Exercice 1: (3.5 points)
Soit (α) un nombre complexe non nul.
I-
On considère dans l’ensemble des nombres complexes (C) l’équation d’inconnue (z) :
((E_{α}): z^{2}-i α sqrt{3} z-α^{2}=0)
1-a- Vérifier que le discriminant de ((E_{α})) est (Δ=α^{2})
b- Résoudre dans (mathbb{C}) l’équation ((E_{α}))
2- Sachant que (α=|α| e^{i lambda} (lambda ∈IR),)
mettre les deux racines de l’équation ((E_{α})) sous la forme exponentielle.
II-
On suppose que le plan complexe est rapporté
à un repère orthonormé direct ((O ; vec{u}, vec{v})).
On considère les points (Ω, M_{1}) et (M_{2}) d’affixes respectivement:
(α, z_{1}=frac{1+i sqrt{3}}{2} α) et (z_{2}=frac{-1+i sqrt{3}}{2} α)
et soit (R) la rotation de centre (O) et d’angle (frac{pi}{3})
1-a-Montrer que (R(Ω)=M_{1}) et que (R(M_{1})=M_{2})
b- En déduire que les deux triangles (O Ω M_{1}) et (O M_{1} M_{2}) sont équilatéraux.
2 -a- Vérifier que: (z_{1}-z_{2}=α)
b- Montrer que Les deux droites ((Ω M_{2})) et ((O M_{1})) sont orthogonales.
c- En déduire que (O Ω M_{1} M_{2}) est un losange.
3- Montrer que pour tout réel (Ө,) le nombre :
(Z=frac{z_{2}-α}{z_{1}-α} div frac{z_{2}-|α| e^{i Ө}}{z_{1}-|α| e^{i Ө}}) est un réel.
Exercice 2: (3 points)
Une urne contient (n) boules numérotées de 1 à (n(n ∈IN^{*}, n geq 3)).
On retire, sans remise, l’une après l’autre toutes les boules de cette urne.
Toutes les boules sont indiscernables au toucher.
1- Quelle est la probabilité pour que les boules 1,2 et 3 sortent consécutivement et dans cet ordre ?
2- Calculer la probabilité que les boules 1,2 et 3 sortent dans cet ordre (consécutivement ou pas)?
3- On considère la variable aléatoire (X_{n}) égale au nombre de tirages nécessaire pour obtenir les boules 1,2 et 3.
Déterminer la loi de probabilité de (X_{n})
Exercice 3: (3.5 points )
On considère l’ espace vectoriel de dimension 2 noté ((V_{2},+, .)).
Soit ((vec{i}, vec{j})) une base de (V_{2} .)
On pose: ( vec{e}_{1}=frac{1}{2} vec{i}+frac{1}{2} vec{j})
et (vec{e_{2}}=frac{1}{2} vec{i}-frac{1}{2} vec{j})
Soit (*) la loi de composition interne définie par:
(forall(x, y, x’, y’) ∈IR^{4})
((x vec{i}+y vec{j}) *(x’ vec{i}+y’ vec{j})=(x x’+y y’) vec{i}+(x y’+y x’) vec{j})
1-
a- Montrer que:
((vec{e_{1}}, vec{e_{2}})) est une base de (V_{2})
b-Vérifier que:
(vec{e_{1}} * vec{e_{1}}=vec{e_{1}} );
(vec{e_{2}} * vec{e_{2}}=vec{e_{2}});
(vec{e_{1}} * vec{e_{2}}=vec{e_{2}} * vec{e_{1}}=vec{0})
c- Montrer que:
(forall(X, X’, Y, Y’) ∈IR^{4})
((X vec{e_{1}}+Y vec{e_{2}}) *(X’ vec{e_{1}}+Y’ vec{e_{2}})=X X’ vec{e_{1}}+Y Y’ vec{e_{2}})
2-
a- Montrer que la loi (*) est commutative.
b- Montrer que la loi (*) est associative.
c- Montrer que la loi (*) admet un élément neutre.
d- Montrer que ((V_{2},+, *)) est un anneau commutatif unitaire.
3-
Soit (vec{u} ∈ V_{2}-{vec{0}}.)
On note: ( E_{vec{u}}={lambda vec{u} / lambda ∈IR})
a- Montrer que:
((E_{vec{u}},+)) est un sous-groupe du groupe ((V_{2},+))
b- Montrer que:
((E_{vec{u}},+, .)) est un sous-espace vectoriel de l’espace ((V_{2},+, .))
c- Montrer que:
(E_{vec{u}}) stable pour * la famille ((vec{u} * vec{u}, vec{u})) est liée
4-
On suppose que ∃ α ∈IR^{*}):
(vec{u} * vec{u}=α vec{u})
On considère l’application φ:
IR* ➝ (E_{vec{u}})
x➝ (frac{x}{α}vec{u})
a- Montrer que:
(varphi) est un isomorphisme de (IR*, x) vers ((E_{vec{u}}, *))
b- En déduire que:
((E_{vec{u}},+, *)) est un corps commutatif.
Exercice 4: (10 points)
PARTIE I:
On considère la fonction (g) définie sur I=]-1,+∞[ par :
(g(x)=1+x^{2}-2 x(1+x) ln (1+x))
1- a- Montrer que:
(lim _{x ➝ -1^{+}} g(x)=2)
b- Montrer que:
(lim _{x ➝ +∞} g(x)=-∞)
2- Montrer que:
(g) est dérivable sur (I) et que ((∀x ∈ I) g'(x)=-2(1+2 x) ln (1+x))
3- On donne le tableau de variations de (g):
a-Montrer qu’il existe un réel strictement positif (α) unique
tel que : g(α)=0.
b- Vérifier que:
(α<1) (On prendra : (ln 2=0.7) )
c- En déduire que:
∀x ∈]-1, α[ 0<g(x) et que ∀x ∈] α,+∞[ g(x)<0
Partie II:
On considère la fonction (f) définie sur I=]-1,+∞[ par:
(f(x)=frac{ln (1+x)}{1+x^{2}})
Soit ((C)) sa courbe représentative dans un repère orthonormé ((O, vec{i}, vec{j})).
