Révision Général Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 20 * Suites numérique (Bac: Svt – PC – Eco – Tec)
Les Parties son Indépendant Etude de récurrence, étude de monotonie, convergent et limite.Suites définie par: (u_{n+1}=frac{a u_{n}+b}{c u_{n}+d})Suite géométrique,suite arithmétique, la somme des thermes Suite définie par (w_{n}=f(u_{n})) avec f une fonction continueProblème 1 : étude de fonction logarithme(Bac: Svt – PC – Eco – Tec )Problème 2: étude de fonction logarithme(Bac: Svt – PC – Eco – Tec)Problème 3: étude de fonction logarithme(Bac: Svt – PC – Eco – Tec)Problème 4: étude de fonction exponentielle(Bac: Svt – PC – Tec)Problème 5: étude de fonction exponentielle(Bac: Svt – PC – Tec)* Nombre complexe(Bac: Svt – PC – Tec)
* Exercice 1
Soit ((u_{n})) une suite numérique définie par:
(u_{0}=2) et (u_{n+1}=frac{5 u_{n}-3}{u_{n}+1})
1) Montrer que ∀ n∈IN: (1<u_{n} ≤ 3)
2) i) – Vérifie que: (u_{n+1}-u_{n}=frac{(u_{n}-1)(3 )}{u_{n}+1},) puis déduit la monotonie de ((u_{n}))
(ddot{ { II }}) Montrer que : (∀ n ∈N , 2 ≤ u_{n} ≤ 3)
Partie 1:
I) Montrer que ∀ n∈IN:
(frac{-}{2}(3-u_{n}) ≤ 3-u_{n+1} ≤ frac{2}{3}(3-u_{n}))
2) Déduit que ∀ n∈IN: ((frac{1}{2})^{n} ≤ 3-_{n} ≤(-frac{ }{3}))
3) Calculer (lim _{x➝+∞} u_{n})
Partie 2:
Soit ((v_{n})) une suite définie sur IN par:
(v_{n}=frac{3-u_{n}}{u_{n}-1})
I) Montrer que ∀ n∈IN: ((v_{n}))et géométrique de raison (q=frac{1}{2},)
puis exprimer ((v_{n})) en fonction de n
2) Déduite que:
(u_{n}=frac{3+(frac{1}{2})^{n}}{1+(frac{1}{2})^{n}},) puis calculer sa limite (lim _{x➝+∞} u_{n})
3) Trouver la plus petit valeur de n qui vérifie que : (u_{n}>2,99)
4) Calculer les deux sommes suivant:
* (S_{n}=v_{0}+v_{1}+…+v_{n})
* (T_{n}=frac{1}{u_{0}-1}+frac{1}{u_{1}-1}+…+frac{1}{u_{n}-1})
5) Calculer (lim _{x➝+∞} w_{n},)
sachant que ((w_{n})) est la suite définie par (w_{n}=ln (u_{n})) pour tout (n ∈N)
Partie 3:
Soit la suite ((u_{n})) définie par:
(u_{1}=-4) et ∀ n ∈IN*:(u_{n+1}=frac{3 u_{n}+}{1-u_{n}})
1. Montrer que ∀ n ∈IN*: ( u_{n}<-1)
2. Montrer que: (u_{n+1}-u_{n}=frac{(u_{n}+1)}{1-u_{n}})
et déduit que la suite ((u_{n})) est croissant puis déduit que ((u_{n})) est convergent
3. Soit ((v_{n})) une suite définie par ∀ n ∈IN *:
( v_{n}=frac{2 u_{n}-}{u_{n}+1})
3.1 Montrer que:
((v_{n})) est une suite arithmétique de raison (r=3)
3.2 Montrer que∀ n ∈IN *: (u_{n}=frac{3 v_{n}+}{3 v_{n}+2})
puis exprimer ((v_{n})) et ((u_{n})) en fonction de n.
3.3 Trouver la petite valeur de n qui vérifier (u_{n}>-1.06)
3.4 Calculer les sommes suivant :
(S_{n} ‘=v_{1}+v_{2}+ldots+v_{n})
(T_{n} ‘=frac{1}{u_{2}-1}+frac{1}{u_{1}-1}+….+frac{1}{u_{n-2}-1})
* Problème 1 : étude de fonction logarithme
I.
