Ce cours de dénombrement pour la 2ème Bac PC et SVT présente le principe multiplicatif, les arrangements, les permutations, les combinaisons et le binôme de Newton, avec méthodes et exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 2Bac PC-SVT.
Cours de dénombrement 2ème Bac
Dénombrement
Compter sans énumérer : principe multiplicatif, arrangements, permutations, combinaisons et binôme de Newton. Cours pas à pas et exercices corrigés.
à maîtriser
1Ensembles finis et cardinal
A = {1, 2} : Card(A) = 2. B = {a, b, c} : Card(B) = 3.
A = {E(11n) ; n ∈ ℕ*}. Pour n = 1, 2, 3, 4, 5, 6, … on trouve 11, 5, 3, 2, 2, 1, … et à partir de n = 12 on trouve 0. Donc A = {0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 11} et Card(A) = 6.
- Union : Card(E ∪ F) = Card(E) + Card(F) − Card(E ∩ F).
- Ensembles disjoints (E ∩ F = ∅) : Card(E ∪ F) = Card(E) + Card(F).
- Inclusion (E ⊂ F) : Card(E) ≤ Card(F) et Card(F − E) = Card(F) − Card(E).
- Complémentaire : si A ⊂ E, Card(Ā) = Card(E) − Card(A).
Card(AΔB) = Card(A) + Card(B) − 2 Card(A ∩ B).
53 pratiquent le football (F), 15 pratiquent à la fois football et basket-ball (B), et 20 pratiquent seulement le basket-ball.
1) Basket-ball : Card(B) = Card(B ∩ F) + Card(B ∩ F̄) = 15 + 20 = 35.
2) Au moins un sport : Card(F ∪ B) = 53 + 35 − 15 = 73.
3) Aucun des deux sports : c’est le complémentaire de F ∪ B : 100 − 73 = 27.
Dans une promotion de 36 étudiants : 22 maîtrisent C++ (A), 22 maîtrisent C# (B), 18 maîtrisent Java (C). 10 maîtrisent C++ et C#, 9 maîtrisent C# et Java, 11 maîtrisent C++ et Java. Tous maîtrisent au moins un langage. Combien maîtrisent les trois ?
36 = 62 − 30 + x = 32 + x
x = 4
2Le principe multiplicatif
(Un élément de A × B est un couple (a ; b) : choisir a puis choisir b.)
1) Garçon et fille. Classe de 15 garçons et 12 filles : on choisit un garçon et une fille : 15 × 12 = 180 possibilités.
2) Bureau. 20 membres : président, secrétaire, trésorier (pas de cumul). 20 choix, puis 19, puis 18 : 20 × 19 × 18 = 6 840.
3) Nombres de 3 chiffres. Chiffre des centaines : 9 choix (1 à 9, pas 0). Dizaines : 10. Unités : 10. Total : 9 × 10 × 10 = 900 nombres (de 100 à 999).
4) Pièce lancée 3 fois. 2 × 2 × 2 = 8 résultats : PPP, PPF, PFP, PFF, FPP, FPF, FFP, FFF.
5) Dé lancé 2 fois. 6 × 6 = 36 résultats.
6) Menus. 3 entrées, 5 plats, 4 desserts : 3 × 5 × 4 = 60 menus.
7) Nombres à 2 chiffres dont les unités sont 0, 1 ou 2 et les dizaines 5, 6, 7 ou 8 : 3 × 4 = 12.
3Arrangements
3.1 · Avec répétitions
1) Numéros de téléphone à 8 chiffres. L’ordre compte et un chiffre peut se répéter. E = {0, …, 9}, n = 10, p = 8 : 108 numéros.
2) Urne de 9 boules, 3 tirages avec remise pour former un nombre à 3 chiffres : 93 = 729.
3) Cinq boules de couleurs différentes à ranger dans 4 cases (une case peut contenir plusieurs boules). Chaque boule choisit sa case : 4 choix pour chacune des 5 boules, donc 45 = 1 024.
