Exercice 1:
\((u_{n})\) est une suite numériqudéfinie par :
\(u_{0}=2 \)
\(u_{n+1}=\frac{1}{16} u_{n}+\frac{15}{16}\) pour tout entier naturel \(n\)
1) a) Montrer par récurrence que:
\(u_{n}>1\) pour tout entier naturel \(n\)
b) Vérifier que:
\(u_{n+1}-u_{n}=-\frac{15}{16}(u_{n}-1)\) pour tout entier naturel \(n\)
puis montrer que la suite \((u_{n})\) est décroissante.
c) En déduire que la suite \((u_{n})\) est convergente.
2)Soit \((v_{n})\) la suite numérique telle que:
\(v_{n}=u_{n}-1\) pour tout entier naturel \(n\)
a) Montrer que:
\((v_{n})\) est une suite géométrique de raison \(\frac{1}{16}\)
puis écrire \(v_{n}\) en fonction de \(n\)
b) Montrer que:
\(u_{n}=1+(\frac{1}{16})^{n}\) pour tout entier naturel \(n\),
puis déterminer la limite de la suite \((u_{n})\)
Exercice 2:
Dans l’espace rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\),
on considère les points \(A(1,3,4)\) et \(B(0,1,2)\)
1) a) Montrer que:
\(\overrightarrow{O A} \wedge \overrightarrow{OB}=2 \vec{i}-2 \vec{j}+\vec{k}\)
b) Montrer que:
\(2 x-2 y+z=0\) est une équation cartésienne du plan \((OAB)\)
2)Soit \((S)\) la sphère d’équation:
\(x^{2}+y^{2}+z^{2}-6 x+6 y-6 z+2=0\)
Montrer que:
\((S)\) a pour centre le point \(Ω(3,-3,3)\) et pour rayon 5
3) a) Montrer que:
le plan \((O A B)\) est tangent à la sphère \((S)\)
b) Déterminer les coordonnées du point de contact \(H\) du plan \((O A B)\) et de la sphère \((S)\)
Exercice 3:
1) Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes \(ℂ\) l’équation:
\(z^{2}-8 z+41=0\)
2) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé direct \((O, \vec{u}, \vec{v})\),
on considère les points A, B, C et Ω d’affixes respectives a,b,c et ω
telles que \(a=4+5 i\), \(b=3+4 i, c=6+7 i\) et \(\quad Ω=4+7i\)
a) Calculer \(\frac{c-b}{a-b}\)
puis en déduire que les points A,B et C sont alignés
b)Soit \(z\) l’affixe d’un point \(M\) du plan
et \(z’\) l’affixe du point \(M’\), image de \(M\)
par la rotation \(R\) de centre Ω et d’angle \(-\frac{π}{2}\)
Montrer que \(z’=-i z-3+11 i\)
c) Déterminer l’image du point C par la rotation \(R\)
puis donner une forme trigonométrique du nombre complexe \(\frac{a-ω}{c-ω}\)
Exercice 4:
Une urne contient 10 boules portant les nombres \(1 ; 2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4\)
( Les boules sont indiscernables au toucher)
On considère l’expérience suivante :
on tire au hasard, successivement et sans remise, deux boules de l’urne
1) Soit \(A\) l’évènement : » Obtenir deux boules portant deux nombres pairs ».
Montrer que \(p(A)=\frac{1}{3}\)
2) On répète l’expérience précédente trois fois de suite,
en remettant dans l’urne les deux boules tirées après chaque expérience.
Soit \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de fois où l’évènement \(A\) est réalisé.
Montrer que \(p(X=1)=\frac{4}{9}\)
puis déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire \(X\)
Exercice 5:
1-Soit \(g\) la fonction numérique définie sur ] 0,+∞[ par :
\(g(x)=\frac{2}{x}-1+2 \ln x\)
On considère cl-contre le tableau de varlations de la fonction \(g\) sur ]0,+∞[
1) Calculer \(g(1)\)2) En dèduire à partir du tableau que \(g(x)>0\) pour tout \(x\) appartenant à ]0,+∞[
II-\(f\) est une la fonction numerique definie sur ] 0,+∞[ par:
\(f(x)=3-3 x+2(x+1) \ln x\)
Soit \((C)\) la courbe representative de \(f\) dans un repère orthonorme \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
( unite: \(2 cm\) )
1) Montrer que: \(\lim _{x➝0 \atop x>0} f(x)=-∞\)
et interpretter géometriquement ce résultat
2)a- Montrer que lim \(\lim _{x➝+∞} f(x)=+∞\)
( pour le calcul de la limite on pourra utiliser l’écriture suivante
\(f(x)=x[\frac{3}{x}-3+2(1+\frac{1}{x}) \ln x]\) )
b-Montrer que:
la courbe ( \(C\) ) admet, au voisinage de \(+∞\), une branche parabolique dont la direction est celle de l’axe des ordonnées.
3) a-Montrer que:
\(f'(x)=g(x)\) pour tout \(x\) appartenant a ]0,+∞[
b- En déduire que:
\(f\) est strictement croissante sur ] 0,+∞[ et dresser le tableau de variations de \(f\) sur ]0,+∞[
4)a- Montrer que \(I(1,0)\) est un point d’inflexion de la courbe \((C)\)
b-Montrer que \(y=x-1\) est une équation cartesienne de la tangente \((T)\)
a la courbe \((C)\) au point \(I\)
c-Construire, dans le mème repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\), la droite \((T)\) et la courbe \((C)\)
5) a-Montrer que:
\(\int_{1}^{2}(1+\frac{x}{2}) d x=\frac{7}{4}\)
b. A raide d’une intégration par parties, montrer que:
\(\int_{1}^{2}(x+1) \ln x d x=4 \ln 2-\frac{7}{4}\)
c- Calculer, en \(cm ^{2}\), l’aire du domaine plan limité par la courbe \(( C )\),
l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=2\)
6) Resoudre graphiquement Vinéquation :
\(x∈] 0,+∞[;(x+1) \ln x \geq \frac{3}{2}(x-1).\)