Nombres Complexes (Partie 2) · Cours 2BAC PC

Ce cours de nombres complexes (partie 2) pour la 2ème Bac PC et SVT aborde la forme trigonométrique, la forme exponentielle et leurs applications, avec exercices corrigés. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie 2Bac PC-SVT.

Cours de nombres complexes (partie 2) 2ème Bac

DéfinitionÀ connaître par cœur.
Théorème / PropriétéÀ retenir et à citer.
ExempleRésolu étape par étape.
AstucePour mieux comprendre.
AttentionErreur fréquente.

1La forme exponentielle

L’idée Dans la Partie 1 tu as écrit z = r(cos θ + i sin θ). C’est long à écrire. On crée donc une notation courte : eiθ. Elle se comporte comme une puissance : quand on multiplie, on additionne les angles, exactement comme ea × eb = ea+b.
Définition Pour tout réel θ :
eiθ = cos θ + i sin θ
Si z ≠ 0 a pour module r et pour argument θ, alors z = r eiθ : c’est la forme exponentielle de z.
Le point M d’affixe eiθ est sur le cercle unité : son module vaut 1 et son angle avec l’axe des réels vaut θ.
Valeurs à connaître
θ0π/2π−π/2π/3π/4π/6
eiθ1i−1−i12 + i√32√22 + i√22√32 + i12
Propriétés (θ et θ′ réels, n entier)
  • eiθ × eiθ′ = ei(θ+θ′)
  • 1eiθ = e−iθ  (c’est aussi le conjugué de eiθ)
  • eiθeiθ′ = ei(θ−θ′)
  • (eiθ)n = einθ
  • Si z = r eiθ (r > 0) : conjugué z̄ = r e−iθ ; −z = r ei(θ+π) ; 1z = 1r e−iθ.
Pour multiplier : on multiplie les modules et on additionne les arguments. Pour diviser : on divise les modules et on soustrait les arguments.
Exemple 1 · Passer de la forme algébrique à la forme exponentielle

z = 1 + i. Module : √(1 + 1) = √2. Donc z = √2(1√2 + i1√2) = √2(√22 + i√22). On reconnaît cos π4 et sin π4. Donc z = √2 eiπ/4.

z = −1 + i√3. Module : √(1 + 3) = 2. Donc z = 2(−12 + i√32) = 2(cos 2π3 + i sin 2π3). Donc z = 2 e2iπ/3.

z = −3 : module 3, argument π. Donc z = 3 eiπ.   z = −2i : module 2, argument −π2. Donc z = 2 e−iπ/2.

z = −2 eiπ/3 n’est pas une forme exponentielle ! Le nombre devant eiθ doit être le module, donc positif. On corrige : −2 eiπ/3 = 2 eiπ eiπ/3 = 2 ei4π/3 (ou 2 e−2iπ/3).
Exemple 2 · Calculer avec la forme exponentielle

Calculer (1 + i)12. On a 1 + i = √2 eiπ/4, donc

(1 + i)12 = (√2)12 ei·12π/4 = 26 e3iπ = 64 × (−1) = −64

Calculer 1 + i√3 − i. Module de √3 − i : 2, et √3 − i = 2 e−iπ/6. Donc le quotient vaut √22 ei(π/4 + π/6) = √22 e5iπ/12.

2La formule de Moivre

Formule de Moivre (θ réel, n entier relatif)
(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)
C’est simplement (eiθ)n = einθ écrite sans la notation exponentielle.
Exemple · Exprimer cos 3θ et sin 3θ en fonction de cos θ et sin θ
  1. Écris (cos θ + i sin θ)³ = cos 3θ + i sin 3θ (Moivre).
  2. Développe avec (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ et i² = −1, i³ = −i :
    cos³θ + 3i cos²θ sin θ − 3 cos θ sin²θ − i sin³θ.
  3. Identifie parties réelle et imaginaire :
    cos 3θ = cos³θ − 3 cos θ sin²θ   ;   sin 3θ = 3 cos²θ sin θ − sin³θ
  4. En remplaçant sin²θ = 1 − cos²θ : cos 3θ = 4 cos³θ − 3 cos θ. En remplaçant cos²θ = 1 − sin²θ : sin 3θ = 3 sin θ − 4 sin³θ.
Même méthode pour n = 2 (cos θ + i sin θ)² = cos²θ − sin²θ + 2i sin θ cos θ. Donc cos 2θ = cos²θ − sin²θ et sin 2θ = 2 sin θ cos θ. Tu retrouves les formules de duplication.
Exemple · Quand (1 + i√3)n est-il réel ? 1 + i√3 = 2 eiπ/3, donc (1 + i√3)n = 2n einπ/3. Ce nombre est réel ⇔ sin(nπ3) = 0 ⇔ nπ3 = kπ ⇔ n = 3k. Donc il est réel exactement quand n est un multiple de 3.

