Les Suites Numériques · Cours 1Bac Sc Ex

Ce cours sur les suites numériques pour la 1ère Bac Sc Ex traite des suites arithmétiques et géométriques, de la monotonie, des suites bornées et du raisonnement par récurrence, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.

Cours de suites numériques 1ère Bac

DéfinitionÀ connaître par cœur.
PropriétéÀ retenir et à citer.
ExempleRésolu étape par étape.
AstucePour mieux comprendre.
AttentionErreur fréquente.

1Activités d’introduction

Activité 1 · Formule explicite vs récurrence Des gradins sont constitués de poutres. On considère la suite \(U\) des nombres de poutres par niveau en commençant par le haut (rang 0), le nombre de poutres de rang \(n \in \mathbb{N}\) est noté \(U_n\).
  1. Formule de récurrence : donner \(U_0, U_1, U_2, U_3\) ; comment passe-t-on de \(U_n\) à \(U_{n+1}\) ? En déduire \(U_4, U_5, U_6\) puis \(U_{10}, U_{100}, U_{200}\).
  2. Formule explicite : trouver une formule donnant directement \(U_n\) en fonction de \(n\).
Activité 2 · Suite définie uniquement par récurrence Soit \((U_n)\) définie par \(U_{n+1} = 0{,}95U_n + 5\) et \(U_1 = 200\).
Calculer \(U_1, U_2, U_3, U_{10}, U_{100}, U_{200}\), puis trouver la plus petite valeur de \(n\) telle que \(U_n < 100\).
Modèle concret : un club de 200 membres perd 5% chaque mois et gagne 5 nouvelles inscriptions.
Activité 3 · Suite définie uniquement par formule explicite Soit \((V_n)\) définie par \(V_n = 100 + 100 \times 0{,}95^{n-1}\).
Calculer \(V_1, V_2, V_3, V_{10}, V_{100}, V_{200}\). Que remarque-t-on par rapport à la suite \(U\) de l’activité 2 ?
Activité 4 · Deux offres de salaire Société A : 4500 Dh le 1er mois, +75 Dh chaque mois.
Société B : 3500 Dh le 1er mois, +3% chaque mois.
Soient \(a_n\) et \(b_n\) les salaires du \(n\)-ième mois.
  1. Calculer les salaires des 4 premiers mois pour A et B.
  2. Trouver une relation entre \(a_{n+1}\) et \(a_n\), puis entre \(b_{n+1}\) et \(b_n\).
  3. Calculer les salaires du 10ᵉ mois pour A et B.
  4. Quelle société est la plus bénéfique ?

2Définitions et notations

Définition On appelle suite numérique toute application de \(\mathbb{N}\) (ou une partie \(I\) de \(\mathbb{N}\)) vers \(\mathbb{R}\) :
\[ u : I \to \mathbb{R}, \quad n \mapsto u(n) = u_n \]
Le réel \(u_n\) s’appelle le terme de rang \(n\), et \(n\) est l’indice du terme.
La suite se note \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) ou simplement \((u_n)\).
Exemples
  • \((u_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définie par \(u_n = \frac{1}{n+2}\) : \(u_0 = \frac{1}{2}\), \(u_1 = \frac{1}{3}\), \(u_2 = \frac{1}{4}\), …
  • \((v_n)_{n \ge 3}\) définie par \(v_n = \frac{1}{n-2}\) : \(v_3 = 1\), \(v_4 = \frac{1}{2}\), \(v_5 = \frac{1}{3}\), …

3Générer une suite

3.1 Suite définie par une expression explicite

Définition Le terme \(u_n\) est défini directement en fonction de \(n\).
\[ u_n = 2n + 3 \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Exemple \(u_n = 2n + 3\).
  • \(u_0 = 3\), \(u_1 = 5\), \(u_2 = 7\), \(u_3 = 9\).
  • \(u_{n+1} – u_n = (2(n+1)+3) – (2n+3) = 2\) (constant).

