Suites numériques · Série de synthèse 2ème Bac

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Exercice 1

Déterminer la limite de la suite \((u_n)\) dans chacun des cas suivants :

1) \(u_n=\dfrac{5n^2-3n+7}{n^2+n+1}\)

Correction détaillée

🔢 On met le terme de plus haut degré en facteur au numérateur et au dénominateur : \(u_n=\dfrac{5-\frac3n+\frac7{n^2}}{1+\frac1n+\frac1{n^2}}\).

✅ \(\lim u_n=5\).

2) \(u_n=\dfrac{5n^2+3}{2n-7}\)

Correction détaillée

🔢 \(u_n=\dfrac{n\left(5n+\frac3n\right)}{n\left(2-\frac7n\right)}=\dfrac{5n+\frac3n}{2-\frac7n}\) avec numérateur \(\to+\infty\) et dénominateur \(\to2\).

✅ \(\lim u_n=+\infty\).

3) \(u_n=\dfrac{7n^2+1}{14n^3-5n+9}\)

Correction détaillée

🔢 La limite d’une fraction rationnelle en \(+\infty\) est celle du quotient des termes de plus haut degré : \(\dfrac{7n^2}{14n^3}=\dfrac1{2n}\).

✅ \(\lim u_n=0\).

4) \(u_n=4n^3-5n^2+3n-1\)

Correction détaillée

🔢 \(u_n=n^3\left(4-\frac5n+\frac3{n^2}-\frac1{n^3}\right)\) avec \(n^3\to+\infty\) et la parenthèse \(\to4\).

✅ \(\lim u_n=+\infty\).

5) \(u_n=\sqrt n-2n\)

Correction détaillée

🔢 \(u_n=n\left(\dfrac1{\sqrt n}-2\right)\) avec \(n\to+\infty\) et la parenthèse \(\to-2\).

✅ \(\lim u_n=-\infty\).

6) \(u_n=\sqrt n-\sqrt{n+1}\)

Correction détaillée

🔢 Quantité conjuguée : \(u_n=\dfrac{n-(n+1)}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}=\dfrac{-1}{\sqrt n+\sqrt{n+1}}\).

✅ \(\lim u_n=0\).

7) \(u_n=\sqrt{n^2+n+1}-n\)

Correction détaillée

🔢 \(u_n=\dfrac{(n^2+n+1)-n^2}{\sqrt{n^2+n+1}+n}=\dfrac{n+1}{\sqrt{n^2+n+1}+n}=\dfrac{1+\frac1n}{\sqrt{1+\frac1n+\frac1{n^2}}+1}\).

✅ \(\lim u_n=\dfrac12\).

8) \(u_n=\sqrt{n^2-3n+2}-n\)

Correction détaillée

🔢 \(u_n=\dfrac{-3n+2}{\sqrt{n^2-3n+2}+n}=\dfrac{-3+\frac2n}{\sqrt{1-\frac3n+\frac2{n^2}}+1}\).

✅ \(\lim u_n=-\dfrac32\).

9) \(u_n=\sqrt{\dfrac{4n+3}{n+2}}\)

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{4n+3}{n+2}\to4\) et la fonction racine carrée est continue en \(4\).

✅ \(\lim u_n=2\).

10) \(u_n=\sqrt[3]{n^5+2n^3-n+4}\)

Correction détaillée

🔢 \(n^5+2n^3-n+4=n^5\left(1+\frac2{n^2}-\frac1{n^4}+\frac4{n^5}\right)\to+\infty\).

✅ \(\lim u_n=+\infty\).

11) \(u_n=\dfrac{5^n-3^n}{5^n+3^n}\)

Correction détaillée

🔢 On divise par \(5^n\) : \(u_n=\dfrac{1-\left(\frac35\right)^n}{1+\left(\frac35\right)^n}\) et \(\left(\frac35\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=1\).

12) \(u_n=\dfrac{4^n+2^n}{3^n-7^n}\)

Correction détaillée

🔢 On divise par \(7^n\) : \(u_n=\dfrac{\left(\frac47\right)^n+\left(\frac27\right)^n}{\left(\frac37\right)^n-1}\to\dfrac{0+0}{0-1}\).

✅ \(\lim u_n=0\).

13) \(u_n=\dfrac{3^n+5^n}{3^n+4\times5^n}\)

Correction détaillée

🔢 On divise par \(5^n\) : \(u_n=\dfrac{\left(\frac35\right)^n+1}{\left(\frac35\right)^n+4}\).

✅ \(\lim u_n=\dfrac14\).

14) \(u_n=1+\dfrac1{2^n}\)

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac1{2^n}=\left(\frac12\right)^n\to0\) car \(-1<\frac12<1\).

✅ \(\lim u_n=1\).

15) \(u_n=\dfrac1n+\left(\dfrac13\right)^n\)

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac1n\to0\) et \(\left(\frac13\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=0\).

16) \(u_n=7+\dfrac53\left(-\dfrac14\right)^n\)

Correction détaillée

🔢 \(-1<-\frac14<1\), donc \(\left(-\frac14\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=7\).

17) \(u_n=3\times(-2)^n\)

Correction détaillée

🔢 La raison \(q=-2\) vérifie \(q\leq-1\) : la suite \(\left((-2)^n\right)\) n’a pas de limite (ses termes changent de signe et leur valeur absolue tend vers \(+\infty\)).

✅ \((u_n)\) n’a pas de limite.

18) \(u_n=5^n-4^n\)

Correction détaillée

🔢 \(u_n=5^n\left(1-\left(\frac45\right)^n\right)\) avec \(5^n\to+\infty\) et \(\left(\frac45\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=+\infty\).

19) \(u_n=\dfrac{3^n+2}{8^n-1}\)

Correction détaillée

🔢 On divise par \(8^n\) : \(u_n=\dfrac{\left(\frac38\right)^n+\frac2{8^n}}{1-\frac1{8^n}}\to\dfrac01\).

✅ \(\lim u_n=0\).

20) \(u_n=\dfrac{2n^2-3n+2}{1-n}\)

Correction détaillée

🔢 On divise par \(n\) : \(u_n=\dfrac{2n-3+\frac2n}{\frac1n-1}\) avec numérateur \(\to+\infty\) et dénominateur \(\to-1\).

✅ \(\lim u_n=-\infty\).

21) \(u_n=\sqrt{\dfrac{2n^2-n+1}{3n^2+4}}\)

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{2n^2-n+1}{3n^2+4}\to\dfrac23\) et la racine carrée est continue en \(\frac23\).

✅ \(\lim u_n=\sqrt{\dfrac23}=\dfrac{\sqrt6}{3}\).

22) \(u_n=\tan\left(\dfrac{\pi n+1}{3n+4}\right)\)

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{\pi n+1}{3n+4}\to\dfrac\pi3\) et la fonction \(\tan\) est continue en \(\dfrac\pi3\).

✅ \(\lim u_n=\tan\dfrac\pi3=\sqrt3\).

23) \(u_n=\sqrt{\dfrac{16n^2-3n+1}{2n^2+1}}\)

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{16n^2-3n+1}{2n^2+1}\to8\).

✅ \(\lim u_n=\sqrt8=2\sqrt2\).

Exercice 2

Déterminer la limite de chacune des suites suivantes en utilisant les théorèmes de comparaison.

1) \(u_n=\dfrac{\cos n}{n+1}\). Montrer que \(|u_n|\leq\dfrac1{n+1}\), puis en déduire la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(|\cos n|\leq1\), donc \(|u_n|=\dfrac{|\cos n|}{n+1}\leq\dfrac1{n+1}\).

🔢 Étape 2 : Comme \(\dfrac1{n+1}\to0\), le théorème des gendarmes donne \(u_n\to0\).

✅ \(\lim u_n=0\).

2) \(u_n=\sin(2n)+n\). Montrer que \(u_n\geq n-1\), puis en déduire la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sin(2n)\geq-1\), donc \(u_n\geq n-1\).

🔢 Étape 2 : \(n-1\to+\infty\), donc \(u_n\to+\infty\).

✅ \(\lim u_n=+\infty\).

3) \(u_n=\dfrac{n+(-1)^n}{n^2+1}\). Montrer que \(|u_n|\leq\dfrac{n+1}{n^2+1}\), puis en déduire la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(|n+(-1)^n|\leq n+1\), donc \(|u_n|\leq\dfrac{n+1}{n^2+1}\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{n+1}{n^2+1}\to0\) (quotient de polynômes de degrés \(1\) et \(2\)).

✅ \(\lim u_n=0\).

4) \(u_n=\dfrac{(-1)^n+n}{(-1)^n+2}\). Montrer que \(u_n\geq\dfrac{n-1}{3}\), puis en déduire la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Si \(n\) est pair : \(u_n=\dfrac{n+1}{3}\geq\dfrac{n-1}3\).

🔢 Étape 2 : Si \(n\) est impair : \(u_n=\dfrac{n-1}{1}=n-1\geq\dfrac{n-1}3\) car \(n-1\geq0\).

🔢 Étape 3 : Or \(\dfrac{n-1}{3}\to+\infty\).

✅ \(\lim u_n=+\infty\).

5) \(v_n=2(-1)^n+\dfrac43n^2+2\). Montrer que \(v_n\geq\dfrac43n^2\), puis en déduire la limite.

Correction détaillée

🔢 \(2(-1)^n+2\geq-2+2=0\), donc \(v_n\geq\dfrac43n^2\).

✅ \(\dfrac43n^2\to+\infty\), donc \(\lim v_n=+\infty\).

6) \(v_n=-4n+3\cos n\). Majorer \(v_n\) puis en déduire la limite.

Correction détaillée

🔢 \(3\cos n\leq3\), donc \(v_n\leq-4n+3\).

✅ \(-4n+3\to-\infty\), donc \(\lim v_n=-\infty\).

7) \(u_n=\dfrac{\sin n}{n}\) (\(n\geq1\))

Correction détaillée

🔢 \(|u_n|\leq\dfrac1n\to0\) ; on conclut par le théorème des gendarmes.

✅ \(\lim u_n=0\).

8) \(u_n=3+\dfrac{\sin n}{n^3}\) (\(n\geq1\))

Correction détaillée

🔢 \(\left|\dfrac{\sin n}{n^3}\right|\leq\dfrac1{n^3}\to0\).

✅ \(\lim u_n=3\).

9) \(u_n=\dfrac{\cos n}{n+2}\)

Correction détaillée

🔢 \(|u_n|\leq\dfrac{1}{n+2}\to0\).

✅ \(\lim u_n=0\).

10) \(u_n=\dfrac{3n-2\sin\frac1n}{4n+\sin\frac1n}\) (\(n\geq1\))

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On divise par \(n\) : \(u_n=\dfrac{3-\frac{2}{n}\sin\frac1n}{4+\frac1n\sin\frac1n}\).

🔢 Étape 2 : \(\left|\dfrac1n\sin\dfrac1n\right|\leq\dfrac1n\to0\).

✅ \(\lim u_n=\dfrac34\).

11) \(u_n=\dfrac1{\sqrt{1+n^2}}+\dfrac1{\sqrt{2+n^2}}+\dfrac1{\sqrt{3+n^2}}+\dots+\dfrac1{\sqrt{n+n^2}}\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n\) est une somme de \(n\) termes. Pour \(1\leq k\leq n\) : \(\dfrac1{\sqrt{n+n^2}}\leq\dfrac1{\sqrt{k+n^2}}\leq\dfrac1{\sqrt{1+n^2}}\).

🔢 Étape 2 : En sommant : \(\dfrac{n}{\sqrt{n+n^2}}\leq u_n\leq\dfrac n{\sqrt{1+n^2}}\).

