Olympiade Math – Algèbre 01 – Ex 52

Olympiade de Mathématique

( compétition de math destinée aux élèves des lycées et collèges)

Des exercices et sujets corrigés pour s’entraîner.

Solution

* On pose :
Sn=1+x+x²+…+x²ⁿ
Sn= (1+x²ⁿ)+(x+x²ⁿ⁻¹)+…+(xⁿ⁻¹+xⁿ⁺¹)+xⁿ
* Calculons la différence:
Sn-(2n+1)xⁿ = (1-2xⁿ+x²ⁿ)+(x-2xⁿ+x²ⁿ⁻¹)+…+(xⁿ⁻¹-2xⁿ+xⁿ⁺¹)
Sn-(2n+1)xⁿ = (xⁿ-1)²+x྾(1-2xⁿ⁻¹+x²⁽ⁿ⁻¹⁾)+…+xⁿ⁻¹྾(1+-2x+x²)
Sn-(2n+1)xⁿ = (xⁿ-1)²+x྾(xⁿ⁻¹-1)²+…+xⁿ⁻¹྾(x-1)²
* Or on a: x>0
Donc: Sn ≥ (2n+1)྾xⁿ