3.2 Suite définie par une expression récurrente

Définition Une suite récurrente est définie par son (ses) premier(s) terme(s) et une relation entre plusieurs termes consécutifs.
\[ \begin{cases} u_0 = 2 \\ u_{n+1} = 5u_n – 7 \end{cases} \quad \forall n \in \mathbb{N} \]
Exemple 1
  • \(u_0 = 2\)
  • \(u_1 = 5 \times 2 – 7 = 3\)
  • \(u_2 = 5 \times 3 – 7 = 8\)
  • \(u_3 = 5 \times 8 – 7 = 33\)
Exemple 2 · Suite récurrente d’ordre 2
\[ \begin{cases} v_0 = 1, \ v_1 = -1 \\ v_{n+2} = 2v_{n+1} – 3v_n \end{cases} \]
  • \(v_2 = 2(-1) – 3(1) = -5\)
  • \(v_3 = 2(-5) – 3(-1) = -7\)
  • \(v_4 = 2(-7) – 3(-5) = 1\)

4Suites majorées, minorées, bornées

Définitions
  • \((u_n)\) est majorée s’il existe \(M \in \mathbb{R}\) tel que \(\forall n, u_n \le M\).
  • \((u_n)\) est minorée s’il existe \(m \in \mathbb{R}\) tel que \(\forall n, m \le u_n\).
  • \((u_n)\) est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Propriété \((u_n)\) est bornée si et seulement s’il existe \(M > 0\) tel que \(\forall n, |u_n| \le M\).
Exemple · \(u_n = \frac{n+1}{2n+1}\)
  1. \(1 – u_n = \frac{n}{2n+1} \ge 0\), donc \(u_n \le 1\).
  2. \(u_n – \frac{1}{2} = \frac{1}{2(2n+1)} > 0\), donc \(u_n > \frac{1}{2}\).
  3. Donc \(\frac{1}{2} < u_n \le 1\) : la suite est bornée.
★★ Exercice 1 · Suite minorée

Soit \((u_n)\) définie par \(u_{n+1} = u_n^2 + 2u_n + 2\) et \(u_0 = -1\). Calculer \(u_1\) et montrer que \((u_n)\) est minorée par 1.

Voir la solution

\(u_1 = (-1)^2 + 2(-1) + 2 = 1\).

\(u_{n+1} – 1 = u_n^2 + 2u_n + 1 = (u_n + 1)^2 \ge 0\). Donc \(u_{n+1} \ge 1\) pour tout \(n\).

La suite \((u_n)\) est minorée par 1.

★★ Exercice 2 · Suite bornée

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \frac{7u_n}{2u_n + 1}\). Montrer que \(0 < u_n < 3\) pour tout \(n\).

Voir la solution

Par récurrence :

Initialisation : \(0 < u_0 = 1 < 3\) ✓.

Hérédité : supposons \(0 < u_n < 3\). Alors \(2u_n + 1 > 0\) et \(7u_n > 0\), donc \(u_{n+1} > 0\).

De plus, \(u_{n+1} – 3 = \frac{7u_n – 3(2u_n+1)}{2u_n+1} = \frac{u_n – 3}{2u_n+1} < 0\) (car \(u_n < 3\)). Donc \(u_{n+1} < 3\).

Donc \(0 < u_n < 3\) pour tout \(n\). La suite est bornée.

★★ Exercice 3 · Suite minorée

Soit \(u_n = 3n^2 + 6n – 4\). Montrer que \((u_n)\) est minorée.

Voir la solution

\(u_n = 3(n^2 + 2n) – 4 = 3((n+1)^2 – 1) – 4 = 3(n+1)^2 – 7\).

Comme \((n+1)^2 \ge 0\), on a \(u_n \ge -7\). La suite est minorée par \(-7\).

★★ Exercice 4 · Suite bornée avec trigonométrie

Soit \(u_n = \frac{2 + \cos n}{3 – \sin\sqrt{n}}\). Montrer que \((u_n)\) est bornée.

Voir la solution

On a \(-1 \le \cos n \le 1\), donc \(1 \le 2 + \cos n \le 3\).

Et \(-1 \le \sin\sqrt{n} \le 1\), donc \(2 \le 3 – \sin\sqrt{n} \le 4\), d’où \(\frac{1}{4} \le \frac{1}{3 – \sin\sqrt{n}} \le \frac{1}{2}\).

En multipliant : \(\frac{1}{4} \le u_n \le \frac{3}{2}\). La suite est bornée.

★★ Exercice 5 · Suite bornée avec valeur absolue

Soit \(u_n = (-1)^n \sin\sqrt{n}\). Montrer que \((u_n)\) est bornée.

Voir la solution

\(|u_n| = |(-1)^n| \cdot |\sin\sqrt{n}| = |\sin\sqrt{n}| \le 1\).

Donc \(|u_n| \le 1\) pour tout \(n\) : la suite est bornée.

