Examen Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 19 Avec CorrectionDurée de l’épreuve 3hL’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit: * Etude d’une fonction numérique* Suite Numérique* Nombres complexes * Etude d’une fonction numérique Partie IOn considère la fonction (f) définie par: (f(x)=sqrt{1+ e ^{-x}}-x) On note ((C_{f})) sa courbe représentative dans le repère orthonormé ((O, vec{i}, vec{j}))d’unité 1cm.1 Montrer que l’ensemble de définition de (f) est IR2) a) Calculer (lim _{x➝-∞} f(x)) et (lim _{x➝-∞} frac{f(x)}{x})b En déduire que: la courbe ((C_{f})) présente une branche parabolique au voisinage -∞ dont on précisera la direction.3- a) Calculer (lim _{x➝+∞} f(x),) puis montrer que la droite (D) d’équation (y=-x+1) est une asymptote à la courbe (C) au voisinage +∞.b Etudier la position relative de la courbe ((C_{f})) par rapport la droite (D)4 Montrer que: pour tout x de IR: (f ‘(x)=-(1+frac{e^{-x}}{2 sqrt{1+e^{-x}}}))b Montrer que (f) est strictement décroissante sur IR.c Établir le tableau de variations de (f) sur IR.5. Montrer que:l’équation (f(x)=0) admet une seule solution α tel que 1<α<ln (4)6 Construire la courbe ((C_{f})) et la droite ( (D) ) dans le repère ((O, vec{i}, j))7 a Montrer que: la fonction (f) admet une fonction réciproque (f^{-1}) de IR vers un intervalle (J) à déterminer.b Déterminer le sens de variations de (f^{-1}) sur (J)Montrer que (f^{-1}) est dérivable en (sqrt{2}) et que ((f^{-1}) ‘(sqrt{2})=-frac{sqrt{8}}{1+sqrt{8}}) (Remarque que (f(0)=sqrt{2}))d) Tracer, dans le même repère, la courbe représentative de (f^{-1}). Partie IIOn considère la fonction (g) définie sur IR par : ( g(x)= e ^{-x} × f(x)) Et soit ((C_{g})) la courbe représentative de (g) dans le repère ((O, vec{i}, vec{j}))1) Montrer que pour (x) de ([0 ; 1]: ⇔ g(x)>0)2) En utilisant une intégration par parties, montrer que : (int_{0}^{1} x e ^{-x} d x=1-frac{2}{ e })3) Calculer en cm ^{2} l’aire du domaine délimité par la courbe (( C _{g})) les deux axes du repère et la droite d’équation x=1. * Suite Numérique On considère la suite ((u_{n})) définie par: (u_{0}=1) et (u_{n+1}=frac{u_{n}-6}{u_{n}-4}) pour tout n de IN*1 Montrer que pour tout n de IN: (1 ≤ u_{n}<2)2 Montrer que la suite ((u_{n})) est croissante. En déduire que ((u_{n})) est convergente.3 On pose pour tout n de IN: (v_{n}=frac{u_{n}-3}{u_{n}-2})a Montrer que:la suite ((v_{n})) est géométrique dont on précisera la raison.b En déduire: l’expression de (v_{n}) en fonction de n et que pour tout n de IN:(u_{n}=frac{2^{n+2}-3}{2^{n+1}-1})4 Déterminer la limite de la suite ((u_{n})) * Nombres complexes 1 Résoudre dans ℂ l’équation suivante: (z^{2}-2 z+4=0)2 On considère, dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé, les points A, B et C d’affixes respectives:(a=4); (b=1-i sqrt{3}) et (c=bar{b})a Écrire chacun des nombres (b) et (c) sous forme trigonométriqueb Montrer que (frac{b-a}{c-a}= e ^{i frac{n}{3}})c Montrer que le triangle ABC est équilatéral.3 Soit z l’affixe d’un point Met z ‘ l’affixe du M ‘l’image de Mpar la rotation IR de centre A et d’angle (-frac{pi}{3})a Montrer que (z ‘=4+(frac{1}{2}-i frac{sqrt{3}}{2})(z-4))b Montrer que :le point (D) d’affixe (d=4+i 2 sqrt{3}) est l’image de (C) par la rotation IR4 Montrer que ABCD est un losange. ⇊⇊Télécharger Fichier PDF Gratuit:
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