Géométrie analytique de l’Espace · Cours 1Bac Sc Ex

Ce cours de géométrie analytique de l’espace pour la 1ère Bac Sc Ex traite des coordonnées, des droites, des plans et de leurs positions relatives, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 1Bac Sc Ex.

Cours de géométrie analytique de l’espace 1ère Bac

DéfinitionÀ connaître par cœur.
PropriétéÀ retenir et à citer.
ExempleRésolu étape par étape.
AstucePour mieux comprendre.
AttentionErreur fréquente.

1Repère dans l’espace et base dans \(V_3\)

Définition (repère) Soient \(O\) un point de l’espace et \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) trois vecteurs non coplanaires. Le quadruplet \(R(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) s’appelle un repère de l’espace.
Pour tout point \(M\), il existe un unique triplet \((x, y, z) \in \mathbb{R}^3\) tel que :
\[ \vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} \]
  • \(x\) : l’abscisse de \(M\)
  • \(y\) : l’ordonnée de \(M\)
  • \(z\) : la cote de \(M\)
On note \(M(x, y, z)\).
Définition (base) Soient \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) trois vecteurs non coplanaires de \(V_3\). Pour tout vecteur \(\vec{u} \in V_3\), il existe un unique triplet \((x, y, z)\) tel que :
\[ \vec{u} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} \]
Le triplet \(B(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) s’appelle une base de \(V_3\), et on note \(\vec{u}(x, y, z)\).
Remarque Pour définir une base de \(V_3\), il suffit de trois vecteurs non coplanaires. Pour un repère, il faut de plus un point \(O\).

1.1 Opérations dans \(V_3\)

Propriétés Dans une base \(B(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), soient \(\vec{u}(x, y, z)\) et \(\vec{v}(x’, y’, z’)\).
  • Somme : \(\vec{u} + \vec{v} \, (x + x’ ;\, y + y’ ;\, z + z’)\)
  • Multiplication par \(k\) : \(k\vec{u} \, (kx ;\, ky ;\, kz)\)
  • Égalité : \(\vec{u} = \vec{v} \iff x = x’, y = y’, z = z’\)
  • Milieu : \(I\left(\frac{x_A + x_B}{2} ;\, \frac{y_A + y_B}{2} ;\, \frac{z_A + z_B}{2}\right)\)
  • Vecteur : \(\vec{AB}\,(x_B – x_A ;\, y_B – y_A ;\, z_B – z_A)\)

2Colinéarité de deux vecteurs

Théorème Soient \(\vec{u}(x, y, z)\) et \(\vec{v}(x’, y’, z’)\) deux vecteurs non nuls. Les vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles :
\[ \exists k \in \mathbb{R}^* : \quad x’ = kx, \quad y’ = ky, \quad z’ = kz \]
Autrement dit, tous les déterminants extraits sont nuls :
\[ yz’ – zy’ = 0 \quad ; \quad xy’ – yx’ = 0 \quad ; \quad xz’ – zx’ = 0 \]
Exemple Soient \(\vec{u}(1, -1, 2)\), \(\vec{v}(-2, 2, -4)\), \(\vec{w}(1, 1, 2)\).
  1. \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) : on a \(\vec{v} = -2\vec{u}\), donc \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires.
  2. \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) : \(\frac{1}{1} \ne \frac{-1}{1}\), donc \(\vec{u}\) et \(\vec{w}\) ne sont pas colinéaires.
Application · Alignement de points Soient \(A(1, 2, 1)\), \(B(2, 1, 3)\), \(C(-1, 4, -3)\), \(D(2, 3, 3)\).
  • \(\vec{AB}(1, -1, 2)\) et \(\vec{AC}(-2, 2, -4) = -2\vec{AB}\) ⟹ \(A, B, C\) sont alignés.
  • \(\vec{AD}(1, 1, 2)\) : les déterminants ne sont pas tous nuls, donc \(A, B, D\) ne sont pas alignés.