5Monotonie d’une suite

Définitions
  • \((u_n)\) est croissante si \(\forall n, u_{n+1} \ge u_n\).
  • \((u_n)\) est décroissante si \(\forall n, u_{n+1} \le u_n\).
  • \((u_n)\) est monotone si elle est croissante ou décroissante.
Théorème \((u_n)\) est croissante si et seulement si \(\forall n, u_{n+1} – u_n \ge 0\).
\((u_n)\) est décroissante si et seulement si \(\forall n, u_{n+1} – u_n \le 0\).
Exemple 1 · \(u_n = \frac{-n}{n+2}\)
\[ u_{n+1} – u_n = \frac{-(n+1)}{n+3} + \frac{n}{n+2} = \frac{-2}{(n+3)(n+2)} < 0 \]
Donc \((u_n)\) est décroissante.
Exemple 2 · Récurrence \(u_{n+1} = \sqrt{u_n + 2}\), \(u_0 = 1\)
  1. Initialisation : \(u_0 = 1\), \(u_1 = \sqrt{3} \approx 1{,}73\). Donc \(u_0 \le u_1\).
  2. Hérédité : si \(u_n \le u_{n+1}\), alors \(u_n + 2 \le u_{n+1} + 2\), donc \(\sqrt{u_n+2} \le \sqrt{u_{n+1}+2}\), c’est-à-dire \(u_{n+1} \le u_{n+2}\).
  3. Donc \((u_n)\) est croissante.

6Suite arithmétique

Définition Une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r\) si :
\[ u_{n+1} = u_n + r \quad \forall n \]
Propriété caractéristique \((u_n)\) est arithmétique si et seulement si \(2u_{n+1} = u_n + u_{n+2}\) (trois termes consécutifs).
Terme général
\[ u_n = u_p + (n – p)r \]
En particulier : \(u_n = u_0 + nr\) ou \(u_n = u_1 + (n-1)r\).
Somme des termes
\[ S_n = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n = \frac{(n-p+1)(u_p + u_n)}{2} \]
Nombre de termes = \(n – p + 1\).
Exemple · \(u_1 = 3\), \(u_5 = 9\)
  • \(9 = 3 + 4r \implies r = \frac{3}{2}\).
  • \(u_0 = 3 – \frac{3}{2} = \frac{3}{2}\).
  • \(u_n = \frac{3}{2} + \frac{3}{2}n\).
★★ Exercice 6 · Suite auxiliaire

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = \frac{2u_n – 1}{u_n}\). On pose \(v_n = \frac{1}{u_n – 1}\).

1) Montrer que \((v_n)\) est arithmétique. 2) Exprimer \(u_n\) en fonction de \(n\).

Voir la solution

1) \(v_{n+1} – v_n = \frac{1}{u_{n+1}-1} – \frac{1}{u_n-1} = \frac{u_n}{u_n-1} – \frac{1}{u_n-1} = 1\).

Donc \((v_n)\) est arithmétique de raison \(r = 1\), premier terme \(v_0 = \frac{1}{2-1} = 1\).

2) \(v_n = v_0 + nr = 1 + n\). Et \(u_n = 1 + \frac{1}{v_n} = \frac{v_n + 1}{v_n} = \frac{n+2}{n+1}\).

★★ Exercice 7 · Camions

Une entreprise possède 40 camions en décembre 1991 et achète 8 camions supplémentaires chaque année.

1) Nombre de camions en 1992, 1993, 1994. 2) Nature de la suite. 3) \(u_n\). 4) Nombre en 2002.

Voir la solution

1) 1992 : 48, 1993 : 56, 1994 : 64.

2) C’est une suite arithmétique de raison \(r = 8\).

3) \(u_1 = 40\) et \(u_n = 40 + (n-1) \times 8 = 8n + 32\).

4) En 2002, \(n = 11\) (1991 + 11), donc \(u_{11} = 8 \times 11 + 32 = 120\) camions.

7Suite géométrique

Définition Une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q\) si :
\[ u_{n+1} = q \cdot u_n \quad \forall n \]
Terme général
\[ u_n = u_p \cdot q^{n-p} \]
En particulier : \(u_n = u_0 \cdot q^n\) ou \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\).
Somme des termes Si \(q \ne 1\) :
\[ S_n = u_p + u_{p+1} + \dots + u_n = u_p \cdot \frac{1 – q^{n-p+1}}{1 – q} \]
Si \(q = 1\) : \(S_n = (n-p+1) u_p\).
Propriété caractéristique \(a, b, c\) sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique si et seulement si \(b^2 = a \times c\).
Exemple · \(u_1 = \frac{3}{2}\), \(u_4 = \frac{3}{16}\)
  • \(\frac{3}{16} = \frac{3}{2} \cdot q^3 \implies q^3 = \frac{1}{8} \implies q = \frac{1}{2}\).
  • \(u_n = \frac{3}{2} \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\).
★★★ Exercice 8 · Suite auxiliaire géométrique

Soit \((u_n)\) définie par \(u_{n+2} = \frac{1}{27}(12u_{n+1} – u_n)\), \(u_0 = 2\), \(u_1 = \frac{4}{9}\). On pose \(v_n = u_n – \frac{1}{3^n}\).