1-a- Calculer:
(lim _{x➝-1^{+}} f(x))
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
b- Calculer (lim _{x➝+∞} f(x))
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2- a- Montrer que:
(f) est dérivable sur I)
et que ∀x ∈ I (f'(x)=frac{g(x)}{(1+x)(1+x^{2})^{2}})
b- Donner le sens de variation de (f) sur (I)
c- Vérifier que:
(f(α)=frac{1}{2 α(1+α)})
et que : (quad(∀x ∈ I) f(x)≤ frac{1}{2 α(1+α)})
3-a- Donner l’équation de la tangente ((T)) à ((C)) au point d’abscisse 0
b- Montrer que: ∀x>0 ln (1+x)<x
c- En déduire que: ∀x>0) f(x)<x
d- Représenter graphiquement ((T)) et ((C))
On prendra (: α=0.8) et (|vec{i}|=|vec{j}|=2 c m))
Partie III :
On pose (J=int_{0}^{1} f(x) d x)
1-a – En utilisant le changement de variable(t=frac{1-x}{1+x}):
montrer que: (J=frac{pi}{8}ln 2)
b- Déterminer en cm², l’aire du domaine plan limité par
la courbe ((C),) la tangente ((T))
la droite d’équation (x=0) et la droite d’équation (x=1)
2- En utilisant la méthode d’intégration par parties,
calculer:
(K=int_{0}^{1} frac{arctan (x)}{1+x} d x)
Correction Examen National Math 2 Bac Science Math 2019 Rattrapage :
Examen National Mathématiques Sciences Maths 2019 Rattrapage – Corrigé –
Exercice 1:
I- 1-a-(left(E_{alpha}right): z^{2}-i alpha sqrt{3} z-alpha^{2}=0)
(Delta=(-i alpha sqrt{3})^{2}-4left(-alpha^{2}right))
(quad=-3 alpha^{2}+4 alpha^{2})
(quad=alpha^{2})
(Delta=alpha^{2})
⇒(z=frac{i alpha sqrt{3} pm sqrt{alpha^{2}}}{2})
Donc:
(z_{1}=(frac{1+i sqrt{3}}{2})alpha)
(z_{2} =(frac{-1+i sqrt{3}}{2})alpha )
(=left(cos left(frac{2 pi}{3}right)+i sin left(frac{2 pi}{3}right)right)|alpha| e^{i lambda quad ; quad lambda in mathbb{R}}) (=e^{frac{i 2 pi}{3}}|alpha| e^{i lambda} quad ; lambda in mathbb{R}) (=|alpha| e^{ileft(lambda+frac{2 pi}{3}right)} ; lambda in mathbb{R})
(begin{aligned} z_{1} &=left(frac{1}{2}+i frac{sqrt{3}}{2}right) alpha \ &=left(cos left(frac{pi}{3}right)+i sin left(frac{pi}{3}right)right)|alpha| e^{i lambda} quad ; quad lambda in mathbb{R} \ &=e^{frac{i pi}{3}}|alpha| e^{i lambda} quad ; quad lambda in mathbb{R} \ &=|alpha| e^{ileft(lambda+frac{pi}{3}right)} ; lambda in mathbb{R} end{aligned})
(Omega(alpha) ; M_{1}left(frac{1+i sqrt{3}}{2} alpharight) quad ; quad M_{2}left(frac{-1+i sqrt{3}}{2} alpharight))et la rotation définie ainsi :
(begin{aligned} mathcal{R}left(0, frac{pi}{3}right) &: &(mathcal{P}) & longmapsto(mathcal{P}) \ & & mathrm{M}(mathrm{z}) & mapsto mathrm{M}^{prime}left(mathrm{z}^{prime}right) end{aligned})
soit
(begin{aligned} M=& mathcal{R}(Omega) quad Leftrightarrow quadleft(mathrm{z}_{mathrm{M}}-mathrm{z}_{0}right)=mathrm{e}^{frac{1 pi}{3}}left(mathrm{z}_{Omega}-mathrm{z}_{0}right) \ & Leftrightarrowleft(mathrm{z}_{mathrm{M}}-0right)=mathrm{e}^{frac{mathrm{i} pi}{3}}(alpha-0) \ & Leftrightarrow mathrm{z}_{mathrm{M}}=mathrm{e}^{frac{mathrm{i} pi}{3}} alpha=|alpha| e^{ileft(lambda+frac{pi}{3}right)} ; lambda in mathbb{R} \ & Leftrightarrow mathrm{z}_{mathrm{M}}=mathrm{z}_{1} \ & Leftrightarrow quad mathrm{M}_{1}=mathcal{R}(Omega) end{aligned})
soit
(begin{aligned} mathrm{M}^{prime} &=mathcal{R}left(mathrm{M}_{1}right) quad Leftrightarrow quadleft(mathrm{z}_{mathrm{M}^{prime}}-mathrm{z}_{0}right)=mathrm{e}^{frac{1 pi}{3}}left(mathrm{z}_{mathrm{M}_{1}}-mathrm{z}_{0}right) \ & Leftrightarrow mathrm{z}_{mathrm{M}^{prime}}=mathrm{e}^{frac{mathrm{i} pi}{3}} mathrm{z}_{1}=mathrm{e}^{frac{mathrm{i} pi}{3}}|alpha| e^{ileft(lambda+frac{pi}{3}right)} ; lambda in mathbb{R} \ & Leftrightarrow quad mathrm{z}_{mathrm{M}^{prime}}=|alpha| e^{ileft(lambda+frac{2 pi}{3}right)} ; lambda in mathbb{R} \ & Leftrightarrow quad mathrm{z}_{mathrm{M}^{prime}}=z_{2} \ & Leftrightarrow quad mathrm{M}_{2}=mathcal{R}left(M_{1}right) end{aligned}) II-1-b
(begin{aligned} mathcal{R}(Omega)=mathrm{M}_{1} & Rightarrowleft{begin{array}{l}text { et bien }left(overline{overrightarrow{O Omega} ; overrightarrow{O M_{1}}}right) equiv frac{pi}{3}[2 pi] \ text { et bien } 0 Omega=0 mathrm{M}_{1}end{array}right.\ & Rightarrowleft{begin{array}{l}text { et bien } Omega widehat{O} M_{1}=60^{circ} \ text { et bien } 0 Omega=0 M_{1}end{array}right.\ & Rightarrow mid begin{array}{l}text { Le triangle } Omega O M_{1} text { est isocèle en } 0 \ text { Avec } Omega widehat{O} M_{1}=60^{circ}end{array} \ & Rightarrow quad mathrm{M}_{1} widehat{Omega} O=0 widehat{M}_{1} Omega=60^{circ} \ & Rightarrow quad O Omega M_{1} text { est équilatéral } end{aligned})