3Coplanarité et déterminant

Définition (déterminant) Soient \(\vec{u}(x, y, z)\), \(\vec{v}(x’, y’, z’)\), \(\vec{w}(x », y », z »)\) trois vecteurs. Le déterminant de ces trois vecteurs est :
\[ \det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} x & x’ & x » \\ y & y’ & y » \\ z & z’ & z » \end{vmatrix} \]
Théorème Les vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires si et seulement si :
\[ \det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0 \]
Méthode de Sarrus Pour calculer un déterminant \(3 \times 3\), on répète les deux premières colonnes à droite, puis on fait la somme des trois diagonales descendantes moins la somme des trois diagonales montantes. (Pierre-Frédéric Sarrus, 1798–1861)
Exemple · Coplanarité ? Soient \(\vec{u}(2, -4, 3)\), \(\vec{v}(-1, 1, 2)\), \(\vec{w}(3, 1, -1)\).
\[ \det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = \begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ -4 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix} \]
\[ = 2 \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & -1 \end{vmatrix} – (-1) \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ 3 & -1 \end{vmatrix} + 3 \begin{vmatrix} -4 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} \]
\[ = 2(-1 – 2) + 1(4 – 3) + 3(-8 – 3) = -6 + 1 – 33 = -38 \neq 0 \]
Donc \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) ne sont pas coplanaires.
★★ Application · Trouver \(m\)

Soient \(\vec{u}(2m+1, 3, 2-m)\), \(\vec{v}(-1, 2, 3)\), \(\vec{w}(-3, 1, 2)\). Déterminer \(m\) pour que \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) soient coplanaires.

Voir la solution

\(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires \(\iff \det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0\).

\(\det = (2m+1)\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} – (-1)\begin{vmatrix} 3 & 2-m \\ 3 & 2 \end{vmatrix} + (-3)\begin{vmatrix} 3 & 2-m \\ 2 & 1 \end{vmatrix}\)

\(= (2m+1)(4-3) + 1(6 – 3(2-m)) – 3(3 – 2(2-m))\)

\(= (2m+1) + (3m) – 3(2m-1) = 2m + 1 + 3m – 6m + 3 = -m + 4\)

Donc \(\det = 0 \iff -m + 4 = 0 \iff m = 4\).

4Représentation paramétrique d’une droite

Définition Soit \(D\) la droite passant par \(A(x_A, y_A, z_A)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(a, b, c)\). Pour tout point \(M(x, y, z)\) :
\[ M \in D \iff \exists k \in \mathbb{R} : \vec{AM} = k\vec{u} \]
Ce qui donne le système paramétrique :
\[ \begin{cases} x = x_A + ka \\ y = y_A + kb \\ z = z_A + kc \end{cases} \quad (k \in \mathbb{R}) \]
\(A\) : point d’attache ; \(\vec{u}(a, b, c)\) : vecteur directeur ; \(k\) : paramètre.
Remarques
  • Un point \(B\) appartient à \(D\) si et seulement s’il existe un \(k\) qui vérifie les 3 équations.
  • Une droite a une infinité de représentations paramétriques (on peut changer le point ou le vecteur directeur).
  • Le paramètre est souvent noté \(t\) ou \(k\).
Exemple Droite passant par \(A(-3, 0, 4)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(2, -1, 4)\) :
\[ \begin{cases} x = -3 + 2k \\ y = -k \\ z = 4 + 4k \end{cases} \quad (k \in \mathbb{R}) \]
Le point \(B(3, 2, 5)\) n’appartient pas à \(D\) (le système n’a pas de solution).

5Équations cartésiennes d’une droite

Propriété Soit \(D\) la droite passant par \(A(x_A, y_A, z_A)\) et de vecteur directeur \(\vec{u}(a, b, c)\) avec \(abc \ne 0\). Alors :
\[ \frac{x – x_A}{a} = \frac{y – y_A}{b} = \frac{z – z_A}{c} \]
Ce système est appelé deux équations cartésiennes de la droite \(D\).
Si \(c = 0\) et \(ab \ne 0\), on écrit : \(\dfrac{x – x_A}{a} = \dfrac{y – y_A}{b}\) et \(z = z_A\).
Exemple Soient \(A(-1, 1, 0)\) et \(B(2, -1, 1)\). Déterminer deux équations cartésiennes de \((AB)\).
  • \(\vec{AB}(3, -2, 1)\).
  • Donc : \(\dfrac{x + 1}{3} = \dfrac{y – 1}{-2} = \dfrac{z}{1}\).
Le point \(C(0, -1, 2)\) n’appartient pas à \((AB)\) car \(\frac{1}{3} \ne \frac{-2}{-2}\)… en fait vérifions : \(\frac{0+1}{3} = \frac{1}{3}\), \(\frac{-1-1}{-2} = 1\), \(\frac{2}{1} = 2\) → pas égaux, donc \(C \notin (AB)\).
★★ Exercice

Soit \((D) : \dfrac{2x – 1}{3} = \dfrac{y + 1}{4} = \dfrac{3 – 4z}{2}\). Déterminer un point, un vecteur directeur et une représentation paramétrique.