🔢 Étape 3 : \(\dfrac{n}{\sqrt{n+n^2}}=\dfrac1{\sqrt{1+\frac1n}}\to1\) et \(\dfrac n{\sqrt{1+n^2}}=\dfrac1{\sqrt{1+\frac1{n^2}}}\to1\).

✅ \(\lim u_n=1\).

Exercice 3

Soit \((v_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(v_0=1\) et \(v_{n+1}=v_n+n^4\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1) Montrer que \(v_n\geq n\) pour tout \(n\geq1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}-v_n=n^4\geq1\) pour tout \(n\geq1\). Donc \(v_{n+1}\geq v_n+1\).

🔢 Étape 2 : Initialisation : \(v_1=v_0+0^4=1\geq1\). Hérédité : si \(v_n\geq n\), alors \(v_{n+1}\geq n+1\).

✅ \(v_n\geq n\) pour tout \(n\geq1\).

2) En déduire \(\lim\limits_{n\to+\infty}v_n\).

Correction détaillée

🔢 \(n\to+\infty\) et \(v_n\geq n\).

✅ \(\lim v_n=+\infty\).

Exercice 4

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) où \(f(x)=x^2+x+1\).

1) Montrer que la suite \((u_n)\) est strictement croissante.

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=u_n^2+1>0\).

✅ \((u_n)\) est strictement croissante.

2) Montrer que la suite \((u_n)\) n’est pas majorée (raisonnement par l’absurde).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Supposons \((u_n)\) majorée. Étant croissante, elle converge vers un réel \(\ell\).

🔢 Étape 2 : La fonction \(f:x\mapsto x^2+x+1\) est continue, donc \(\ell=f(\ell)=\ell^2+\ell+1\), soit \(\ell^2=-1\) : impossible.

✅ \((u_n)\) n’est pas majorée.

3) En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Une suite croissante non majorée tend vers \(+\infty\).

✅ \(\lim u_n=+\infty\).

Exercice 5

Soit \((v_n)_{n\geq1}\) la suite définie par : \(v_n=\sqrt{n+1}-\sqrt n\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

1) Montrer que \((v_n)_{n\geq1}\) est minorée par \(0\).

Correction détaillée

🔢 \(\sqrt{n+1}>\sqrt n\), donc \(v_n>0\).

✅ \(v_n>0\) pour tout \(n\geq1\).

2) Montrer que \((v_n)_{n\geq1}\) est majorée par \(\dfrac12\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n=\dfrac{(n+1)-n}{\sqrt{n+1}+\sqrt n}=\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\).

🔢 Étape 2 : Pour \(n\geq1\) : \(\sqrt{n+1}+\sqrt n\geq\sqrt2+1>2\), donc \(v_n<\dfrac12\).

✅ \(v_n\leq\dfrac12\) pour tout \(n\geq1\).

3) Que peut-on dire de la suite \((v_n)_{n\geq1}\) ?

Correction détaillée

🔢 Elle est minorée par \(0\) et majorée par \(\frac12\).

✅ \((v_n)\) est bornée (on a même \(\lim v_n=0\) car \(v_n=\dfrac1{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\)).

Exercice 6

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_n=\dfrac{2+\cos n}{3-\sin\sqrt n}\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1) Montrer que la suite \((u_n)\) est bornée.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(-1\leq\cos n\leq1\), donc \(1\leq2+\cos n\leq3\).

🔢 Étape 2 : \(-1\leq\sin\sqrt n\leq1\), donc \(2\leq3-\sin\sqrt n\leq4\).

🔢 Étape 3 : Par suite \(\dfrac14\leq\dfrac{2+\cos n}{3-\sin\sqrt n}\leq\dfrac32\).

✅ \(\dfrac14\leq u_n\leq\dfrac32\) pour tout \(n\) : \((u_n)\) est bornée.

Exercice 7

1) Déterminer la limite de la suite \((u_n)\) définie par : \(u_n=1-\dfrac13-\dfrac19-\dfrac1{27}-\dots-\dfrac1{3^n}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=1-\left(\dfrac13+\dfrac1{3^2}+\dots+\dfrac1{3^n}\right)\). La parenthèse est la somme des \(n\) premiers termes d’une suite géométrique de premier terme \(\frac13\) et de raison \(\frac13\) : \(\dfrac13\times\dfrac{1-\left(\frac13\right)^n}{1-\frac13}=\dfrac12\left(1-\left(\dfrac13\right)^n\right)\).

🔢 Étape 2 : Donc \(u_n=1-\dfrac12\left(1-\left(\dfrac13\right)^n\right)=\dfrac12+\dfrac12\left(\dfrac13\right)^n\).

🔢 Étape 3 : \(\left(\frac13\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=\dfrac12\).

2) Calculer en fonction de \(n\) la somme \(S_n=\sum\limits_{k=0}^{n-1}\left(\dfrac12\right)^k=1+\dfrac12+\left(\dfrac12\right)^2+\dots+\left(\dfrac12\right)^{n-1}\), puis sa limite.

Correction détaillée

🔢 Somme de \(n\) termes d’une suite géométrique de premier terme \(1\) et de raison \(\frac12\) : \(S_n=\dfrac{1-\left(\frac12\right)^n}{1-\frac12}\).

✅ \(S_n=2\left(1-\left(\dfrac12\right)^n\right)\) et \(\lim S_n=2\).

Exercice 8

Un jeune homme se préparait à l’examen du baccalauréat ; son père, pour l’encourager, lui demanda ce qu’il désirait en récompense. « Mon examen devant avoir lieu le 20 juin, répondit-il, donne-moi seulement 1 centime le 1er juin, 2 centimes le lendemain, 4 centimes le surlendemain, en doublant chaque jour jusqu’au 20 juin inclusivement. Et donne-moi la somme. J’emploierai cet argent pour faire un voyage pendant les vacances. » Le père pensa qu’avec cette somme son fils n’irait pas loin ; mais au bout de quelques jours, il commença à s’apercevoir de son erreur. Avec quelle somme le fils va-t-il pouvoir partir en vacances ?

1) Exprimer, en centimes, la somme reçue le \(k\)-ième jour (\(1\leq k\leq20\)).

Correction détaillée

🔢 Le 1er juin : \(1\) centime ; le 2 : \(2\) ; le 3 : \(4\)… Chaque jour la somme est doublée : suite géométrique de premier terme \(1\) et de raison \(2\).

✅ Le \(k\)-ième jour, le fils reçoit \(2^{k-1}\) centimes.

2) Calculer la somme totale reçue du 1er au 20 juin inclus.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(S=1+2+2^2+\dots+2^{19}=\dfrac{2^{20}-1}{2-1}=2^{20}-1\).

🔢 Étape 2 : \(2^{20}=1\,048\,576\).

✅ \(S=1\,048\,575\) centimes, soit environ \(10\,485{,}75\) unités monétaires : le fils pouvait bien partir en voyage !

Exercice 9

Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\) dans chacun des cas suivants :

1) \(u_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{2^k}{k}\) pour \(n\in\mathbb N^*\)

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2^{n+1}}{n+1}>0\).

✅ \((u_n)\) est strictement croissante.

2) \(u_n=\sum\limits_{k=1}^{n}\dfrac{1}{n+k}\) pour \(n\in\mathbb N^*\)

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=\dfrac1{n+1}+\dfrac1{n+2}+\dots+\dfrac1{2n}\) et \(u_{n+1}=\dfrac1{n+2}+\dots+\dfrac1{2n}+\dfrac1{2n+1}+\dfrac1{2n+2}\).

🔢 Étape 2 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac1{2n+1}+\dfrac1{2n+2}-\dfrac1{n+1}=\dfrac1{2n+1}-\dfrac1{2n+2}>0\).

✅ \((u_n)\) est strictement croissante.

Exercice 10

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=13\) et \(u_{n+1}=\dfrac12u_n+7\) ; \(\forall n\in\mathbb N\).

1) Démontrer par récurrence que \(u_n<14\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=13<14\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n<14\), alors \(\dfrac12u_n<7\), donc \(u_{n+1}=\dfrac12u_n+7<14\).

✅ \(u_n<14\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

2.a) On pose \(v_n=14-u_n\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\), puis écrire \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=14-u_{n+1}=14-\dfrac12u_n-7=7-\dfrac12u_n=\dfrac12(14-u_n)=\dfrac12v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=14-13=1\), donc \(v_n=v_0\left(\dfrac12\right)^n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\) et \(v_n=\left(\dfrac12\right)^n\).

2.b) En déduire que \(u_n=14-\left(\dfrac12\right)^n\) pour tout \(n\in\mathbb N\), puis calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=14-v_n=14-\left(\dfrac12\right)^n\).

🔢 Étape 2 : \(-1<\dfrac12<1\) donc \(\left(\dfrac12\right)^n\to0\).

✅ \(u_n=14-\left(\dfrac12\right)^n\) et \(\lim u_n=14\).

2.c) Déterminer la plus petite valeur de l’entier naturel \(n\) pour laquelle \(u_n>13{,}99\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n>13{,}99\iff14-\left(\frac12\right)^n>13{,}99\iff\left(\frac12\right)^n<0{,}01\iff2^n>100\).

🔢 Étape 2 : \(2^6=64<100\) et \(2^7=128>100\).

✅ La plus petite valeur est \(n=7\).

Exercice 11

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=4\) et \(u_{n+1}=\dfrac25u_n+3\) ; \(\forall n\in\mathbb N\).

1) Démontrer par récurrence que \(u_n<5\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=4<5\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n<5\), alors \(\frac25u_n<2\) donc \(u_{n+1}=\frac25u_n+3<5\).

✅ \(u_n<5\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

2) Vérifier que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac35(5-u_n)\) pour tout \(n\in\mathbb N\), puis en déduire que \((u_n)\) est croissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac25u_n+3-u_n=3-\dfrac35u_n=\dfrac35(5-u_n)\).

🔢 Étape 2 : D’après 1), \(5-u_n>0\), donc \(u_{n+1}-u_n>0\).

✅ \((u_n)\) est (strictement) croissante.

3) En déduire que \((u_n)\) est convergente.

Correction détaillée

🔢 \((u_n)\) est croissante et majorée par \(5\).

✅ \((u_n)\) est convergente.

4.a) On pose \(v_n=5-u_n\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac25\), puis écrire \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=5-\dfrac25u_n-3=2-\dfrac25u_n=\dfrac25(5-u_n)=\dfrac25v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=5-4=1\), donc \(v_n=\left(\dfrac25\right)^n\).

✅ \(v_n=\left(\dfrac25\right)^n\).

4.b) En déduire que \(u_n=5-\left(\dfrac25\right)^n\), puis calculer la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=5-v_n=5-\left(\frac25\right)^n\).

🔢 Étape 2 : \(-1<\frac25<1\) donc \(\left(\frac25\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=5\).

Exercice 12

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_{n+1}=\dfrac15u_n+\dfrac45\) et \(u_0=2\).

1) Vérifier que \(u_{n+1}-1=\dfrac15(u_n-1)\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-1=\dfrac15u_n+\dfrac45-1=\dfrac15u_n-\dfrac15=\dfrac15(u_n-1)\).

✅ \(u_{n+1}-1=\dfrac15(u_n-1)\).

2.a) Montrer par récurrence que \(u_n>1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=2>1\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>1\), d’après 1) \(u_{n+1}-1=\frac15(u_n-1)>0\).

✅ \(u_n>1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

2.b) Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac15u_n+\dfrac45-u_n=\dfrac45(1-u_n)\).

🔢 Étape 2 : Comme \(u_n>1\), \(1-u_n<0\).

✅ \(u_{n+1}-u_n<0\) : \((u_n)\) est décroissante.

2.c) Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente.

Correction détaillée

🔢 \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(1\).

