Ce cours de suites numériques 2ème Bac (PC et SVT) explique pas à pas les suites arithmétiques et géométriques, la convergence monotone, l’encadrement, les limites de suites et les suites récurrentes, avec des exemples résolus et des exercices corrigés. Retrouve d’autres cours dans 2Bac PC-SVT.
Cours de suites numériques 2ème Bac
Suites numériques
Cours complet, expliqué pas à pas, avec des exemples résolus et des exercices corrigés.
à maîtriser
1Le raisonnement par récurrence
- Initialisation : on vérifie que P(n₀) est vraie.
- Hérédité : on suppose que P(n) est vraie pour un entier n ≥ n₀ (c’est l’hypothèse de récurrence) et on démontre que P(n + 1) est vraie.
- Conclusion : P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.
- Initialisation : pour n = 1, le membre de gauche vaut 1 et celui de droite 1 × 22 = 1. C’est vrai.
- Hérédité : on suppose 1 + 2 + … + n = n(n + 1)2. Alors
1 + 2 + … + n + (n + 1) = n(n + 1)2 + (n + 1) = (n + 1)(n + 2)2c’est la formule au rang n + 1.
- Conclusion : la formule est vraie pour tout n ≥ 1.
- Initialisation : u₀ = 2 et 0 ≤ 2 ≤ 3.
- Hérédité : supposons 0 ≤ un ≤ 3. Alors 6 ≤ 6 + un ≤ 9. La racine carrée étant croissante : √6 ≤ un+1 ≤ 3, donc 0 ≤ un+1 ≤ 3.
- Conclusion : pour tout n, 0 ≤ un ≤ 3.
2Généralités sur les suites
Une suite numérique (un) associe à chaque entier n (à partir d’un rang n₀) un réel un : le « terme de rang n ».
2.1 Suites majorées, minorées, bornées
- (un) est majorée s’il existe un réel M tel que un ≤ M pour tout n.
- (un) est minorée s’il existe un réel m tel que un ≥ m pour tout n.
- (un) est bornée si elle est majorée et minorée. Cela revient à : il existe A > 0 tel que |un| ≤ A pour tout n.
2.2 Monotonie
- Croissante : un+1 ≥ un pour tout n (strictement croissante si >).
- Décroissante : un+1 ≤ un pour tout n (strictement décroissante si <).
- Constante : un+1 = un pour tout n.
- Périodique de période T ∈ ℕ* : un+T = un pour tout n.
- Méthode 1 : calculer un+1 − un et étudier son signe (c’est la plus courante).
- Méthode 2 : si tous les termes sont positifs, comparer un+1un à 1.
- Méthode 3 : si un = f(n) avec f croissante (resp. décroissante), alors (un) est croissante (resp. décroissante).
- Méthode 4 : par récurrence (pour un+1 = f(un), voir partie 12).
- un = 1n³ + 7 (n ≥ 1) : un+1 − un = 1(n + 1)³ − 1n³ < 0 car (n + 1)³ > n³ > 0. La suite est strictement décroissante. De plus un > 7 : elle est minorée par 7.
- un = 3n : un > 0 et un+1un = 3 > 1, donc strictement croissante.
- un = n² + 1 = f(n) avec f(x) = x² + 1 croissante sur [0, +∞[ : (un) est strictement croissante.
3Suites arithmétiques
- Terme général : un = up + (n − p) r. En particulier un = u₀ + n r.
- Moyenne arithmétique : trois termes consécutifs a, b, c vérifient a + c = 2b.
- Somme : pour S = up + up+1 + … + un :
S = (nombre de termes) × premier terme + dernier terme2 = (n − p + 1) × up + un2
- u₇ = u₃ + 4r, donc 23 = 11 + 4r, soit r = 3.
- u₀ = u₃ − 3r = 11 − 9 = 2, donc un = 2 + 3n.
- S = u₀ + u₁ + … + u₁₀ a 11 termes, avec u₁₀ = 32 : S = 11 × 2 + 322 = 11 × 17 = 187.
4Suites géométriques
- Terme général : un = up × qn − p. En particulier un = u₀ × qn.
- Moyenne géométrique : trois termes consécutifs a, b, c vérifient b² = a × c.