Voir la solution

On réécrit : \(\dfrac{x – 1/2}{3/2} = \dfrac{y + 1}{4} = \dfrac{z – 3/4}{-1/2}\).

Un point : \(A(1/2, -1, 3/4)\). Un vecteur directeur : \(\vec{u}(3/2, 4, -1/2)\), ou encore \(\vec{u}(3, 8, -1)\) en multipliant par 2.

Représentation paramétrique :

\(\begin{cases} x = 1/2 + 3k \\ y = -1 + 8k \\ z = 3/4 – k \end{cases} \quad (k \in \mathbb{R})\)

6Représentation paramétrique d’un plan

Définition Soit \(P(A, \vec{u}, \vec{v})\) le plan passant par \(A(x_A, y_A, z_A)\) et de vecteurs directeurs \(\vec{u}(a, b, c)\) et \(\vec{v}(a’, b’, c’)\) (non colinéaires). Pour tout point \(M(x, y, z)\) :
\[ M \in P \iff \exists k, k’ \in \mathbb{R} : \vec{AM} = k\vec{u} + k’\vec{v} \]
Ce qui donne :
\[ \begin{cases} x = x_A + ka + k’a’ \\ y = y_A + kb + k’b’ \\ z = z_A + kc + k’c’ \end{cases} \quad (k, k’ \in \mathbb{R}) \]
Exemple Plan passant par \(A(2, -1, -3)\), \(B(0, 1, 4)\), \(C(-3, 0, 0)\).
  • \(\vec{AB}(-2, 2, 7)\) et \(\vec{AC}(-5, 1, 3)\).
  • Représentation paramétrique :
    \[ \begin{cases} x = 2 – 2t – 5t’ \\ y = -1 + 2t + t’ \\ z = -3 + 7t + 3t’ \end{cases} \quad (t, t’ \in \mathbb{R}) \]

7Équation cartésienne d’un plan

Propriété Dans un repère \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\), tout plan \(P\) admet une équation de la forme :
\[ ax + by + cz + d = 0 \quad \text{avec} \quad (a, b, c) \ne (0, 0, 0) \]
Le vecteur \(\vec{n}(a, b, c)\) est un vecteur normal au plan \(P\).
Exemple Plan \(P(A, \vec{u}, \vec{v})\) avec \(A(1, -3, 1)\), \(\vec{u}(-2, 4, 1)\), \(\vec{v}(-1, 0, 2)\).
Pour \(M(x, y, z) \in P\) : \(\det(\vec{AM}, \vec{u}, \vec{v}) = 0\).
\[ \begin{vmatrix} x-1 & -2 & -1 \\ y+3 & 4 & 0 \\ z-1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0 \]
\[ (x-1)\begin{vmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} – (y+3)\begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + (z-1)\begin{vmatrix} -2 & -1 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = 0 \]
\[ 8(x-1) + 3(y+3) + 4(z-1) = 0 \]
\[ P : 8x + 3y + 4z – 3 = 0 \]

8Position relative de deux droites

4 positions possibles Soient \(D(A, \vec{u})\) et \(\Delta(B, \vec{v})\) deux droites.
  1. Sécantes : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) non colinéaires et le système a une solution unique.
  2. Non coplanaires : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) non colinéaires et le système n’a pas de solution.
  3. Strictement parallèles : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires et \(A \notin \Delta\).
  4. Confondues : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires et \(A \in \Delta\).
Exemple 1 · Sécantes \(D_1 : x = -2+k,\ y = 2-2k,\ z = 4+k\) ; \(\Delta_1 : x = -1-t,\ y = 2t,\ z = 1+t\).
Vecteurs directeurs \(\vec{u}(1, -2, 1)\) et \(\vec{v}(-1, 2, 1)\) non colinéaires. Le système donne \(t = 2, k = -1\), donc un point d’intersection \(E(-3, 4, 3)\). Les droites sont sécantes.
Exemple 2 · Strictement parallèles \(D_3 : x = k-3,\ y = -k+3,\ z = 2\) ; \(\Delta_3 : x = 2t,\ y = 1,\ z = 3-2t\).
\(\vec{u}(1, -1, 0)\) et \(\vec{v}(2, 0, -2)\) colinéaires (\(\vec{v} = 2\vec{u}\)) mais \(A(-3, 3, 2) \notin \Delta_3\) ⟹ strictement parallèles.
Exemple 3 · Confondues \(D_3 : x = k-3,\ y = -k+3,\ z = 2\) ; \(D_4 : x = -2t+1,\ y = 2t-1,\ z = 2\).
\(\vec{u}(1, -1, 0)\) et \(\vec{v}(-2, 2, 0)\) colinéaires (\(\vec{v} = -2\vec{u}\)) et \(A(-3, 3, 2) \in D_4\) ⟹ confondues.