4) QCM de 15 questions à 4 réponses possibles (une seule réponse par question) : 415 façons de répondre.
5) Six personnes choisissent chacune un nombre entre 1 et 6 : 66 = 46 656 résultats.
3.2 · Sans répétitions
1) Mots de 5 lettres distinctes (alphabet de 26 lettres) : A526 = 26 × 25 × 24 × 23 × 22 = 7 893 600.
2) Podium. 10 coureurs, on classe les 3 premiers (pas d’ex æquo) : A310 = 10 × 9 × 8 = 720.
3) Urne de 9 boules, 3 tirages successifs sans remise pour former un nombre à 3 chiffres : A39 = 9 × 8 × 7 = 504.
4) Médailles. 18 athlètes, une médaille d’or, une d’argent, une de bronze : A318 = 18 × 17 × 16 = 4 896 podiums.
4Permutations
Ranger 10 livres sur une étagère : 10 ! = 3 628 800 façons.
Mélanger un jeu de 36 cartes : 36 ! ≈ 3,72 × 1041 façons.
Valeurs utiles : 1 ! = 1 ; 2 ! = 2 ; 3 ! = 6 ; 4 ! = 24 ; 5 ! = 120 ; 6 ! = 720 ; 7 ! = 5 040.
Permutations avec répétitions (anagrammes)
aabcc : a ×2, b ×1, c ×2 : 5!2! × 1! × 2! = 1204 = 30.
MATHS : 5 lettres distinctes : 5 ! = 120.
RIRE : R ×2, I, E : 4!2! = 12.
ANANAS : A ×3, N ×2, S ×1 : 6!3! × 2! = 72012 = 60.
EXCELLENCE : 10 lettres : E ×4, X ×1, C ×2, L ×2, N ×1 : 10!4! × 1! × 2! × 2! × 1! = 37 800.
5Combinaisons
1) Matchs. 8 équipes, chacune rencontre toutes les autres une seule fois : C28 = 8 × 72 = 28 matchs (le match A–B est le même que B–A).
2) Poignées de mains. 30 élèves se serrent la main : C230 = 30 × 292 = 435.
3) Urne de 7 boules numérotées de 1 à 7, on tire 2 boules simultanément.
- Nombre de tirages : C27 = 7 × 62 = 21.
- Somme paire : il faut 2 boules paires (parmi 2, 4, 6 : 3 boules) ou 2 boules impaires (parmi 1, 3, 5, 7 : 4 boules). C23 + C24 = 3 + 6 = 9.
- Somme impaire : une paire et une impaire : C13 × C14 = 3 × 4 = 12. (Contrôle : 9 + 12 = 21 ✓.)
4) Comité de 2 hommes et 3 femmes dans un bureau de 4 hommes et 5 femmes : C24 × C35 = 6 × 10 = 60.
Si le président H1 et Madame la secrétaire F1 doivent être présents : il reste à choisir 1 homme parmi 3 et 2 femmes parmi 4 : C13 × C24 = 3 × 6 = 18.
5) Comité de 5 personnes parmi 9 : C59 = C49 = 126.
- Symétrie : Cpn = Cn−pn. (Choisir p éléments, c’est choisir les n − p qu’on laisse.)
- Relation de Pascal : Cpn = Cp−1n−1 + Cpn−1 (pour n ≥ 1, 1 ≤ p ≤ n − 1).
Le triangle de Pascal
Chaque nombre est la somme de celui qui est juste au-dessus et de celui qui est au-dessus à gauche. Les lignes donnent les valeurs de Cpn.
| n \ p | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 1 | ||||||
| 1 | 1 | 1 | |||||
| 2 | 1 | 2 | 1 | ||||
| 3 | 1 | 3 | 3 | 1 | |||
| 4 | 1 | 4 | 6 | 4 | 1 | ||
| 5 | 1 | 5 | 10 | 10 | 5 | 1 | |
| 6 | 1 | 6 | 15 | 20 | 15 | 6 | 1 |
Essaie toi-même
| n ! | Avec répétitions np | Arrangements A | Combinaisons C |
|---|---|---|---|
6Quel outil choisir ?