(begin{aligned} mathcal{R}left(mathrm{M}_{1}right)=mathrm{M}_{2} & Rightarrowleft{begin{array}{l}text { et bien }left(overline{overrightarrow{mathrm{OM}}_{1} ; overrightarrow{mathrm{OM}_{2}}}right) & equiv frac{pi}{3}[2 pi] \ text { et bien } mathrm{OM}_{1}=mathrm{OM}_{2}end{array}right.\ & Rightarrowleft{begin{array}{l}text { et bien } mathrm{M}_{1} widehat{mathrm{O}} mathrm{M}_{2}=60^{circ} \ text { et bien } mathrm{OM}_{1}=mathrm{OM}_{2}end{array}right.\ & Rightarrow mid begin{array}{l}text { Le triangle } Omega mathrm{M}_{1} mathrm{M}_{2} text { est isocèle en } 0 \ text { Avec } mathrm{M}_{1} widehat{mathrm{O}} mathrm{M}_{2}=60^{circ}end{array} \ & Rightarrow mathrm{O} widehat{mathrm{M}}_{1} mathrm{M}_{2}=0 widehat{mathrm{M}}_{2} mathrm{M}_{1}=60^{circ} \ & Rightarrow mathrm{OM}_{1} mathrm{M}_{2} text { est équilatéral } end{aligned})
(underline{text { Rappel }}: e^{i x}-e^{i y}=2 i sin left(frac{x-y}{2}right) e^{ileft(frac{x+y}{2}right)})
(begin{aligned} z_{1}-z_{2} &=|alpha| e^{ileft(lambda+frac{pi}{3}right)}-|alpha| e^{ileft(lambda+frac{2 pi}{3}right)} \ &=|alpha| e^{i lambda}left(e^{frac{i pi}{3}}-e^{frac{i 2 pi}{3}}right) \ &=|alpha| e^{i lambda}left(2 i sin left(frac{frac{pi}{3}-frac{2 pi}{3}}{2}right) e^{ileft(frac{frac{pi}{3}+frac{2 pi}{3}}{2}right)}right) \ &=|alpha| e^{i lambda}left(2 i sin left(frac{-pi}{6}right) e^{frac{i pi}{2}}right) \ &=|alpha| cdot e^{i lambda} cdot underbrace{(2 i) cdotleft(frac{-1}{2}right) cdot(i)}_{1} \ &=|alpha| cdot e^{i lambda} \ &=alpha end{aligned})
(underline{underline{text { Rappel }}}:(A B) perp(C D) Leftrightarrowleft(frac{Z_{D}-Z_{C}}{Z_{B}-z_{A}}right) in i mathbb{R})
(begin{aligned} frac{z_{M_{2}}-z_{Omega}}{z_{M_{1}}-z_{0}} &=frac{z_{2}-alpha}{Z_{1}}=frac{z_{2}}{Z_{1}}-frac{alpha}{z_{1}} \ &=frac{|alpha| e^{ileft(lambda+frac{2 pi}{3}right)}}{|alpha| e^{ileft(lambda+frac{pi}{3}right)}}-frac{|alpha| e^{i lambda}}{left.|alpha| e^{ileft(lambda+frac{pi}{3}right.}right)} \ &=e^{frac{i pi}{3}}-e^{frac{-i pi}{3}} \ &=2 i cdot sin left(frac{pi}{3}right) \ &=2 i cdot frac{sqrt{3}}{2} \ &=i sqrt{3} in i mathbb{R} end{aligned})
D’où : (quadleft(Omega M_{2}right) perpleft(O M_{1}right))
C-à-d qu’on pourrait montrer que le quadrilatère est un losange en montrant qu’il est d’abord un parallélogramme, Mais avec des diagonales qui soient perpendiculaires.
La deuxième méthode que je présume être recommandée est d’adopter un raisonnement basé sur la définition d’un losange. À savoir, un losange est un quadrilatère dont tous les côtés ont la même longueur.
(left{begin{array}{l}O Omega M_{1} text { équilatéral } \ O mathrm{M}_{1} M_{2} text { équilatéral }end{array} Leftrightarrowleft{begin{array}{l}O Omega=O M_{1}=Omega M_{1} \ O M_{1}=O M_{2}=M_{1} M_{2}end{array}right.right.)
(Rightarrow quad O Omega=O M_{1}=M_{1} M_{2}=O M_{2}) (Rightarrow quad O Omega M_{1} M_{2}) est un losange II-3 Soient (theta in mathbb{R}) et ((C)=mathcal{C}(O,|alpha|)) Soit (Mleft(|alpha| e^{i theta}right) in(mathcal{P}))
(left{begin{array}{l}O Omega M_{1} text { équilatéral } \ O mathrm{M}_{1} M_{2} text { équilatéral }end{array} Rightarrowleft{begin{array}{l}O Omega=O M_{1}=|alpha| \ O M_{1}=O M_{2}=|alpha|end{array}right.right.)
(Rightarrow O Omega=O M_{1}=O M_{2}=|alpha|)
(Rightarrow quadleft{Omega ; M_{1} ; M_{2}right} in(C))
(Rightarrowleft{Omega ; M_{1} ; M_{2} ; Mright} epsilon(C) ; operatorname{car}left|z_{M}right|=|alpha|) (Rightarrow quadleft{Omega ; M_{1} ; M_{2} ; Mright}) sont cocycliques(Rightarrow quadleft(frac{z_{M_{2}}-z_{Omega}}{z_{M_{1}}-z_{Omega}}right) timesleft(frac{z_{M_{1}}-z_{M}}{z_{M_{2}}-z_{M}}right) in mathbb{R})
(Rightarrow quadleft(frac{z_{M_{2}}-z_{Omega}}{z_{M_{1}}-z_{Omega}}right) divleft(frac{z_{M_{2}}-z_{M}}{Z_{M_{1}}-z_{M}}right) in mathbb{R})
(Rightarrow quadleft(frac{z_{2}-alpha}{z_{1}-alpha}right) divleft(frac{z_{2}-|alpha| e^{i theta}}{z_{1}-|alpha| e^{i theta}}right) in mathbb{R})
Exercice 2:
1D’abord, je signale que, dans cette expérience aléatoire, l’hypothèse d’équiprobabilité est bien évidemment vérifiée car les boules sont identiques et indiscernables au toucher.
Quand on tire n boules, l’une après l’autre, d’une urne contenant n boules au total, alors le nombre de résultats possibles correspond exactement au nombre de combinaisons de n éléments.
Autrement-dit : ???? Ω =? !
Avec Ω est l’ensemble de toutes les éventualités possibles.
On pose:
A: “les boules 1,2 et 3 sortent consécutivement et dans cet ordre”
On a ?−2 éventualités possibles pour qu’on ait la première boule étant la boule numéro 1.
On a une éventualité possible pour qu’on ait la deuxième boule étant la boule numéro 2 qui suit la boule N° 1.
On a une éventualité possible pour qu’on ait la troisième boule étant la boule numéro 3 qui va suivre la boule numéro 2.
Donc le nombre d’éventualités possibles correspondant à l’obtention des boules 1,2 et 3
dans cet ordre consécutif est (?−2)×1×1
Ainsi :
p(A)= (frac{Card A}{Card Ω})
p(A)=(frac{n-2}{? !})
On s’intéresse maintenant à l’ordre de sortie qui est 1 2 3 , Mais peu importe la manière, consécutivement ou pas.
