2 · \(\cos(2x)\) et \(\sin(2x)\)

Sachant que \(\sin x = \frac{1}{3}\) et \(0 < x < \frac{\pi}{2}\), calculer \(\cos(2x)\) et \(\sin(2x)\).

Voir la solution

\(\cos(2x) = 1 – 2\sin^2 x = 1 – 2\cdot\frac{1}{9} = \frac{7}{9}\).

\(\cos^2 x = 1 – \sin^2 x = 1 – \frac{1}{9} = \frac{8}{9}\). Comme \(x \in ]0, \frac{\pi}{2}[\), \(\cos x = \frac{2\sqrt{2}}{3}\).

\(\sin(2x) = 2\sin x \cos x = 2\cdot\frac{1}{3}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3} = \frac{4\sqrt{2}}{9}\).

★★ Exercice 3 · Identité trigonométrique

Montrer que pour \(x \in ]0, \frac{\pi}{2}[\) : \(\frac{\sin 3x}{\sin x} – \frac{\cos 3x}{\cos x} = 2\).

Voir la solution

\(\frac{\sin 3x}{\sin x} – \frac{\cos 3x}{\cos x} = \frac{\sin 3x \cos x – \sin x \cos 3x}{\sin x \cos x} = \frac{\sin(3x – x)}{\sin x \cos x} = \frac{\sin 2x}{\sin x \cos x} = 2\).

★★ Exercice 4 · Identités avec \(\sin^2\) et \(\cos^2\)

Montrer que pour tout \(x\) :

1) \(\sin^2 2x – \cos 2x – 1 = -2\cos^2 x \cos 2x\)

2) \(\sin^2 x + 12\cos^2 x = 5\cos 2x + 7\)

Voir la solution

1) \(\sin^2 2x – \cos 2x – 1 = (2\sin x \cos x)^2 – (2\cos^2 x – 1) – 1 = 4\sin^2 x \cos^2 x – 2\cos^2 x = -2\cos^2 x(1 – 2\sin^2 x) = -2\cos^2 x \cos 2x\).

2) \(\sin^2 x + 12\cos^2 x = \sin^2 x + 12(1 – \sin^2 x) = 12 – 11\sin^2 x\). Et \(5\cos 2x + 7 = 5(1 – 2\sin^2 x) + 7 = 12 – 10\sin^2 x\). Les deux expressions ne sont pas égales — il y a une coquille dans l’énoncé (le coefficient devrait être 10 et non 12).

★★ Exercice 5 · Calcul de \(\tan\frac{11\pi}{12}\)

Calculer \(\tan\frac{11\pi}{12}\).

Voir la solution

\(\frac{11\pi}{12} = \pi – \frac{\pi}{12}\), donc \(\tan\frac{11\pi}{12} = -\tan\frac{\pi}{12} = -(2 – \sqrt{3}) = \sqrt{3} – 2\).

★★ Exercice 6 · \(\tan\frac{\pi}{8}\)

1) Résoudre \(x^2 + 2x – 1 = 0\). 2) En déduire \(\tan\frac{\pi}{8}\).

Voir la solution

1) \(\Delta = 4 + 4 = 8\), donc \(x = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}\).

2) \(\tan\frac{\pi}{4} = 1 = \frac{2t}{1 – t^2}\) avec \(t = \tan\frac{\pi}{8}\). Donc \(t^2 + 2t – 1 = 0\), d’où \(t = -1 + \sqrt{2}\) (car \(t > 0\)).

★★★ Exercice 7 · Équation avec \(\tan\)

Montrer que \(\tan\frac{\pi}{12} = 2 – \sqrt{3}\), puis résoudre \((E) : 2\cos x – 2\sin x – 1 – \sqrt{3} = 0\) en posant \(t = \tan\frac{x}{2}\).

Voir la solution

\(\tan\frac{\pi}{12} = 2 – \sqrt{3}\) (déjà calculé).

On pose \(t = \tan\frac{x}{2}\). L’équation devient : \(2\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2} – 2\cdot\frac{2t}{1+t^2} – 1 – \sqrt{3} = 0\).

Soit : \(2(1-t^2) – 4t – (1+\sqrt{3})(1+t^2) = 0\).

\((2 – 1 – \sqrt{3}) – 4t – (2 + 1 + \sqrt{3})t^2 = 0\), soit \((1-\sqrt{3})t^2 + 4t – (1-\sqrt{3}) = 0\).

On résout et on trouve \(t = \tan\frac{\pi}{12}\), etc.

★★ Exercice 8 · Sommes de sinus

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\sin x + \sin 3x + \sin 5x + \sin 7x = 0\).

Voir la solution

On regroupe : \((\sin x + \sin 7x) + (\sin 3x + \sin 5x) = 2\sin 4x \cos 3x + 2\sin 4x \cos x = 2\sin 4x(\cos 3x + \cos x)\).

\(\cos 3x + \cos x = 2\cos 2x \cos x\).

Donc l’équation est \(4\sin 4x \cos 2x \cos x = 0\).