3Les formules d’Euler

D’où ça vient ? On a eiθ = cos θ + i sin θ et e−iθ = cos θ − i sin θ. Si on additionne, les sin disparaissent : eiθ + e−iθ = 2 cos θ. Si on soustrait, les cos disparaissent : eiθ − e−iθ = 2i sin θ.
Formules d’Euler
cos θ = eiθ + e−iθ2     sin θ = eiθ − e−iθ2i

4Linéarisation

Linéariser Linéariser cosnx ou sinnx, c’est l’écrire comme une somme de termes du type cos(kx) ou sin(kx), sans puissance. C’est très utile pour calculer des primitives (chapitre « Calcul intégral »).
Méthode
  1. Remplace cos x (ou sin x) par sa formule d’Euler.
  2. Développe la puissance avec le binôme de Newton.
  3. Regroupe les termes eikx et e−ikx par paires.
  4. Utilise eikx + e−ikx = 2 cos kx et eikx − e−ikx = 2i sin kx.
Exemple · Linéariser cos³x
cos³x = (eix + e−ix)³8 = e3ix + 3eix + 3e−ix + e−3ix8
On regroupe : e3ix + e−3ix = 2 cos 3x et 3(eix + e−ix) = 6 cos x. Donc
cos³x = 2 cos 3x + 6 cos x8 = cos 3x + 3 cos x4
Exemple · Linéariser sin³x Ici (2i)³ = 8i³ = −8i. Le numérateur : (eix − e−ix)³ = e3ix − 3eix + 3e−ix − e−3ix = 2i sin 3x − 6i sin x. Donc
sin³x = 2i sin 3x − 6i sin x−8i = 3 sin x − sin 3x4
Exemples · Puissance 4
cos⁴x = cos 4x + 4 cos 2x + 38     sin⁴x = cos 4x − 4 cos 2x + 38
Pour cos⁴x : (eix + e−ix)⁴ = e4ix + 4e2ix + 6 + 4e−2ix + e−4ix = 2 cos 4x + 8 cos 2x + 6, puis on divise par 2⁴ = 16. Pour sin⁴x, (2i)⁴ = 16 aussi mais les signes alternent : 2 cos 4x − 8 cos 2x + 6.
Vérification rapide Teste ton résultat avec x = 0. Pour cos³x : 1 = 1 + 34 ✓. Pour sin³x : 0 = 0 − 04 ✓. Si ça ne marche pas, il y a une erreur de signe ou de coefficient.

5Somme eiα + eiβ, factorisation par l’angle moitié

Méthode de l’angle moitié On factorise par ei(α+β)/2 :
eiα + eiβ = ei(α+β)/2 ( ei(α−β)/2 + e−i(α−β)/2 ) = 2 cos(α − β2) ei(α+β)/2
De même : eiα − eiβ = 2i sin(α − β2) ei(α+β)/2.

Cas très utile (β = 0) : 1 + eiθ = 2 cos(θ2) eiθ/2 et 1 − eiθ = −2i sin(θ2) eiθ/2.

Exemple 1 + eiπ/3 = 2 cos(π6) eiπ/6 = √3 eiπ/6. Vérification : 1 + eiπ/3 = 32 + i√32 ; son module est √(94 + 34) = √3 ✓.
Attention au signe de cos(θ2) 2 cos(θ2) eiθ/2 est une forme exponentielle seulement si cos(θ2) > 0. S’il est négatif, le module est −2 cos(θ2) et l’argument augmente de π.

