1- Ensemble de définition.
Soit \(f\) une fonction numérique
et \(D_{f}\) son ensemble de définition
\(D_{f}={x ∈IR / f(x) existe }\)
2- Parité d’une fonction numérique.
Soit \(f\) une fonction numérique et \(D_{f}\) son ensemble de définition
* fonction paire :
\((f\) est une fonction paire
↔️ \(∀x ∈ D_{f},(-x ∈ D_{f} et f(-x)=f(x)\)
* fonction impaire:
\((f\) est une fonction impaire
↔️ ∀x ∈ D_{f}),-x ∈ D_{f} et f(-x)=-f(x)\)
3- Monotonie d’une fonction numérique.
Monotonie au sens large.
On dit que f :
* croissante sur I si pour tout couple (x, y) d’éléments de I tels que
x ≤ y, on a f(x) ≤ f(y) ;
* décroissante sur I si pour tout couple (x, y) d’éléments de I tels que
x ≤ y, on a f(x) ≥ f(y) ;
4- Comparaison de deux fonctions numériques.
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions numériques définies sur un intervalle \(I\).
* \(f\) et \(g\) sont égales sur \(I\) si et seulement si \((∀x ∈ I) ; f(x)=g(x)\)
* f<g signifie que \(:(∀x ∈ I) ; f(x)<g(x)\)
* f>g signifie que : \((∀x ∈ l) ; f(x)>g(x)\)
5- Fonction majorée, fonction minorée, fonction bornée.
Soit \(f\) une fonction numérique définie sur un ensemble \(D\).
* fonction majorée:
\(f\) est une fonction majorée sur \(D,\) s’il existe un nombre réel \(M\) tel que:
pour tout \(x ∈ D, f(x)≤ M\).
* fonction minorée:
\(f\) est une fonction minorée sur \(D\) s’il existe un nombre réel \(m\) tel
que :
pour tout \(x ∈ D, f(x) ≥ m\).
* fonction bornée:
\(f\) est une fonction bornée sur \(D\); si elle est majorée et minorée sur \(D\)
\(f\) est une fonction bornée sur \(D\), s’ils existent deux réels \(m\) et \(M\)
tels que : pour tout \(x ∈ D, m≤ f(x)≤ M\).
6- Extremums d’une fonction numérique.
Soit \(f\) une fonction numérique définie sur un intervalle \(I\);
et \(a\) un élément de 1 .
* f(a)\) est un maximum de \(f\) sur l’intervalle \(I\)
Si pour tout x de } I, f(x)≤ f(a)
* f(a) est un minimum de \(f\) sur l’intervalle \(I\),
si pour tout x de I, f(x) ≥ f(a)\).
7- Représentation graphique d’une fonction.
La courbe représentative (C) ou (représentation graphique)
d’une fonction numérique \(f\) à variable réelle \(x\) dans le plan
\((C)=\{M(x, y) ∈ P / x ∈ D_{f}.\) et \(y=f(x)\}\)
(P) muni d’un repére \((O, \vec{i}, \vec{j})\) est l’ensemble des points \(M(x, y)\) tels que:
\(x ∈ D_{f}\) et \(y=f(x)\)
* On dit aussi que la courbe \((C)\) a pour équation \(y=f(x)\)
dans le repère \((O, \vec{i}, \vec{j})\).
8- Fonction partie entière.
La fonction partie entière de x est souvent notée E(x)
définie par : E(x)≤x<E(x)+1 (E(x)∈Z)
9- Composée de deux fonction.
La fonction numérique \(h\) définie sur \(I\) par :
h(x)=g(f(x))
est appelée composée des fonctions \(f\) et \(g\) dans cet ordre.
Elle est notée \(g o f\) (se lit: \(g\) rond \(f\) ).
On a alors: \((\forall x \in I)\) go \(f(x)=g(f(x))\)
10- Fonction périodique.
Soit \(f\) une fonction numérique et \(D_{f}\) son ensemble de définition.
On dit que \(f\) est périodique
s’il existe un réel non nul \(T\) tel que:
*pour tout \(x \in D_{f}:\) (x+T) \in D_{f} et } \quad(x-T) \in D_{f} \)
* f(x+T)=f(x)
Le nombre réel \(T\) est appelé alors une période de \(f\).
La plus petite période strictement positive de la fonction \(f\)
(lorsqu’elle existe) est appelée la période de la fonction \(f\).
Exercices d’application: Généralité sur les fonctions
Exercices d’entraînement: Généralité sur les fonctions