Soit g une fonction indéfinie sur ]0,+∞[par: g(x)=-x+xlnx+1
I) Montrer que g ‘(x)=lnx pour tout de ] 0,+∞[,
puis déduite que g et décroissant sur] 0,1]et croissant sur [1,+∞[
2) Calculer g(1) puis montrer que (g(x)≥ sur ]0,+∞)
3) (D) après le graphe (C g) déduite le signe de (g)
II.On considère la fonction (f) définie par:
({begin{array}{l} f(x)=frac{-3}{4} x^{2}+frac{1}{2} x ln x+x, x>0 \ f(0)=0end{array})
et (C_{f}) sa courbe dans le plan ((o,vec{l}, vec{j}))
1. Calculer f(e²)puis montrer que (f) et continue adroit en 0.
2. Calculer lim_(frac{f(x)-f(0)}{x-0})
puis déduite que (f) et dérivable adroit en 0
et donner une interprétation graphique
2.1. Calculer (lim_{x➝+∞} f(x)) et (lim_{x➝+∞} frac{f(x)}{x})
puis déduit que (C_{f}) admet une branche parabolique
au voisinage de +∞ sa direction a déterminer.
3.1. Montrer que ∀ x∊]0,+∞[: f ‘(x)=g(x)
et montrer que f et croissant sur [0,+∞[.
3.2. Calculer (f ‘(1) et donner une interprétation graphique
4.1. puis déduite que (C_{f}) admet un point d’inflexion
en déterminant ses cordonner
4.2.Tracer (C_{f}) dans un plan
5.1. trouver une primitive de h: x➝ x² par une intégration par partie,
puis calculer (int_{e}^{e^{2}} f(x) d x)
6.1. Montrer que:(f) admet une fonction réciproque (f^{-1})
sur I=[0,3[ vers (J) a déterminé.
6.2. Dresser le tableau de variation de la fonction (f^{-1}) sur Intervalle (J)
6.3. Calculer (f(1)) purs calculer ((f^{-1}) ‘(frac{1}{4}))
6.4. Tracer (Cf ^{-1}) dans le même plan
* Problème 2: étude de fonction logarithme
I.
soit (g) une fonction définie par:(g(x)=2x+lnx^{2}-2 lnx-2 sur ]0,+∞[)
1.1. Montrer que: ∀ x∈] 0,+∞[: (g'(x)=frac{2(x-1+lnx)}{x})
1.2. Montrer que: (x-1) et lnx on le même signe sur ]0,+∞[.
1.3. Etudier la monotonie de la fonction g sur ]0,+∞[
puis dresser son tableau de variation
1.4.Déduite que ∀ x∈] 0,+∞[: g(x)≥0.
II. On considère la fonction f définie par:
({begin{array}{l}f(x)=x^{2}+2x-4xln x+x(lnx)^{2}, x>0 \ f(0)=0end{array})
1.1. Montrer que: (lim_{x➝ 0^{+}} x(ln x)^{2}=0)
(on peut poser (sqrt{x}=t) )
1.2. Montrer que: (f) est une fonction continue à droite de 0.
1.3. Étudie la dérivabilité de f en (x_{0}=0) droit,
puis donner une interprétation graphique.
2.1. montrer que: (lim_{x➝+∞} frac{(ln x)^{2}}{x}=0)
(on peut poser (sqrt{x}=t) ), puis calculer (lim_{x➝+∞} f(x))
2.2. montrer que (C_{f}) admet une branche parabolique au voisinage de +∞ en déterminant sa direction
3.1. montrer que ∀ x∈] 0,+∞[: f ‘(x)=g(x).
3.2. calculer (f ‘) (1):
étudie la monotonie de (f) puis dresser son tableau de variation
4.1. déterminer le point d’inflexion de (C_{f}).
5.1.soit h la restreint de la fonction f sur [0,+∞[ montrer que:
(h) admet une fonction réciproque nome (h^{-1})
en déterminant son domaine.
5.2. déduit la variation de la fonction réciproque sur J
puis dresser son tableau de variation.