Cet ordre précis nous permet de déterminer le nombre total d’éventualités possibles pour ce cas, ce nombre est ({{C}_{n}^{3}}).
Je n’ai pas adopter les arrangements ({{A}_{n}^{3}}). parce que j’ai affaire à un seul ordre qui est 1 2 3.
C’est comme on a tiré trois boules parmi n autres.
Les arrangements ({{A}_{n}^{3}}) prend en considération tous les ordres possibles, à savoir :
B=”123, 132, 213, 231, 312, 321″.
p(B)=(frac{card B}{card Ω})
= (frac{{C}_{n}^{3}}{n !})
=(frac{1}{6(n-3) !})
=(frac{1}{6(?-3) !})
Soit (X_{n}) la variable aléatoire qui est égale au nombre de tirage nécessaires pour obtenir les boules 1 2 3.
On remarque que la valeur minimale de (X_{n}) est évidemment 3
c’est-à-dire qu’on peut obtenir les trois boules au cours des trois premiers tirages.
Et la valeur maximale est n.
c’est-à-dire qu’on pourrait avoir les boules 1 2 3 au cours des trois derniers tirages de notre expérience aléatoire.
Donc les valeurs possibles de (X_{n}) sont 3, 4, … , n.
ou encore : (X_{n})(Ω)= {3,4,………..,?}.La loi de probabilité de la variable aléatoire (X_{n}) est l’application ({P}_{X_{n}}) définie ainsi :
? ⟼ ({P}_{X_{n}}(k)=P[X_{n}=k])
On considère le schéma suivant qui renseigne sur la forme générale de chaque résultat de la variable aléatoire ?? défini dans l’énoncé.
Il y a 3 éventualités possibles valables pour l’emplacement numéro k. car cette place devrait recevoir ou bien la boule 1, la boule 2, ou bien la boule 3. Après avoir remplir l’emplacement numéro k, il nous reste deux boules parmi 1 2 3 pour les ?−1 emplacement sur la figure. Et la distribution de deux boules sur ?−1 emplacements, en prenant en considération l’ordre, s’effectue selon ({{A}_{2}^{k-1}}) différentes manières possibles. Après avoir servir les boules 1 2 3 , il nous reste à distribuer les ?−3 boules sur ?−3 places vides. Et pour se faire, il existe ?−3 ! façons possibles. Alors, d’après le principe multiplicatif, on dénombre facilement les cas possibles correspondant à la vérification de l’événement (X_{n}=k):
Ainsi:
(P_{X_{n}}(k) =P[X_{n}=k])
=(frac{card(X_{n}=k)}{card (Ω)})
=(frac{3(n-3) ! A_{k-1}^{2}}{n !})
=(frac{3(n-3) !}{n !} × frac{(k-1) !}{(k-3) !})
=(frac{3(n-3) ! cdot(k-1)(k-2((k-3) !}{n(n-1)(n-2)(n-3) ! (k-3) !})
=(frac{3(k-1)(k-2)}{n(n-1)(n-2)})
Finalement, la loi de probabilité de la variable aléatoire ?? est l’application ({P}_{X_{n}}) définie ainsi :
(begin{aligned} P_{X_{n}}:{3,4, ldots ldots ., n} & mapsto[0,1] \ k & mapsto P_{X_{n}}(k)=frac{3(k-1)(k-2)}{n(n-1)(n-2)} end{aligned})
Exercice 3:
1-a-(underline{text { Rappel }}:) dans un espace vectoriel de dimension finie, une famille ((vec{x}, vec{y})) est une base si et si et seulement si (operatorname{det}(vec{x}, vec{y}) neq 0)
(text { On } a: operatorname{det}left(overrightarrow{e_{1}} ;overrightarrow{e_{2}}right)=left|begin{array}{cc}1 / 2 & 1 / 2 \1 / 2 & -1 / 2
end{array}right|=frac{-1}{2} neq 0)
Donc (left(overrightarrow{e_{1}}, overrightarrow{e_{2}}right)) est une base de (v_{2}).
(vec{u}=left(begin{array}{l}x \yend{array}right))
au lieu de (vec{u}=x vec{i}+y vec{jmath}) juste pour simplifier les écritures et être à l’aise dans la rédaction. (text { Ainsi } quad: quadleft(begin{array}{l}x \yend{array}right) *left(begin{array}{l}x^{prime} \y^{prime}end{array}right)=left(begin{array}{c}x x^{prime}+y y^{prime} \x y^{prime}+y x^{prime}end{array}right))
(overrightarrow{e_{1}} * overrightarrow{e_{1}}=left(begin{array}{c}1 / 2 \ 1 / 2end{array}right) *left(begin{array}{c}1 / 2 \ 1 / 2end{array}right)=left(begin{array}{c}frac{1}{4}+frac{1}{4} \ frac{1}{4}+frac{1}{4}end{array}right)=left(begin{array}{c}1 / 2 \ 1 / 2end{array}right)=overrightarrow{e_{1}}) (overrightarrow{e_{2}} * overrightarrow{e_{2}}=left(begin{array}{c}1 / 2 \ -1 / 2end{array}right) *left(begin{array}{c}1 / 2 \ -1 / 2end{array}right)=left(begin{array}{c}frac{1}{4}+frac{1}{4} \ frac{-1}{4}+frac{-1}{4}end{array}right)=left(begin{array}{c}1 / 2 \ -1 / 2end{array}right)=overrightarrow{e_{2}}) (overrightarrow{e_{1}} * overrightarrow{e_{2}}=left(begin{array}{c}1 / 2 \ 1 / 2end{array}right) *left(begin{array}{c}1 / 2 \ -1 / 2end{array}right)=left(begin{array}{c}frac{1}{4}-frac{1}{4} \ frac{-1}{4}+frac{1}{4}end{array}right)=left(begin{array}{l}0 \ 0end{array}right)=overrightarrow{0}) (overrightarrow{e_{2}} * overrightarrow{e_{1}}=left(begin{array}{c}1 / 2 \ -1 / 2end{array}right) *left(begin{array}{c}1 / 2 \ 1 / 2end{array}right)=left(begin{array}{c}frac{1}{4}-frac{1}{4} \ frac{1}{4}-frac{1}{4}end{array}right)=left(begin{array}{l}0 \ 0end{array}right)=overrightarrow{0}) 1-c
Soient (left(X, Y, X^{prime}, Y^{prime}right)) un quadriletère dans ({R}^{4}).