- L’ordre est-il important ?
- Si oui : utilise-t-on tous les éléments ?
- Si oui ou non : les répétitions sont-elles autorisées ?
| Situation | Outil | Formule |
|---|---|---|
| L’ordre ne compte pas (comité, tirage simultané, main de cartes) | Combinaison | Cpn = n!p!(n − p)! |
| L’ordre compte, on utilise tous les éléments, sans répétition | Permutation | n ! |
| L’ordre compte, tous les éléments, avec éléments identiques (anagrammes) | Permutation avec répétitions | n!n1! × … × nk! |
| L’ordre compte, p parmi n, sans répétition (podium, tirage successif sans remise) | Arrangement sans répétition | Apn = n!(n − p)! |
| L’ordre compte, p parmi n, avec répétition (code, tirage avec remise) | Arrangement avec répétitions | np |
- Simultané → l’ordre ne compte pas → combinaisons.
- Successif sans remise → l’ordre compte → arrangements sans répétition.
- Successif avec remise → l’ordre compte, répétitions permises → np.
7Formule du binôme de Newton
Ligne 5 du triangle de Pascal : 1, 5, 10, 10, 5, 1. Donc
Pour (1 − x)5 = (1 + (−x))5, on remplace x par −x : les puissances impaires changent de signe.
- Avec a = b = 1 : nΣk=0 Ckn = 2n (le nombre de parties d’un ensemble à n éléments).
- Avec a = 1 et b = −1 : nΣk=0 (−1)k Ckn = 0.
8Méthodes et erreurs à éviter
Que faire dans un exercice ?
| On te demande… | Tu fais… |
|---|---|
| Compter des choix successifs | Principe multiplicatif : n1 × n2 × … × np. |
| Deux cas qui s’excluent (« ou ») | Additionne les deux nombres. |
| « Au moins un… » | Compte le total, puis retire le contraire (« aucun »). |
| « Exactement k… » | Choisis les k, puis choisis les autres dans l’autre catégorie, et multiplie. |
| « Deux éléments imposés ensemble » | Retire-les de l’ensemble et du nombre à choisir : Cp−2n−2. |
| « Deux éléments jamais ensemble » | Total − (nombre où ils sont ensemble). |
| Éléments qui doivent rester groupés | Traite le bloc comme un seul élément, puis permute à l’intérieur du bloc. |
| Unir deux ensembles qui se chevauchent | Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B). |
Erreurs à éviter
9Exercices corrigés
Calculer : 1) A36 ; 2) C36 ; 3) C810 ; 4) 7!5! ; 5) C1n + C2n pour n = 5.
Voir la solution
1) A36 = 6 × 5 × 4 = 120. 2) C36 = 1203! = 1206 = 20. 3) C810 = C210 = 10 × 92 = 45. 4) 7!5! = 7 × 6 = 42. 5) 5 + 10 = 15 (= C26, relation de Pascal).
Une entreprise a 800 employés : 300 hommes (H), 352 syndiqués (S), 424 mariés (M). On compte aussi : 188 hommes syndiqués, 166 hommes mariés, 208 syndiqués mariés, 144 hommes mariés syndiqués. Combien y a-t-il de femmes célibataires non syndiquées ?
Voir la solution
On cherche Card(H̄ ∩ M̄ ∩ S̄) = Card(complémentaire de H ∪ M ∪ S).
Card(H ∪ M ∪ S) = 300 + 424 + 352 − 188 − 166 − 208 + 144 = 1 076 − 562 + 144 = 658.
Il y a donc 800 − 658 = 142 femmes célibataires non syndiquées.