✅ \((u_n)\) est convergente.

3.a) On pose \(v_n=u_n-1\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac15\), puis calculer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 D’après 1), \(v_{n+1}=\dfrac15v_n\). Et \(v_0=u_0-1=1\).

✅ \(v_n=\left(\dfrac15\right)^n\).

3.b) Montrer que \(u_n=\left(\dfrac15\right)^n+1\), puis calculer la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=v_n+1=\left(\frac15\right)^n+1\).

🔢 Étape 2 : \(\left(\frac15\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=1\).

Exercice 13

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_{n+1}=\dfrac{10}{11}u_n+\dfrac{12}{11}\) et \(u_0=11\).

1) Vérifier que \(u_{n+1}-12=\dfrac{10}{11}(u_n-12)\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-12=\dfrac{10}{11}u_n+\dfrac{12}{11}-12=\dfrac{10}{11}u_n-\dfrac{120}{11}=\dfrac{10}{11}(u_n-12)\).

✅ \(u_{n+1}-12=\dfrac{10}{11}(u_n-12)\).

2.a) Montrer par récurrence que \(u_n<12\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=11<12\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n<12\), alors \(u_n-12<0\) et d’après 1) \(u_{n+1}-12=\frac{10}{11}(u_n-12)<0\).

✅ \(u_n<12\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

2.b) Montrer que la suite \((u_n)\) est strictement décroissante.

Correction détaillée

⚠️ Dans l’énoncé on lit « strictement décroissante », mais le calcul donne \(u_{n+1}-u_n=\frac1{11}(12-u_n)>0\) : la suite est strictement croissante (cohérent avec \(u_0=11\) et \(u_n\to12\)).

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{10}{11}u_n+\dfrac{12}{11}-u_n=\dfrac1{11}(12-u_n)\).

🔢 Étape 2 : Comme \(u_n<12\), \(12-u_n>0\) : donc \(u_{n+1}-u_n>0\).

✅ \(u_{n+1}-u_n>0\) pour tout \(n\) : la suite est strictement croissante.

2.c) Déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.

Correction détaillée

🔢 \((u_n)\) est croissante et majorée par \(12\).

✅ \((u_n)\) est convergente.

3.a) On pose \(v_n=u_n-12\). En utilisant la question 1), montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{10}{11}\), puis calculer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 D’après 1), \(v_{n+1}=\dfrac{10}{11}v_n\) ; \(v_0=11-12=-1\).

✅ \(v_n=-\left(\dfrac{10}{11}\right)^n\).

3.b) Calculer \(u_n\) en fonction de \(n\), puis sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=12+v_n=12-\left(\dfrac{10}{11}\right)^n\).

🔢 Étape 2 : \(-1<\frac{10}{11}<1\).

✅ \(u_n=12-\left(\dfrac{10}{11}\right)^n\) et \(\lim u_n=12\).

Exercice 14

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac1{16}u_n+\dfrac{15}{16}\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1.a) Démontrer par récurrence que \(u_n>1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=2>1\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>1\), alors \(u_{n+1}-1=\frac1{16}u_n+\frac{15}{16}-1=\frac1{16}(u_n-1)>0\).

✅ \(u_n>1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1.b) Vérifier que \(u_{n+1}-u_n=-\dfrac{15}{16}(u_n-1)\), puis montrer que \((u_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac1{16}u_n+\dfrac{15}{16}-u_n=-\dfrac{15}{16}u_n+\dfrac{15}{16}=-\dfrac{15}{16}(u_n-1)\).

🔢 Étape 2 : \(u_n-1>0\) donc \(u_{n+1}-u_n<0\).

✅ \((u_n)\) est décroissante.

1.c) En déduire que \((u_n)\) est convergente.

Correction détaillée

🔢 \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(1\).

✅ \((u_n)\) est convergente.

2.a) On considère la suite \((v_n)\) définie par \(v_n=u_n-1\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac1{16}\), puis écrire \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=u_{n+1}-1=\dfrac1{16}(u_n-1)=\dfrac1{16}v_n\) (calcul du 1.a)).

🔢 Étape 2 : \(v_0=2-1=1\).

✅ \(v_n=\left(\dfrac1{16}\right)^n\).

2.b) Montrer que \(u_n=1+\left(\dfrac1{16}\right)^n\), puis déterminer la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

⚠️ Dans une des sources on trouve « \(u_n=1-\left(\frac1{16}\right)^n\) » : c’est une faute de signe, car \(u_0=2\) donne bien \(u_n=1+\left(\frac1{16}\right)^n\).

🔢 Étape 1 : \(u_n=1+v_n=1+\left(\frac1{16}\right)^n\).

🔢 Étape 2 : \(\left(\frac1{16}\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=1\).

Exercice 15

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=17\) et \(u_{n+1}=\dfrac14u_n+12\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1.a) Montrer par récurrence que \(u_n>16\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=17>16\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>16\), alors \(\frac14u_n>4\) donc \(u_{n+1}=\frac14u_n+12>16\).

✅ \(u_n>16\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1.b) Montrer que \((u_n)\) est décroissante et en déduire qu’elle est convergente.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac14u_n+12-u_n=-\dfrac34(u_n-16)<0\) car \(u_n>16\).

🔢 Étape 2 : \((u_n)\) est décroissante et minorée par \(16\).

✅ \((u_n)\) est décroissante et convergente.

2.a) On pose \(v_n=u_n-16\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique, puis écrire \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

⚠️ Dans une des sources la raison est annoncée égale à \(\frac1{16}\) : c’est \(\frac14\) qui est correcte (et \(u_n=16+\left(\frac14\right)^n\)).

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=\dfrac14u_n+12-16=\dfrac14u_n-4=\dfrac14(u_n-16)=\dfrac14v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=1\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac14\) et \(v_n=\left(\dfrac14\right)^n\).

2.b) En déduire que \(u_n=16+\left(\dfrac14\right)^n\), puis la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(u_n=16+v_n\) et \(\left(\frac14\right)^n\to0\).

✅ \(u_n=16+\left(\dfrac14\right)^n\) et \(\lim u_n=16\).

2.c) Déterminer la plus petite valeur de l’entier naturel \(n\) pour laquelle \(u_n<16{,}0001\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n<16{,}0001\iff\left(\frac14\right)^n<10^{-4}\iff4^n>10^4\).

🔢 Étape 2 : \(4^6=4096<10000\) et \(4^7=16384>10000\).

✅ La plus petite valeur est \(n=7\).

Exercice 16

Considérons la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=10\) et \(u_{n+1}=\dfrac{17}{19}u_n+\dfrac{18}{19}\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\).

1) Montrer que \(u_n\geq9\), pour tout \(n\) de \(\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=10\geq9\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n\geq9\), alors \(u_{n+1}=\frac{17}{19}u_n+\frac{18}{19}\geq\frac{17\times9+18}{19}=\frac{171}{19}=9\).

✅ \(u_n\geq9\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

2) Montrer que \((u_n)\) est décroissante, puis déduire qu’elle est convergente.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{17}{19}u_n+\dfrac{18}{19}-u_n=\dfrac{18-2u_n}{19}=-\dfrac2{19}(u_n-9)\leq0\).

🔢 Étape 2 : Décroissante et minorée par \(9\).

✅ \((u_n)\) est décroissante et minorée : elle est convergente.

3.a) On pose \(v_n=u_n-9\). Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique.

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}=\dfrac{17}{19}u_n+\dfrac{18}{19}-9=\dfrac{17}{19}u_n-\dfrac{153}{19}=\dfrac{17}{19}(u_n-9)=\dfrac{17}{19}v_n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac{17}{19}\) et de premier terme \(v_0=1\).

3.b) Calculer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n=v_0q^n\).

✅ \(v_n=\left(\dfrac{17}{19}\right)^n\).

3.c) Déduire \(u_n\) en fonction de \(n\), puis calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=9+v_n=9+\left(\frac{17}{19}\right)^n\).

🔢 Étape 2 : \(0<\frac{17}{19}<1\).

✅ \(u_n=9+\left(\dfrac{17}{19}\right)^n\) et \(\lim u_n=9\).

Exercice 17

Soit \((u_n)\) la suite définie par : \(u_{n+1}=\dfrac12u_n+3\) (\(\forall n\in\mathbb N\)) et \(u_0=2\).

1) Calculer \(u_1\) et \(u_2\).

Correction détaillée

🔢 \(u_1=\frac12\times2+3=4\) ; \(u_2=\frac12\times4+3=5\).

✅ \(u_1=4\) et \(u_2=5\).

2) Montrer que \(u_n<6\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=2<6\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n<6\), \(u_{n+1}=\frac12u_n+3<3+3=6\).

✅ \(u_n<6\).

3) Étudier la monotonie de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=3-\dfrac12u_n=\dfrac12(6-u_n)>0\).

✅ \((u_n)\) est strictement croissante.

4) On définit la suite \((v_n)\) par \(v_n=u_n-6\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

4.a) Calculer \(v_0\) et \(v_1\).

Correction détaillée

🔢 \(v_0=2-6=-4\) ; \(v_1=4-6=-2\).

✅ \(v_0=-4\) et \(v_1=-2\).

4.b) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique.

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}=\dfrac12u_n+3-6=\dfrac12(u_n-6)=\dfrac12v_n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\).

4.c) Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n=v_0\left(\frac12\right)^n\).

✅ \(v_n=-4\left(\dfrac12\right)^n\).

4.d) En déduire \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(u_n=v_n+6\).

✅ \(u_n=6-4\left(\dfrac12\right)^n\).

5) Exprimer \(S_n=v_0+v_1+\dots+v_n\) et \(w_n=u_0+u_1+\dots+u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Somme de \(n+1\) termes d’une suite géométrique : \(S_n=v_0\dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}=-4\times\dfrac{1-\left(\frac12\right)^{n+1}}{\frac12}=-8\left(1-\left(\tfrac12\right)^{n+1}\right)\).

🔢 Étape 2 : \(w_n=\sum(v_k+6)=S_n+6(n+1)\).

✅ \(S_n=-8+8\left(\dfrac12\right)^{n+1}\) et \(w_n=6n-2+8\left(\dfrac12\right)^{n+1}\).

6) Calculer \(\lim v_n\) ; \(\lim u_n\) ; \(\lim S_n\) et \(\lim w_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\left(\frac12\right)^n\to0\) donc \(v_n\to0\), \(u_n\to6\), \(S_n\to-8\).

🔢 Étape 2 : \(w_n=6n-2+8\left(\frac12\right)^{n+1}\to+\infty\).

✅ \(\lim v_n=0\) ; \(\lim u_n=6\) ; \(\lim S_n=-8\) ; \(\lim w_n=+\infty\).

Exercice 18

On définit la suite \((u_n)\) par : \(u_0=13\) et, pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac15u_n+\dfrac45\). On définit la suite \((S_n)\) par \(S_n=\sum\limits_{k=0}^nu_k\).

1) Montrer par récurrence que \(u_n=1+\dfrac{12}{5^n}\) pour tout entier naturel \(n\). En déduire la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(1+\frac{12}{5^0}=13=u_0\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n=1+\frac{12}{5^n}\), alors \(u_{n+1}=\frac15\left(1+\frac{12}{5^n}\right)+\frac45=1+\frac{12}{5^{n+1}}\).

🔢 Étape 3 : \(\frac{12}{5^n}\to0\).

✅ \(u_n=1+\dfrac{12}{5^n}\) et \(\lim u_n=1\).

2.a) Déterminer la monotonie de la suite \((S_n)\) où \(S_n=\sum\limits_{k=0}^nu_k=u_0+u_1+\dots+u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(S_{n+1}-S_n=u_{n+1}=1+\dfrac{12}{5^{n+1}}>0\).