((X overrightarrow{e_{1}}+Y overrightarrow{e_{2}}) *(X^{prime}overrightarrow{e_{1}}+Y^{prime} overrightarrow{e_{2}}))=
(=left(Xleft(begin{array}{c}1 / 2 \ 1 / 2end{array}right)+yleft(begin{array}{c}1 / 2 \ -1 / 2end{array}right)right) *left(X^{prime}left(begin{array}{c}1 / 2 \ 1 / 2end{array}right)+Y^{prime}left(begin{array}{c}1 / 2 \ -1 / 2end{array}right)right))
(=left(begin{array}{l}frac{X+Y}{2} \ frac{X-Y}{2}end{array}right) *left(begin{array}{l}frac{X^{prime}+Y^{prime}}{2} \ frac{X^{prime}- Y^{prime}}{2}end{array}right))
(=left(begin{array}{l}frac{(X+Y)left(X^{prime}+Y^{prime}right)+(X-Y)left(X^{prime}-Y^{prime}right)}{4} \ frac{(X+Y)left(X^{prime} Y^{prime}right)+(X-Y)left(X^{prime}+Y^{prime}right)}{4}end{array}right))
(=left(begin{array}{l}frac{X X^{prime}+Y Y^{prime}}{2} \ frac{X X^{prime}-Y Y^{prime}}{2}end{array}right))
(=XX^{prime}left(begin{array}{c}1 / 2 \ 1 / 2end{array}right)+Y Y^{prime}left(begin{array}{c}1 / 2 \ -1 / 2end{array}right))
(=X X^{prime} overrightarrow{e_{1}}+Y Y^{prime} overrightarrow{e_{2}})
et (left(begin{array}{l}x^{prime} \ y^{prime}end{array}right)) deux éléments de (v_{2}). (begin{aligned}left(begin{array}{l}x \yend{array}right) *left(begin{array}{l}x^{prime} \y^{prime}end{array}right) &=left(begin{array}{l}x x^{prime}+yy^{prime} \x y^{prime}+y x^{prime}end{array}right) \&=left(begin{array}{c}x^{prime} x+y^{prime} y \y^{prime} x+x^{prime} yend{array}right)=left(begin{array}{l}x^{prime} \y^{prime}end{array}right)*left(begin{array}{l}x \yend{array}right)end{aligned})
C’est trop facile car la commutativité de la loi dans (v_{2}) résulte de celle de la loi (+) dans (mathbb{R}). 2-b Soient (left(begin{array}{l}x \ yend{array}right),left(begin{array}{l}x^{prime} \ y^{prime}end{array}right)) et (left(begin{array}{l}x^{prime prime} \ y^{prime prime}end{array}right)) trois éléments de (v_{2}). Dans un premier temps, On a :
(left(left(begin{array}{l}x \ yend{array}right) *left(begin{array}{l}x^{prime} \ y^{prime}end{array}right)right) *left(begin{array}{l}x^{prime prime} \ y^{prime prime}end{array}right)=left(begin{array}{c}x x^{prime}+y y^{prime} \ x y^{prime}+y x^{prime}end{array}right) *left(begin{array}{l}x^{prime prime} \ y^{prime prime}end{array}right))
(=left(begin{array}{l}x^{prime prime}left(x x^{prime}+y y^{prime}right)+y^{prime prime}left(x y^{prime}+y x^{prime}right) \ y^{prime prime}left(x x^{prime}+y y^{prime}right)+x^{prime prime}left(x y^{prime}+y x^{prime}right)end{array}right)) (=left(begin{array}{l}x x^{prime} x^{prime prime} mid+x^{prime prime} y y^{prime}+x y^{prime} y^{prime prime}+x^{prime} y y^{prime prime} \ y y^{prime} y^{prime prime}+x x^{prime} y^{prime prime}+x y^{prime} x^{prime prime}+y x^{prime} x^{prime prime}end{array}right))
Et dans un second temps, On ait :
(left(begin{array}{l}x \ yend{array}right) *left(left(begin{array}{l}x^{prime} \ y^{prime}end{array}right) *left(begin{array}{l}x^{prime prime} \ y^{prime prime}end{array}right)right)=left(begin{array}{l}x \ yend{array}right) *left(begin{array}{c}x^{prime} x^{prime prime}+y^{prime} y^{prime prime} \ x^{prime} y^{prime prime}+y^{prime} x^{prime prime}end{array}right))
(=left(begin{array}{l}xleft(x^{prime} x^{prime prime}+y^{prime} y^{prime prime}right)+yleft(x^{prime} y^{prime prime}+y^{prime} x^{prime prime}right) \ xleft(x^{prime} y^{prime prime}+y^{prime} x^{prime prime}right)+yleft(x^{prime} x^{prime prime}+y^{prime} y^{prime prime}right)end{array}right)) (=left(begin{array}{l}x x^{prime} x^{prime prime}+x^{prime prime} y y^{prime}+x y^{prime} y^{prime prime}+x^{prime} y y^{prime prime} \ y y^{prime} y^{prime prime}+x x^{prime} y^{prime prime}+x y^{prime} x^{prime prime}+y x^{prime} x^{prime prime}end{array}right)) Donc (*) est une loi associative sur (v_{2}). 2-c
Soit (left(begin{array}{l}u \ vend{array}right)) l’élément neutre
Alors:
(forallleft(begin{array}{l}x \ yend{array}right) in v_{2} );
(left(begin{array}{l}x \ yend{array}right) *left(begin{array}{l}u \ vend{array}right)=left(begin{array}{l}u \ vend{array}right) *left(begin{array}{l}x \ yend{array}right)=left(begin{array}{l}x \ yend{array}right))
À cause de la commutativité de la loi (*,) on se restreint à une seule égalité.
(left(begin{array}{l}x \ yend{array}right) *left(begin{array}{l}u \ vend{array}right)=left(begin{array}{l}x \ yend{array}right) Leftrightarrowleft(begin{array}{l}x u+y v \ x v+y uend{array}right)=left(begin{array}{l}x \ yend{array}right))
(Leftrightarrow quadleft{begin{array}{ll}text { Et bien } & x u+y v=x \ text { Et bien } & x v+y u=yend{array}right.)
(Leftrightarrow quadleft{begin{array}{ll}text { Et bien } & x(u-1)+y v=0 \ text { Et bien } & x v+y(u-1)=0end{array}right.)
(Leftrightarrow quad x(u-1)+y v=x v+y(u-1))
(Leftrightarrow quad x(u-1)-y(u-1)+y v-x v=0)
(Leftrightarrow quad(x-y)(u-1)-v(x-y)=0)
(Leftrightarrow quad(x-y)(u-v-1)=0)
(Leftrightarrow quadleft{begin{array}{ll}text { ou bien } & x=y \ text { ou bien } & u=v+1end{array}right.)
On remplace ? par la quantité (?+1) dans l’une des équations précédentes on obtient :
(x(v+1)+yv=x Leftrightarrow xv+x+yv=x)
(Leftrightarrow v(x+y)=0)
(Leftrightarrow left{begin{array}{ll}text { ou bien } & v=0 \ text { ou bien } & x=-yend{array}right.)