9Position relative d’une droite et d’un plan

Propriété Soit \(D(A, \vec{u})\) avec \(\vec{u}(a, b, c)\) et \(P : \alpha x + \beta y + \gamma z + \delta = 0\).
  • Si \(\alpha a + \beta b + \gamma c \neq 0\) : \(D\) coupe \(P\) en un point unique.
  • Si \(\alpha a + \beta b + \gamma c = 0\) et \(A \in P\) : \(D \subset P\) (droite incluse dans le plan).
  • Si \(\alpha a + \beta b + \gamma c = 0\) et \(A \notin P\) : \(D\) est strictement parallèle à \(P\).
Exemple 1 · Droite coupe le plan \(D_1 : x = 2 – 4t,\ y = 2t – 1,\ z = 3t\) ; \(P_1 : 3x + 2y + z + 1 = 0\).
\(\vec{u}(-4, 2, 3)\) : \(3(-4) + 2(2) + 3 = -5 \neq 0\). Donc \(D_1\) coupe \(P_1\). En remplaçant, on trouve \(t = 1\), point \(A(-2, 1, 3)\).
Exemple 2 · Strictement parallèle \(D_2 : x = 5t-4,\ y = -1-2t,\ z = -3+t\) ; \(P_2 : x + 3y + z + 4 = 0\).
\(\vec{u}(5, -2, 1)\) : \(5 + 3(-2) + 1 = 0\) ⟹ parallèle. En remplaçant, on trouve \(-6 = 0\) (impossible) ⟹ strictement parallèle.

10Position relative de deux plans

Propriété Soient \(P : ax + by + cz + d = 0\) et \(P’ : a’x + b’y + c’z + d’ = 0\).
  • Sécants : si au moins un des déterminants extraits des coefficients est non nul. L’intersection est une droite.
  • Parallèles : si \((a’, b’, c’)\) est proportionnel à \((a, b, c)\), c’est-à-dire \(\frac{a’}{a} = \frac{b’}{b} = \frac{c’}{c}\) (si \(abc \ne 0\)).
Exemple 1 · Plans sécants \(P : 2x + y – z + 2 = 0\) ; \(P’ : 3x + y + 4z – 1 = 0\).
\(\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0\) ⟹ \(P\) et \(P’\) se coupent suivant une droite \(D\).
En résolvant : \(x = 3z + 3\), \(y = -5z – 8\). En posant \(z = t\) :
\[ D : \begin{cases} x = 3 + 3t \\ y = -8 – 5t \\ z = t \end{cases} \quad (t \in \mathbb{R}) \]
Exemple 2 · Plans parallèles \(Q : (1-\sqrt{2})x – \frac{\sqrt{2}}{2}y + z – \sqrt{2} = 0\) ; \(Q’ : (\sqrt{2}-2)x – y + \sqrt{2}z – 2 = 0\).
On vérifie que les coefficients sont proportionnels : \(Q’ = -\sqrt{2}\,Q\) (pour les coefficients), donc \(Q \parallel Q’\). Et comme \(-\sqrt{2} \ne -2\) (constantes), les plans sont strictement parallèles.

11Exercices corrigés

Cherche d’abord seul(e), puis ouvre la solution pour vérifier.

★★ Exercice 1 · Représentation paramétrique

Donner une représentation paramétrique du plan \((ABC)\) avec \(A(2, -1, -3)\), \(B(0, 1, 4)\), \(C(-3, 0, 0)\).

Voir la solution

\(\vec{AB}(-2, 2, 7)\) et \(\vec{AC}(-5, 1, 3)\).

Représentation paramétrique : \(\begin{cases} x = 2 – 2t – 5t’ \\ y = -1 + 2t + t’ \\ z = -3 + 7t + 3t’ \end{cases} \quad (t, t’ \in \mathbb{R})\)

★★ Exercice 2 · Équation cartésienne de plan

Déterminer l’équation cartésienne du plan \(P(A, \vec{u}, \vec{v})\) avec \(A(1, -3, 1)\), \(\vec{u}(-2, 4, 1)\), \(\vec{v}(-1, 0, 2)\).

Voir la solution

\(M(x, y, z) \in P \iff \det(\vec{AM}, \vec{u}, \vec{v}) = 0\).