6.1. tracer (C_{f}) et (C_{h}^{-1}) dans le même plan
6.2. Résoudre graphiquement l’équation (f(x)=m)
avec m est un paramètre réel
* Problème 3: étude de fonction logarithme
I. Soit g une fonction définie sur IR^{*+}=]0;+∞[ par: g(x)=1+xlnx
1- calculer (lim _{x➝+∞} g(x)) et (lim _{x➝ 0^{-}} g(x))
2- a- vérifie que (f) est dérivable sur (R ^{*+}) puis montrer que : (∀ x ∈(R ^{*+}): g ‘(x)=ln x+1)
b- dresser le tableau de variation de (g)
3- en déduit que : (∀ x∈R ^{*+}: g(x)>0) II. soit (f) une fonction définie par:
({begin{array}{l}f(x)=frac{x}{1+x ln x}, x 0 \ f(0)=0end{array}.)
1- a- montrer que (f) est continue a droit en 0
b- montrer que (f) est dérivable a droit en 0 et donne une interprétation graphique
2- a- vérifier que (∀ x>0: f(x)=frac{1}{frac{1}{x}+ln x})
b- calculer (lim _{n➝+∞} f(x)) et donner une interprétation graphique
3- a- montrer que (∀ x>0: f ‘(x)=frac{1-x}{(1+x ln x)^{2}})
b- étudier la monotonie de la fonction (f,) puis dresser son tableau de variation
4- a- montrer que la fonction (f) admet une fonction réciproque nome (f^{-1})
définie su l’intervalle (I=[1 ;+∞[)
b- calculer (f(e),) puis déduit ((f^{-1}(frac{e}{e+1})))
5- a- montrer que (∀ x>0: f(x)-x=frac{-x^{2} ln x}{1+x ln x})
b- étudier la position relative de ((C f)) et ((Δ): y=x)
6- tracer ((C f)) et ((Δ)) dans repère orthonormé ((o,vec{i},vec{j}))
III. soit ((u_{n})_{n}) la suite définie par :
({begin{array}{l}u_{0}=frac{1}{2} \ u_{n+1}=f(u_{n})end{array}, ∀ n ∈N .)
1- montrer que∀ n∈IN : (0<u_{n}<1)
2- montrer que ((u_{n})_{n∈IN}) est croissant
3- déduit que ((u_{n})_{n∈IN}) est convergent et calculer sa limite.
* Problème 4: étude de fonction exponentielle
I. soit (g) une fonction définie sur IR par:
(g(x)=(x+1)^{2}e^{x}-1)
I. vérifie que (g(0)=0, g(-1)=-1, g(-3)=4 e^{-3}-1)
2. d’après le courbe (C g)
2.1 montrer que ∀ x∈]-∞,0], g(x)≤0 et ∀ x∈[0,+∞[, g(x)≥0
2.2 donner le tableau de variation de la fonction (g)
II.
soit (f) une fonction définie sur IR par :
(f(x)=(x^{2}+1)e^{x}-x-1)
I.1 montrer que:
(f(x)=x((x+frac{1}{x}) e^{x}-1+frac{-1}{x})) pour tout x∈IR
I. 2 déduit (lim _{x➝+∞} f(x))
I. 3 montrer que (lim _{x➝+∞} frac{f(x)}{x}=+∞)
puis déduite que (C f) admet une branche parabolique au
voisinage de +∞ sa direction a déterminer
2.1 montrer que: (lim _{x➝-∞} frac{x}{2} e^{frac{x}{2}}=0)
2.2 vérifier que: (f(x)=4(frac{x}{2} e^{frac{x}{2}})^{2}+e^{x}-x-1)
puis déduit (lim _{x➝-∞} f(x))
2.3 montrer que (lim _{x➝-∞} f(x)+x+1=0,)
puis déduit que (D) y=-x-1 est un asymptote oblique
3.1. montrer que ∀ x∈IR: (f ‘(x)=g(x))
3.2 déduite que f est décroissant sur ]-∞,0] et croissant sur [0,+∞]
4. 1 étudier la position relative de (C f) et (D)
4.2 montrer que (C f) admet deux points d’inflexion.
5 tracer (C f) dans le plan ((o,vec{i},vec{j}))
* Problème 5: étude de fonction exponentielle
I.
