Exercice 1:
Calculer les intégrales suivantes
\(A_{1}=\int_{-2}^{3} t(t^{2}+2)^{7} dt\)
\(A_{2}=\int_{1}^{4}(\sqrt{t}-\frac{1}{\sqrt{t}})^{2} dt\)
\(A_{3}=\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{2 x+1}}\)
\(A_{4}=\int_{1}^{0} \frac{dx}{(2 x+1)^{2018}}\)
\(A_{5}=\int_{0}^{1} x^{20} \sqrt{x} dx\)
\(A_{6}=\int_{0}^{2}(x+2) \sqrt{x^{2}+4 x} dx\)
\(A_{7}=\int_{7}^{0} \frac{dx}{\sqrt[3]{1+x}}\)
\(A_{8}=\int_{0}^{1} \frac{x}{1+x^{4}} dx\)
Exercice 2:
Calculer les intégrales suivantes :
\(B_{1}=\int_{1}^{2} x \sqrt{x-1} dx\)
\(B_{2}=\int_{2}^{5} \frac{t}{\sqrt{t-1}} dt\)
\(B_{3}=\int_{0}^{3} \frac{x}{(x-1) \sqrt{x+1}} dx\)
\(B_{4}=\int_{4}^{9} \frac{dx}{x+\sqrt{x}}\)
\(B_{5}=\int_{1}^{4} \frac{dx}{\sqrt{x}(x+1)}\)
\(B_{6}=\int_{2}^{3} \frac{2 x}{(x-1)(x+2)} dx\)
Exercice 3:
Calculer les intégrales suivantes:
\(C_{1}=\int_{0}^{π}(\cos \frac{x}{2}-\sin 3x) dx\)
\(C_{2}=\int_{0}^{\frac{π}{4}} \sin ^{3}(2x) dx\)
\(C_{3}=\int_{0}^{x} \sin ^{3} x \cos x dx\)
\(C_{4}=\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\cos x}{2+\sin x} dx\)
\(C_{5}=\int_{\frac{π}{3}}^{\frac{π}{4}} \cos (2x) \sin (3 x) dx \)
\(C_{6}=\int_{0}^{\frac{π}{8}} \tan (2 x) dx\)
\(C_{7}=\int_{0}^{\frac{π}{4}}(\tan ^{3} x+\tan x) dx \)
\(C_{8}=\int_{\frac{x^{2}}{4}}^{x^{2}} \frac{\cos \sqrt{x}}{\sqrt{x}} dx\)
\(C_{9}=\int_{0}^{\frac{x}{4}} \tan ^{3} x dx \)
\(C_{9}=\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{\cos (2 x)}{(2+\sin 2 x)^{4}} dx\)
Exercice 4:
Calculer les intégrales suivantes
\(D_{1}=\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} e^{\frac{1}{x}} dx \)
\(D_{2}=\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin (2 x) e^{\cos ^{2} x} dx\)
\(D_{3}=\int_{e}^{c^{2}} \frac{\ln t}{t} dt \)
\(D_{4}=\int_{0}^{1}(2^{x}+3^{x}) dx\)
\(D_{5}=\int_{1}^{1}(x+\frac{1}{x}(1+\ln x)) dx \)
\(D_{6}=\int_{e^{3}}^{e^{4}} \frac{dt}{t \ln t}\)
\(D_{7}=\int_{1}^{e^{2}} \frac{\cos (\ln x)}{x} dx \)
\(D_{8}=\int_{0}^{e^{4}} \frac{\ln (1+\sqrt{x})}{x+\sqrt{x}} dx\)
\(D_{9}=\int_{e^{-1}}^{e^{-2}} \frac{dt}{t \ln ^{2} t}\)
\(D_{10}=\int_{\ln 2}^{\ln 3} \frac{(e^{x}+1)(e^{x}+2)}{e^{x}} dx\)
Exercice 5:
Calculer les intégrales suivantes:
\(I_{1}=\int_{0}^{\ln 3} \frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}} dx\)
\(I_{2}=\int_{2}^{3}(2-x) e^{x^{2}-4 x} dx\)
\(I_{3}=\int_{1}^{e} \frac{dx}{x(1+\ln x)}\)
\(I_{4}=\int_{0}^{\frac{π}{3}} \frac{dx}{(3 \tan x+2) \cos ^{2} x}\)
\(I_{5}=\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{\tan x}{\ln (\cos x)} dx\)
\(I_{6}=\int_{\frac{π}{6}}^{\frac{π}{3}} \frac{\tan x}{\ln ^{3}(\cos x)} dx \)
\(I_{7}=\int_{t}^{3}(e^{x} \ln x+\frac{e^{x}}{x}) dx\)
\(I_{8}=\int_{0}^{1} \frac{Arctan(x)^{2}}{x^{2}+1} dx \)
\(I_{9}=\int_{0}^{π} e^{x}(\sin x+\cos x) dx\)
\(I_{10}=\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{e^{\tan x}}{\cos ^{2} x} dx\)
Exercice 6:
On considère l’intégrale:
\(I=\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{dx}{1+\sin (2 x)}\)
1) Montrer que pour tout \(x∊[0;\frac{π}{4}]\):
\(\frac{1}{1+\sin (2x)}=\frac{1+\tan ^{2} x}{(1+\tan x)^{2}}\)
2) En déduire la valeur de l’intégrale \(I\).
