Examen Math bac 2 Science Math 2020 PDF
Durée de l’épreuve 4h
L’épreuve est composée de Quatre exercices indépendants entre eux :
* Exercice 1 (4 points )
* Exercice 2 (4.5 points )
* Exercice 3 (8.5 points )
* Exercice 4 (3 points )
* Exercice 1 (3.5 points )
Soit α un nombre complexe non nul.
I.
On considéré dans \(C\) l’équation d’inconnue z définie par:
\(( E_{ α })\): z²+((1-α)i-α)z+α+iα²=0
1)-a) Vérifier que le discriminant de l’équation \((E_{α})\) est Δ=[(1+α) i-α]²
b) Résoudre dans \(C\) l’équation \(( E _{α})\)
2) Montrer que:
l’équation \((E _{α})\) admet une unique solution
si et seulement si \(α =\frac{\sqrt{2}}{2} e^{t \frac{3 \pi}{4}}\)
II.
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct \((O;\vec{u};\vec{v})\)
On suppose que m∊\(C\) -{- i ; i ; 1 }
On considéré les points A,B,C et D d’affixes respectives:
\(z_{A}=α ; z_{B}=iα; z_{C}=α-i et z_{D}=-i\)
1) Montrer que les points A , B et C sont alignés
si et seulement si arg(α)≡\(\frac{3π}{4}[π]\)
2) On suppose que
\[α=e^{i \theta}avec -π<α<π et \theta≠\frac{3π}{4}et \theta \neq-\frac{π}{2}\]
a) Montrer que :
\(\frac{z c^{-α}}{z_{B}-α}=\frac{\sqrt{2}}{2} e^{i(\frac{3π}{4}-θ)}\)
b) En déduire que les points A,B,C et D sont cocycliques
si et seulement si \(arg(α)≡\frac{π}{6}[\frac{2π}{3}]\)
3) On suppose que \(α = e ^{ i ^{2π}}\),
et on considère la rotation \(R\) de centre D et R ( C )=B
a) Déterminer la mesure principale de l’angle de rotation \(R\).
b) Déterminer l’affixe
\(z_{A’}\) du point \(A’\) tel que : \(R(A)=A’\)
* Exercice 2 (3 points )
Soit \(N\) l’entier naturel dont l’écriture dans la base décimale est :
\(N=\underbrace{111…11}_{2020 fois }\)
1) Montrer que le nombre \(N\) est divisible par 11.
2)-a) Montrer que : \(10^{2020}-1=9 N\)
b) Montrer que 101 est un diviseur premier de 2020
c) Montrer que: \(x^{100}≡1[101]\)
d) Montrer que le nombre 101 divise le nombre \(N\)
3) Montrer que le nombre \(N\) est divisible par \(1111\)
* Exercice 3 ( 10 points )
Partie I
Soit x∊] 0 ;+∞[ on pose \(I(x)=\int_{0}^{x} \frac{(x-t)^{2}}{2} e^{t} d t\)
1)Montrer que:
\((∀x∊] 0 ;+∞[) ; 0≤I(x)≤\frac{x^{3}}{6} e^{x}\)
2) En utilisant la méthode d’intégration par partie deux fois
montrer que: (I(x)=e^{x}-1-x-\frac{x^{2}}{2}\)
3) En déduire que:
\(\lim _{x➝ 0^{+}} \frac{e^{x}-1-x}{x^{2}}\)
Partie II
On considère la fonction \(f\) définie sur \(R ^{+}\) par
\(f(x)=\frac{x}{e^{x}-1} : x >0\) et f (0)=1
Et Soit \((C_{f}\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé
\(( O ; \vec{i} ; \vec{j})\)
1) a) Montrer que la fonction \(f\) est continue à droite en \(0\)
b) Calculer \(\lim _{x➝+∞} f(x),\)
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
2) Montrer que \(f\) est dérivable à droite en 0,
puis interpréter graphiquement le résultat obtenu.
3) a) Montrer que ∀t∊R: \(\;e^{t}≥t+1\)
b) Déduire que ∀x∊R: \(e^{-x}+x-1≥0\)
4) a) Montrer que \(f\) est dérivable sur]0;+∞[ puis vérifier que :
∀x∊] 0 ;+∞[: f ‘(x)=\(\frac{(1-x) e^{x}-1}{(e^{x}-1)²}\)
b) En déduire que \(f \) est strictement décroissante
sur l’intervalle ]0 ;+∞[
5) Construire la courbe \((C_{f})\)
Partie III
Soit \(( U _{n})\) la suite définie par:
\(U _{0}= 1\) et ∀n∊N : \(U_{n +1}= f (U _{n})\)
1) Montrer que l’équation f ( x )= x admet une solution unique α à déterminer.
2) Montrer que:
∀x∊] 0 ;+∞[ : \(|f'(x)|≤\frac{1}{2}\)
3) Montrer que:
∀n∊N : \( |U_{ n +1}-α|≤\frac{1}{2} |U_{n}-α|\)
4) En déduire que la suite \(( U_{n})\) est convergente et calculer sa limite.
Partie IV
Soit \(F\) la fonction définie sur IR par ∀x∊ R*:
\(F (x)=\int_{x}^{2 x} f(t) d t\) et \(F(0)=0\)
1) a) Montrer que ∀x∊ R*:
\(\frac{2 x^{2}}{e^{2 x}-1}≤ F(x) ≤\frac{x^{2}}{e^{x}-1}\)
b) Montrer que la fonction \(F\) est dérivable en 0.
c) Calculer \(\lim_{x⟶-∞} F(x)\) et \(\lim _{x⟶+∞} F(x)\)
2) a) Montrer que \(F\) est dérivable sur IR
et que ∀x∊ IR*: F'(x)=\(\frac{x(3-e^{x})}{e^{2 x}-1}\)
b) Dresser le tableau de variation de la fonction \(F\).
* Exercice 4 ( 3.5 points )
Soit \((I_{n})\) la suite définie par ∀n∊N:
\(I _{n}=\int_{0}^{1} x^{n}ln(x+1)dx\)
1) Calculer \(I_{0}\)
2) Montrer que la suite \((I_{n})\) est décroissante ;
et en déduire que la suite \(( I_{n})\) est convergente
3) a) Montrer que ∀ n∊N : \(0≤ I_{n} ≤\frac{ln2}{n+1}\)
b) En déduire la limite de la suite \((I_{n})\)
4) En utilisant la méthode d’intégration par partie montrer que:
\(I_{n}=\frac{ln 2}{n+1}-\frac{1}{n+1} \int_{0}^{1} \frac{x^{n+1}}{1+x} d x\)
5) Montrer que: \(lim_{n⟶+∞} n I_{n}=0\)
Prof. Younes Baba
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Examen Math bac 2 SM 2020 Préparation 02