Exercice 1: (4 Pts)
Thème: Structures algébriques
Les parties I et II sont indépendantes.
Partie I :
Dans l’anneau unitaire \((M_{3}(\mathbb{R}),+,×)\),
on considère les deux matrices:
\(I=\left(\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\0 & 1 & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right)\)
et
\(A=\left(\begin{array}{ccc}\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\0 & 0 & 1\end{array}\right)\)
On pose \(A^{0}=I, A^{2}=A×A\)
et \((\forall n∈IN) ; A^{n+1}=A^{n}×A\)
1. Montrer que :
\((\forall k∈IN) ; A^{2 k}=I\).
2. Montrer que:
la matrice \(A\) admet un inverse \(A^{-1}\) à déterminer.
Partie II :
Soit a un nombre réel.
Pour tous \(x\) et \(y\) de \(I=] a ;+∞[\) on pose:
\(x * y=(x-a)(y-a)+a\).
1. a) Montrer que:
\(*\) est une loi de composition interne dans \(I\).
b) Montrer que:
la loi \(*\) est commutative et associative dans \(I .\)
c) Montrer que:
\((I ; *)\) admet un élément neutre à déterminer.
2. Montrer que:
\((I ; *)\) est un groupe abélien.
3. On considère l’application:
\(\varphi: I ➝ IR_{+}^{*}\)
\(x➝\frac{1}{x-a}\)
a) Montrer que:
\(\varphi\) est un isomorphisme de \((I, *)\) dans \(IR_{+}^{*}, ×)\).
b) Résoudre dans \(I\) l’équation:
\(x^{(3)}=a^{3}+a\) avec \(x^{(3)}=x * x * x\).
Exercice 2: (2.5 Pts)
Thème : Arithmétiques
Soit \(N\) l’entier naturel dont l’écriture dans la base décimale est :
\(N=\underbrace{11….1}_{2010 \text { fois } 1}\)
1-Montre que le nombre \(N\) est divisible par 11
2 -a) Vérifier que le nombre 2011 est premier
et que \(10^{2010}-1=9 N\)
b) Montrer que le nombre 2011 divise le nombre \(9 N\)
c) En déduire que le nombre 2011 divise le nombre \(N\).
3- Montrer que le nombre \(N\) est divisible par 22121
Exercice 3: (3.5 Pts)
Thème : Nombres complexes
partie I:
Soit \(m\) un nombre complexe non nul.
On considère dans l’ensemble \(ℂ\) l’équation d’inconnue \(z\) :
\((E_{m}): z^{2}+[(1-i) m-4] z-i m^{2}-2(1-i) m+4=0\)
1-Vérifier que le nombre \(z_{1}=-m+2\) est solution de l’équation \(\left(E_{m}\right)\)
2-Soit \(z_{2}\) la deuxième solution de l’équation \((E_{m})\)
a) Montrer que:
\(z_{1} z_{2}=1 ⇔ i m^{2}+2(1-i) m-3=0\)
b) Déterminer les deux valeurs de \(m\) pour lesquelles on a:
\(z_{1} z_{2}=1\)
Deuxième partie II:
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct
\((O, \vec{u}, \vec{v})\),
On considère l’application \(S\)
qui au point \(M\), d’affixe \(z\), fait correspondre le point \(M’\) d’affixe \(z’\)
tel que: \(z’-1=-(z-1)\)
\(R\) la rotation:
de centre le point \(Ω\) d’affixe \((1+i)\) et d’angle \(\frac{π}{2}\),
et soit \(z »\) l’affixe du point \(M »=R(M)\).
1-a) Montrer que:
l’application \(S\) est la symétrie centrale de centre le point d’affixe 1.
b) Montrer que: \(z »=i z+2 .\)
2-Soit \(A\) le point d’affixe 2.
On suppose que le point \(M\) est distinct du point \(O\) origine du repère.
a)Calculer \(\frac{z »-2}{z’-2}\),
en déduire la nature du triangle \(AM’M »\).
b) Déterminer l’ensemble des points \(M\)
pour lesquels les points \(A, Ω, M’\) et \(M »\) sont cocycliques.
Exercice 4: (6.5 Pts)
Thème: Analyse
partie I:
Etude des solutions positives de l’équation (E):
\( e^{x}=x^{n}\) avec \(n\) un entier naturel non nul.