Ainsi, le vecteur (left(begin{array}{l}1 \ 0end{array}right)) est l’élément neutre pour la loi * sur (v_{2}).
((?_{2},+,∗)) est bien-évidemment un anneau commutatif car les assertions suivantes sont vérifiées :
((?_{2},+)) est un groupe abélien.
∗ est associative sur ?2.
∗ est distributive par rapport à + sur ?2.
∗ est commutative sur ?2.
La première assertion est pratiquement vérifiable car + est une loi de composition interne dans ((?_{2})) qui est associative, commutative, admet un élément neutre (left(begin{array}{l}0 \ 0end{array}right))
et que tout élément (left(begin{array}{l}a \ bend{array}right)) de ((?_{2})) admet un seul symétrique (left(begin{array}{l}-a \ -bend{array}right)) dans ((?_{2})).
Pour la 2ème et la 4ème assertions, c’est déjà fait dans 2-? ?? 2-? .
Pour la 3ème assertion, on se donne trois éléments
(left(begin{array}{l}a \ bend{array}right)),(left(begin{array}{l}c \ dend{array}right)),(left(begin{array}{l}e \ fend{array}right))dans ((?_{2})) :
On a:
(left(begin{array}{l}a \ bend{array}right) *left(left(begin{array}{l}c \ dend{array}right)+left(begin{array}{l}e \ fend{array}right)right)=left(begin{array}{l}a \ bend{array}right) *left(begin{array}{l}c+e \ d+fend{array}right))
Or:
(left(begin{array}{l}a \ bend{array}right) *left(begin{array}{l}c \ dend{array}right)+left(begin{array}{l}a \ bend{array}right) *left(begin{array}{l}e \ fend{array}right)=left(begin{array}{l}a c+b d \ a d+b cend{array}right)+left(begin{array}{l}a e+b f \ a f+b eend{array}right))
(=left(begin{array}{l}a c+a e+b d+b f \ a d+a f+b c+b eend{array}right))
?−à−? ∶
(left(begin{array}{l}a \ bend{array}right) *left(left(begin{array}{l}c \ dend{array}right)+left(begin{array}{l}e \ fend{array}right)right)=left(begin{array}{l}a \ bend{array}right) *left(begin{array}{l}c \ dend{array}right)+left(begin{array}{l}a \ bend{array}right) *left(begin{array}{l}e \ fend{array}right))
Ou encore, On dira que ∗ est distributive par rapport à + à gauche. Même travail pour la distributivité à droite pour conclure finalement que la loi ∗ est distributive par rapport à la loi + 3-a On remarque, au prime abord, que (E_{vec{u}}) est une partie non vide de (v_{2}).
car: si (vec{x} in E_{vec{u}})
alors (vec{x}=lambda vec{u} ; lambda in mathbb{R}).Donc : (vec{x} in v_{2}) car (left(v_{2},+, cdotright)) est un espace vectoriel.Soient (vec{x}) et (vec{y}) deux vecteurs de (E_{vec{u}}),
Alors ils existent (lambda) et (theta) de (mathbb{R}) tels que (: vec{x}=lambda vec{u}) et (vec{y}=theta vec{u}).On a : (vec{x}-vec{y}=lambda vec{u}-theta vec{u}=(lambda-theta) vec{u} in E_{vec{u}}) car ((lambda-theta) in mathbb{R})Ainsi: (left{begin{array}{l}E_{vec{u}} subseteq v_{2} quad text { et } quad E_{vec{u}} neq emptyset \ forall vec{x}, vec{y} in E_{vec{u}} quad ; x+operatorname{sym}(vec{y}) in E_{vec{u}}end{array}right.)Donc, d’après la caractérisation des sous-groupes, on conclut que (left(E_{vec{u}},+right)) est un sous-groupe de (left(v_{2},+right)). 3-b
Rappel : ℱ ??? ?? ????? ?′??? (?,+,∙ )⟺ ∀??ℝ ∀ ?,? ? ℱ ∶ (??+?) ? ℱ
Soient (alpha in mathbb{R}) et (vec{x}) et (vec{y}) deux vecteurs de (E_{vec{u}} subseteq v_{2}).
(alpha vec{x}+vec{y}=alphaleft(lambda_{1} vec{u}right)+lambda_{2} vec{u}=left(alpha lambda_{1}+lambda_{2}right) vec{u} in E_{vec{u}})
Car (left(alpha lambda_{1}+lambda_{2}right)) est un nombre réel.
Ainsi : (left(E_{vec{u}},+, cdotright)) est un sous-espace vectoriel de (left(v_{2},+, cdotright) .) Et ceci d’après la caractérisation des sousespaces vectoriels mentionnée au début.
(begin{array}{lc}Rightarrow & exists lambda in mathbb{R} ; lambda_{1} vec{u} * lambda_{2} vec{u}=lambda vec{u} \ Rightarrow & left(begin{array}{l}lambda_{1} a \ lambda_{1} bend{array}right) *left(begin{array}{l}lambda_{2} a \ lambda_{2} bend{array}right)=left(begin{array}{l}lambda a \ lambda bend{array}right) \ Rightarrow & left(begin{array}{l}lambda_{1} lambda_{2} a^{2}+lambda_{1} lambda_{2} b^{2} \ lambda_{1} lambda_{2} a b+lambda_{1} lambda_{2} a bend{array}right)=left(begin{array}{l}lambda a \ lambda bend{array}right) \ Rightarrow & lambda_{1} lambda_{2}left(begin{array}{c}a^{2}+b^{2} \ 2 a bend{array}right)=lambdaleft(begin{array}{l}a \ bend{array}right)end{array})
(Rightarrow quad lambda_{1} lambda_{2}(vec{u} * vec{u})=lambda vec{u})(Rightarrow quad vec{u} * vec{u}=frac{lambda}{lambda_{1} lambda_{2}} vec{u})(Rightarrow quad vec{u} * vec{u}=tilde{lambda} vec{u} quad ; quad tilde{lambda}=frac{lambda}{lambda_{1} lambda_{2}})(Rightarrow quad vec{u}) et (vec{u} * vec{u}) sont liés
Inversement : (quad) Si (vec{u} * vec{u}) et (vec{u}) sont liés, Alors : (exists alpha in mathbb{R} ; quad vec{u} * vec{u}=alpha vec{u})
(C-mathrm{a}-d:left(begin{array}{c}a^{2}+b^{2} \ 2 a bend{array}right)=alpha vec{u})Soient (vec{x}) et (vec{y}) deux vecteurs de (E_{vec{u}}).(text { On } a: quad vec{x} * vec{y}=lambda_{1} lambda_{2}left(begin{array}{c}a^{2}+b^{2} \2 a bend{array}right))
(=lambda_{1} lambda_{2} cdot alpha vec{u})(=ell vec{u} in E_{vec{u}})
Donc (E_{vec{u}}) est stable pour la loi (*). 4-a
(begin{aligned}text { Soit : } varphi:left(mathbb{R}^{*}, timesright) & mapstoleft(E_{vec{u}}, *right) \x & mapsto frac{x}{alpha} vec{u} \text { Avec }: quad vec{u} * vec{u}=alpha vec{u} &end{aligned})
Rappel: d’après le calcul fait précédemment
(text { on a eu: } lambda_{1} vec{u} * lambda_{2} vec{u}=lambda_{1} lambda_{2}(vec{u} *vec{u}))
Soient (a) et (b) deux nombres réel non nuls.
