Exercice 1:
En utilisant la formule d’intégration par parties,
calculer les intégrales suivantes:
\(A=\int_{\frac{1}{2}}^{1} \frac{x}{\sqrt{1+2 x}} dx\)
\(B=\int_{1}^{e} x \ln x dx\)
\(C=\int_{0}^{1}(x+3) e^{-x} dx\)
\(D=\int_{0}^{\frac{1}{3}}(4 x-1) e^{3 x} dx\)
\(E=\int_{0}^{\frac{π}{4}} x \cos ^{2}(2 x) dx\)
\(F=\int_{0}^{\sqrt{3}} x^{3} \sqrt{x^{2}+1} dx\)
\(G=\int_{-1}^{4} \frac{x+2}{\sqrt{x+5}} dx\)
\(H=\int_{0}^{\frac{π}{2}} x \sin x \cos x dx\)
Exercice 2:
En utilisant la formule d’intégration par parties,
calculer les intégrales suivantes :
\(I=\int_{0}^{\frac{π}{2}}(2 x^{2}-x) cosx dx\)
\(J=\int_{0}^{π}(3 x+4) \cos ^{2} x dx\)
\(K=\int_{1}^{2} x^{2} \sin (\ln x) dx\)
\(L=\int_{1}^{e} \ln ^{2} x dx\)
Exercice 3:
En utilisant la formule d’intégration par parties,
calculer les intégrales suivantes:
\(I_{1}=\int_{0}^{\frac{x}{3}} \frac{x}{\cos ^{2} x} dx\)
\(I_{2}=\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{3}} \frac{x \sin x}{\cos ^{3} x} dx\)
\(I_{3}=\int_{0}^{\frac{x}{2}} e^{x} \sin x dx\)
\(I_{4}=\int_{0}^{1} \operatorname{Arctan} x dx\)
\(I_{5}=\int_{1}^{4} e^{\sqrt{x}} dx\)
\(I_{6}=\int_{1}^{e} \frac{x \ln x}{(1+x^{2})^{2}} dx\)
Exercice 4:
Soit \((u_{n})_{n∈IN}\) la suite définie par:
\(u_{n}=\int_{\frac{1}{2}}^{1} x^{n} \ln (x) dx\)
1) En utilisant une intégration par parties,
calculer pour tout r∈Q-{-1} et pour tout \(a∈IR_{+}^{*}\)
l’ intégrale :
\(I_{r}(a)=\int_{1}^{a} x^{r} \ln(x) dx\)
2) Étudier la limite de la suite \((u_{n})_{n∈IN*}\)
Exercice 5:
On considère la fonction numérique définie sur IR par:
\(f(x)=\frac{x e^{x}}{e^{x}+1}\)
1) Montrer que pour tout x∈IR:
\(f'(x)=\frac{e^{x}(e^{x}+x+1)}{(e^{x}+1)^{2}}\)
2) en utilisant la formule d’intégration parties, calculer l’intégrale:
\(I=\int_{1}^{2} \frac{e^{x}(e^{x}+x+1)}{(e^{x}+1)^{2}} \ln (x) dx\)
Exercice 6:
1)- En utilisant deux fois la formule d’intégration par parties,
montrer que :
\(\int_{0}^{\frac{π}{8}} e^{-2 t} \cos (2 t) dt=\frac{1}{4}\)
2)- On considère les intégrales \(E\) et \(F\) telles que :
\(E=\int_{0}^{\frac{π}{8}} e^{-2 t} \cos ^{2}(t) dt\)
\(F=\int_{0}^{\frac{π}{8}} e^{-2 t} \sin ^{2}(t) dt\)
Calculer \(E+F\) et \(E-F\)
puis en déduire les valeurs des intégrales \(E\) et \(F\)
Exercice 7:
On pose pour tout n∈IN:
\(I_{n}=\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x} dx\)
1) Calculer \(I_{0}\).
2) a) En utilisant une intégration par parties,
montrer que:
∀ n∈IN, \((2 n+5) I_{n+1}=(2 n+2) I_{n}\)
b) En déduire les valeurs de \(I_{1}\) et \(I_{2}\).
Exercice 8:
1) Vérifier que ∀ t∈\(IR_{+}^{*}\):
\(\frac{1}{(t+1)^{2}}=1-\frac{t}{t+1}-\frac{t}{(t+1)^{2}}\)
2) Calculer l’intégrale :
\(I=\int_{0}^{1} \frac{dx}{(e^{x}+1)^{2}}\)
3) En utilisant une intégration par parties, calculer
l’intégrale suivante:
\(J=\int_{0}^{1} \frac{x e^{x}}{(e^{x}+1)^{3}} dx\)
Exercice 9:
En utilisant une intégration par parties,
déterminer le réel \(a\) tel que :
\(\int_{0}^{1}(x+a) e^{x} dx=e\)
Exercice 10:
En utilisant la formule d’intégration par parties,
calculer les intégrales suivantes:
\(I=\int_{0}^{\ln a}(1+e^{x}) \ln (x+e^{x}) dx \quad\) (où \(a∈] 1;+∞[)\)
\(J=\int_{\ln \frac{π}{4}}^{\ln \frac{π}{2}} e^{2 x} \sin (e^{x}) dx\)
\(K=\int_{0}^{\sqrt{3}} \frac{x^{3}}{\sqrt{1+x^{2}}} dx\)
\(L=\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos x \cdot \ln (1+\cos x) dx\)
\(M=\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}} e^{\frac{1}{x}} dx\)
\(N=\int_{0}^{2 x} \frac{\ln (1+x)}{\sqrt{1+x}} dx\)
\(P=\int_{0}^{π} e^{-2 x} \sin ^{2} x dx\)
Exercice 11:
On pose∀x∈] 0;1[:
\(I(x)=\int_{x}^{1} tArctan(\frac{1}{t}) dt\)
1) En utilisant la formule d’intégration par parties,
exprimer \(I(x)\) en fonction de \(x\).
2) Calculer \(\lim _{x➝0^{+}} I(x)\).