Olympiade de Mathématique
( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)
Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.
Olympiade de Math – Arithmétique Niveaux 01 – Exercice 19
Combien de paires d’entiers positifs (a, b) satisfont:
Voir solution
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* On a:
1/a+1/b=1/2019
➝ 2019a+2019b=ab
➝ ab-2019a-2019b=0
1/a+1/b=1/2019
➝ 2019a+2019b=ab
➝ ab-2019a-2019b=0
➝ a(b-2019)-2019b+2019²=2019²
➝ a(b-2019)-2019(b-2019)=2019²
➝ (b-2019)(a-2019)=2019²
➝ (a-2019) & (b-2019) divise 2019².
* d’autre part:
2019²=3²x673²
➝ Nombre de diviseur de 2019² est 9:
* a-2019=1 & b-2019=3²x673²
* a-2019=3 & b-2019=3×673²
* a-2019=3² & b-2019=673²
* a-2019=673 & b-2019=3²x673
* a-2019=673² & b-2019=3²
*a-2019=3×673 & b-2019=3×673
*a-2019=3²x673 & b-2019=3×673
* a-2019=3×673² & b-2019=3
* a-2019=3²x673² & b-2019=1
les paires d’entiers positifs (a, b) est donc 9.
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