✅ \((S_n)\) est strictement croissante.

2.b) Calculer \(S_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(S_n=(n+1)+12\sum\limits_{k=0}^n\left(\dfrac15\right)^k=(n+1)+12\times\dfrac{1-\left(\frac15\right)^{n+1}}{\frac45}\).

✅ \(S_n=n+1+15\left(1-\left(\dfrac15\right)^{n+1}\right)=n+16-15\left(\dfrac15\right)^{n+1}\).

2.c) Déterminer la limite de \((S_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(n+16\to+\infty\) et \(\left(\frac15\right)^{n+1}\to0\).

✅ \(\lim S_n=+\infty\).

Exercice 19

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac13u_n+n-2\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

1) Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).

Correction détaillée

🔢 \(u_1=\frac13-2=-\frac53\) ; \(u_2=-\frac59+1-2=-\frac{14}9\) ; \(u_3=-\frac{14}{27}+2-2=-\frac{14}{27}\).

✅ \(u_1=-\dfrac53\), \(u_2=-\dfrac{14}9\), \(u_3=-\dfrac{14}{27}\).

2.a) Démontrer que pour tout entier naturel \(n\geq4\), \(u_n\geq0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_4=\frac13u_3+3-2=-\frac{14}{81}+1=\frac{67}{81}\geq0\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n\geq0\) (\(n\geq4\)), \(u_{n+1}=\frac13u_n+n-2\geq n-2\geq2>0\).

✅ \(u_n\geq0\) pour tout \(n\geq4\).

2.b) En déduire que pour tout entier naturel \(n\geq5\), \(u_n\geq n-3\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour \(n\geq4\) : \(u_n\geq0\), donc \(u_{n+1}=\frac13u_n+n-2\geq n-2=(n+1)-3\).

🔢 Étape 2 : C’est vrai pour tout \(n+1\geq5\).

✅ \(u_n\geq n-3\) pour tout \(n\geq5\).

2.c) En déduire la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(u_n\geq n-3\) et \(n-3\to+\infty\).

✅ \(\lim u_n=+\infty\).

3) On définit la suite \((v_n)\) par : \(v_n=-2u_n+3n-\dfrac{21}2\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

3.a) Démontrer que \((v_n)\) est une suite géométrique dont on donnera la raison et le premier terme.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=-2\left(\frac13u_n+n-2\right)+3(n+1)-\frac{21}2=-\frac23u_n+n-\frac72\).

🔢 Étape 2 : Et \(\frac13v_n=-\frac23u_n+n-\frac72\). Donc \(v_{n+1}=\frac13v_n\).

🔢 Étape 3 : \(v_0=-2\times1-\frac{21}2=-\frac{25}2\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac13\) et de premier terme \(v_0=-\dfrac{25}2\).

3.b) En déduire que \(u_n=\dfrac{25}4\left(\dfrac13\right)^n+\dfrac32n-\dfrac{21}4\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n=-\frac{25}2\left(\frac13\right)^n\).

🔢 Étape 2 : De \(v_n=-2u_n+3n-\frac{21}2\) : \(u_n=\dfrac{3n-\frac{21}2-v_n}{2}=\dfrac32n-\dfrac{21}4+\dfrac{25}4\left(\dfrac13\right)^n\).

✅ \(u_n=\dfrac{25}4\left(\dfrac13\right)^n+\dfrac32n-\dfrac{21}4\).

3.c) Soit la somme \(S_n=u_0+u_1+\dots+u_n\). Déterminer l’expression de \(S_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac13\right)^k=\dfrac{1-\left(\frac13\right)^{n+1}}{\frac23}=\dfrac32\left(1-\left(\tfrac13\right)^{n+1}\right)\).

🔢 Étape 2 : \(\sum\limits_{k=0}^nk=\dfrac{n(n+1)}2\) et \(\sum\limits_{k=0}^n1=n+1\).

🔢 Étape 3 : \(S_n=\dfrac{25}4\times\dfrac32\left(1-\left(\frac13\right)^{n+1}\right)+\dfrac32\times\dfrac{n(n+1)}2-\dfrac{21}4(n+1)\).

✅ \(S_n=\dfrac{75}8\left(1-\left(\dfrac13\right)^{n+1}\right)+\dfrac{3n(n+1)}4-\dfrac{21(n+1)}4\).

Exercice 20

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=\dfrac12\) et \(u_{n+1}=\dfrac12u_n+\dfrac n2-\dfrac32\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

1) Calculer \(u_1\), \(u_2\) et \(u_3\).

Correction détaillée

🔢 \(u_1=\frac14-\frac32=-\frac54\) ; \(u_2=-\frac58+\frac12-\frac32=-\frac{13}8\) ; \(u_3=-\frac{13}{16}+1-\frac32=-\frac{21}{16}\).

✅ \(u_1=-\dfrac54\), \(u_2=-\dfrac{13}8\), \(u_3=-\dfrac{21}{16}\).

2) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\geq3\), \(u_{n+1}>u_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_4=-\frac{21}{32}+\frac32-\frac32=-\frac{21}{32}>-\frac{21}{16}=u_3\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : \(u_{n+2}-u_{n+1}=\frac12(u_{n+1}-u_n)+\frac12>0\) si \(u_{n+1}-u_n>0\).

✅ \(u_{n+1}>u_n\) pour tout \(n\geq3\).

3) En déduire le sens de variation de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 D’après 2).

✅ \((u_n)\) est strictement croissante à partir du rang \(3\).

4) On définit la suite \((v_n)\) par : \(v_n=0{,}1u_n-0{,}1n+0{,}5\) (\(\forall n\in\mathbb N\)). Démontrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}5\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=0{,}1\left(\frac12u_n+\frac n2-\frac32\right)-0{,}1(n+1)+0{,}5=0{,}05u_n-0{,}05n+0{,}25\).

🔢 Étape 2 : \(0{,}5\,v_n=0{,}05u_n-0{,}05n+0{,}25\). Donc \(v_{n+1}=0{,}5v_n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(0{,}5\).

5) Montrer que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_n=\dfrac{11}2\left(\dfrac12\right)^n+n-5\).

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé écrit \(u_n=10\times\left(\frac12\right)^n+n-5\) : cette formule correspond à \(u_0=5\). Avec \(u_0=\frac12\) (comme dans l’énoncé), on trouve \(\frac{11}2\) au lieu de \(10\) (vérification : \(u_0=\frac{11}2-5=\frac12\)).

🔢 Étape 1 : \(v_0=0{,}1\times\frac12+0{,}5=0{,}55\), donc \(v_n=0{,}55\times(0{,}5)^n\).

🔢 Étape 2 : \(u_n=10v_n+n-5=5{,}5\left(\frac12\right)^n+n-5\).

✅ \(u_n=\dfrac{11}2\left(\dfrac12\right)^n+n-5\).

6) Déterminer alors la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(\frac12\right)^n\to0\) et \(n-5\to+\infty\).

✅ \(\lim u_n=+\infty\).

Exercice 21

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac15(u_n-4n-1)\) (\(\forall n\in\mathbb N\)). On pose \(v_n=u_n+n-1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique de raison \(\dfrac15\).

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}=u_{n+1}+(n+1)-1=\dfrac15(u_n-4n-1)+n=\dfrac15u_n+\dfrac15n-\dfrac15=\dfrac15(u_n+n-1)=\dfrac15v_n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac15\).

2.a) Calculer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_0=u_0+0-1=1\) donc \(v_n=\left(\frac15\right)^n\).

✅ \(v_n=\left(\dfrac15\right)^n\).

2.b) En déduire \(u_n\) en fonction de \(n\), puis calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=v_n-n+1=\left(\frac15\right)^n-n+1\).

🔢 Étape 2 : \(\left(\frac15\right)^n\to0\) et \(-n+1\to-\infty\).

✅ \(u_n=\left(\dfrac15\right)^n-n+1\) et \(\lim u_n=-\infty\).

3) On pose \(T_n=v_0+v_1+\dots+v_n\) et \(S_n=u_0+u_1+\dots+u_n\). Montrer que \(T_n=\dfrac14\left(5-\dfrac1{5^n}\right)\) et \(S_n=T_n-\dfrac{(n+1)(n-2)}2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(T_n=\dfrac{1-\left(\frac15\right)^{n+1}}{1-\frac15}=\dfrac54\left(1-\dfrac1{5^{n+1}}\right)=\dfrac14\left(5-\dfrac1{5^n}\right)\).

🔢 Étape 2 : \(S_n=\sum(v_k-k+1)=T_n-\sum\limits_{k=0}^n(k-1)=T_n-\left(\dfrac{n(n+1)}2-(n+1)\right)=T_n-\dfrac{(n+1)(n-2)}2\).

✅ \(T_n=\dfrac14\left(5-\dfrac1{5^n}\right)\) et \(S_n=T_n-\dfrac{(n+1)(n-2)}2\).

Exercice 22

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=2\), \(u_1=\dfrac49\) et \(u_{n+2}=\dfrac1{27}(12u_{n+1}-u_n)\) (\(\forall n\in\mathbb N\)), et \(v_n=u_n-\dfrac1{3^n}\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1) Montrer que \(u_{n+1}=\dfrac19u_n+\dfrac2{3^{n+2}}\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Soit \(w_n=u_{n+1}-\dfrac19u_n-\dfrac2{3^{n+2}}\). On a \(w_0=\frac49-\frac29-\frac29=0\).

🔢 Étape 2 : \(w_{n+1}=u_{n+2}-\frac19u_{n+1}-\frac2{3^{n+3}}=\frac{12u_{n+1}-u_n}{27}-\frac{3u_{n+1}}{27}-\frac2{3^{n+3}}=\frac13\left(u_{n+1}-\frac19u_n-\frac2{3^{n+2}}\right)=\frac13w_n\).

🔢 Étape 3 : Donc \(w_n=0\) pour tout \(n\) (récurrence).

✅ \(u_{n+1}=\dfrac19u_n+\dfrac2{3^{n+2}}\).

2.a) Montrer que \((v_n)\) est géométrique, dont on déterminera la raison et le premier terme.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=u_{n+1}-\dfrac1{3^{n+1}}=\dfrac19u_n+\dfrac2{3^{n+2}}-\dfrac3{3^{n+2}}=\dfrac19u_n-\dfrac1{3^{n+2}}=\dfrac19\left(u_n-\dfrac1{3^n}\right)=\dfrac19v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=u_0-1=1\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac19\) et de premier terme \(v_0=1\).

2.b) Écrire \(v_n\) et \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n=\left(\frac19\right)^n\) et \(u_n=v_n+\frac1{3^n}\).

✅ \(v_n=\dfrac1{9^n}\) et \(u_n=\dfrac1{9^n}+\dfrac1{3^n}\).

2.c) Calculer la somme \(s_n=\sum\limits_{k=0}^nu_k=u_0+u_1+\dots+u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(\sum\limits_{k=0}^n\frac1{9^k}=\dfrac{1-\left(\frac19\right)^{n+1}}{\frac89}=\dfrac98\left(1-\dfrac1{9^{n+1}}\right)\) et \(\sum\limits_{k=0}^n\frac1{3^k}=\dfrac32\left(1-\dfrac1{3^{n+1}}\right)\).

✅ \(s_n=\dfrac98\left(1-\dfrac1{9^{n+1}}\right)+\dfrac32\left(1-\dfrac1{3^{n+1}}\right)\).

Exercice 23

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=u_1=1\), \(u_{n+2}=\dfrac25u_{n+1}-\dfrac1{25}u_n\) (\(\forall n\in\mathbb N\)). On pose \(a_n=u_{n+1}-\dfrac15u_n\) et \(b_n=5^nu_n\).

