Barycentre dans le plan Bac 1 SM

Barycentre dans le plan en ⑨ étapes

1- Point Pondéré.

On appel point pondéré tout couple(A;α)
formé du point A du plan P et d’un nombre réel α.
le réel α s’appelle la masse du point A.

2- Barycentre de deux points.
Soit (A;a) et (B;b) deux points pondérés du plan P tels que a+b≠0.

et Il existe un point unique G vérifiant la relation suivante:

Le point G s’appelle le barycentre des points pondérés (A;a) et (B;b).

3- Propriété caractéristique du Barycentre.
Soit (A;a) et (B;b) deux points pondérés du plan P tels que :
G est le barycentre des deux points pondérés (A;a) et (B;b)

si et seulement si pour tout point M du plan on a :

4- Position du Barycentre.

Soit (A;a) et (B;b) deux points pondérés du plan P tels que :
G est le barycentre des deux points pondérés (A;α) et (B;β)

on prend M=A:

le signe de: β/(α+β)

β/(α+β)=1/(α/β+1)==1/(αβ/β²+1)

si αβ>0 alors G∊[AB]

5- Homogénéité du Barycentre.

Si G est le barycentre des points pondérés (A;a)et(B;b).
alors, pour tout réel k non nul;
G est aussi le barycentre des points pondérés (A;ka) et (B;kb).

6- Barycentre de trois points.
Soit (A;a);(B;b) et (C;c) des points pondérés du plan P.
tels que : a+b+c≠0 et a+b≠0.

et Il existe un point unique G vérifiant la relation suivante:

Le point G s’appelle le barycentre des points pondérés (A;a);(B;b) et (C;c).

* Homogénéité du Barycentre.
Si G est le barycentre des points pondérés (A;a);(B;b) et (C;c)
alors, pour tout réel k non nul;
G est aussi le barycentre des points pondérés (A;ka) ; (B;kb) et (C;kc).

7- Associativité du Barycentre.
Soit (A;a);(B;b) et (C;c) des points pondérés du plan P.
tels que : a+b+c≠0 et a+b≠0.
Si :
*G est le barycentre des points (A;a);(B;b) et (C;c).
*H est le barycentre des points (A;a) et (B;b),
alors:
G est le barycentre des points (H;a+b) et (C;c).

8- Coordonnées du Barycentre.

repère orthonormé du plan P.
Si A(XA;YA) et B(XB;YB) deux points du plan P alors les coordonnées

du barycentre G des points pondérés (A;a);(B;b) sont :

* Si A(XA;YA);B(XB;YB) et C(XC;YC) trois points du plan P, alors les

coordonnées du barycentre G des points (A;a);(B;b) et (C;c) sont :

9- Barycentre de quatre points.

Soit (A;α);(B;β);(C;४) et (D;δ) des points pondérés du plan P.
tels que : α+β+४+δ≠0.

et Il existe un point unique G vérifiant la relation suivante:

Le point G s’appelle le barycentre des points pondérés (A;α);(B;β);(C;४) et (D;δ).

Ce qu’il faut savoir :
– la définition du barycentre,
– la propriété du barycentre,
– les petites propriétés,
– l’association de barycentre.

Ce qu »il faut savoir faire:
– Construire le barycentre de 2 points, de 3 points,
– Montrer qu’un point est le barycentre de 2 ou 3 points,
– Montrer que 3 points sont alignés,
– Trouver des ensembles de points.

Exercices d’application: Barycentre dans le plan

Exercices d’entraînement: Barycentre dans le plan