Un cadenas a un code de 3 chiffres pris dans {1 ; … ; 9}. 1) Combien de codes ? Combien se terminent par un chiffre pair ? Combien contiennent au moins un 4 ? Combien contiennent exactement un 4 ? 2) Même questions (sauf « au moins un 4 ») si les chiffres sont distincts : combien de codes, combien se terminent par un chiffre impair, combien contiennent le chiffre 6 ?
Voir la solution
1) Codes : 93 = 729. Se terminant par un chiffre pair (2, 4, 6, 8 : 4 choix) : 9 × 9 × 4 = 324.
Au moins un 4 : 729 − (codes sans 4) = 729 − 83 = 729 − 512 = 217.
Exactement un 4 : 3 choix de la place du 4, puis 8 × 8 pour les autres : 3 × 64 = 192.
2) Chiffres distincts : A39 = 9 × 8 × 7 = 504.
Terminant par un chiffre impair (1, 3, 5, 7, 9 : 5 choix), puis 8 puis 7 : 5 × 8 × 7 = 280.
Contenant le 6 : 3 places possibles pour le 6, puis 8 × 7 pour les autres : 3 × 56 = 168.
Dans une classe : 12 garçons et 8 filles. On élit 5 délégués. Nombre de choix : 1) au total ; 2) de même sexe ; 3) de sexes différents ; 4) avec 3 garçons et 2 filles ; 5) avec au plus une fille ; 6) Parmi les élèves, x et sa sœur y : a) délégués sans x ni y ; b) délégués avec x mais sans y.
Voir la solution
1) C520 = 15 504.
2) 5 garçons ou 5 filles : C512 + C58 = 792 + 56 = 848.
3) Le contraire de « même sexe » : 15 504 − 848 = 14 656.
4) C312 × C28 = 220 × 28 = 6 160.
5) Au plus une fille : 0 fille (C512 = 792) ou 1 fille (C18 × C412 = 8 × 495 = 3 960) : 792 + 3 960 = 4 752.
6) a) On enlève x et y : C518 = 8 568. b) x est déjà choisi, y exclu : il reste 4 délégués parmi 18 : C418 = 3 060.
A = ensemble des nombres de quatre chiffres (le premier est non nul). 1) Calculer Card(A). 2) Dénombrer les éléments de A : a) à chiffres distincts ; b) ayant au moins deux chiffres identiques ; c) à chiffres distincts autres que 5 et 7.
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1) De 1 000 à 9 999 : 9 000 nombres (9 × 10 × 10 × 10).
2) a) Premier chiffre : 9 choix. Les 3 suivants sont distincts de ceux déjà pris, parmi 9 chiffres restants : A39 = 504. Total : 9 × 504 = 4 536.
b) Le contraire de « au moins deux chiffres identiques » est « tous distincts » : 9 000 − 4 536 = 4 464.
c) Premier chiffre : 7 choix (1 à 9 sauf 5 et 7). Les 3 suivants : parmi les 10 chiffres sauf 5, 7 et le premier : 7 chiffres, donc A37 = 210. Total : 7 × 210 = 1 470.
Combien de dispositions : 1) possibles ; 2) si les garçons sont d’un côté et les filles de l’autre ; 3) si chaque fille est entre deux garçons ; 4) si les filles restent l’une à côté de l’autre ?
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1) 6 ! = 720.
2) 2 configurations (GGGGFF ou FFGGGG), puis 4 ! façons de placer les garçons et 2 ! pour les filles : 2 × 24 × 2 = 96.
3) Configurations où les deux filles ne sont pas voisines et pas aux extrémités : GFGFGG, GFGGFG, GGFGFG : 3. Puis 3 × 2 ! × 4 ! = 144.
4) Le bloc FF peut occuper 5 positions (de la place 1-2 à la place 5-6) : 5 configurations. Puis 5 × 2 ! × 4 ! = 240.
Dans un service de 30 employés dont 12 célibataires, on choisit un échantillon de 4 personnes. Combien d’échantillons : 1) différents ; 2) sans célibataire ; 3) avec au moins un célibataire ?