(begin{aligned} varphi(a) * varphi(b) &=left(frac{a}{alpha} vec{u}right) *left(frac{b}{alpha} vec{u}right) \ &=left(frac{a}{alpha} times frac{b}{alpha}right) vec{u} * vec{u} \ &=left(frac{a b}{alpha^{2}}right) vec{u} * vec{u} \ &=left(frac{a b}{alpha^{2}}right) cdot alpha vec{u} \ &=left(frac{a b}{alpha}right) cdot vec{u} \ &=varphi(a times b) end{aligned})
Donc:
(varphi) est un homomorphisme de (left(mathbb{R}^{*}, xright)) vers (left(E_{vec{u}}, *right))
En plus, (varphi) est bijective car elle est injective et surjective:
Injective car:
(varphi(x)=varphi(y) Rightarrow frac{x}{alpha} vec{u}=frac{y}{alpha} vec{u})
(Rightarrow quad frac{x}{alpha}=frac{y}{alpha})
(Rightarrow quad x=y)
Surjective car :
(left(forall(lambda vec{u}) in E_{vec{u}}right)left(exists x=lambda alpha in mathbb{R}^{*}right) ; varphi(x)=lambda vec{u})
Finalement : (varphi) est un isomorphisme (homomorphisme bijectif) de (left(mathbb{R}^{*}, xright)) vers (left(E_{vec{u}, *}right) .)
Pour montrer que (left(E_{vec{u}},+, *right)) est un corps commutatif, on vérifie les assertions suivantes:
– (left(E_{vec{u}},+right)) est un groupe abélien.
– (left(E_{vec{u}} backslash{overrightarrow{0}} ; *right)) est un groupe.
– (*) est distributive par rapport à (+.)
(bullet *) est commutative sur (E_{vec{u}}).
Pour la première assertion, c’est déjà fait, exactement dans la question (3|a|:left(E_{vec{u}},+right)) est un sous-groupe de (left(v_{2},+right))
Pour la (2^{text {ème }}) assertion, On sait très bien que (left(mathbb{R}^{*}, xright)) est un groupe, Alors (varphileft(mathbb{R}^{*}, xright)) est un groupe aussi. Car (varphi) est un isomorphisme. Et on ait : (varphileft(mathbb{R}^{*}, xright)=left(varphileft(mathbb{R}^{*}right), *right)=left(E_{vec{u}} backslash{overrightarrow{0}} ; *right)).
Pour la distributivité de (*) par rapport à (+) c’est déjà fait aussi.
Pour la 4ème assertion c’est déjà fait.
La conclusion (:left(E_{vec{u}},+, *right)) est un corps commutatif et cela d’après la caractérisation des corps vue dans le cours.
Exercice 4:
I- 1-a-(lim _{x rightarrow-1} g(x)=lim _{x rightarrow-1 atop x>-1}left(1+x^{2}+2 x(1+x) ln (1+x)right))
(=2+2 lim _{x rightarrow-1} x(1+x) ln (1+x))
(x>-1)
(=2+2 lim _{t rightarrow 0 atop t>0}(t-1) cdot t ln t)
(=2+2 lim _{t rightarrow 0^{+}}(t-1) times lim _{t rightarrow 0^{+}}(t ln t))
(rightarrow 2+2 times(-1) times 0=2)
g(x)=1+x²-2 x(1+x) ln (1+x)
(x mapsto ln (1+x)) est dérivable sur (]-1 ;+infty[).
(x mapsto 2 x(1+x)) est dérivable sur (mathbb{R}).
(x mapstoleft(1+x^{2}right)) est dérivable sur (mathbb{R}).
Alors (g) est dérivable sur (I=]-1,+infty[).
Soit (x in I:)
(g^{prime}(x)=2 x-2(x(1+x) ln (1+x))^{prime})
(=2 x-2left((1+x) ln (1+x)+x ln (1+x)+frac{x(1+x)}{1+x}right))
(=2 x-2((1+2 x) ln (1+x)+x))
(=-2(1+2 x) ln (1+x))
On remarque que (g) est une fonction continue et est strictement décroissante sur ([0,+infty[.) Donc:
(g) est une bijection de l’intervalle ([0,+infty[) à valeurs dans (]-infty, 1]). Ainsi (:(forall y in]-infty, 1]),(exists ! x in[0,+infty[): g(x)=y) C-à-d : (() pour (0in ]-infty, 1]),(exists ! alpha in[0,+infty[): g(x)=0) I-2-b On a (: g(1)=1+1^{2}-2 times 2 ln 2 approx-0,77<0) Ainsi : (g(1)<0). D’où : (g(1)<g(alpha)). C-à-d: (mid 1>alpha) car (g) est decroissante et bijective. I-2-c
(x in]-1, alpha[quad Rightarrow quad x<alpha)
(Rightarrow g(x)>g(alpha) 😉 car (g searrow[0,+infty[)
(Rightarrow g(x)>0 😉 car (g(alpha)=0)
(x in] alpha,+infty[quad Rightarrow quad x>alpha)
(Rightarrow g(x)<g(alpha) 😉 car (g searrow[0,+infty[)
(Rightarrow g(x)<0); car (g(alpha)=0)
(lim _{x rightarrow(-1)^{+}} f(x)=lim _{x rightarrow(-1)^{+}} frac{ln (1+x)}{1+x^{2}})
(=left(lim _{x rightarrow(-1)^{+}} ln (1+x)right) timesleft(lim _{x rightarrow(-1)^{+}} frac{1}{1+x^{2}}right)) (=left(lim _{t rightarrow 0^{+}} ln tright) timesleft(lim _{x rightarrow(-1)^{+}} frac{1}{1+x^{2}}right)) (rightarrow(-infty) timesleft(frac{1}{2}right)=-infty)Donc l’axe ?=−1 est une asymptote verticale à la courbe (?) . II-1-b
(lim _{x rightarrow+infty} f(x)=lim _{x rightarrow+infty} frac{ln (1+x)}{1+x^{2}})
(=lim _{x rightarrow+infty}left(frac{ln (1+x)}{1+x}right) timesleft(frac{1+x}{1+x^{2}}right)) (=left(lim _{t rightarrow+infty} frac{ln t}{t}right) times lim _{x rightarrow+infty}left(frac{1+x}{1+x^{2}}right)) (rightarrow 0^{+} times 0^{+} rightarrow 0^{+})Donc l’axe des abscisses est une asymptote horizontale à la courbe (?) au voisinage de +∞ II-2-a
Comme ? ⟼ln (1+?) est dérivable sur ]−1,+∞[.