6L’équation z² = a (a réel)

Propriété
  • Si a > 0 : z² = a ⇔ z = √a ou z = −√a.
  • Si a = 0 : z = 0.
  • Si a < 0 : z² = a ⇔ z = i√(−a) ou z = −i√(−a). Raison : (i√(−a))² = i² × (−a) = a.
Exemples z² = 9 ⇒ z = ±3.   z² = −4 ⇒ z = ±2i.   z² = −7 ⇒ z = ±i√7.

Avec la forme exponentielle (utile quand a est complexe) : z² = 2i. On écrit 2i = 2 eiπ/2, donc z = ±√2 eiπ/4 = ±(1 + i). Vérification : (1 + i)² = 1 + 2i − 1 = 2i ✓.

7Équation du second degré à coefficients réels

L’idée Dans ℝ, l’équation x² + 1 = 0 n’a pas de solution. Dans ℂ, elle en a : z = i et z = −i. Dans ℂ, toute équation du second degré a toujours des solutions.
Théorème (a, b, c réels, a ≠ 0). On résout az² + bz + c = 0 avec Δ = b² − 4ac.
Signe de ΔSolutions
Δ > 02 solutions réelles : z₁ = −b − √Δ2a et z₂ = −b + √Δ2a
Δ = 01 solution double (réelle) : z₀ = −b2a
Δ < 02 solutions complexes conjuguées : z₁ = −b − i√(−Δ)2a et z₂ = −b + i√(−Δ)2a
Dans tous les cas : az² + bz + c = a(z − z₁)(z − z₂), avec z₁ + z₂ = −ba et z₁ z₂ = ca.
Pourquoi ça marche ? Forme canonique : az² + bz + c = a( (z + b2a)² − Δ4a² ). Si Δ < 0, on écrit Δ = (i√(−Δ))² et on factorise avec A² − B² = (A − B)(A + B). Donc si Δ < 0 on remplace simplement √Δ par i√(−Δ).
Exemple 1 · z² + z + 1 = 0 Δ = 1 − 4 = −3 < 0. Donc z = −1 ± i√32, soit z₁ = −12 − i√32 et z₂ = −12 + i√32. On reconnaît z₂ = e2iπ/3 et z₁ = e−2iπ/3.
Exemple 2 · z² − z + 2 = 0 Δ = 1 − 8 = −7. S = { 1 − i√72 ; 1 + i√72 }.
Exemple 3 · z² − 6z + 13 = 0 Δ = 36 − 52 = −16 = (4i)². Donc z = 6 ± 4i2 = 3 ± 2i. S = { 3 − 2i ; 3 + 2i }. Vérification : somme 6 = −b/a ✓, produit (3 − 2i)(3 + 2i) = 9 + 4 = 13 = c/a ✓.
Exemple 4 · 2z² − 2z + 5 = 0 Δ = 4 − 40 = −36 = (6i)². Donc z = 2 ± 6i4 = 1 ± 3i2. S = { 1 − 3i2 ; 1 + 3i2 }.
Exemple 5 · (z² + 4)(z² + 9) = 0 Un produit est nul si un facteur est nul : z² = −4 ⇒ z = ±2i ; z² = −9 ⇒ z = ±3i. S = { 2i ; −2i ; 3i ; −3i }.
Exemple 6 · Équation de degré 3 avec une racine connue Soit P(z) = z³ − 3z² + z − 3.
1) Vérifier que i est racine : P(i) = i³ − 3i² + i − 3 = −i + 3 + i − 3 = 0 ✓.
2) Comme les coefficients sont réels, −i est aussi racine. Donc P(z) est divisible par (z − i)(z + i) = z² + 1.
3) On écrit P(z) = (z² + 1)(z + α) = z³ + αz² + z + α. En identifiant avec P(z) : α = −3. Donc P(z) = (z² + 1)(z − 3).
4) P(z) = 0 ⇔ z = 3 ou z = i ou z = −i.
Exemple 7 · Factorisation directe : 3z³ − 3z² + 2z − 2 = 0 On factorise par groupes : 3z²(z − 1) + 2(z − 1) = (z − 1)(3z² + 2). Donc z = 1, ou 3z² = −2, c’est-à-dire z² = −23 et z = ±i√(23) = ±i√63.