1) Montrer que \(u_{n+1} = \frac{1}{9}u_n + \frac{2}{3^{n+2}}\).

2) Montrer que \((v_n)\) est géométrique, puis exprimer \(v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(n\).

3) Calculer \(S_n = \sum_{k=0}^n u_k\).

Voir la solution

1) Récurrence (voir le PDF pour les détails).

2) \(v_{n+1} = \frac{1}{9}u_n + \frac{2}{3^{n+2}} – \frac{1}{3^{n+1}} = \frac{1}{9}u_n – \frac{1}{3^{n+2}} = \frac{1}{9}\left(u_n – \frac{1}{3^n}\right) = \frac{1}{9}v_n\).

Donc \((v_n)\) géométrique de raison \(q = \frac{1}{9}\), \(v_0 = 1\).

\(v_n = \left(\frac{1}{9}\right)^n\), \(u_n = \left(\frac{1}{9}\right)^n + \left(\frac{1}{3}\right)^n\).

3) \(S_n = \frac{9}{8}\left(1 – \left(\frac{1}{9}\right)^{n+1}\right) + \frac{3}{2}\left(1 – \left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}\right)\).

★★★ Exercice 9 · Suite encadrée

Soit \((u_n)\) définie par \(u_{n+1} = \frac{u_n}{\sqrt{u_n + 2}}\) et \(u_0 \in ]-1, 0[\).

1) Montrer que \(-1 < u_n < 0\). 2) Montrer que \((u_n)\) est strictement croissante.

Voir la solution

1) Par récurrence : si \(-1 < u_n < 0\), alors \(1 < u_n + 2 < 2\), donc \(1 < \sqrt{u_n+2} < \sqrt{2}\), et \(\frac{1}{\sqrt{2}} < \frac{1}{\sqrt{u_n+2}} < 1\). Comme \(0 < -u_n < 1\), on obtient \(-1 < u_{n+1} < 0\).

2) \(u_{n+1} – u_n = \frac{u_n}{\sqrt{u_n+2}} – u_n = u_n\left(\frac{1}{\sqrt{u_n+2}} – 1\right) > 0\) car \(u_n < 0\) et \(\sqrt{u_n+2} < 1\). Donc la suite est strictement croissante.

8La suite de Fibonacci

Culture mathématique La suite de Fibonacci doit son nom au mathématicien italien Leonardo Fibonacci (XIIe–XIIIe siècle). Chaque terme, à partir du rang 2, est la somme des deux précédents :
\[ u_{n+2} = u_{n+1} + u_n \quad ; \quad u_0 = 0, \ u_1 = 1 \]
Début de la suite : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …
Attention La suite de Fibonacci n’est ni arithmétique, ni géométrique : \(u_1 – u_0 = 1\) et \(u_2 – u_1 = 0\) (différences non constantes), et \(\frac{u_1}{u_0}\) n’est pas défini, \(\frac{u_2}{u_1} = 2\), \(\frac{u_3}{u_2} = 1{,}5\) (rapports non constants).

9Exercices corrigés

Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.

★ Exercice 1 · Suite définie par récurrence

Soit \((u_n)\) définie par \(u_0 = 2\) et \(u_{n+1} = 5u_n – 7\). Calculer \(u_1, u_2, u_3\).

Voir la solution

\(u_1 = 5(2) – 7 = 3\).

\(u_2 = 5(3) – 7 = 8\).

\(u_3 = 5(8) – 7 = 33\).

★ Exercice 2 · Suite récurrente d’ordre 2

Soit \((v_n)\) définie par \(v_0 = 1\), \(v_1 = -1\), \(v_{n+2} = 2v_{n+1} – 3v_n\). Calculer \(v_2, v_3, v_4\).

Voir la solution

\(v_2 = 2(-1) – 3(1) = -5\).

\(v_3 = 2(-5) – 3(-1) = -7\).

\(v_4 = 2(-7) – 3(-5) = 1\).

★★ Exercice 3 · Suite minorée

Soit \(u_{n+1} = u_n^2 + 2u_n + 2\) et \(u_0 = -1\). Montrer que \((u_n)\) est minorée par 1.