1) Montrer que \((a_n)\) est une suite géométrique, puis calculer \(a_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(a_{n+1}=u_{n+2}-\frac15u_{n+1}=\frac25u_{n+1}-\frac1{25}u_n-\frac15u_{n+1}=\frac15u_{n+1}-\frac1{25}u_n=\frac15\left(u_{n+1}-\frac15u_n\right)=\frac15a_n\).

🔢 Étape 2 : \(a_0=u_1-\frac15u_0=1-\frac15=\frac45\).

✅ \((a_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac15\) et \(a_n=\dfrac45\left(\dfrac15\right)^n\).

2) Étudier la nature de \((b_n)_{n\in\mathbb N}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(b_{n+1}-b_n=5^{n+1}u_{n+1}-5^nu_n=5^n(5u_{n+1}-u_n)=5^{n+1}a_n=5^{n+1}\times\dfrac45\times\dfrac1{5^n}=4\).

🔢 Étape 2 : \(b_0=u_0=1\).

✅ \((b_n)\) est arithmétique de raison \(4\) et de premier terme \(1\).

3.a) Calculer \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(b_n=1+4n\) et \(u_n=\dfrac{b_n}{5^n}\).

✅ \(u_n=\dfrac{4n+1}{5^n}\).

3.b) Montrer que \(0<u_{n+1}\leq\dfrac25u_n\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

Correction détaillée

🔢 \(u_n>0\). De plus \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}=\dfrac{4n+5}{5(4n+1)}\) et \(\dfrac{4n+5}{5(4n+1)}\leq\dfrac25\iff4n+5\leq8n+2\iff n\geq\dfrac34\).

✅ Pour \(n\geq1\) : \(0<u_{n+1}\leq\dfrac25u_n\).

3.c) Déduire que \(0<u_n\leq\left(\dfrac25\right)^{n-1}\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Par récurrence : \(u_1=1\leq\left(\frac25\right)^0\).

🔢 Étape 2 : Si \(u_n\leq\left(\frac25\right)^{n-1}\), alors \(u_{n+1}\leq\frac25u_n\leq\left(\frac25\right)^n\).

✅ \(0<u_n\leq\left(\dfrac25\right)^{n-1}\).

4) Calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(0<u_n\leq\left(\frac25\right)^{n-1}\to0\) : théorème des gendarmes.

✅ \(\lim u_n=0\).

Exercice 24

On considère une suite \((u_n)\) définie sur \(\mathbb N\) par : \(u_0=6\) et \(u_{n+1}=\dfrac13u_n+2\). On pose \(v_n=u_n-3\).

1.a) Montrer que la suite \((v_n)\) est géométrique dont on déterminera la raison et le premier terme \(v_0\).

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}=u_{n+1}-3=\dfrac13u_n+2-3=\dfrac13(u_n-3)=\dfrac13v_n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac13\), \(v_0=6-3=3\).

1.b) Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n=3\left(\frac13\right)^n\) et \(u_n=v_n+3\).

✅ \(v_n=3\left(\dfrac13\right)^n\) et \(u_n=3+3\left(\dfrac13\right)^n\).

1.c) En déduire \(\lim v_n\) et \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(\frac13\right)^n\to0\).

✅ \(\lim v_n=0\) et \(\lim u_n=3\).

2) Pour tout \(n\in\mathbb N\), on pose \(S_n=v_0+v_1+\dots+v_n\). Déterminer \(\lim S_n\).

Correction détaillée

🔢 \(S_n=3\times\dfrac{1-\left(\frac13\right)^{n+1}}{1-\frac13}=\dfrac92\left(1-\left(\dfrac13\right)^{n+1}\right)\).

✅ \(\lim S_n=\dfrac92\).

Exercice 25

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=2u_n+1-n\) pour tout entier naturel \(n\).

1) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel \(n\), \(n\leq u_n\). Qu’en déduit-on ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=1\geq0\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n\geq n\), alors \(u_{n+1}=2u_n+1-n\geq2n+1-n=n+1\).

🔢 Étape 3 : Comme \(n\to+\infty\), le théorème de comparaison s’applique.

✅ \(u_n\geq n\) pour tout \(n\), donc \(\lim u_n=+\infty\).

Exercice 26

Soit \((u_n)\) la suite définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\dfrac12\sqrt{u_n^2+12}\).

1.a) Déterminer les cinq premiers termes de cette suite.

Correction détaillée

🔢 \(u_0=0\) ; \(u_1=\frac12\sqrt{12}=\sqrt3\approx1{,}732\) ; \(u_2=\frac12\sqrt{15}\approx1{,}936\) ; \(u_3=\frac12\sqrt{\frac{15}4+12}=\frac{\sqrt{63}}4\approx1{,}984\) ; \(u_4=\frac12\sqrt{\frac{63}{16}+12}=\frac{\sqrt{255}}8\approx1{,}996\).

✅ \(0\) ; \(\sqrt3\) ; \(\dfrac{\sqrt{15}}2\) ; \(\dfrac{\sqrt{63}}4\) ; \(\dfrac{\sqrt{255}}8\).

1.b) Quel semble être la limite de \((u_n)\) ?

Correction détaillée

🔢 Les termes se rapprochent de \(2\).

✅ La limite semble être \(2\).

2) Montrer que la suite \((v_n)\) définie par \(v_n=u_n^2-4\) est géométrique. En déduire la limite de \((v_n)\) puis celle de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=u_{n+1}^2-4=\dfrac14(u_n^2+12)-4=\dfrac14u_n^2-1=\dfrac14(u_n^2-4)=\dfrac14v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=-4\), donc \(v_n=-4\left(\frac14\right)^n\to0\).

🔢 Étape 3 : \(u_n\geq0\) et \(u_n^2=4+v_n\to4\) ; \(u_n=\sqrt{4+v_n}\to\sqrt4=2\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac14\) ; \(\lim v_n=0\) et \(\lim u_n=2\).

Exercice 27

Soit la suite récurrente \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par : \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{5u_n+3}{u_n+3}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)). Soit \((v_n)\) définie par \(v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n+1}\).

1) Montrer que \(0\leq u_n\leq3\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=1\in[0,3]\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(0\leq u_n\leq3\) : \(u_{n+1}\geq0\) (quotient de termes positifs) et \(3-u_{n+1}=\dfrac{3u_n+9-5u_n-3}{u_n+3}=\dfrac{2(3-u_n)}{u_n+3}\geq0\).

✅ \(0\leq u_n\leq3\) pour tout \(n\).

2.a) Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{5u_n+3-u_n^2-3u_n}{u_n+3}=\dfrac{-u_n^2+2u_n+3}{u_n+3}=\dfrac{(3-u_n)(u_n+1)}{u_n+3}\).

🔢 Étape 2 : Pour \(0\leq u_n\leq3\), ce quotient est \(\geq0\).

✅ \((u_n)\) est croissante.

2.b) Que peut-on déduire pour la suite \((u_n)\) ?

Correction détaillée

🔢 Elle est croissante et majorée par \(3\).

✅ \((u_n)\) est convergente.

3) Montrer que la suite \((v_n)\) définie par \(v_n=\dfrac{u_n-3}{u_n+1}\) est géométrique ; donner sa raison et son premier terme.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=\dfrac{\frac{5u_n+3}{u_n+3}-3}{\frac{5u_n+3}{u_n+3}+1}=\dfrac{2u_n-6}{6u_n+6}=\dfrac13\times\dfrac{u_n-3}{u_n+1}=\dfrac13v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=\dfrac{1-3}{1+1}=-1\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac13\) et de premier terme \(v_0=-1\).

4) Déterminer \(v_n\) en fonction de \(n\) et en déduire \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n=-\left(\frac13\right)^n\).

🔢 Étape 2 : De \(v_n(u_n+1)=u_n-3\) on tire \(u_n(v_n-1)=-3-v_n\), soit \(u_n=\dfrac{3+v_n}{1-v_n}\).

✅ \(v_n=-\left(\dfrac13\right)^n\) et \(u_n=\dfrac{3-\left(\frac13\right)^n}{1+\left(\frac13\right)^n}\).

5) Déterminer \(\lim v_n\) et \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(\frac13\right)^n\to0\), donc \(v_n\to0\) et \(u_n\to\dfrac{3-0}{1+0}\).

✅ \(\lim v_n=0\) et \(\lim u_n=3\).

Exercice 28

Soient \((u_n)\) et \((v_n)\) deux suites telles que : \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{1+2u_n}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)), \(u_0=1\) et \(v_n=\dfrac{u_n+1}{u_n}\).

1) Calculer \(u_1\) et \(v_0\).

Correction détaillée

🔢 \(u_1=\dfrac{1}{1+2}=\dfrac13\) ; \(v_0=\dfrac{u_0+1}{u_0}=2\).

✅ \(u_1=\dfrac13\) et \(v_0=2\).

2) Montrer que \((v_n)\) est une suite arithmétique de raison \(2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n>0\) pour tout \(n\) (récurrence immédiate), et \(v_n=1+\dfrac1{u_n}\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}=1+\dfrac{1+2u_n}{u_n}=3+\dfrac1{u_n}=v_n+2\).

✅ \((v_n)\) est arithmétique de raison \(2\) (et \(v_0=2\)).

3) Exprimer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n=v_0+nr=2+2n\).

✅ \(v_n=2n+2\).

4) En déduire l’expression de \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n=1+\frac1{u_n}\) donc \(u_n=\dfrac1{v_n-1}\).

✅ \(u_n=\dfrac1{2n+1}\).

5) Exprimer \(S_n=v_0+v_1+\dots+v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Somme de \(n+1\) termes d’une suite arithmétique : \(S_n=(n+1)\dfrac{v_0+v_n}2=(n+1)\dfrac{2+2n+2}2\).

✅ \(S_n=(n+1)(n+2)\).

6) En déduire la valeur de \(S=v_0+v_1+\dots+v_{99}\).

Correction détaillée

🔢 C’est \(S_{99}=100\times101\).

✅ \(S=10100\).

7) Calculer \(\lim v_n\) ; \(\lim u_n\) et \(\lim S_n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n=2n+2\to+\infty\), \(u_n=\frac1{2n+1}\to0\), \(S_n=(n+1)(n+2)\to+\infty\).

✅ \(\lim v_n=+\infty\) ; \(\lim u_n=0\) ; \(\lim S_n=+\infty\).

Exercice 29

Soit \((u_n)\) une suite définie par : \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=2-\dfrac1{u_n}\) avec \(n\in\mathbb N\). On pose \(v_n=3+\dfrac1{u_n-1}\).

1.a) Montrer que \(u_n>1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=2>1\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>1\), alors \(u_{n+1}-1=1-\dfrac1{u_n}=\dfrac{u_n-1}{u_n}>0\).

✅ \(u_n>1\).

1.b) Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=2-\dfrac1{u_n}-u_n=-\dfrac{u_n^2-2u_n+1}{u_n}=-\dfrac{(u_n-1)^2}{u_n}\leq0\).

✅ \((u_n)\) est décroissante.

2.a) Montrer que la suite \((v_n)\), \(v_n=3+\dfrac1{u_n-1}\), est arithmétique dont on précisera son premier terme et sa raison.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-1=\dfrac{u_n-1}{u_n}\), donc \(\dfrac1{u_{n+1}-1}=\dfrac{u_n}{u_n-1}=1+\dfrac1{u_n-1}\).

🔢 Étape 2 : Ainsi \(v_{n+1}=3+1+\dfrac1{u_n-1}=v_n+1\) ; \(v_0=3+\dfrac1{2-1}=4\).

✅ \((v_n)\) est arithmétique de raison \(1\) et de premier terme \(v_0=4\).

