Examen Bac 2 PDF 2020 Math Préparation 21Durée de l’épreuve 3hL’épreuve est composée de trois exercices et un problème indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Équation et Inéquation (2.5 points )* Suite Numérique (3 points )
* Nombres complexes (5 points )* Etude d’une fonction numérique (9.5 points ) * Équation et Inéquation (2.5 points )1- a) Résoudre dans IR l’équation : x²+4 x-5=0b) Résoudre dans l’intervalle ]0;+∞[ l’équation: ln (x²+5)=ln (x+2)+ln (2x). 2- Résoudre dans l’intervalle ]0 ;+∞[ l’inéquation: ln(x)+ln(x+1) ≥ ln (x²+1). * Suite Numérique (3 points )Soit ((u_{n})) la suite numérique définie par: ({begin{array}{l}u_{0}=1 \ u_{n+1}=frac{u_{n}}{5+8 u_{n}} : ∀ n ∈IN*end {array})1 Montrer par récurrence que ∀ n ∈IN: u_{n}>02 On considère la suite ((v_{n})) définie par ∀ n ∈IN: (v_{n}=frac{1}{u_{n}}+2)a) Montrer que ((v_{n})) est une suite géométrique de raison 5 puis exprimer (v_{n}) en fonction de n.Montrer que: (u_{n}=frac{1}{3 × 5^{n}-2}) pour tout n de IN.puis calculer la limite de la suite ((u_{n})) * Nombres complexes (5 points ) I- Résoudre dans ℂ l’équation ((E): z^{2}-18 z+82=0)2 Dans le plan complexe associé a un repère orthonormé direct ((O;vec{i} ; vec{j}))On considéré les point A,B et C d’affixes respectives: a=9+i, b=9-i et c=11-i.3- a) Montrer que (frac{c-b}{a-b}=-i) puis en déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle en Bb) Donner une forme trigonométrique du nombre complexe 4(1-i)c) Montrer que ((c-a)(c-b)=4(1-i)) puis en déduire que (AC × BC=4 sqrt{2})4- Soit z I’affixe du point M du plan et z ‘l’affixe du point M ‘ L’image de M par la rotation (R) de centre B et d’angle (frac{3 pi}{2}) Montrer que: ( z ‘=-i z+10+8 i) puis vérifier que 1 ‘affixe du point C’ image du point C par la rotation (R) est 9-3i. * Etude d’une fonction numérique (9.5 points ) Partie I:On Considère la fonction (g) définie sur IR par: (g(x)=(1-x) e^{x}-1)1) Montrer que: ∀ x ∈R: (g ‘(x)=-x e^{x})2) Montrer que la fonction (g) est décroissante sur [0 ;+∞[et croissante sur ]-∞;0] et vérifier que g(0)=03) En déduire que g(x) ≤ 0 pour tout x de IR Partie II:On Considère la fonction (f) définie sur IR par: (f(x)=(2-x) e^{x}-x) On appelle ((C_{f})) sa courbe représentative dans un repère orthonormale ((O;vec{i};vec{j}).) (Unité: 1cm )1- a) Montrer que (lim_{x➝+∞} f(x)=-∞)b) Montrer que (lim_{x➝+∞} frac{f(x)}{x}=-∞) puis en déduire que ((C_{f})) admet une branche parabolique au voisinage de +∞dont on précisera la direction2- a) Montrer que (lim f(x)=+∞) puis calculer (lim _{x➝-∞}[f(x)+x])b) Montrer que la droite (D) d’équation y=-x est une asymptote à la courbe ((C_{f})) au voisinage de (-∞)3- a) Montrer que ∀ x ∈IR: f ‘(x)=g(x)b) Interpréter géométriquement le résultat (f ‘(0)=0)c) Montrer que la fonction (f) est strictement décroissante sur IR puis dresser son tableau de variation4) Montrer que l’équation (f(x)=0) admet une solution réel unique (α) et que (frac{3}{2}<α<2) ( On admettra que (e^{frac{3}{2}}>3) )5- a) Résoudre dans IR l’équation: f(x)+x=0.et en déduire que ((C_{f})) et (D) se coupe au point A(2 ;-2).b) Étudier le signe de (f(x)+x) sur IR :c) En déduire que ((C_{f})) est au-dessus de (D) sur ]-∞;2[ et en-dessous de (D) sur]2;+∞[6) Montrer que:la courbe possède un point d’inflexion unique de coordonnées I(0;2)7) Construire dans le même repère ((O;vec{i};vec{j})) la droite ((D)) et la courbe ((C_{f}))8- a) En utilisant une intégration par partiesMontrer que: (int_{-1}^{0}(2-x) e^{x} dx=3-frac{4}{e})b) Calculer en cm² l’aire du domaine délimité parla courbe (( C_{f})) la droite (D) et les droites d’équations respectives x=-1 et x=0 ⇊⇊Télécharger Fichier PDF Gratuit:
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