Voir la solution

\(u_1 = 1\). Et \(u_{n+1} – 1 = (u_n + 1)^2 \ge 0\), donc \(u_{n+1} \ge 1\). Par récurrence, \(u_n \ge 1\) pour tout \(n\).

★★ Exercice 4 · Suite bornée

Soit \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \frac{7u_n}{2u_n + 1}\). Montrer que \(0 < u_n < 3\).

Voir la solution

Par récurrence : \(0 < u_0 < 3\). Si \(0 < u_n < 3\), alors \(u_{n+1} > 0\) et \(u_{n+1} – 3 = \frac{u_n – 3}{2u_n+1} < 0\). Donc \(0 < u_{n+1} < 3\).

★★ Exercice 5 · Suite minorée (polynôme)

Soit \(u_n = 3n^2 + 6n – 4\). Montrer que \((u_n)\) est minorée.

Voir la solution

\(u_n = 3(n+1)^2 – 7 \ge -7\). La suite est minorée par \(-7\).

★★ Exercice 6 · Suite auxiliaire arithmétique

\(u_0 = 2\), \(u_{n+1} = \frac{2u_n – 1}{u_n}\), \(v_n = \frac{1}{u_n – 1}\).

1) Montrer que \((v_n)\) est arithmétique. 2) Exprimer \(u_n\).

Voir la solution

1) \(v_{n+1} – v_n = 1\), donc arithmétique de raison 1 et \(v_0 = 1\).

2) \(v_n = n+1\), donc \(u_n = 1 + \frac{1}{n+1} = \frac{n+2}{n+1}\).

★★ Exercice 7 · Camions (arithmétique)

40 camions en 1991, +8 par an. 1) 1992-1994. 2) Nature. 3) \(u_n\). 4) 2002.

Voir la solution

1) 48, 56, 64.

2) Arithmétique de raison 8.

3) \(u_n = 40 + 8(n-1) = 8n + 32\).

4) \(u_{11} = 120\) camions.

★★★ Exercice 8 · Suite auxiliaire géométrique

\(u_{n+2} = \frac{1}{27}(12u_{n+1} – u_n)\), \(u_0 = 2\), \(u_1 = \frac{4}{9}\), \(v_n = u_n – \frac{1}{3^n}\).

1) Montrer \(u_{n+1} = \frac{1}{9}u_n + \frac{2}{3^{n+2}}\). 2) \((v_n)\) géométrique ? 3) \(S_n = \sum u_k\).

Voir la solution

1) Récurrence (voir PDF).

2) \(v_{n+1} = \frac{1}{9}v_n\), donc géométrique de raison \(\frac{1}{9}\), \(v_0 = 1\). \(v_n = \left(\frac{1}{9}\right)^n\).

3) \(u_n = \left(\frac{1}{9}\right)^n + \left(\frac{1}{3}\right)^n\), donc \(S_n = \frac{9}{8}(1 – 9^{-(n+1)}) + \frac{3}{2}(1 – 3^{-(n+1)})\).

★★★ Exercice 9 · Suite encadrée et croissante

\(u_{n+1} = \frac{u_n}{\sqrt{u_n+2}}\), \(u_0 \in ]-1, 0[\). 1) \(-1 < u_n < 0\). 2) Croissance stricte.

Voir la solution

1) Récurrence : voir PDF.

2) \(u_{n+1} – u_n = u_n\left(\frac{1}{\sqrt{u_n+2}} – 1\right) > 0\) car \(u_n < 0\) et \(\sqrt{u_n+2} < 1\).

★Fiche résumé à retenir

  • Suite : application de \(\mathbb{N}\) vers \(\mathbb{R}\), notée \((u_n)\).
  • Explicite : \(u_n\) en fonction de \(n\). Récurrente : \(u_{n+1}\) en fonction de \(u_n\).
  • Bornée : majorée et minorée. \( \Leftrightarrow \exists M > 0, |u_n| \le M\).
  • Monotone : \(u_{n+1} – u_n\) de signe constant.
  • Arithmétique : \(u_n = u_p + (n-p)r\) ; somme \(= \frac{\text{nb termes} \times (\text{premier} + \text{dernier})}{2}\).
  • Géométrique : \(u_n = u_p \cdot q^{n-p}\) ; somme \(= u_p \cdot \frac{1 – q^{\text{nb termes}}}{1 – q}\) (si \(q \ne 1\)).
  • Fibonacci : \(u_{n+2} = u_{n+1} + u_n\), ni arithmétique ni géométrique.
Les suites, c’est la musique des nombres !
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