2.b) Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n=4+n\), puis \(\dfrac1{u_n-1}=v_n-3=n+1\).

✅ \(v_n=n+4\) et \(u_n=1+\dfrac1{n+1}\).

2.c) Déterminer la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac1{n+1}\to0\).

✅ \(\lim u_n=1\).

Exercice 30

On considère la suite \((u_n)\) définie par : \(u_1=5\) et \(u_{n+1}=\dfrac{5u_n-4}{1+u_n}\) ; \(\forall n\in\mathbb N^*\).

1) Démontrer par récurrence que \(u_n>2\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_1=5>2\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>2\), \(u_{n+1}-2=\dfrac{5u_n-4-2-2u_n}{1+u_n}=\dfrac{3(u_n-2)}{1+u_n}>0\).

✅ \(u_n>2\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

2.a) On pose \(v_n=\dfrac3{u_n-2}\). Montrer que \(v_{n+1}=\dfrac{1+u_n}{u_n-2}\), puis que \((v_n)\) est arithmétique de raison \(1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : D’après 1), \(u_{n+1}-2=\dfrac{3(u_n-2)}{1+u_n}\), donc \(v_{n+1}=\dfrac3{u_{n+1}-2}=\dfrac{1+u_n}{u_n-2}\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{1+u_n-3}{u_n-2}=\dfrac{u_n-2}{u_n-2}=1\).

✅ \((v_n)\) est arithmétique de raison \(1\).

2.b) Écrire \(v_n\) en fonction de \(n\), puis en déduire que \(u_n=2+\dfrac3n\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_1=\dfrac3{5-2}=1\) donc \(v_n=v_1+(n-1)\times1=n\).

🔢 Étape 2 : \(u_n-2=\dfrac3{v_n}=\dfrac3n\).

✅ \(v_n=n\) et \(u_n=2+\dfrac3n\).

2.c) Déterminer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac3n\to0\).

✅ \(\lim u_n=2\).

Exercice 31

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_{n+1}=\dfrac{3+u_n}{5-u_n}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)) et \(u_0=2\).

1) Vérifier que \(u_{n+1}-3=\dfrac{4(u_n-3)}{2+(3-u_n)}\), puis montrer par récurrence que \(u_n<3\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-3=\dfrac{3+u_n-15+3u_n}{5-u_n}=\dfrac{4(u_n-3)}{5-u_n}\) et \(5-u_n=2+(3-u_n)\).

🔢 Étape 2 : Initialisation : \(u_0=2<3\). Hérédité : si \(u_n<3\) alors \(u_n-3<0\) et \(2+(3-u_n)>0\), donc \(u_{n+1}-3<0\).

✅ \(u_n<3\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

2.a) Soit \(v_n=\dfrac{u_n-1}{3-u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\). En déduire \(v_n=\left(\dfrac12\right)^n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-1=\dfrac{3+u_n-5+u_n}{5-u_n}=\dfrac{2(u_n-1)}{5-u_n}\) et \(3-u_{n+1}=\dfrac{4(3-u_n)}{5-u_n}\).

🔢 Étape 2 : Donc \(v_{n+1}=\dfrac{2(u_n-1)}{4(3-u_n)}=\dfrac12v_n\) ; \(v_0=\dfrac{2-1}{3-2}=1\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\) et \(v_n=\left(\dfrac12\right)^n\).

2.b) Montrer que \(u_n=\dfrac{1+3v_n}{1+v_n}\), puis écrire \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n(3-u_n)=u_n-1\iff3v_n+1=u_n(1+v_n)\).

🔢 Étape 2 : Avec \(v_n=\left(\frac12\right)^n\).

✅ \(u_n=\dfrac{1+3\left(\frac12\right)^n}{1+\left(\frac12\right)^n}\).

2.c) Calculer la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(\frac12\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=1\).

Exercice 32

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N^*}\) la suite définie par : \(u_{n+1}=\dfrac{25}{10-u_n}\) (\(\forall n\in\mathbb N^*\)) et \(u_1=0\).

1) Vérifier que \(5-u_{n+1}=\dfrac{5(5-u_n)}{5+(5-u_n)}\) (\(\forall n\in\mathbb N^*\)) puis montrer par récurrence que \(5-u_n>0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(5-u_{n+1}=5-\dfrac{25}{10-u_n}=\dfrac{25-5u_n}{10-u_n}=\dfrac{5(5-u_n)}{5+(5-u_n)}\).

🔢 Étape 2 : Initialisation : \(5-u_1=5>0\). Hérédité : si \(5-u_n>0\), le quotient ci-dessus est positif.

✅ \(5-u_n>0\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

2.a) Soit \(v_n=\dfrac5{5-u_n}\). Montrer que \(v_{n+1}=\dfrac{10-u_n}{5-u_n}\), puis vérifier que \(v_{n+1}-v_n=1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : D’après 1), \(v_{n+1}=\dfrac5{5-u_{n+1}}=\dfrac{5(10-u_n)}{5(5-u_n)}=\dfrac{10-u_n}{5-u_n}\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{10-u_n-5}{5-u_n}=1\).

✅ \(v_{n+1}-v_n=1\).

2.b) Montrer que \(v_n=n\), puis en déduire \(u_n=5-\dfrac5n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((v_n)\) arithmétique de raison \(1\) et \(v_1=\dfrac5{5-0}=1\), donc \(v_n=1+(n-1)=n\).

🔢 Étape 2 : \(5-u_n=\dfrac5{v_n}\).

✅ \(v_n=n\) et \(u_n=5-\dfrac5n\).

2.c) Calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac5n\to0\).

✅ \(\lim u_n=5\).

Exercice 33

Soit \((u_n)\) la suite définie par : \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac{3u_n-1}{2u_n}\) ; \(\forall n\in\mathbb N\).

1) Montrer par récurrence que \(u_n-1>0\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0-1=1>0\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>1\), \(u_{n+1}-1=\dfrac{3u_n-1-2u_n}{2u_n}=\dfrac{u_n-1}{2u_n}>0\).

✅ \(u_n>1\).

2.a) On pose \(v_n=\dfrac{u_n-1}{2u_n-1}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\), puis déduire que \(v_n=\dfrac13\left(\dfrac12\right)^n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-1=\dfrac{u_n-1}{2u_n}\) et \(2u_{n+1}-1=\dfrac{3u_n-1}{u_n}-1=\dfrac{2u_n-1}{u_n}\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}=\dfrac{(u_n-1)/(2u_n)}{(2u_n-1)/u_n}=\dfrac12\times\dfrac{u_n-1}{2u_n-1}=\dfrac12v_n\) ; \(v_0=\dfrac{1}{3}\).

✅ \(v_n=\dfrac13\left(\dfrac12\right)^n\).

2.b) Montrer que \(u_n=\dfrac{v_n-1}{2v_n-1}\) puis en déduire \(\lim u_n=1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n(2u_n-1)=u_n-1\iff u_n(2v_n-1)=v_n-1\).

🔢 Étape 2 : \(v_n\to0\) donc \(u_n\to\dfrac{-1}{-1}\).

✅ \(u_n=\dfrac{v_n-1}{2v_n-1}\) et \(\lim u_n=1\).

3) Calculer \(\lim w_n\), où \(w_n=\ln(u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(u_n\to1\) et \(\ln\) est continue en \(1\).

✅ \(\lim w_n=\ln1=0\).

Exercice 34

Soit \((u_n)\) la suite définie par : \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+21}\) ; \(\forall n\in\mathbb N\).

1) Montrer que \(u_n>0\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=1>0\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>0\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{u_n+21}>0\).

✅ \(u_n>0\).

2) Montrer que \(u_{n+1}<\dfrac17u_n\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}=u_n\times\dfrac1{u_n+21}\) et \(u_n+21>21>7\), donc \(\dfrac1{u_n+21}<\dfrac17\).

✅ \(u_{n+1}<\dfrac17u_n\).

3) Montrer que \((u_n)\) est décroissante et convergente.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}<\frac17u_n<u_n\) car \(u_n>0\).

🔢 Étape 2 : Décroissante et minorée par \(0\).

✅ \((u_n)\) est décroissante et convergente.

4.a) Montrer par récurrence que \(u_n<\left(\dfrac17\right)^n\) pour tout \(n\in\mathbb N^*\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_1=\frac1{22}<\frac17\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : \(u_{n+1}<\frac17u_n<\frac17\left(\frac17\right)^n=\left(\frac17\right)^{n+1}\).

✅ \(0<u_n<\left(\dfrac17\right)^n\).

4.b) Calculer la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(0<u_n<\left(\frac17\right)^n\to0\) : théorème des gendarmes.

✅ \(\lim u_n=0\).

Exercice 35

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{8u_n+5}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

1) Montrer par récurrence que \(u_n>0\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=1>0\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>0\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{8u_n+5}>0\).

✅ \(u_n>0\).

2.a) On pose \(v_n=\dfrac1{u_n}+2\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(5\), puis calculer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=\dfrac{8u_n+5}{u_n}+2=10+\dfrac5{u_n}=5\left(2+\dfrac1{u_n}\right)=5v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=1+2=3\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(5\) et \(v_n=3\times5^n\).

2.b) Montrer que \(u_n=\dfrac1{3\times5^n-2}\), puis calculer la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=\dfrac1{v_n-2}\).

🔢 Étape 2 : \(3\times5^n-2\to+\infty\).

✅ \(u_n=\dfrac1{3\times5^n-2}\) et \(\lim u_n=0\).

Exercice 36

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\dfrac{5u_n}{2u_n+3}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

1) Montrer que \(u_n>1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=2>1\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : \(u_{n+1}-1=\dfrac{5u_n-2u_n-3}{2u_n+3}=\dfrac{3(u_n-1)}{2u_n+3}>0\).

✅ \(u_n>1\).

2.a) On pose \(v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac35\), puis calculer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=\dfrac{u_{n+1}-1}{u_{n+1}}=\dfrac{3(u_n-1)/(2u_n+3)}{5u_n/(2u_n+3)}=\dfrac35\times\dfrac{u_n-1}{u_n}=\dfrac35v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=\dfrac12\).

✅ \(v_n=\dfrac12\left(\dfrac35\right)^n\).

2.b) Montrer que \(u_n=\dfrac2{2-\left(\frac35\right)^n}\) puis calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n=1-\dfrac1{u_n}\), donc \(u_n=\dfrac1{1-v_n}=\dfrac1{1-\frac12\left(\frac35\right)^n}\).

🔢 Étape 2 : \(\left(\frac35\right)^n\to0\).

✅ \(u_n=\dfrac2{2-\left(\frac35\right)^n}\) et \(\lim u_n=1\).

Exercice 37

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\dfrac{1+4u_n}{7-2u_n}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

1) Vérifier que \(1-u_{n+1}=\dfrac{6(1-u_n)}{5+2(1-u_n)}\), puis montrer par récurrence que \(1-u_n>0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(1-u_{n+1}=\dfrac{7-2u_n-1-4u_n}{7-2u_n}=\dfrac{6(1-u_n)}{7-2u_n}\) et \(7-2u_n=5+2(1-u_n)\).

🔢 Étape 2 : Initialisation : \(1-u_0=1>0\). Hérédité : si \(1-u_n>0\) alors le quotient est positif.

✅ \(1-u_n>0\).

2.a) On pose \(v_n=\dfrac{2u_n-1}{u_n-1}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac56\), puis calculer \(v_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(2u_{n+1}-1=\dfrac{2+8u_n-7+2u_n}{7-2u_n}=\dfrac{5(2u_n-1)}{7-2u_n}\) et \(u_{n+1}-1=\dfrac{6(u_n-1)}{7-2u_n}\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}=\dfrac56v_n\) ; \(v_0=\dfrac{-1}{-1}=1\).