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1) C430 = 27 405. 2) Il y a 18 non-célibataires : C418 = 3 060. 3) Contraire de « aucun » : 27 405 − 3 060 = 24 345.
Une équipe de 8 joueurs (6 garçons, 2 filles dont Fatima ; Ali est l’un des garçons). On forme un comité de 3 joueurs. Combien de comités : 1) possibles ; 2) avec exactement 2 garçons et 1 fille ; 3) avec au moins 2 garçons ; 4) où Ali et Fatima sont ensemble ; 5) où Ali et Fatima ne sont pas ensemble ?
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1) C38 = 56.
2) C26 × C12 = 15 × 2 = 30.
3) 2 garçons et 1 fille (30) ou 3 garçons (C36 = 20) : 50.
4) Ali et Fatima sont dedans ; il reste 1 joueur à choisir parmi les 6 autres : 6.
5) 56 − 6 = 50.
Un sac contient 5 jetons verts (numérotés de 1 à 5) et 4 jetons rouges (numérotés de 1 à 4). On tire 3 jetons. 1) Successivement sans remise : nombre de tirages a) de 3 verts ; b) sans aucun vert ; c) avec au plus 2 verts ; d) avec exactement 1 vert. 2) Simultanément : mêmes questions.
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1) Sans remise, l’ordre compte (arrangements).
a) A35 = 60. b) 3 rouges : A34 = 24.
c) Au plus 2 verts = le contraire de « 3 verts » : A39 − A35 = 504 − 60 = 444.
d) Exactement 1 vert : on choisit la place du vert (3), le vert (5 choix), puis 2 rouges dans l’ordre (A24 = 12) : 3 × 5 × 12 = 180.
2) Simultanément, l’ordre ne compte pas (combinaisons).
a) C35 = 10. b) C34 = 4. c) C39 − C35 = 84 − 10 = 74 (contrôle : C34 + C15C24 + C25C14 = 4 + 30 + 40 = 74 ✓). d) 1 vert et 2 rouges : C15 × C24 = 5 × 6 = 30.
20 concurrents dont Ahmed. 1) Podiums possibles ? 2) Podiums où Ahmed est premier ? 3) Podiums dont Ahmed fait partie ? 4) Distributions de 3 récompenses identiques aux 3 premiers ?
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1) 20 × 19 × 18 = 6 840.
2) Ahmed est premier ; pour les 2 autres places : 19 puis 18 choix : 19 × 18 = 342.
3) 3 places possibles pour Ahmed, puis 19 × 18 : 3 × 19 × 18 = 1 026.
4) Récompenses identiques : l’ordre ne compte plus. C320 = 1 140.
On range sur une étagère 4 livres de maths (distincts), 6 de physique et 3 de chimie. Combien de rangements : 1) si les livres sont groupés par matière ; 2) si seuls les livres de maths sont groupés ?
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1) 3 ! façons d’ordonner les matières, puis 4 ! (maths), 6 ! (physique), 3 ! (chimie) : 3 ! × 4 ! × 6 ! × 3 ! = 6 × 24 × 720 × 6 = 622 080.
2) Les 9 autres livres se rangent de 9 ! façons. Le bloc des maths s’insère à l’une des 10 places possibles (0 à 9 livres avant). Dans le bloc, 4 ! ordres. Total : 10 × 4 ! × 9 ! = 87 091 200.
Une grille a 3 lignes et 7 colonnes (21 carreaux). 1) On colore en noir 4 carreaux. Combien de cas : a) possibles ; b) tous sur la même ligne ; c) 3 sur la même colonne ? 2) On colore 4 carreaux avec 4 couleurs différentes (noir, rouge, vert, jaune). Combien de façons : a) possibles ; b) tous sur la même ligne ?
