Généralité sur les fonctions 1 bac SM

1- Ensemble de définition.
Soit $f$ une fonction numérique 
et $D_f$ son ensemble de définition
$D_f=x\in IR/f(x)existe$

2- Parité d’une fonction numérique.
Soit $f$ une fonction numérique et $D_f$ son ensemble de définition
* fonction paire :
$(f$ est une fonction paire
↔️ $\forall x\in D_f,(-x\in D_{f}etf(-x)=f(x)$
* fonction impaire:
$(f$ est une fonction impaire
↔️ ∀x ∈ D_{f}),-x ∈ D_{f} et f(-x)=-f(x)\)

3- Monotonie d’une fonction numérique.
Monotonie au sens large.
On dit que f :
* croissante  sur I si pour tout couple (x, y) d’éléments de I tels que
x ≤ y, on a f(x) ≤ f(y) ;
* décroissante sur I si pour tout couple (x, y) d’éléments de I tels que
x ≤ y, on a f(x) ≥ f(y) ;

4- Comparaison de deux fonctions numériques.
Soient $f$ et $g$ deux fonctions numériques définies sur un intervalle $I$.
* $f$ et $g$ sont égales sur $I$ si et seulement si $(\forall x\in I);f(x)=g(x)$
* f<g signifie que $:(\forall x\in I);f(x)<g(x)$
* f>g signifie que : $(\forall x\in l);f(x)>g(x)$

5- Fonction majorée, fonction minorée, fonction bornée.
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un ensemble $D$. 
* fonction majorée:
$f$ est une fonction majorée sur $D,$ s’il existe un nombre réel $M$ tel que: 
pour tout $x\in D,f(x)\le M$.
* fonction minorée:
$f$ est une fonction minorée sur $D$ s’il existe un nombre réel $m$ tel
que : 
pour tout $x\in D,f(x)\ge m$.
* fonction bornée:
$f$ est une fonction bornée sur $D$; si elle est majorée et minorée sur $D$
$f$ est une fonction bornée sur $D$, s’ils existent deux réels $m$ et $M$
tels que : pour tout $x\in D,m\le f(x)\le M$.

6- Extremums d’une fonction numérique.
Soit $f$ une fonction numérique définie sur un intervalle $I$; 
et $a$ un élément de 1 .
* f(a)\) est un maximum de $f$ sur l’intervalle $I$ 
Si pour tout x de } I, f(x)≤ f(a)
* f(a) est un minimum de $f$ sur l’intervalle $I$, 
si pour tout x de I, f(x) ≥ f(a)\).

7- Représentation graphique d’une fonction.
La courbe représentative (C) ou (représentation graphique) 
d’une fonction numérique $f$ à variable réelle $x$ dans le plan
$(C)=\{M(x,y)\in P/x\in D_f.$ et $y=f(x)\}$
(P) muni d’un repére $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$ est l’ensemble des points $M(x,y)$ tels que:
$x\in D_f$ et $y=f(x)$
* On dit aussi que la courbe $(C)$ a pour équation $y=f(x)$ 
dans le repère $(O,\overrightarrow{i},\overrightarrow{j})$.

8- Fonction partie entière.
La fonction partie entière de x est souvent notée E(x)
définie par : E(x)≤x<E(x)+1 (E(x)∈Z)

9- Composée de deux fonction.
La fonction numérique $h$ définie sur $I$ par :
h(x)=g(f(x))
est appelée composée des fonctions $f$ et $g$ dans cet ordre.
Elle est notée $gof$ (se lit: $g$ rond $f$ ).
On a alors: $(\mathrm{\forall }x\in I)$ go $f(x)=g(f(x))$

10- Fonction périodique.
Soit $f$ une fonction numérique et $D_f$ son ensemble de définition.
On dit que $f$ est périodique 
s’il existe un réel non nul $T$ tel que:
*pour tout $x\in D_f:$ (x+T) \in D_{f} et } \quad(x-T) \in D_{f} \)
* f(x+T)=f(x)
Le nombre réel $T$ est appelé alors une période de $f$. 
La plus petite période strictement positive de la fonction $f$ 
(lorsqu’elle existe) est appelée la période de la fonction $f$.