Sujet Bac 2 2020 Math Préparation 10
Durée de l’épreuve 3h
L’épreuve est composée de trois exercices et un problème
indépendants entre eux et répartis suivant les domaines comme suit:
* Suite Numérique (3 points )
* Nombres complexes (3 points )
* Fonction logarithmique et exponentielle (3 points )
* Etude d’une fonction numérique (11 points )
* Suite Numérique (3 points )
On considère la suite (u_{n})
définie par: (u_{0}=0) et ( u_{n+1}=frac{u_{n}-1}{u_{n}+3} : ∀n∈N )
1) Calculer les termes (u_{1}) et (u_{2})
2) a) Vérifier que : (u_{n+1}=1-frac{4}{u_{n}+3}) ∀n∈N
b) Montrer par récurrence que: ∀n∈N : (-1≤u_{n}≤0)
3) Montrer que:
la suite (u_{n}) est décroissante et en déduire qu’elle est convergente.
4) Soit (v_{n}) la suite auxiliaire définie par ∀n∈N:
(v_{n}=frac{1}{u_{n}+1})
a. Montrer que:
(v_{n}) est une suite arithmétique de raison (r=frac{1}{2})
b. Calculer:
(v_{0}) puis exprimer (v_{n}) en fonction de n
c. En déduire (u_{n}) en fonction de n
d. Calculer (lim_{n⟶+∞} u_{n})
5) Calculer en fonction de n la somme (S_{n}) telle que:
( S_{n}=u_{0} v_{0}+u_{1} v_{1}+…+u_{n} v_{n})
Puis en déduire (lim_{n⟶+∞ } S_{n})
* Nombre Complexe (3 points )
1) Résoudre dans l’ensemble ℂ l’équation : z²-6 z+21=0
2) On considère dans le plan complexe rapporté à
un repère orthonormé ((O, vec{u}, vec{v})) Les points A, B, C et D d’affixes respectives : (z_{A}=i sqrt{3} ; z_{B}=-i sqrt{3}) (z_{C}=3+2 i sqrt{3} ; z_{D}=bar{z}_{c};)( conjugué de ({z}_{c};))
a) Montrer que les points (A, B, C) et (D) appartient au même cercle (c) de centre Ω d’affixe ω=3
b) Montrer que:
((frac{z_{D}-1}{4})^{2021}+(frac{z_{C}-1}{4})^{2018}=z_{A})
3) Soit (E) le symétrique du point (D) par rapport à l’origine 0
a) Déterminer (z_{E}) l’affixe du point E
b) Montrer que (frac{z_{C}-z_{B}}{z_{E}-z_{B}}=frac{1}{2}-i frac{sqrt{3}}{2})
c) En déduire que BCE est un triangle équilatérale.
4) Déterminer l’ensemble des points (E) d’affixe (z) telle que :
(|-i z+i sqrt{3}|=|1+i|)
* Fonction logarithmique et exponentielle ( 3 points )
1) Calculer les limites suivantes:
a) (lim_{n⟶+∞} 2^{n}-3^{n})
b) (lim_{x⟶+∞}-3 x^{2}+ln ^{2}(x))
c) (lim_{x⟶0} ln(frac{e^{-1+x}-e^{-1}}{x}))
2) Résoudre les équations suivantes:
a) (ln x-(ln x)^{2}=0 quad 😉
b) (3 e^{2ln x}-10 e^{-ln(frac{2}{x})}+2=0)
c) (e^{-3x+1}-e^{-x}=0)
3) Déterminer la fonction dérivée dans chaque cas:
a) (g(x)=sqrt{1+e^{-2 x}})
b) (h(x)=ln(e^{-x^{2}}-2 x))
4) Montrer que: (lim_{x⟶1} frac{ln x}{x-1}=1) et (lim _{x⟶ 0} frac{ln (x+1)}{x}=1)
* Etudes de Fonctions ( 11 points )
Partie I
Soit g la fonction numérique définie sur l’intervalle] 0,+∞[
g(x)=x²-2Inx
1) Montrer que ∀x∈] 0,+∞[
(g'(x)=frac{2(x+1)}{x}(x-1))
2) Dresser le tableau de variation de la fonction g.
3) En déduire que pour tout x dans l’intervalle] 0,+∞[: g(x)≥0
Partie II
On considère la fonction numérique (f) définie sur l’intervalle ]0,+∞[ par:
(f(x)=1-x-frac{2}{x}(1+ln x))
Soit (C_{f}) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormé ((O,vec{i}, vec{j})) (unité: 1cm)
1) Montrer que (lim_{x⟶0 atop x>0} f(x)=+∞)
et donner une interprétation géométrique au résultat obtenu.
2) a) Montrer que (lim_{x ⟶+∞} f(x)=-∞)
b) Calculer (lim _{x⟶+∞ }[f(x)-(1-x)])
puis en déduire que la droite Δ d’équation (y=-x+1) est une asymptote oblique
a(C_{f}) au voisinage de +∞
3) a) Montrer que ∀ x∈] 0,+∞[: (f'(x)=-frac{g(x)}{x^{2}})
b) Dresser le tableau de variation de la fonction (f)
4) a) Montrer que ∀ x ≥(frac{1}{e}):(-frac{2}{x}(1+ln x))≤ 0
et ∀ x ≤(frac{1}{e}): (-frac{2}{x}(1+ln x)≥0)
b) En déduire la position relative de la courbe (C_{f}) et la droite Δ
5) Montrer que l’équation (f(x)=0) admet une solution unique dans l’intervalle [0.41 ; 0.42]
6) Ecrire l’équation cartésienne de la tangente (T) à (C_{f}) au point d’abscisse (x_{0}=1)
7) Construire, dans le même repère ((O,vec{i},vec{j}),) la droite Δ la tangente (T) et la courbe (C_{f}).
Partie III
1) Vérifier que:
la fonction (x⟶frac{1}{2}(lnx)^{2}) est une fonction primitive de la fonction (x⟶ frac{ln x}{x}) sur l’intervalle ]0,+∞[
2) Calculer, en cm² l’aire du domine plan délimité par:
la droite Δ, la courbe (C_{f}) et les deux droites d’équations x=1 et x=e.
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