Soit g une fonction définie sur (R) par: (g(x)=1-x e^{x})
I. calculer (lim_{x➝+∞} g(x)) et (lim_{x➝-∞} g(x))
2.1. montrer que (∀ x∈R : g ‘(x)=(-1-x) e^{x},)
puis étudie sa monotonie
2.2. dresser le tableau de variation de (g)
3.1. Montrer que l’équation g(x)=0 admet une unique solution α sur ]-1,+∞[
3.2.Vérifier que 0.5<α<0.6
3.3. Déduit que ∀ x ∈]-∞,α], g(x)≥ 0 et ∀ x∈[α,+∞[ g(x) ≤ 0
II.
soit (f) une fonction définie sur IR ( f(x)=(x-1) e^{x}-x-1)
1.1. Montrer que (lim_{x➝-∞} f(x)=+∞)
1.2. Montrer que la droit (D):y=-x-1 est une asymptote oblique
de (C f) au voisinage de -∞
1.3. Etudier la position relative de (C f) et la droit (D)
2.1. Montrer que (lim _{x➝+∞} f(x)=+∞)
2.2. Déduit de (C f) admet une branche parabolique au voisinage de +∞
sa direction à déterminer
3 .1. montrer que ∀ x∈IR: f ‘(x)=-g(x)
3 .2. montrer que:
f est décroissant sur ]-∞,α] et croissant sur [α,+∞]
puis dresser son tableau de variation
3 .3. montrer que (f(α)=-frac{α^{2}+1}{α})
puis donner un encadrement pour f(α)
4.1 soit (h) la restreinte de la fonction f sur ]-∞,α]
montrer que (h) admet une fonction réciproque définie sur (J) a déterminer
4.2. dresser le tableau de variation de (h^{-1})
5.1. montrer que l’équation f(x)=x admet deux solution
tel que 1.5<β<1.6 et -1.6<β<-1.5
5.2. trouver les cordonner d’intersection de (C f)
et l’axe des abscisses et l’axe des ordonner
5.3. tracer (C f) et (Ch ^{-1}) dans le même plan ((o,vec{i},vec{j}))
* les Nombre Complexe
I.
on considère l’équation suivant :
(E): ((2 z-3-3 i)(z^{2}+3 z+3))
I.1.Résoudre dans l’équation (E)
1.2.soit (v=frac{3}{2}+i frac{sqrt{3}}{2})
montrer que: (|v|=sqrt{3}) et (arg(v)=frac{pi}{6}[2 pi])
1.3. déduite l’écriture trigonométrique et exponentielle de v
1.4.montrer que (v^{2154}) est un nombre réel négatif
II.dans le plant complexe, soit les point a,b et c d’affixe
(a=-frac{3}{2}-i frac{sqrt{3}}{2})
(b=-frac{3}{2}+i frac{sqrt{3}}{2}) et c=-3
I. vérifier que: (a=-v) et (b=-bar{v})
2. déduites l’écriture exponentielle de a et b
3. montrer que : (frac{a}{b}=e^{frac{pi}{3}})
puis déduit la nature de triangle OAB
4. soit la transformation R tel que:R(z)=z ⇔ (z ‘-ifrac{sqrt{3}}{2}z=-frac{3}{2}+ifrac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}z)4.1 montre que:
la transformation R et une rotation de centre C et d’angle (frac{pi}{3})
4.2 vérifier que : b-c = v et a – c = (bar{v})
4.3 déduites que b et l’image de a par la rotation R
puis déduit la nature du triangle ABC
4.4 Montrer que le quadrillage OABC est un losange
III.soit H l’homothétie de centre I le milieu de ([OC]) tel que (H(k, I))
et C et l’image de O
1.1 Trouver k le rapport de H
1.2 Déduite que les point C, O et J son aligné
1.3 Vérifier que B et l’image de A par l’homothétie
2.1 Montrer que: (frac{j}{b-j}=-i sqrt{3})
2.2 Déduite que (JB) et (JO) son orthogonaux
IV.
Soit T une translation de vecteur (z_{vect{AB }})
il transforme (M(z)) à (M(z ‘))
1. I Montrer que : (z ‘=z+i sqrt{3})
1.2 Trouver l’affixe de D l’image de B par T
1.3 Vérifie que les point A,B et D appartiens au cercle (C)
de centre B et rayon (r=sqrt{3})
V. trouver l’ensemble des point M(z) dans chaque cas suivant
tel que z∈ℂ :
(1-|z+frac{3}{2}-i frac{sqrt{3}}{2}|=|-i sqrt{3}| 2-|z+2|=|-i z+3-i|)
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