Car c’est une composition bien définie de deux fonctions toutes les deux dérivables :
La première est la fonction ? ⟼ln? dérivable sur ]0,+∞[ .
La deuxième est ?⟼1+? dérivable sur ℝ .
Alors :
(x longmapsto frac{ln (1+x)}{1+x^{2}}) est dérivable sur ]−1,+∞[
comme étant un quotient de deux fonctions dérivables dont le dénominateur est non nul.
Soit ? ? ?= ]−1,+∞[:
(f^{prime}(x)=left(frac{ln (1+x)}{1+x^{2}}right)^{prime})
(=frac{left(1+x^{2}right)(ln (1+x))^{prime}-left(1+x^{2}right)^{prime} ln (1+x)}{left(1+x^{2}right)^{2}}) (=frac{left(frac{1+x^{2}}{1+x}right)-2 x ln (1+x)}{left(1+x^{2}right)^{2}}) (=frac{1+x^{2}-2 x(1+x) ln (1+x)}{(1+x)left(1+x^{2}right)^{2}}) (=frac{g(x)}{(1+x)left(1+x^{2}right)^{2}}) II-2-b
On a : ((forall x in I) ; f^{prime}(x)=frac{g(x)}{(1+x)left(1+x^{2}right)^{2}})
Remarquons, au prime abord, que la quantité (left(1+x^{2}right)^{2}) est toujours positive.
Donc le signe de (f^{prime}(x)) sur (I) dépend des signes des quantités ((1+x)) et (g(x)).
Le tableau suivant résume le signe de (f^{prime}(x)).
(g(alpha)=0 quad Leftrightarrow quad 1+alpha^{2}-2 alpha(1+alpha) ln (1+alpha)=0)
(Leftrightarrow quad ln (1+alpha)=frac{1+alpha^{2}}{2 alpha(1+alpha)}) (Leftrightarrow quad frac{ln (1+alpha)}{1+alpha^{2}}=frac{1}{2 alpha(1+alpha)})(Leftrightarrow quad f(alpha)=frac{1}{2 alpha(1+alpha)})
(x in I Rightarrowleft{begin{array}{ll}text { oubien } & x leq alpha \ text { oubien } & x geq alphaend{array}right.)
(Rightarrowleft{begin{array}{l}text { oubien } f(x) leq f(alpha) operatorname{car} f>]-1, alpha] \ text { oubien } f(x) leq f(alpha) text { car } f searrow[alpha,+infty[end{array}right.) (Rightarrow f(x) leq f(alpha) ; quad forall x in I) (Rightarrow quad f(x) leq frac{1}{2 alpha(1+alpha)} ; quad forall x in I) II-3-a
Soit ((T)) la tangente à ((C)) au point d’abscisse 0 .
((T): y=(x-0) f^{prime}(0)+f(0))
(Leftrightarrow quad(T): y=x)
(Leftrightarrow quad frac{1}{t+1} leq 1 quad ; quad t neq-1) (Rightarrow quad int_{0}^{x}left(frac{1}{t+1}right) d t leq int_{0}^{x} 1 d t) (Rightarrow quad[ln |1+t|]_{0}^{x} leq[t]_{0}^{x}) (Rightarrow quad ln |1+x|-0 leq x-0) (Rightarrow quad ln (1+x) leq x) II-3-c
(begin{aligned} x geq 0 & Rightarrow x^{2} geq 0 \ & Rightarrow x^{2}+1 geq 1 \ & Rightarrow frac{1}{x^{2}+1} leq 1 ; text { passage àl’inverse } \ & Rightarrow frac{ln (1+x)}{x^{2}+1} leq x quad ; quad d^{prime} text { après }{3-b} \ & Rightarrow forall x geq 0 ; quad f(x) leq x end{aligned})
II-3-d
(J=int_{0}^{1} f(x) d x)
On pose (quad t=frac{1-x}{1+x} mid) Alors (quad x=frac{1-t}{1+t})
(begin{array}{lll}x=0 & Leftrightarrow & t=1 \ x=1 & Leftrightarrow & t=0end{array})
(frac{d x}{d t}=frac{(1-t)^{prime}(1+t)-(1+t)^{prime}(1-t)}{(1+t)^{2}}=frac{-2}{(1+t)^{2}})
Alors : (quad d x=frac{-2}{(1+t)^{2}} d t)
(f(x)=fleft(frac{1-t}{1+t}right)=frac{ln left(1+frac{1-t}{1+t}right)}{1+left(frac{1-t}{1+t}right)^{2}}=frac{ln left(frac{2}{1+t}right)}{frac{2left(1+t^{2}right)}{(1+t)^{2}}})
(=frac{(1+t)^{2}}{2(1+t)^{2}} times ln left(frac{2}{1+t}right))
Ainsi
(quad: quad f(x)=frac{(1+t)^{2}}{2(1+t)^{2}} times ln left(frac{2}{1+t}right))
(begin{aligned} J &=int_{0}^{1} f(x) d x \ &=int_{1}^{0} frac{(1+t)^{2}}{2(1+t)^{2}} times ln left(frac{2}{1+t}right) times frac{-2}{(1+t)^{2}} d t \ &=-int_{1}^{0} ln left(frac{2}{1+t}right) timesleft(frac{1}{1+t^{2}}right) d t \ &=int_{0}^{1}(ln (2)-ln (1+t)) timesleft(frac{1}{1+t^{2}}right) d t \ &=int_{0}^{1}left(frac{ln 2}{1+t^{2}}right) d t-int_{0}^{1}left(frac{ln (1+t)}{1+t^{2}}right) d t \=& ln 2 cdot[operatorname{Arctan} t]_{0}^{1}-J \=& ln 2 cdotleft(frac{pi}{4}-0right)-J \=frac{pi ln 2}{4}-J \ text { Finalement } quad: quad J=frac{pi ln 2}{8} end{aligned})
(begin{aligned} K &=int_{0}^{1} underbrace{(operatorname{Arctan} x)}_{u(x)} cdot underbrace{left(frac{1}{1+x}right)}_{v(x)} d x \ &=[operatorname{Arctan} x cdot ln (1+x)]_{0}^{1}-int_{0}^{1} frac{1}{1+x^{2}} cdot ln (1+x) d x \ &=frac{pi}{4} ln 2-frac{pi}{8} ln 2 \ &=frac{pi ln 2}{8} end{aligned})