Solutions : \(\sin 4x = 0 \iff x = \frac{k\pi}{4}\) ; \(\cos 2x = 0 \iff x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}\) ; \(\cos x = 0 \iff x = \frac{\pi}{2} + k\pi\).

On regroupe : \(S = \left\{\frac{k\pi}{4} \mid k \in \mathbb{Z}\right\}\).

★★ Exercice 9 · Produits trigonométriques

Calculer \(\cos\frac{7\pi}{12}\cdot\cos\frac{5\pi}{12}\) et \(\sin\frac{7\pi}{12}\cdot\sin\frac{5\pi}{12}\).

Voir la solution

\(\cos\frac{7\pi}{12}\cos\frac{5\pi}{12} = \frac{1}{2}\left[\cos\pi + \cos\frac{\pi}{6}\right] = \frac{1}{2}\left(-1 + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\sqrt{3} – 2}{4}\).

\(\sin\frac{7\pi}{12}\sin\frac{5\pi}{12} = -\frac{1}{2}\left[\cos\pi – \cos\frac{\pi}{6}\right] = -\frac{1}{2}\left(-1 – \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{2 + \sqrt{3}}{4}\).

★★ Exercice 10 · Identité \(\cos 3x\)

Montrer que pour tout \(x\) : \(\cos 3x = 4\cos^3 x – 3\cos x\).

Voir la solution

\(\cos 3x = \cos(2x + x) = \cos 2x \cos x – \sin 2x \sin x = (2\cos^2 x – 1)\cos x – 2\sin^2 x \cos x\).

\(= 2\cos^3 x – \cos x – 2(1 – \cos^2 x)\cos x = 2\cos^3 x – \cos x – 2\cos x + 2\cos^3 x = 4\cos^3 x – 3\cos x\).

★★★ Exercice 11 · Équation \(\cos(2x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos\left(2x + \frac{\pi}{4}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}\).

Voir la solution

\(-\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos\frac{5\pi}{6}\). Donc :

\(2x + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(2x + \frac{\pi}{4} = -\frac{5\pi}{6} + 2k\pi\).

\(2x = \frac{7\pi}{12} + 2k\pi\) ou \(2x = -\frac{13\pi}{12} + 2k\pi\).

\(x = \frac{7\pi}{24} + k\pi\) ou \(x = -\frac{13\pi}{24} + k\pi\).

★★★ Exercice 12 · Équation \(\cos x = \sin(3x – \frac{\pi}{6})\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \sin\left(3x – \frac{\pi}{6}\right)\).

Voir la solution

On transforme \(\sin\left(3x – \frac{\pi}{6}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} – \left(3x – \frac{\pi}{6}\right)\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3} – 3x\right)\).

\(\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{2\pi}{3} – 3x\right)\).

\(x + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3} – 3x + 2k\pi\) ou \(x + \frac{\pi}{4} = -\frac{2\pi}{3} + 3x + 2k\pi\).

\(4x = \frac{5\pi}{12} + 2k\pi\) ou \(2x = \frac{11\pi}{12} – 2k\pi\).

\(x = \frac{5\pi}{48} + \frac{k\pi}{2}\) ou \(x = \frac{11\pi}{24} – k\pi\).

★★★ Exercice 13 · Équation avec \(\tan\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\tan\left(2x + \frac{\pi}{6}\right) = -1\).

Voir la solution

\(-1 = \tan\left(-\frac{\pi}{4}\right)\), donc :

\(2x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{4} + k\pi\).

\(2x = -\frac{5\pi}{12} + k\pi\).

\(x = -\frac{5\pi}{24} + \frac{k\pi}{2}\) (avec condition \(2x + \frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi\), c.-à-d. \(x \neq \frac{\pi}{6} + \frac{k\pi}{2}\)).

★★★ Exercice 14 · \(\cos x – \sqrt{3}\sin x = 0\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos x – \sqrt{3}\sin x = 0\).

Voir la solution

On divise par \(\cos x\) (non nul) : \(1 – \sqrt{3}\tan x = 0\), soit \(\tan x = \frac{1}{\sqrt{3}} = \tan\frac{\pi}{6}\).

Donc \(x = \frac{\pi}{6} + k\pi\) (\(k \in \mathbb{Z}\)).

★★★ Exercice 15 · \(\cos 2x = \cos(x – \frac{\pi}{3})\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos 2x = \cos\left(x – \frac{\pi}{3}\right)\).

Voir la solution

\(2x = x – \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(2x = -\left(x – \frac{\pi}{3}\right) + 2k\pi\).

\(x = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(3x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\), soit \(x = \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3}\).

\(S = \left\{-\frac{\pi}{3} + 2k\pi,\ \frac{\pi}{9} + \frac{2k\pi}{3} \mid k \in \mathbb{Z}\right\}\).

★★★ Exercice 16 · Équation \(a\cos x + b\sin x = c\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\sqrt{3}\cos(3x) + \sin(3x) + 2 = 0\).

Voir la solution

\(\sqrt{3}\cos(3x) + \sin(3x) = 2\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos 3x + \frac{1}{2}\sin 3x\right) = 2\cos\left(3x – \frac{\pi}{6}\right)\).