On considère la fonction numérique \(f\)
définie sur l’ensemble \(D=[0,1[∪] 1,+∞[\) par :
\(f(x)=\frac{x}{\ln x} \quad\) si \(x \neq 0\) et \(f(0)=0\)
et soit \((C)\) sa courbe représentative dans le plan rapporté
à un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
1- Vérifier que pour tout \(x\) de l’ensemble \(] 0,1[∪] 1,+∞[\) on a :
\(e^{x}=x^{n}⇔ n=f(x)\)
2- Montrer que:
la fonction \(f\) est dérivable à droite en 0 .
3-Calculer les limites:
\(\lim _{x ➝ 1^{-}} f(x)\)
\(\lim _{x ➝ 1^{+}} f(x)\)
\(\lim _{x ➝+∞} f(x)\)
\(\lim _{x ➝+∞} \frac{f(x)}{x}\)
ensuite interpréter graphiquement les résultats obtenus.
4-Etudier les variations de la fonction \(f\)
sur chacun des intervalles \([0,1[\) et \(]1,+∞[\)
puis donner son tableau de variations.
5-Montrer que la courbe \((C)\) admet un point d’inflexion
dont on déterminera les coordonnées.
6- Représenter graphiquement \((C)\).
7-Montrer que pour \(n ≥ 3\),
l’équation \((E)\) admet exactement deux solutions \(a_{n}\) et \(b_{n}\)
tel que : \(1<a_{n}<e<b_{n}\)
partie II:
Etude des deux suites \((a_{n})_{n ≥ 3}\) et \((b_{n})_{n ≥ 3}\)
1-Montrer que:
\((\forall n ≥ 3) b_{n} ≥ n\),
en déduire la limite de la suite \((b_{n})_{n ≥ 3}\)
2 -a) Montrer que:
la suite \(\left(a_{n}\right)_{n ≥ 3}\) est décroissante,
en déduire qu’elle est convergente.
b) Montrer que:
\((\forall n ≥ 3) \quad \frac{1}{n}<\ln(a_{n})<\frac{e}{n}\),
en déduire la limite de la suite \((a_{n})_{n ≥ 3}\)
c)Montrer que:
\(\lim _{n➝+∞} a_{n}^{n}=e\)
Exercice 5: (3.5 Pts)
Thème: Calcule Integrale
On considère la fonction numérique \(F\)
définie sur l’intervalle \([0 ;+∞[\) par:
\(F(x)=e^{-x^{2}}\int_{0}^{x} e^{-t^{2}} dt\)
1-a) Montrer que :
\((\forall x ≥ 0) \quad 0≤ F(x)≤ x e^{-x^{2}}\)
b) Montrer que: \((\forall x ≥ 1) \quad e^{-x^{2}}≤ e^{-x}\)
en déduire la limite de la fonction \(F\) en \(+∞\)
2-Montrer que la fonction \(F\) est dérivable sur l’intervalle \([0 ;+∞[\)
et que : \((\forall x ≥ 0) \quad F'(x)=e^{-2 x^{2}}-2 x F(x)\)
3-On considère la fonction numérique \(G\)
définie sur l’intervalle \([0 ; \frac{π}{2}]\) par :
\(\left\{\begin{array}{l}G(x)=F(\tan x) ; 0≤ x<\frac{π}{2} \\ G(\frac{π}{2})=0\end{array}\right.\)
a) Montrer que:
la fonction \(G\) est continue à gauche en \(\frac{π}{2}\)
b) Montrer qu’il existe un réel \(c\) de l’intervalle \(]0 ;+∞[.\)
tel que : \(F'(c)=0\)
et que : \(F(c)=\frac{e^{-2 c^{2}}}{2 c}\)
(On pourra appliquer le théorème de ROLLE
à la fonction \(G\) sur l’intervalle \([0;\frac{π}{2}]\) )
4-On considère la fonction numérique \(H\) définie sur \(]0,+∞[.\) par:
\(H(x)=F'(x) \frac{e^{x^{2}}}{2 x}\)
a) Montrer que:
la fonction \(H\) est strictement décroissante sur \(]0,+∞[\)
b) En déduire que:
\(c\) est unique, puis donner le tableau de variation de \(F\).
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