– La durée de l’épreuve est de 4 heures.
– L’épreuve comporte 4 exercices indépendants.
– Les exercices peuvent être traités selon l’ordre choisi par le candidat.
– L’exercice 1 se rapporte aux structures algébriques ………………..(3.5 pts)
– L’exercice 2 se rapporte aux nombres complexes …………………….(3.5 pts)
– L’exercice 3 se rapporte au calcul des probabilités …………………..(3 pts)
– L’exercice 4 se rapporte à l’analyse …………………………………………..(10 pts)
L’usage de la calculatrice n’est pas autorisé
Exercice 1: (3.5 points)
On rappelle que ((M_{2}(IR),+,×)) est un anneau unitaire
de zéro la matrice nulle O: (O=left(begin{array}{cc} 0 & 0 \ 0 & 0 end{array}right))
d’unité la matrice I: (I=left(begin{array}{cc} 1 & 0 \ 0 & 1 end{array}right))
et que ((M_{2}(IR),+,×)) est un espace vectoriel réel de dimension 4.
pour tout couple (x,y) de IR², on pose:
(M(x,y)=left(begin{array}{cc} x & y \ 0 & x end{array}right))
On considère l’ensemble:
E={ M(x,y) / (x,y)∈IR² }
1- Montrer que:
(E) est un sous-groupe du groupe ((M_{2}(IR),+))
2- a) Montrer que:
(E) est un sous espace de l’espace vectoriel ((M_{2}(IR),+,×))
b) Montrer que l’espace vectoriel réel ((E,+, ×)) est de dimension 2.
3-a) Montrer que (E) est stable pour la loi « (×) ».
b) Montrer que ((E,+;×)) est un anneau commutatif.
4- On définit dans (M_{2}(IR)) la loi de composition interne (T) par:
pour tout ((x,y)∈IR²) ((x’,y’)∈IR²)
(M(x,y) T M(x’,y’)= M(x,y)×M(x’,y’)-M(y,0)×M(y’,0))
Et soit φ application de (mathbb{C}^{*}) « vers (M_{2}(IR))
qui à tout nombre complexe (x+i y) (où ((x, y)∈IR²-(0,0)) )
fait correspondre la matrice (M(x, y)) de (E)
a) Montrer que (E) est stable pour la loi « (T) »
b) Montrer que (φ) est un homomorphisme:
de ((mathbb{C}^{*},×)) vers ((E, T))
c) On pose: (E^{*} = E-{O}).
Montrer que ((E^{*}, T)) est un groupe commutatif.
5-a) Montrer que:
la loi (T) est distributive par rapport à la loi « (+) » dans (E)
b) Montrer que ((E,+, T)) est un corps commutatif.
Exercice 2: (3.5 points)
1- Pour tout nombre complexe z ≠i on pose:
(h(z)=i frac{z-2i}{z-i})
a) Vérifier que:
(h(z)=z ⇔ z^{2}-2i z-2=0)
b) Résoudre dans (E) l’équation (E): (z^{2}-2i z-2=0)
2- Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé
((O,vec{e_{1}},vec{e_{2}})).
On note (a) et (b) les deux solutions de 1’équation ((E))
tel que : Re (a)=1.
Et pour tout z de (mathbb{C}^{*})-{i, a, b} on note:
(M(z), M'(h(z)), A(a)) et (B(b)) les points
d’affixes respectivement (z, h(z), a) et (b)
a) Montrer que : (frac{h(z)-a}{h(z)-b}=-frac{z-a}{z-b})
b) En déduire que:
((vec{M’B}, vec{M’A})= π + (vec{MB}, vec{MA})[2π])
3-a) Montrer que:
si M,A et B sont alignés alors M, A, B,M’ sont alignés.
b) Montrer que:
si M,A et B ne sont pas alignés alors M, A, B et M’ sont
cocycliques.
Exercice 3: (3 points)
On lance 10 fois de suite une pièce de monnaie parfaitement équilibrée.
On désigne par (X) la variable aléatoire égale
à la fréquence d’apparition de la face «pile».
(le nombre de fois d’apparition de la face «pile» divisé par 10).
1-a) Déterminer les valeurs prise par (X)
b) Déterminer la probabilité de l’événement ([X=frac{1}{2}])
2- Quelle est la probabilité de l’événement:
(X) supérieur ou égale à (frac{9}{10}) ?
Exercice 4: (10 points)
Soit (f) la fonction numérique définie sur l’intervalle [0,+∞[ par :
(f(x)=sqrt{x}(ln x)^{2}quad) pour x>0 et f(0)=0
On note ((C)) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ((O, i, j))
1-a) Montrer que (f) est continue à droite en 0
(On pourra remarquer que: (f(x)=4(x^{frac{1}{4}}ln x^{frac{1}{4}})^{2}))
2- a)Etudier la dérivabilité de (f) à droite en 0,
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu
b) Montrer que (f) est dérivable sur ] 0,+∞[
puis calculer f'(x) pour x>0.
c)Etudier les variations de (f) sur [0,+∞[,
en déduire que :
((forall x in] 0,1]) quad 0 leq sqrt{x}(ln x)^{2} leqleft(frac{4}{e}right)^{2})
d) Tracer la courbe ((C)) dans un repère orthonormé.
(On prendra pour unité 2 cm²)
3- Pour tout réel (x geq 0,) on pose (F(x)=int_{x}^{1} f(t) d t)
a) Montrer que:
la fonction (F) est dérivable sur l’intervalle [0,+∞[
b) Calculer (F'(x)) pour (x geq 0,)
en déduire le sens de variation de (F) sur [0,+∞[
4- a) En utilisant la méthode d’intégration par parties,
calculer (int_{x}^{1} sqrt{t} lnt . dt) pour tout (x>0)
b) Montrer que pour (x>0, F(x)=-frac{2}{3} x sqrt{x}(ln x)^{2}+frac{8}{9} x sqrt{x} ln x-frac{16}{27} x sqrt{x}+frac{16}{27})
c) En déduire l’aire du domaine plan limité par la courbe ((C))
et les droites d’équations respectives: (x=0, x=1) et (y=0)
5- Pour tout entier naturel (n) non nul, on pose:
(u_{n}=int_{frac{1}{n}}^{1} f(x) dx)
a) Montrer que:
la suite ((u_{n})_{n geq 1}) est bornée et strictement monotone.
b) Montrer que la suite ((u_{n})_{n geq 1}) est convergente
puis calculer (lim_{n➝+∞}u_{n})
Correction Examen National Math 2 Bac Science Math 2018 Rattrapage :