- Somme : pour S = up + up+1 + … + un :
- si q ≠ 1 : S = up × 1 − qn − p + 11 − q (premier terme × 1 − qnombre de termes1 − q) ;
- si q = 1 : S = (n − p + 1) × up.
- u₅ = u₂ × q³, donc 96 = 12 q³, q³ = 8, soit q = 2.
- u₀ = u₂q² = 124 = 3, donc un = 3 × 2n.
- S = u₀ + … + u₅ (6 termes) = 3 × 1 − 2⁶1 − 2 = 3 × 63 = 189.
5Limite finie d’une suite
- Unicité : si une suite a une limite, cette limite est unique.
- Limites de référence : limn→+∞ 1n = lim 1n² = lim 1n³ = lim 1√n = 0, et plus généralement lim 1nk = 0 pour k > 0.
6Limite infinie · Suites divergentes
- lim un = +∞ : pour tout réel A, tous les termes sont supérieurs à A à partir d’un certain rang.
- lim un = −∞ : pour tout réel A, tous les termes sont inférieurs à A à partir d’un certain rang.
- un = n⁴ : lim un = +∞. La suite est divergente.
- un = (−1)n : les termes valent 1, −1, 1, −1… Si elle avait une limite ℓ, les termes pairs (qui valent 1) imposeraient ℓ = 1 et les termes impairs (qui valent −1) imposeraient ℓ = −1. Par unicité, c’est impossible : pas de limite, la suite est divergente.
| n | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 10 | 50 | 1000 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
7Opérations sur les limites
Les règles sont les mêmes que pour les limites de fonctions (chapitre 1).
- lim (un + vn) = ℓ + ℓ′ et lim (un × vn) = ℓ × ℓ′ ;
- si ℓ ≠ 0, lim 1un = 1ℓ ; si ℓ′ ≠ 0, lim unvn = ℓℓ′ ;
- si ℓ réel et lim vn = ±∞, alors lim (un + vn) = ±∞ ;
- si un ≤ vn à partir d’un certain rang, alors ℓ ≤ ℓ′ (les inégalités larges passent à la limite).
Ce sont les formes indéterminées : il faut transformer l’expression avant de conclure.
8Théorèmes de convergence monotone
- Toute suite croissante et majorée est convergente.
- Toute suite décroissante et minorée est convergente.
- Minorée : 1n³ > 0 donc un > 7 : la suite est minorée par 7.
- Décroissante : un+1 − un = 1(n + 1)³ − 1n³ < 0.
- Conclusion : décroissante et minorée, donc convergente. Sa limite est 7 (car lim 1n³ = 0).
9Critères de convergence : encadrement
- Gendarmes : si vn ≤ un ≤ wn et lim vn = lim wn = ℓ, alors lim un = ℓ.
- Minoration : si vn ≤ un et lim vn = +∞, alors lim un = +∞.
- Majoration : si un ≤ vn et lim vn = −∞, alors lim un = −∞.
- Valeur absolue : si |un − ℓ| ≤ vn et lim vn = 0, alors lim un = ℓ.
10Les suites qn et nr
| Valeur de q | lim qn | Exemple |
|---|---|---|
| q > 1 | +∞ | lim 3n = +∞ |
| q = 1 | 1 | lim 1n = 1 |
| −1 < q < 1 | 0 | lim (12)n = 0 ; lim (−0,9)n = 0 |
| q ≤ −1 | pas de limite | (−1)n alterne entre −1 et 1 |
- si r > 0 : lim nr = +∞ (exemple : lim n7/3 = +∞) ;
- si r < 0 : lim nr = 0 (exemple : lim n−1/2 = 0).
11La suite vn = f(un)
- vn = 5 cos n + 6ncos n + 3n.
- lim un = 0 (gendarmes, partie 9).
- f est continue sur ℝ \ {−3}, donc en 0, et f(0) = 63 = 2.
- Donc lim vn = 2.
12Les suites définies par un+1 = f(un)
- f est continue sur un intervalle I,
- f(I) ⊂ I et u₀ ∈ I,
- (un) converge vers ℓ,
- Étudier f (variations) pour trouver un intervalle I stable : f(I) ⊂ I.
- Montrer par récurrence que un ∈ I (encadrement).
- Étudier la monotonie : signe de un+1 − un.
- Conclure que (un) est convergente (théorème de convergence monotone).
- Calculer la limite en résolvant f(x) = x dans I.