L’équation devient \(2\cos\left(3x – \frac{\pi}{6}\right) + 2 = 0\), soit \(\cos\left(3x – \frac{\pi}{6}\right) = -1\).

\(3x – \frac{\pi}{6} = \pi + 2k\pi\), donc \(3x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\), soit \(x = \frac{7\pi}{18} + \frac{2k\pi}{3}\).

★★★ Exercice 17 · Inéquation \(\cos\)

Résoudre dans \([0, 3\pi]\) : \(2\cos x + \sqrt{3} \le 0\).

Voir la solution

\(\cos x \le -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Les solutions sont sur l’arc du cercle où \(\cos x \le -\frac{\sqrt{3}}{2}\).

\(\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2} \iff x = \frac{5\pi}{6}\) ou \(x = \frac{7\pi}{6}\) (modulo \(2\pi\)).

Sur \([0, 3\pi]\), les solutions sont : \(\left[\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{17\pi}{6}, \frac{19\pi}{6}\right]\) (mais \(\frac{19\pi}{6} > 3\pi\), donc on s’arrête à \(3\pi\)).

\(S = \left[\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right] \cup \left[\frac{17\pi}{6}, 3\pi\right]\).

★★★ Exercice 18 · Inéquation \(\tan\)

Résoudre dans \([0, 2\pi]\) : \(\tan x – 1 \ge 0\).

Voir la solution

\(\tan x \ge 1 = \tan\frac{\pi}{4}\).

Sur \([0, 2\pi]\), les solutions sont \(S = \left[\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right[ \cup \left[\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right[\).

★★★ Exercice 19 · Équation et inéquation

1) Résoudre dans \([-\pi, \pi]\) : \(\sqrt{3}\cos x – \sin x = 1\).

2) Résoudre dans \([-\pi, \pi]\) : \(\sqrt{3}\cos x – \sin x \ge 1\).

Voir la solution

1) \(\sqrt{3}\cos x – \sin x = 2\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right)\). Donc \(2\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = 1\), soit \(\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}\).

\(x + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(x + \frac{\pi}{6} = -\frac{\pi}{3} + 2k\pi\).

\(x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = -\frac{\pi}{2} + 2k\pi\).

Dans \([-\pi, \pi]\) : \(S = \left\{-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\right\}\).

2) \(\cos\left(x + \frac{\pi}{6}\right) \ge \frac{1}{2}\). Sur \([-\pi, \pi]\), \(x + \frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}\right]\).

\(\cos \ge \frac{1}{2} \iff x + \frac{\pi}{6} \in \left[-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}\right]\), donc \(x \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}\right]\).

★★★ Exercice 20 · Équation bicarrée

Résoudre dans \([0, 2\pi]\) : \(2\sin^2 x – 9\sin x – 5 = 0\).

Voir la solution

On pose \(t = \sin x\), avec \(t \in [-1, 1]\). \(2t^2 – 9t – 5 = 0\).

\(\Delta = 81 + 40 = 121\), \(t = \frac{9 \pm 11}{4}\), donc \(t = 5\) (rejeté) ou \(t = -\frac{1}{2}\).

\(\sin x = -\frac{1}{2} \iff x = \frac{7\pi}{6} + 2k\pi\) ou \(x = \frac{11\pi}{6} + 2k\pi\).

Dans \([0, 2\pi]\) : \(S = \left\{\frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}\right\}\).

★★★ Exercice 21 · Inéquation produit

Résoudre dans \([0, \pi]\) : \((2\cos x – 1)(\tan x + 1) \ge 0\).

Voir la solution

Domaine : \(x \neq \frac{\pi}{2}\) sur \([0, \pi]\), donc \(D = [0, \pi] \setminus \left\{\frac{\pi}{2}\right\}\).

Tableau de signes :

\(2\cos x – 1 \ge 0 \iff \cos x \ge \frac{1}{2} \iff x \in \left[0, \frac{\pi}{3}\right]\).

\(\tan x + 1 \ge 0 \iff \tan x \ge -1 \iff x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right[ \cup \left[\frac{3\pi}{4}, \pi\right]\).

Le produit est \(\ge 0\) sur \(S = \left[0, \frac{\pi}{3}\right] \cup \left[\frac{3\pi}{4}, \pi\right]\).

★Fiche résumé à retenir

Addition : \(\cos(a\pm b)\), \(\sin(a\pm b)\), \(\tan(a\pm b)\).
Duplication : \(\cos 2a = 2\cos^2 a – 1 = 1 – 2\sin^2 a\), \(\sin 2a = 2\sin a \cos a\).
Linéarisation : \(\cos^2 a = \frac{1+\cos 2a}{2}\), \(\sin^2 a = \frac{1-\cos 2a}{2}\).
Sommes → Produits : \(\cos p + \cos q = 2\cos\frac{p+q}{2}\cos\frac{p-q}{2}\), etc.
Substitution : \(t = \tan\frac{x}{2}\), \(\cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2}\), \(\sin x = \frac{2t}{1+t^2}\).
Équations : \(\cos x = \cos\alpha \iff x = \pm\alpha + 2k\pi\) ; \(\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha\) ou \(\pi-\alpha + 2k\pi\).

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