✅ \(v_n=\left(\dfrac56\right)^n\).

2.b) Montrer que \(u_n=\dfrac{\left(\frac56\right)^n-1}{\left(\frac56\right)^n-2}\), puis calculer la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n(u_n-1)=2u_n-1\iff u_n(v_n-2)=v_n-1\).

🔢 Étape 2 : \(\left(\frac56\right)^n\to0\) donc \(u_n\to\dfrac{-1}{-2}\).

✅ \(u_n=\dfrac{v_n-1}{v_n-2}\) et \(\lim u_n=\dfrac12\).

Exercice 38

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_{n+1}=\dfrac{6u_n}{15u_n+1}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)) et \(u_0=1\).

1.a) Vérifier que \(u_{n+1}-\dfrac13=\dfrac{u_n-\frac13}{15u_n+1}\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-\dfrac13=\dfrac{18u_n-15u_n-1}{3(15u_n+1)}=\dfrac{3u_n-1}{3(15u_n+1)}=\dfrac{u_n-\frac13}{15u_n+1}\).

✅ \(u_{n+1}-\dfrac13=\dfrac{u_n-\frac13}{15u_n+1}\).

1.b) Montrer par récurrence que \(u_n>\dfrac13\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=1>\frac13\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>\frac13\), \(u_{n+1}-\frac13=\dfrac{u_n-\frac13}{15u_n+1}>0\).

✅ \(u_n>\dfrac13\).

2) On pose \(v_n=1-\dfrac1{3u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac16\), puis calculer \(v_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=1-\dfrac{15u_n+1}{18u_n}=\dfrac{3u_n-1}{18u_n}=\dfrac16\times\dfrac{3u_n-1}{3u_n}=\dfrac16v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=1-\frac13=\frac23\).

✅ \(v_n=\dfrac23\left(\dfrac16\right)^n\).

3) Montrer que \(u_n=\dfrac1{3-2\left(\frac16\right)^n}\), puis calculer la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n=\dfrac1{3(1-v_n)}=\dfrac1{3-2\left(\frac16\right)^n}\).

🔢 Étape 2 : \(\left(\frac16\right)^n\to0\).

✅ \(u_n=\dfrac1{3-2\left(\frac16\right)^n}\) et \(\lim u_n=\dfrac13\).

Exercice 39

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_{n+1}=\dfrac{4u_n+3}{3u_n+4}\) et \(u_0=3\).

1) Montrer par récurrence que \(u_n>1\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=3>1\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : \(u_{n+1}-1=\dfrac{4u_n+3-3u_n-4}{3u_n+4}=\dfrac{u_n-1}{3u_n+4}>0\).

✅ \(u_n>1\).

2.a) On pose \(v_n=\dfrac{u_n-1}{u_n+1}\). Vérifier que \(1-v_n=\dfrac2{u_n+1}\) et déduire que \(1-v_n>0\).

Correction détaillée

🔢 \(1-v_n=\dfrac{u_n+1-u_n+1}{u_n+1}=\dfrac2{u_n+1}>0\) car \(u_n>1\).

✅ \(1-v_n=\dfrac2{u_n+1}>0\).

2.b) Montrer que \(u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n(u_n+1)=u_n-1\iff u_n(v_n-1)=-1-v_n\).

✅ \(u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}\).

2.c) Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac17\) et calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-1=\dfrac{u_n-1}{3u_n+4}\) et \(u_{n+1}+1=\dfrac{7(u_n+1)}{3u_n+4}\), donc \(v_{n+1}=\dfrac17v_n\) ; \(v_0=\dfrac12\), \(v_n=\dfrac12\left(\dfrac17\right)^n\to0\).

🔢 Étape 2 : \(u_n=\dfrac{1+v_n}{1-v_n}\to1\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac17\) et \(\lim u_n=1\).

Exercice 40

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=6\) et \(u_{n+1}=\dfrac{6u_n+4}{u_n+6}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

1) Montrer que \(u_n\geq2\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=6\geq2\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : \(u_{n+1}-2=\dfrac{6u_n+4-2u_n-12}{u_n+6}=\dfrac{4(u_n-2)}{u_n+6}\geq0\).

✅ \(u_n\geq2\).

2) Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante, et qu’elle est convergente.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{6u_n+4-u_n^2-6u_n}{u_n+6}=\dfrac{(2-u_n)(2+u_n)}{u_n+6}\leq0\) car \(u_n\geq2\).

🔢 Étape 2 : Décroissante et minorée par \(2\).

✅ \((u_n)\) est décroissante et convergente.

3.a) On pose \(v_n=\dfrac{u_n-2}{u_n+2}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique et déterminer sa raison.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-2=\dfrac{4(u_n-2)}{u_n+6}\) et \(u_{n+1}+2=\dfrac{8u_n+16}{u_n+6}=\dfrac{8(u_n+2)}{u_n+6}\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}=\dfrac48\,v_n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\) (et \(v_0=\dfrac12\)).

3.b) Calculer \((v_n)\) puis \((u_n)\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n=\left(\frac12\right)^{n+1}\).

🔢 Étape 2 : \(v_n(u_n+2)=u_n-2\iff u_n(1-v_n)=2(1+v_n)\).

✅ \(v_n=\left(\dfrac12\right)^{n+1}\) et \(u_n=\dfrac{2(1+v_n)}{1-v_n}\).

4) Calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n\to0\).

✅ \(\lim u_n=2\).

Exercice 41

On considère la suite réelle \((u_n)\) définie sur \(\mathbb N\) par : \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2+u_n}\) et \(u_0=1\).

1.a) Montrer que \(u_n\geq0\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Initialisation : \(u_0=1\). Hérédité : si \(u_n\geq0\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{2+u_n}\geq0\).

✅ \(u_n\geq0\).

1.b) Montrer que \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{-u_n(1+u_n)}{2+u_n}\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n-2u_n-u_n^2}{2+u_n}=\dfrac{-u_n(1+u_n)}{2+u_n}\).

✅ \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{-u_n(1+u_n)}{2+u_n}\).

1.c) Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Comme \(u_n\geq0\), le numérateur \(-u_n(1+u_n)\leq0\) et le dénominateur est positif.

✅ \((u_n)\) est décroissante.

2.a) Soit \(v_n=\dfrac{u_n}{1+u_n}\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\).

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}=\dfrac{\frac{u_n}{2+u_n}}{1+\frac{u_n}{2+u_n}}=\dfrac{u_n}{2+2u_n}=\dfrac12\times\dfrac{u_n}{1+u_n}=\dfrac12v_n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\), \(v_0=\dfrac12\).

2.b) Exprimer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n=\left(\frac12\right)^{n+1}\).

🔢 Étape 2 : \(u_n=\dfrac{v_n}{1-v_n}=\dfrac{\left(\frac12\right)^{n+1}}{1-\left(\frac12\right)^{n+1}}\).

✅ \(u_n=\dfrac1{2^{n+1}-1}\).

2.c) Calculer la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(2^{n+1}-1\to+\infty\).

✅ \(\lim u_n=0\).

Exercice 42

Soit \(f\) la fonction définie sur \(I=[1;2]\) par : \(f(x)=\dfrac{5x-1}{x+3}\). Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\).

1) Étudier les variations de la fonction \(f\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=\dfrac{5(x+3)-(5x-1)}{(x+3)^2}=\dfrac{16}{(x+3)^2}>0\).

✅ \(f\) est strictement croissante sur \(I\).

2) Montrer que \(f(I)\subset I\).

Correction détaillée

🔢 \(f\) est croissante : \(f([1,2])=[f(1),f(2)]=\left[1,\dfrac95\right]\subset[1,2]\).

✅ \(f(I)\subset I\).

3.a) Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\). Montrer que \(1\leq u_n\leq2\) pour tout \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=2\in I\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n\in I\), alors \(u_{n+1}=f(u_n)\in f(I)\subset I\).

✅ \(1\leq u_n\leq2\).

3.b) Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{5u_n-1-u_n^2-3u_n}{u_n+3}=\dfrac{-(u_n-1)^2}{u_n+3}\leq0\).

✅ \((u_n)\) est décroissante.

3.c) Montrer que \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Décroissante et minorée par \(1\) : convergente vers \(\ell\in[1,2]\).

🔢 Étape 2 : \(f\) continue : \(f(\ell)=\ell\iff\ell^2+3\ell=5\ell-1\iff(\ell-1)^2=0\).

✅ \(\lim u_n=1\).

Exercice 43

Soit \(f\) la fonction définie par : \(f(x)=\dfrac12\sqrt{3+x^2}\).

1) Étudier les variations de la fonction \(f\) sur \(\mathbb R^+\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=\dfrac12\times\dfrac{2x}{2\sqrt{3+x^2}}=\dfrac{x}{2\sqrt{3+x^2}}\geq0\) sur \(\mathbb R^+\).

✅ \(f\) est croissante sur \(\mathbb R^+\).

2) Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation \(f(x)=x\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)\geq0\), donc il faut \(x\geq0\). Alors \(\frac12\sqrt{3+x^2}=x\iff3+x^2=4x^2\iff x^2=1\).

✅ \(S=\{1\}\).

3) Montrer que \(\forall x\in[0;1]\) : \(f(x)\geq x\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-x=\dfrac{\sqrt{3+x^2}-2x}2\). Pour \(x\in[0,1]\) : \(3+x^2-4x^2=3(1-x^2)\geq0\), donc \(\sqrt{3+x^2}\geq2x\).

✅ \(f(x)\geq x\) sur \([0,1]\).

4.a) Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\). Montrer que \(0\leq u_n\leq1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est croissante et \(f(0)=\frac{\sqrt3}2\), \(f(1)=1\) : \(f([0,1])\subset[0,1]\).

🔢 Étape 2 : Initialisation : \(u_0=0\). Hérédité : \(u_n\in[0,1]\Rightarrow u_{n+1}=f(u_n)\in[0,1]\).

✅ \(0\leq u_n\leq1\).

4.b) Déterminer le sens de variations de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 D’après 3) : \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\geq0\) car \(u_n\in[0,1]\).

✅ \((u_n)\) est croissante.

4.c) Montrer que \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Croissante et majorée par \(1\) : convergente vers \(\ell\in[0,1]\), et \(f(\ell)=\ell\).

🔢 Étape 2 : D’après 2), \(\ell=1\).

✅ \(\lim u_n=1\).

Exercice 44

Partie 1 On considère la fonction numérique \(f\) définie par \(f(x)=\left(\dfrac{4\sqrt x}{\sqrt x+2}\right)^2\).

1) Déterminer \(D_f\), puis calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(D_f=[0,+\infty[\) (il faut \(x\geq0\), et \(\sqrt x+2>0\)).

🔢 Étape 2 : \(f(x)=\dfrac{16x}{(\sqrt x+2)^2}=\dfrac{16x}{x+4\sqrt x+4}=\dfrac{16}{1+\frac4{\sqrt x}+\frac4x}\to16\).

✅ \(D_f=[0,+\infty[\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=16\).

2) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\) à droite et interpréter géométriquement le résultat.

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac{16}{(\sqrt x+2)^2}\to\dfrac{16}4=4\) quand \(x\to0^+\).

✅ \(f\) est dérivable à droite en \(0\) avec \(f’_d(0)=4\) : demi-tangente d’équation \(y=4x\) à l’origine.

3.a) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x>0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Posons \(g(x)=\dfrac{4\sqrt x}{\sqrt x+2}\) ; alors \(f=g^2\). \(g'(x)=\dfrac{\frac4{2\sqrt x}(\sqrt x+2)-4\sqrt x\times\frac1{2\sqrt x}}{(\sqrt x+2)^2}=\dfrac{4}{\sqrt x(\sqrt x+2)^2}\).