8La translation

Définition Soit u un vecteur d’affixe b. La translation de vecteur u associe à tout point M(z) le point M′(z′) tel que MM′ = u (en vecteurs).
z′ = z + b
Exemple La translation de vecteur d’affixe 2 − 3i envoie M(1 + i) sur M′(3 − 2i), car (1 + i) + (2 − 3i) = 3 − 2i. Inversement, si on sait que A(1) est envoyé sur A′(4 + i), alors b = zA′ − zA = 3 + i.

9L’homothétie

Définition Soit Ω(ω) un point et k un réel non nul. L’homothétie h de centre Ω et de rapport k associe à M(z) le point M′(z′) tel que ΩM′ = k ΩM (en vecteurs).
z′ − ω = k (z − ω)
Elle agrandit si |k| > 1, réduit si |k| < 1, et retourne la figure (de l’autre côté de Ω) si k < 0. Ω est le seul point qui ne bouge pas.
Exemple Homothétie de centre Ω(1 + i) et de rapport −2. Image de M(3 + i) ?
z′ − (1 + i) = −2 ((3 + i) − (1 + i)) = −2 × 2 = −4, donc z′ = −3 + i.

On écrit aussi l’expression complète : z′ = −2z + 2(1 + i) + (1 + i) = −2z + 3 + 3i.

10La rotation

Définition Soit Ω(ω) un point et θ un réel. La rotation R de centre Ω et d’angle θ associe à M(z) le point M′(z′) tel que :
z′ − ω = eiθ (z − ω)
On a donc ΩM′ = ΩM (même distance au centre) et l’angle (ΩM, ΩM′) = θ [2π].
Rotation de centre Ω et d’angle π/3 : M′ est sur le même cercle de centre Ω que M, tourné de π/3 dans le sens direct (sens inverse des aiguilles d’une montre).
Exemple · Image de M(3 + i) par la rotation de centre Ω(1 + i) et d’angle π/2
  1. eiπ/2 = i.
  2. z′ − (1 + i) = i × ((3 + i) − (1 + i)) = i × 2 = 2i.
  3. z′ = 2i + 1 + i = 1 + 3i.
Contrôle : ΩM = 2 et ΩM′ = |2i| = 2 ✓.
Cas particuliers à connaître Angle π/2 : multiplier par i. Angle π : multiplier par −1 (c’est la symétrie centrale de centre Ω, qui est aussi l’homothétie de rapport −1). Angle −π/2 : multiplier par −i.

11Étude de la transformation z′ = az + b

Méthode pour reconnaître la transformation (a ≠ 0)
  1. Si a = 1 : c’est la translation de vecteur d’affixe b.
  2. Si a ≠ 1 : cherche le point fixe ω (celui qui ne bouge pas) : ω = aω + b, d’où ω = b1 − a.
  3. Soustrais : z′ − ω = a(z − ω).
  4. Regarde a :
    • a réel (≠ 0, ≠ 1) : homothétie de centre Ω(ω) et de rapport a.
    • |a| = 1 (a ≠ 1) : rotation de centre Ω(ω) et d’angle arg(a).
Exemple 1 · z′ = 2z + 1 − i a = 2 est réel, a ≠ 1. ω = 1 − i1 − 2 = −1 + i. C’est l’homothétie de centre Ω(−1 + i) et de rapport 2.
Exemple 2 · z′ = iz + 1 − i a = i, |a| = 1, a = eiπ/2. ω = 1 − i1 − i = 1. C’est la rotation de centre Ω(1) et d’angle π2.
Exemple 3 · z′ = −2z + 3 + 3i a = −2 est réel. ω = 3 + 3i1 − (−2) = 3 + 3i3 = 1 + i. C’est l’homothétie de centre Ω(1 + i) et de rapport −2.
Calculatrice de transformation : entre a et b pour z′ = az + b, et un point M. La figure montre M (bleu), son image M′ (rouge) et le centre Ω (jaune).
NatureCentre ωParamètreImage M′