- Étude de f : f est continue sur [−6, +∞[ et f′(x) = 12√(x + 6) > 0 : f est strictement croissante. Sur I = [0, 3] : f(I) = [f(0), f(3)] = [√6, 3] ⊂ I.
- Encadrement : par récurrence, 0 ≤ un ≤ 3 (voir l’exemple 2 de la partie 1).
- Monotonie : un+1 − un = √(6 + un) − un = 6 + un − un²√(6 + un) + un = (3 − un)(2 + un)√(6 + un) + un. Comme 0 ≤ un ≤ 3, ce nombre est ≥ 0 : (un) est croissante.
- Convergence : croissante et majorée par 3, donc convergente vers un réel ℓ ∈ [0, 3].
- Limite : ℓ vérifie f(ℓ) = ℓ, soit √(ℓ + 6) = ℓ. On élève au carré : ℓ² − ℓ − 6 = 0, soit (ℓ − 3)(ℓ + 2) = 0. Donc ℓ = 3 ou ℓ = −2. Comme ℓ ∈ [0, 3], on garde ℓ = 3.
13Que faire dans un exercice ?
| La question | Le réflexe |
|---|---|
| « Montrer que (un) est arithmétique / géométrique » | Calculer un+1 − un (constante ?) ou un+1un (constante ?). |
| « Exprimer un en fonction de n » | un = u₀ + nr (arithmétique) ou u₀ qn (géométrique). |
| « Calculer une somme » | Compter les termes, puis formule arithmétique ou géométrique. |
| « Étudier la monotonie » | Signe de un+1 − un ; ou un+1un vs 1 si un > 0. |
| « Montrer que un ≤ M pour tout n » | Récurrence (initialisation + hérédité). |
| « Calculer la limite de un » | Opérations ; si forme indéterminée : factoriser le terme dominant ou conjugué. |
| Présence de cos n, sin n, (−1)n | Encadrement + gendarmes. |
| Présence de an, bn | Factoriser la plus grande base, utiliser lim qn. |
| « Montrer que (un) converge » | Croissante + majorée (ou décroissante + minorée). |
| « En déduire la limite » (un+1 = f(un)) | Résoudre f(x) = x dans l’intervalle I, et choisir la solution qui est dans I. |
14Erreurs à éviter
15Exercices d’entraînement corrigés
Cherche d’abord seul(e) sur ton cahier, puis ouvre la solution pour vérifier.
(a) (un) est arithmétique avec u₀ = 4 et r = −3. Exprimer un et calculer u₀ + u₁ + … + u₁₀. (b) (vn) est géométrique avec v₁ = 6 et q = 12. Calculer v₁ + v₂ + … + v₅.
Voir la solution
(a) un = 4 − 3n. u₁₀ = 4 − 30 = −26. La somme a 11 termes : S = 11 × 4 + (−26)2 = 11 × (−11) = −121.
(b) 5 termes, premier terme v₁ = 6 : S = 6 × 1 − (1/2)⁵1 − 1/2 = 12 × (1 − 132) = 12 × 3132 = 938.
Soit un = 2n + 1n + 1 pour n ≥ 0. (1) Montrer que un = 2 − 1n + 1. (2) Étudier la monotonie. (3) Montrer que 1 ≤ un < 2. (4) Calculer la limite.
Voir la solution
(1) 2 − 1n + 1 = 2(n + 1) − 1n + 1 = 2n + 1n + 1.
(2) un+1 − un = 1n + 1 − 1n + 2 = 1(n + 1)(n + 2) > 0 : strictement croissante.
(3) u₀ = 1 et (un) est croissante, donc un ≥ 1. Et 1n + 1 > 0 donne un < 2.
(4) lim 1n + 1 = 0, donc lim un = 2.
Calculer : (a) lim 3n² − n + 12n² + 5 (b) lim (√(n² + 1) − n) (c) lim 5n + 2n5n (d) lim (n + (−1)n) (e) lim sin nn².
Voir la solution
(a) Terme dominant : 3n²2n² = 32. Limite = 32.
(b) Conjugué : (n² + 1) − n²√(n² + 1) + n = 1√(n² + 1) + n → 0. Limite = 0.
(c) = 1 + (25)n → 1 + 0. Limite = 1.