Voir la solution
1) a) L’ordre ne compte pas : C421 = 5 985.
b) On choisit la ligne (3) puis 4 carreaux parmi les 7 de la ligne : 3 × C47 = 3 × 35 = 105.
c) On choisit la colonne (7), puis 1 carreau parmi les 18 restants : 7 × 18 = 126.
2) Les couleurs sont différentes : l’ordre compte. a) A421 = 21 × 20 × 19 × 18 = 143 640. b) 3 × A47 = 3 × 840 = 2 520.
Christian et Claude font partie d’un club de 18 personnes. On forme un groupe de 5 personnes. 1) Combien de groupes ? 2) Dans combien figure Christian ? 3) Christian et Claude ne se supportent pas : combien de groupes où ils ne sont pas ensemble ?
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1) C518 = 8 568.
2) Christian est choisi, il reste 4 personnes parmi 17 : C417 = 2 380.
3) Méthode du contraire. Groupes où ils sont ensemble : il reste 3 personnes parmi 16 : C316 = 560. Donc groupes où ils ne sont pas ensemble : 8 568 − 560 = 8 008.
Vérification par cas : Christian sans Claude : C416 = 1 820 ; Claude sans Christian : 1 820 ; ni l’un ni l’autre : C516 = 4 368. Total : 1 820 + 1 820 + 4 368 = 8 008 ✓.
Une urne contient 4 boules rouges numérotées 0, 1, 1, 2 ; 3 boules vertes numérotées 1, 2, 2 ; 2 boules noires numérotées 1, 3. On tire 3 boules. Événements : A « trois couleurs différentes » ; B « même numéro » ; C « somme des numéros égale à 4 » ; D « au moins une rouge ». Dénombrer A, B, C, D pour : 1) un tirage simultané ; 2) trois tirages successifs avec remise ; 3) trois tirages successifs sans remise.
Voir la solution
1) Simultané (combinaisons).
A : une de chaque couleur : 4 × 3 × 2 = 24.
B : le numéro 1 est porté par 4 boules (R, R, V, N), le 2 par 3 boules (R, V, V). Même numéro : C34 + C33 = 4 + 1 = 5.
C : somme 4 avec les numéros {0, 1, 3}, {0, 2, 2}, {1, 1, 2}. {0,1,3} : 1 × 4 × 1 = 4. {0,2,2} : 1 × C23 = 3. {1,1,2} : C24 × 3 = 18. Total 25.
D : 84 − C35 = 84 − 10 = 74.
2) Avec remise (répétitions permises, ordre compte).
A : 3 ! × 4 × 3 × 2 = 144. B : 13 + 43 + 33 + 13 = 93. C : {0,1,3} : 3 ! × 1 × 4 × 1 = 24 ; {0,2,2} : 3 × 1 × 3 × 3 = 27 ; {1,1,2} : 3 × 4 × 4 × 3 = 144 ; total 195. D : 93 − 53 = 729 − 125 = 604.
3) Sans remise (arrangements).
A : 144. B : A34 + A33 = 24 + 6 = 30. C : {0,1,3} : 24 ; {0,2,2} : 3 × (1 × 3 × 2) = 18 ; {1,1,2} : 3 × (4 × 3 × 3) = 108 ; total 150. D : A39 − A35 = 504 − 60 = 444.
1) Combien de diagonales un polygone convexe à n côtés comporte-t-il ? 2) On trace n ≥ 3 droites en position générale (jamais parallèles, jamais trois concourantes). Combien de triangles forme-t-on ?
Voir la solution
1) Une diagonale relie 2 sommets non adjacents. Il y a C2n segments entre sommets ; on retire les n côtés : n(n − 1)2 − n = n(n − 3)2.
2) Un triangle est déterminé par 3 droites (ses côtés) : C3n = n(n − 1)(n − 2)6.
1) Déterminer l’entier n ≥ 3 tel que C1n + C2n + C3n = 5n. 2) Montrer que 2n ≥ 1 + n et 3n ≥ 1 + 2n. 3) Montrer que nΣk=0 (−1)k Ckn = 0. 4) Quel est le coefficient de x7y3z2 dans (x + 2y + 3z)12 ?