Exercice 7:
On considère les intégrales:
\(I=\int_{0}^{\frac{x}{2}} \frac{\cos x}{\cos x+\sin x} dx \)
\(J=\int_{0}^{\frac{π}{2}} \frac{\sin x}{\cos x+\sin x} dx \)
Calculer \(I+J\) et \(I-J\) puis en déduire \(I\) et \(J\)
Exercice 8:
On considère les intégrales :
\(I=\int_{0}^{\frac{π}{2}} \cos ^{4} dx \)
\(J=\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin ^{4} x dx \)
\(K=\int_{0}^{\frac{π}{2}} 2 \sin ^{2}(x) \cos ^{2}(x) dx \)
1) Calculer: \(I-J\) et \(I+J+K\)
2) a)- Calculer 2 sin²(x)×cos²(x)
en fonction de sin²(2x) et cos(4x)
b) – Calculer \(K\) puis en déduire les valeurs de \(I\) et \(J\).
Relation de Chasles
Exercice 9:
Soit \(f\) la fonction numérique sur \(\mathbb{R}\) par:
\(\left\{\begin{array}{l} f(x)=-\frac{1}{4} x+6 \text { si } x<3 \\ f(x)=x+\frac{9}{4} \text { si } x \geq 3 \end{array}\right.\)
Vérifier que \(f\) est continue en 3
puis calculer \(\int_{1}^{5} f(x)\)
Exercice 10:
Calculer les intégrales suivantes:
\(A=\int_{-1}^{3} 3 x^{2}-6 x| dx \)
\(B=\int_{2}^{5}| x^{2}-7 x+12 \mid dx \)
\(I=\int_{\frac{1}{a}}^{a}|\ln x| dx \)
\(J=\int_{0}^{2 x}(|sin x|+|\cos x|) dx \)
\(K=\int_{-1}^{1}|e^{x}-1| dx \)
\(L=\int_{0}^{π} \sin x|\cos x| dx \)
\(M=\int_{-1}^{4} \frac{|x-1|+|x-2|}{|x^{2}-9|+x^{2}+16} dx \)
\(N=\int_{-1}^{2}(|x|+|x^{2}-1|) dx \)
Exercice 11:
Soit f la fonction définie par:
\(f(x)=\frac{1}{(x^{2}+3 x+2)^{3}}\)
1) Déterminer les réels a, b, c, d, α et β tels que
pour tout x∈[2;3]
\(f(x)=\frac{a}{(x+1)^{3}}+\frac{b}{(x+2)^{3}}+\frac{c}{(x+1)^{2}}\)
\(+\frac{d}{(x+2)^{2}}+\frac{α}{x+1}+\frac{\beta}{x+2}\)
2) On considère la suite numérique \((u_{n})\) définie par :
\(u_{n}=\int_{0}^{n} f(x) dx\)
Calculer \(u_{n}\) en fonction de \(n\)
puis montrer que :
\(\lim _{n➝+∞} u_{n}=\ln (64)-\frac{33}{8}\)