(d) (−1)n ≥ −1 donc n + (−1)n ≥ n − 1 → +∞. Limite = +∞.
(e) −1n² ≤ sin nn² ≤ 1n², les deux bornes → 0. Limite = 0.
Montrer par récurrence que pour tout n ≥ 1 : 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n².
Voir la solution
Initialisation : n = 1 : le membre de gauche vaut 1 = 1².
Hérédité : si 1 + 3 + … + (2n − 1) = n², alors 1 + 3 + … + (2n − 1) + (2n + 1) = n² + 2n + 1 = (n + 1)².
Conclusion : la propriété est vraie pour tout n ≥ 1.
Soit u₀ = 0 et un+1 = 12 un + 1. On pose vn = un − 2. (1) Montrer que (vn) est géométrique. (2) Exprimer vn puis un. (3) Calculer lim un.
Voir la solution
(1) vn+1 = un+1 − 2 = 12 un − 1 = 12(un − 2) = 12 vn. Donc (vn) est géométrique de raison 12, avec v₀ = −2.
(2) vn = −2 (12)n, donc un = 2 − 2 (12)n.
(3) −1 < 12 < 1 donc (12)n → 0 et lim un = 2.
Calculer : (a) lim 3/n + 11/n + 2 (b) lim cos(πn2n + 1).
Voir la solution
(a) Avec un = 1n → 0 et f(x) = 3x + 1x + 2 continue en 0, la limite vaut f(0) = 12.
(b) πn2n + 1 → π2 et cos est continue en π2 : la limite vaut cos(π2) = 0.
Soit un = n + sin nn + 1 (n ≥ 0). Montrer que n − 1n + 1 ≤ un ≤ 1 puis calculer la limite.
Voir la solution
−1 ≤ sin n ≤ 1 donne n − 1 ≤ n + sin n ≤ n + 1. On divise par n + 1 > 0 : n − 1n + 1 ≤ un ≤ n + 1n + 1 = 1.
lim n − 1n + 1 = 1 et lim 1 = 1. Par le théorème des gendarmes, lim un = 1.
Soit u₀ = 0 et un+1 = √(2 + un). (1) Montrer par récurrence que 0 ≤ un ≤ 2. (2) Montrer que (un) est croissante. (3) En déduire qu’elle converge et calculer sa limite.
Voir la solution
(1) Initialisation : u₀ = 0 ∈ [0, 2]. Hérédité : si 0 ≤ un ≤ 2, alors 2 ≤ 2 + un ≤ 4, donc √2 ≤ un+1 ≤ 2, ce qui donne 0 ≤ un+1 ≤ 2.
(2) un+1 − un = 2 + un − un²√(2 + un) + un = (2 − un)(1 + un)√(2 + un) + un ≥ 0 car 0 ≤ un ≤ 2. La suite est croissante.
(3) Croissante et majorée par 2 : convergente vers ℓ ∈ [0, 2]. f(x) = √(2 + x) est continue, donc ℓ = √(2 + ℓ), soit ℓ² − ℓ − 2 = 0, (ℓ − 2)(ℓ + 1) = 0. Comme ℓ ≥ 0 : ℓ = 2.
★Fiche résumé à retenir
- Récurrence : initialisation + hérédité ⇒ propriété vraie pour tout n ≥ n₀.
- Arithmétique (raison r) : un = up + (n − p) r ; somme = nb de termes × 1er + dernier2 ; a + c = 2b.
- Géométrique (raison q) : un = up qn − p ; somme = 1er terme × 1 − qnb de termes1 − q ; b² = ac.
- Monotonie : signe de un+1 − un. Convergence monotone : croissante + majorée, ou décroissante + minorée ⇒ convergente.
- Encadrement : vn ≤ un ≤ wn et même limite ℓ ⇒ lim un = ℓ. Minoration par +∞ ⇒ +∞. |un − ℓ| ≤ vn → 0 ⇒ ℓ.
- qn : +∞ si q > 1 ; 1 si q = 1 ; 0 si |q| < 1 ; pas de limite si q ≤ −1. nr : +∞ si r > 0, 0 si r < 0.
- f(un) : si un → ℓ et f continue en ℓ, alors f(un) → f(ℓ).
- un+1 = f(un) : I stable, récurrence, monotonie, convergence, puis ℓ solution de f(x) = x dans I.