Voir la solution
1) C1n = n, C2n = n(n − 1)2, C3n = n(n − 1)(n − 2)6. En divisant par n (n ≥ 3) : 1 + n − 12 + (n − 1)(n − 2)6 = 5. On multiplie par 6 : 6 + 3(n − 1) + (n − 1)(n − 2) = 30, soit n² + 5 = 30 ; donc n² = 25, n = 5. Vérif. : 5 + 10 + 10 = 25 = 5 × 5 ✓.
2) (1 + 1)n = nΣk=0 Ckn = 1 + n + (termes positifs) ≥ 1 + n. De même 3n = (1 + 2)n = 1 + 2n + nΣk=2 Ckn 2k ≥ 1 + 2n.
3) Binôme avec a = 1, b = −1 : (1 − 1)n = 0 = nΣk=0 Ckn (−1)k (pour n ≥ 1).
4) Terme multinomial : 12!7! 3! 2! × 23 × 32 = 7 920 × 8 × 9 = 570 240. (Autre calcul : C512 × C25 × 23 × 32 = 792 × 10 × 72.)
E = {a, b, c, …, l} (12 éléments). 1) Dénombrer les parties de E à 5 éléments qui contiennent : a) a et b ; b) a mais pas b ; c) b mais pas a ; d) ni a ni b. 2) En déduire C512 = C310 + 2 C410 + C510.
Voir la solution
1) a) a et b sont fixés, il reste 3 éléments parmi 10 : C310 = 120. b) a est choisi, b exclu : 4 éléments parmi 10 : C410 = 210. c) idem : 210. d) 5 éléments parmi les 10 autres : C510 = 252.
2) Ces quatre cas partagent toutes les parties à 5 éléments, donc C512 = 120 + 210 + 210 + 252 = 792 ✓ et la relation est démontrée.
n et p sont des entiers, 0 ≤ p ≤ n. 1) Montrer que Cpn = Cpn−1 + Cp−1n−1. 2) Résoudre dans ℝ : x² − Cpn x + Cp−1n−1 Cpn−1 = 0.
Voir la solution
1) C’est la relation de Pascal (voir le cours).
2) Posons u = Cp−1n−1 et v = Cpn−1. D’après 1), Cpn = u + v. L’équation devient x² − (u + v)x + uv = 0, de somme des racines u + v et de produit uv.
Discriminant : Δ = (u + v)² − 4uv = (u − v)². Les racines sont x = (u + v) ± (u − v)2, soit x = u ou x = v.
Solution : S = { Cp−1n−1 ; Cpn−1 }.
★Fiche résumé à retenir
- Cardinal : Card(A ∪ B) = Card(A) + Card(B) − Card(A ∩ B) ; Card(Ā) = Card(E) − Card(A). Poincaré pour 3 ensembles.
- Principe multiplicatif : étapes successives → n1 × n2 × … × np. Card(A × B) = Card(A) × Card(B). « Ou » → addition.
- Arrangements avec répétitions : np. Sans répétition : Apn = n(n − 1)…(n − p + 1) = n!(n − p)! (p ≤ n).
- Permutations : n ! = n(n − 1)…2·1 ; 0 ! = 1. Avec éléments identiques : n!n1! … nk!.
- Combinaisons : Cpn = Apnp! = n!p!(n − p)! ; C0n = Cnn = 1 ; C1n = n.
- Propriétés : Cpn = Cn−pn ; Pascal : Cpn = Cp−1n−1 + Cpn−1.
- Binôme : (a + b)n = nΣp=0 Cpn an−pbp ; nΣk=0 Ckn = 2n.
- Choisir l’outil : ordre qui compte ? tous les éléments ? répétitions ? Tirage simultané → combinaison ; successif sans remise → arrangement ; avec remise → np.
- Astuce : « au moins un » = total − « aucun ».