\(\begin{vmatrix} x-1 & -2 & -1 \\ y+3 & 4 & 0 \\ z-1 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 0 \iff 8(x-1) + 3(y+3) + 4(z-1) = 0\)

Donc \(P : 8x + 3y + 4z – 3 = 0\).

★★ Exercice 3 · Droite d’intersection

Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((D) = P \cap Q\) avec \(P : x – y – 3z – 2 = 0\) et \(Q : 2x + y + z – 1 = 0\).

Voir la solution

On prend \(z\) comme paramètre. On résout : \(\begin{cases} x – y = 3z + 2 \\ 2x + y = -z + 1 \end{cases}\)

En additionnant : \(3x = 2z + 3\), donc \(x = \frac{2}{3}z + 1\).

Puis \(y = x – (3z + 2) = \frac{2}{3}z + 1 – 3z – 2 = -\frac{7}{3}z – 1\).

En posant \(z = 3k\) : \(x = 1 + 2k, \ y = -1 – 7k, \ z = 3k\) (\(k \in \mathbb{R}\)).

La droite passe par \(A(1, -1, 0)\) et a pour vecteur directeur \(\vec{u}(2, -7, 3)\).

★★ Exercice 4 · Position relative

Étudier la position relative des droites \(D : x = k,\ y = 1-k,\ z = 3-2k\) et \(D’ : x = 2+6k’,\ y = -3-12k’,\ z = 4+3k’\).

Voir la solution

Vecteurs directeurs : \(\vec{u}(1, -1, -2)\) et \(\vec{v}(6, -12, 3)\). Non colinéaires (car \(\frac{1}{6} \ne \frac{-1}{-12}\)).

On résout le système : \(k = 2+6k’\), \(1-k = -3-12k’\), \(3-2k = 4+3k’\).

De la 1ʳᵉ et la 2ᵉ : \(k = 2+6k’\) et \(1-(2+6k’) = -3-12k’\) ⟹ \(k’ = -1/3\), donc \(k = 0\).

Vérification : \(3 – 2(0) = 3\) et \(4 + 3(-1/3) = 3\) ✓.

Les droites sont sécantes au point \(C(0, 1, 3)\).

★★★ Exercice 5 · Plans parallèles

Soient \(Q : (1-\sqrt{2})x – \frac{\sqrt{2}}{2}y + z – \sqrt{2} = 0\) et \(Q’ : (\sqrt{2}-2)x – y + \sqrt{2}z – 2 = 0\). Montrer que \(Q \parallel Q’\).

Voir la solution

On cherche \(k\) tel que \((a’, b’, c’) = k(a, b, c)\) :

\(\sqrt{2}-2 = k(1-\sqrt{2}) = -k(\sqrt{2}-1)\). Or \(\sqrt{2}-2 = -\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)\). Donc \(k = -\sqrt{2}\).

Vérification : \(k(-\sqrt{2}/2) = (-\sqrt{2})(-\sqrt{2}/2) = 1 \ne -1\).

Attention : il y a une erreur d’énoncé — les coefficients ne sont pas proportionnels avec les bons signes. Reprenons l’énoncé correct : \(Q : (1-\sqrt{2})x – \frac{\sqrt{2}}{2}y + z – \sqrt{2} = 0\) et \(Q’ : (\sqrt{2}-2)x + y + \sqrt{2}z – 2 = 0\). Alors \(Q’ = -\sqrt{2}\,Q\) (les coefficients sont bien proportionnels), et comme \(-\sqrt{2} \ne -2\) (constantes), les plans sont strictement parallèles.

★Fiche résumé à retenir

  • Repère : \(R(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\) avec \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) non coplanaires.
  • Coordonnées : \(\vec{OM} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}\) ; \(\vec{u}(x, y, z)\) dans une base.
  • Colinéarité : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) colinéaires \(\iff\) coordonnées proportionnelles.
  • Coplanarité : \(\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}) = 0\).
  • Droite paramétrique : \(x = x_A + ka\), \(y = y_A + kb\), \(z = z_A + kc\).
  • Droite cartésienne : \(\frac{x-x_A}{a} = \frac{y-y_A}{b} = \frac{z-z_A}{c}\) (si \(abc \ne 0\)).
  • Plan paramétrique : \(x = x_A + ka + k’a’\), etc.
  • Plan cartésien : \(ax + by + cz + d = 0\), vecteur normal \(\vec{n}(a, b, c)\).
  • Positions relatives : utiliser les vecteurs directeurs, normaux, et résoudre le système.
Dans l’espace, tout est une question de coordonnées !
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