12Composées de transformations

L’idée « g ∘ f » veut dire : on applique d’abord f, puis g. En complexes, on remplace z′ de f dans la formule de g, puis on reconnaît la forme z″ = az + b.
Résultats à connaître
  • Deux translations → une translation (les vecteurs s’ajoutent).
  • Deux rotations de même centre → une rotation de même centre, dont l’angle est la somme des angles.
  • Deux homothéties de même centre → une homothétie de même centre, de rapport k × k′.
  • Une translation et une homothétie de rapport k ≠ 1 → une homothétie de rapport k (mais le centre change).
  • Deux rotations de centres différents → une rotation d’angle θ + θ′ si θ + θ′ ≠ 0 [2π], sinon une translation.
Exemple 1 · Translation puis homothétie t : z′ = z + 1 + i (translation), puis h : z″ = 2z′ (homothétie de centre O, rapport 2).
z″ = 2(z + 1 + i) = 2z + 2 + 2i. Ici a = 2, ω = 2 + 2i1 − 2 = −2 − 2i. C’est l’homothétie de centre (−2 − 2i) et de rapport 2.
Exemple 2 · Deux rotations R₁ : z′ = iz (centre O, angle π/2), puis R₂ : z″ = iz′ + 1 (angle π/2, centre 11 − i = 1 + i2).
z″ = i(iz) + 1 = −z + 1. Ici a = −1 : les angles s’additionnent (π/2 + π/2 = π) et on obtient la symétrie centrale de centre 12 (ω = 11 − (−1) = 12).

13Géométrie plane avec les complexes

Dictionnaire (A(a), B(b), C(c), D(d) quatre points, A ≠ B)
En géométrieEn complexes
Vecteur ABaffixe b − a
Distance AB|b − a|
Milieu I de [AB]a + b2
Angle (AB, AC)arg(c − ab − a) [2π]
A, B, C alignésc − ab − a est réel
(AB) ⟂ (AC)c − ab − a est imaginaire pur
(AB) // (CD)d − cb − a est réel
ABCD parallélogrammeb − a = c − d, soit a + c = b + d
Nature d’un triangle ABC : calcule le quotient Z = c − ab − a, puis son module et son argument.
  • |Z| = 1 : AC = AB, triangle isocèle en A.
  • arg Z = ±π2 : angle droit en A, triangle rectangle en A.
  • |Z| = 1 et arg Z = ±π3 : triangle équilatéral.
  • |Z| = 1 et arg Z = ±π2 : triangle rectangle isocèle en A.
Exemple 1 · Alignement A(1), B(2 + i), C(4 + 3i). c − ab − a = 3 + 3i1 + i = 3, qui est réel : A, B, C sont alignés.
Exemple 2 · Triangle rectangle isocèle A(1 + i), B(3 + i), C(1 + 3i). c − ab − a = 2i2 = i. Module 1 et argument π2 : le triangle ABC est rectangle isocèle en A.
Exemple 3 · Triangle équilatéral A(0), B(2), C(1 + i√3). c − ab − a = 1 + i√32 = eiπ/3. Module 1, argument π3 : ABC est équilatéral.
Ensembles de points (rappel de la Partie 1)
  • |z − a| = R : cercle de centre A(a) et de rayon R.
  • |z − a| = |z − b| : médiatrice de [AB].
Exemple |z − 2i| = 3 : le cercle de centre (0 ; 2) et de rayon 3.   |z − 1| = |z + i| : la médiatrice du segment joignant A(1) et B(−i).

14Méthodes et erreurs à éviter

Que faire dans un exercice ?

On te demande…Tu fais…
Forme exponentielle de zCalcule r = |z|, puis trouve θ avec cos θ = Re zr et sin θ = Im zr. Écris z = r eiθ.
Calculer znPasse à la forme exponentielle : zn = rn einθ.
cos nθ, sin nθ en fonction de cos θ, sin θMoivre + développement du binôme, identifie Re et Im.
Linéariser cosnx, sinnxEuler, binôme, regroupe eikx et e−ikx.
Résoudre az² + bz + c = 0Calcule Δ. Si Δ < 0, remplace √Δ par i√(−Δ).
Nature de z′ = az + ba = 1 ? translation. Sinon ω = b1 − a et regarde a (réel : homothétie ; |a| = 1 : rotation).
Alignés / perpendiculairesCalcule c − ab − a : réel ou imaginaire pur ?

