Exercice 1:
x,y,z trois nombres strictement positifs.
Montrer que :
(frac{x^2}{y}+frac{y^2}{z}+frac{z^2}{x} ≥ x+y+z).
On a: (x-y)²≥0
d’ où: x²+y²≥2xy
et par suite:
(frac{x^{2}+y^{2}}{y} geq frac{2 x y}{y})
(car: y>0)
donc:
(frac{x^{2}}{y}+y geq 2 x) ①
de même pour:
(frac{y^{2}}{z}+z geq 2 y) ②
(frac{z^{2}}{x}+x geq 2 z) ③
①+②+③
on conclut que:
(frac{x^{2}}{y}+y+frac{y^{2}}{z}+z+frac{z^{2}}{x}+x geq 2 x+2 y+2 z)
Donc:
(frac{x^{2}}{y}+frac{y^{2}}{z}+frac{z^{2}}{x} geq x+y+z)
Exercice 2:
x,y deux nombres strictement positifs.
Montrez que :
(frac{x}{x^4+y^2}+frac{y}{y^4+x^2} ≤ frac{1}{xy}).
On a:
((x^{2}-y)^{2}≥0)
➝ (x^{4}+y^{2}≥2x^{2}y)
➝ (frac{1}{x^{4}+y^{2}}≤frac{1}{2 x^{2}y})
➝ (frac{x}{x^{4}+y^{2}}≤frac{x}{2 x^{2}y})
➝ (frac{x}{x^{4}+y^{2}}≤frac{1}{2 xy}) ①
de même pour:
(frac{y}{y^{4}+x^{2}}≤frac{1}{2 yx})②
①+② d’où:
(frac{x}{x^{4}+y^{2}}+frac{y}{y^{4}+x^{2}}≤frac{1}{2 xy}+frac{1}{2 yx})
Donc:
(frac{x}{x^{4}+y^{2}}+frac{y}{y^{4}+x^{2}}≤frac{1}{xy}).
Exercice 3:
x,y deux nombres réels tel que : x + y = 1.
Montrez que :
xy ≤1/4.
On a:
x+y=1
⇾ (x+y)²=1
⇾ x²+2xy+y²=1
⇾ x²-2xy+y²=1-4xy
⇾ (x-y)²=1-4xy
⇾ 1-4xy ≥ 0
⇾ xy≤1/4
Exercice 4:
Montrer quex,y,z trois nombres réels positifs
tel que: 2(z²-y²) = 3x².
Trouvez le plus grande de ces trois nombres.
Sur la poseon a:
2(z²-y²) = 3x²
⇾ (z²-y²) = 3/ 2 x²
⇾ (z-y)(z+y) = 3/2 x² ⇾ z-y ≥ 0
⇾ z≥y ①
d’autre part:
2(z²-y²) = 3x²
⇾ 2z²-2y²= 3x²
⇾ 2z²-2x²= x²+2y²
⇾ z²-x²= (x²+2y²) / 2
⇾ (z-x)(z+x)= (x²+2y²) / 2
⇾ z-y ≥ 0
⇾ z≥x ②
Donc:
“Z ” est le plus grande de ces trois nombres
Exercice 5:
x,y,z trois nombres réels strictement positifs;
Montrer que :
((x+y)(y+z)(z+x) ≥ 8xyz).
On a:
((sqrt{x}-sqrt{y})^{2} ≥ 0)
➝ ((x-2sqrt{x}sqrt{y}+y ≥ 0)
➝ ((x+y≥ 2sqrt{x}sqrt{y}) ①
de même pour:
((y+z≥ 2sqrt{y}sqrt{z}) ②
((z+x≥ 2sqrt{z}sqrt{x}) ③
①×②×③
Donc:
((x+y)(y+z)(z+x) ≥ 8(sqrt{x})^{2}(sqrt{y})^{2}(sqrt{z})^{2})
➝((x+y)(y+z)(z+x) ≥ 8xyz).