Erreurs à éviter

Un module négatifDans r eiθ, r est toujours > 0. −3 eiθ se corrige en 3 ei(θ+π).
Additionner avec la forme exponentielleeiα + eiβ n’est pas ei(α+β) ! C’est le produit qui additionne les angles.
Se tromper de quadrant pour θNe te contente pas de tan θ : vérifie les signes de cos θ et sin θ.
Δ < 0 : oublier le iLes solutions sont −b ± i√(−Δ)2a, pas −b ± √(−Δ)2a.
Mauvaise formule de rotationC’est z′ − ω = eiθ(z − ω), pas z′ = eiθz (sauf si le centre est O).
Oublier le point fixePour z′ = az + b, calcule toujours ω = b1 − a avant de conclure sur le centre.

15Exercices d’entraînement corrigés

Cherche d’abord seul(e) sur ton cahier, puis ouvre la solution pour vérifier.

★ Exercice 1 · Forme exponentielle

Écrire sous forme exponentielle : (a) 1 − i   (b) √3 + i   (c) −2   (d) 3i   (e) −1 − i.

Voir la solution

(a) Module √2, cos θ = √22 et sin θ = −√22 : √2 e−iπ/4.

(b) Module 2, cos θ = √32, sin θ = 12 : 2 eiπ/6.

(c) 2 eiπ.   (d) 3 eiπ/2.

(e) Module √2, cos θ = sin θ = −√22 : θ = −3π4. √2 e−3iπ/4.

★ Exercice 2 · Puissances

Calculer (a) (√3 + i)6   (b) (1 − i)8   (c) (1 + i1 − i)2026.

Voir la solution

(a) √3 + i = 2 eiπ/6, donc la puissance 6 donne 26 eiπ = −64.

(b) 1 − i = √2 e−iπ/4, donc (√2)8 e−2iπ = 16 × 1 = 16.

(c) 1 + i1 − i = (1 + i)²2 = 2i2 = i. Donc i2026 : 2026 = 4 × 506 + 2, donc i2026 = i² = −1.

★★ Exercice 3 · cos(11π/12) et sin(11π/12)

1) Écrire ei11π/12 comme produit de deux exponentielles connues. 2) En déduire cos 11π12 et sin 11π12.

Voir la solution

1) 11π12 = 9π12 + 2π12 = 3π4 + π6. Donc ei11π/12 = ei3π/4 × eiπ/6.

2) ei3π/4 = −√22 + i√22 et eiπ/6 = √32 + i12. On multiplie :

partie réelle : −√22 × √32 − √22 × 12 = −√6 + √24
partie imaginaire : −√22 × 12 + √22 × √32 = √6 − √24

Donc cos 11π12 = −√6 + √24 et sin 11π12 = √6 − √24.

★★ Exercice 4 · Linéarisation

Linéariser cos²x sin x.

Voir la solution

cos²x = 1 + cos 2x2, donc cos²x sin x = sin x2 + sin x cos 2x2.

Avec sin a cos b = sin(a+b) + sin(a−b)2 : sin x cos 2x = sin 3x − sin x2.

Donc cos²x sin x = sin x2 + sin 3x − sin x4 = sin x + sin 3x4. Test : x = π6 donne 34 × 12 = 38 et 1/2 + 14 = 38 ✓.

★ Exercice 5 · Équations du second degré

Résoudre dans ℂ : (a) z² − 2z + 5 = 0   (b) z² + 2z + 4 = 0   (c) 2z² + 3z + 2 = 0   (d) z² = −25.

Voir la solution

(a) Δ = 4 − 20 = −16 = (4i)². z = 2 ± 4i2 = 1 ± 2i.

(b) Δ = 4 − 16 = −12 = (2i√3)². z = −2 ± 2i√32 = −1 ± i√3 (qui vaut 2 e±2iπ/3).

(c) Δ = 9 − 16 = −7. z = −3 ± i√74.

(d) z = ±5i.

★★ Exercice 6 · Équation de degré 3

Soit P(z) = z³ − 2z² + 4z − 8. 1) Calculer P(2). 2) Factoriser P(z). 3) Résoudre P(z) = 0 dans ℂ.

Voir la solution

1) P(2) = 8 − 8 + 8 − 8 = 0 : 2 est racine.

2) On écrit P(z) = (z − 2)(z² + pz + q) = z³ + (p − 2)z² + (q − 2p)z − 2q. En identifiant : p − 2 = −2 donc p = 0 ; −2q = −8 donc q = 4 ; vérification q − 2p = 4 ✓. Donc P(z) = (z − 2)(z² + 4).

3) z = 2, ou z² = −4, donc z = 2i ou z = −2i. S = { 2 ; 2i ; −2i }.

★★ Exercice 7 · Transformations

Reconnaître et caractériser : (a) z′ = z + 2 − 3i   (b) z′ = 3z − 4   (c) z′ = −iz + 2 + 2i   (d) z′ = −z + 4.

Voir la solution

(a) a = 1 : translation de vecteur d’affixe 2 − 3i.

(b) a = 3 réel. ω = −41 − 3 = 2. Homothétie de centre Ω(2), rapport 3.

(c) a = −i = e−iπ/2, |a| = 1. ω = 2 + 2i1 + i = 2. Rotation de centre Ω(2), angle −π2.

(d) a = −1 : ω = 42 = 2. Symétrie centrale de centre Ω(2) (homothétie de rapport −1, ou rotation d’angle π).

★★ Exercice 8 · Géométrie

A(1 + i), B(4 + 2i), C(4i). 1) Calculer c − ab − a. 2) En déduire la nature du triangle ABC.

Voir la solution

1) b − a = 3 + i et c − a = −1 + 3i. Le quotient : −1 + 3i3 + i = (−1 + 3i)(3 − i)10 = −3 + i + 9i + 310 = 10i10 = i.

2) Z = i = eiπ/2 : module 1 donc AC = AB ; argument π2 donc (AB, AC) = π2. Le triangle ABC est rectangle isocèle en A. Contrôle : AB = |3 + i| = √10 et AC = |−1 + 3i| = √10 ✓.

★★★ Exercice 9 · Les racines septièmes de l’unité

Soit ω = e2iπ/7, S = ω + ω² + ω⁴ et T = ω³ + ω⁵ + ω⁶. 1) Montrer que 1 + ω + ω² + … + ω⁶ = 0. 2) Montrer que S + T = −1 et S T = 2. 3) En déduire S et T.

Voir la solution

1) Somme d’une suite géométrique de raison ω ≠ 1 : 1 − ω⁷1 − ω = 0, car ω⁷ = e2iπ = 1.

2) S + T = ω + ω² + … + ω⁶ = −1 d’après 1).

S T = ω⁴ + ω⁶ + ω⁷ + ω⁵ + ω⁷ + ω⁸ + ω⁷ + ω⁹ + ω10. Avec ω⁷ = 1, ω⁸ = ω, ω⁹ = ω², ω10 = ω³ : S T = 3 + (ω + ω² + ω³ + ω⁴ + ω⁵ + ω⁶) = 3 − 1 = 2.

3) S et T sont les solutions de z² − (S + T)z + ST = 0, c’est-à-dire z² + z + 2 = 0. Δ = 1 − 8 = −7. Les solutions sont −1 ± i√72. Comme Im S = sin 2π7 + sin 4π7 + sin 8π7 > 0, on a S = −1 + i√72 et T = −1 − i√72 (T est le conjugué de S).

★Fiche résumé à retenir

  • Forme exponentielle : eiθ = cos θ + i sin θ ; z = r eiθ avec r = |z| > 0. Produit : modules ×, arguments +.
  • Propriétés : eiθeiθ′ = ei(θ+θ′) ; 1eiθ = e−iθ = conjugué ; (eiθ)n = einθ.
  • Moivre : (cos θ + i sin θ)n = cos nθ + i sin nθ.
  • Euler : cos θ = eiθ + e−iθ2 ; sin θ = eiθ − e−iθ2i. Sert à linéariser.
  • Angle moitié : 1 + eiθ = 2 cos(θ2) eiθ/2.
  • Second degré : Δ = b² − 4ac. Δ < 0 : z = −b ± i√(−Δ)2a (conjuguées). Somme = −ba, produit = ca.
  • Translation : z′ = z + b. Homothétie : z′ − ω = k(z − ω). Rotation : z′ − ω = eiθ(z − ω).
  • z′ = az + b : a = 1 : translation. Sinon ω = b1 − a ; a réel : homothétie de rapport a ; |a| = 1 : rotation d’angle arg a.
  • Géométrie : alignés ⇔ c − ab − a réel ; perpendiculaires ⇔ imaginaire pur ; |Z| = 1 : isocèle.
Un nombre complexe, c’est un point… et un angle.
↑