🔢 Étape 2 : \(f’=2gg’=2\times\dfrac{4\sqrt x}{\sqrt x+2}\times\dfrac4{\sqrt x(\sqrt x+2)^2}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{32}{(\sqrt x+2)^3}\).

3.b) Dresser le tableau de variation de \(f\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)>0\) sur \(]0,+\infty[\), \(f(0)=0\) et \(\lim\limits_{+\infty}f=16\).

✅ \(f\) est strictement croissante de \(0\) vers \(16\) sur \([0,+\infty[\).

4) Étudier les positions relatives de \((\mathcal C_f)\) et de la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=x\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(x)-x=x\left(\dfrac{16}{(\sqrt x+2)^2}-1\right)=x\times\dfrac{(4-\sqrt x-2)(4+\sqrt x+2)}{(\sqrt x+2)^2}=\dfrac{x(2-\sqrt x)(6+\sqrt x)}{(\sqrt x+2)^2}\).

🔢 Étape 2 : Le signe est celui de \(2-\sqrt x\) (pour \(x>0\)).

✅ \((\mathcal C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]0,4[\), au-dessous sur \(]4,+\infty[\), et ils se coupent en \(O(0,0)\) et \(A(4,4)\).

5) Étudier la concavité de la courbe \((\mathcal C_f)\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=32(\sqrt x+2)^{-3}\) donc \(f »(x)=-96(\sqrt x+2)^{-4}\times\dfrac1{2\sqrt x}=\dfrac{-48}{\sqrt x(\sqrt x+2)^4}<0\).

✅ \((\mathcal C_f)\) est concave sur \(]0,+\infty[\).

6) Tracer \((\mathcal C_f)\) dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\).

Partie 2 Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) ; \(\forall n\in\mathbb N\).

1) Montrer que \(0\leq u_n\leq4\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est croissante avec \(f(0)=0\) et \(f(4)=\left(\dfrac{8}{4}\right)^2=4\) : \(f([0,4])=[0,4]\).

🔢 Étape 2 : \(u_0=1\in[0,4]\) ; si \(u_n\in[0,4]\), alors \(u_{n+1}\in[0,4]\).

✅ \(0\leq u_n\leq4\).

2) Déterminer le sens des variations de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 D’après la partie 1 (question 4), \(f(x)\geq x\) sur \([0,4]\) ; donc \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\geq0\).

✅ \((u_n)\) est croissante.

3) Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Croissante et majorée par \(4\) : convergente vers \(\ell\in[1,4]\).

🔢 Étape 2 : \(f(\ell)=\ell\iff\ell=0\) ou \(\ell=4\) ; comme \(\ell\geq u_0=1\) :

✅ \(\lim u_n=4\).

Partie 3 Soit \((v_n)\) la suite définie par \(v_n=1-\dfrac2{\sqrt{u_n}}\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

1) Montrer que \((v_n)\) est une suite géométrique et déterminer sa raison.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_n\geq1>0\). \(\sqrt{u_{n+1}}=\dfrac{4\sqrt{u_n}}{\sqrt{u_n}+2}\), donc \(\dfrac2{\sqrt{u_{n+1}}}=\dfrac{\sqrt{u_n}+2}{2\sqrt{u_n}}=\dfrac12+\dfrac1{\sqrt{u_n}}\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}=1-\dfrac12-\dfrac1{\sqrt{u_n}}=\dfrac12\left(1-\dfrac2{\sqrt{u_n}}\right)=\dfrac12v_n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac12\), \(v_0=-1\).

2) Calculer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n=-\left(\frac12\right)^n\).

🔢 Étape 2 : \(\sqrt{u_n}=\dfrac2{1-v_n}=\dfrac2{1+\left(\frac12\right)^n}\).

✅ \(u_n=\dfrac4{\left(1+\left(\frac12\right)^n\right)^2}\).

3) Calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(\frac12\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=4\).

Exercice 45

Partie 1 On considère la fonction \(f\) définie sur \([0;+\infty[\) par : \(f(x)=\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]{x}-x\).

1.a) Vérifier que \(\forall x\in\mathbb R_+^*\) : \(f(x)=x\left(\dfrac1{\sqrt[3]x}+\dfrac1{\sqrt[3]{x^2}}-1\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(x\times\dfrac1{\sqrt[3]x}=\sqrt[3]{x^2}\) et \(x\times\dfrac1{\sqrt[3]{x^2}}=\sqrt[3]x\).

✅ \(f(x)=x\left(\dfrac1{\sqrt[3]x}+\dfrac1{\sqrt[3]{x^2}}-1\right)\).

1.b) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et étudier la branche infinie de \((\mathcal C_f)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(\dfrac1{\sqrt[3]x}+\dfrac1{\sqrt[3]{x^2}}-1\to-1\), donc \(f(x)\to-\infty\) et \(\dfrac{f(x)}x\to-1\).

🔢 Étape 2 : \(f(x)+x=\sqrt[3]{x^2}+\sqrt[3]x\to+\infty\).

✅ \(\lim f=-\infty\) ; \(\dfrac{f(x)}x\to-1\) et \(f(x)+x\to+\infty\) : branche parabolique de direction la droite \(y=-x\).

2.a) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\), puis interpréter graphiquement.

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac{f(x)-f(0)}x=\dfrac1{\sqrt[3]x}+\dfrac1{\sqrt[3]{x^2}}-1\to+\infty\) quand \(x\to0^+\).

✅ \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) : demi-tangente verticale (vers le haut) à l’origine.

2.b) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in]0;+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=\dfrac23x^{-1/3}+\dfrac13x^{-2/3}-1\). Avec \(t=\sqrt[3]x\) : \(f'(x)=\dfrac{2t+1-3t^2}{3t^2}=\dfrac{(1-t)(3t+1)}{3t^2}\).

✅ \(f'(x)=\dfrac{\left(1-\sqrt[3]x\right)\left(3\sqrt[3]x+1\right)}{3\sqrt[3]{x^2}}\).

2.c) Dresser le tableau de variations de \(f\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f'(x)>0\) si \(\sqrt[3]x<1\), c’est-à-dire \(x<1\) ; \(f'(x)<0\) si \(x>1\).

🔢 Étape 2 : \(f(0)=0\) ; \(f(1)=1+1-1=1\).

✅ \(f\) croît de \(0\) à \(1\) sur \([0,1]\), puis décroît de \(1\) à \(-\infty\) sur \([1,+\infty[\).

3.a) Montrer que \(\forall x\in]0;1[\) : \(f(x)-x=x\left(\dfrac1{\sqrt[3]x}+\dfrac1{\sqrt[3]{x^2}}-2\right)\).

Correction détaillée

🔢 \(f(x)-x=x\left(\dfrac1{\sqrt[3]x}+\dfrac1{\sqrt[3]{x^2}}-1\right)-x\).

✅ \(f(x)-x=x\left(\dfrac1{\sqrt[3]x}+\dfrac1{\sqrt[3]{x^2}}-2\right)\).

3.b) En déduire que \(\forall x\in]0;1[\) : \(f(x)>x\).

Correction détaillée

🔢 Pour \(0<x<1\) : \(\sqrt[3]x<1\), donc \(\dfrac1{\sqrt[3]x}>1\) et \(\dfrac1{\sqrt[3]{x^2}}>1\) ; la parenthèse est \(>0\).

✅ \(f(x)>x\) sur \(]0,1[\).

4.a) Montrer que l’équation \(f(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans l’intervalle \(]1;+\infty[\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Sur \([1,+\infty[\), \(f\) est continue et strictement décroissante, \(f(1)=1>0\) et \(\lim\limits_{+\infty}f=-\infty<0\).

🔢 Étape 2 : Théorème des valeurs intermédiaires + stricte monotonie.

✅ Il existe un unique \(\alpha>1\) tel que \(f(\alpha)=0\).

4.b) Montrer que \(\alpha^3-4\alpha^2-\alpha=0\), puis en déduire la valeur de \(\alpha\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f(\alpha)=0\iff\sqrt[3]{\alpha^2}+\sqrt[3]\alpha=\alpha\). On élève au cube : \(\alpha^2+\alpha+3\sqrt[3]{\alpha^2}\sqrt[3]\alpha\left(\sqrt[3]{\alpha^2}+\sqrt[3]\alpha\right)=\alpha^3\).

🔢 Étape 2 : \(\sqrt[3]{\alpha^2}\sqrt[3]\alpha=\alpha\) et la parenthèse vaut \(\alpha\) : \(\alpha^2+\alpha+3\alpha^2=\alpha^3\), soit \(\alpha^3-4\alpha^2-\alpha=0\).

🔢 Étape 3 : \(\alpha\neq0\) : \(\alpha^2-4\alpha-1=0\), \(\Delta=20\), \(\alpha=2\pm\sqrt5\). Comme \(\alpha>1\) : \(\alpha=2+\sqrt5\).

✅ \(\alpha=2+\sqrt5\).

Partie 2 Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=\dfrac18\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) ; \(\forall n\in\mathbb N\).

1) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(\dfrac18\leq u_n<1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(f\) est croissante sur \([0,1]\) avec \(f\left(\frac18\right)=\frac14+\frac12-\frac18=\frac58\) et \(f(1)=1\).

🔢 Étape 2 : Initialisation : \(u_0=\frac18\in\left[\frac18,1\right[\). Hérédité : si \(\frac18\leq u_n<1\), alors \(\frac58\leq f(u_n)<1\), donc \(\frac18\leq u_{n+1}<1\).

✅ \(\dfrac18\leq u_n<1\).

2) Déterminer le sens des variations de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 D’après 3.b) de la partie 1 : \(f(u_n)>u_n\) car \(u_n\in]0,1[\).

✅ \((u_n)\) est strictement croissante.

3) Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Croissante et majorée par \(1\) : convergente vers \(\ell\in[\frac18,1]\).

🔢 Étape 2 : \(f(\ell)=\ell\iff\sqrt[3]{\ell^2}+\sqrt[3]\ell=2\ell\). Avec \(t=\sqrt[3]\ell>0\) : \(t^2+t=2t^3\iff2t^2-t-1=0\iff(t-1)(2t+1)=0\), donc \(t=1\).

✅ \(\lim u_n=1\).

Exercice 46

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=3\) et \(u_{n+1}=\sqrt{\dfrac23u_n^2+2}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

1.a) Montrer que \(u_n>\sqrt6\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=3>\sqrt6\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n>\sqrt6\), \(u_n^2>6\), donc \(u_{n+1}^2=\frac23u_n^2+2>4+2=6\).

✅ \(u_n>\sqrt6\).

1.b) Montrer que \((u_n)\) est strictement décroissante et qu’elle est convergente.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}^2-u_n^2=2-\dfrac13u_n^2=-\dfrac13(u_n^2-6)<0\), et \(u_n>0\) : \(u_{n+1}<u_n\).

🔢 Étape 2 : Décroissante et minorée par \(\sqrt6\).

✅ \((u_n)\) est strictement décroissante et convergente.

2.a) On pose \(v_n=u_n^2-6\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique ; déterminer sa raison et son premier terme.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=\frac23u_n^2+2-6=\frac23u_n^2-4=\frac23(u_n^2-6)=\frac23v_n\).

🔢 Étape 2 : \(v_0=9-6=3\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac23\) et de premier terme \(3\).

2.b) Calculer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n=3\left(\frac23\right)^n\), \(u_n^2=6+v_n\) et \(u_n>0\).

✅ \(u_n=\sqrt{6+3\left(\dfrac23\right)^n}\).

2.c) Calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(\frac23\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=\sqrt6\).

Exercice 47

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_0=\sqrt[3]{\dfrac27}\) et \(u_{n+1}=\sqrt[3]{\dfrac{u_n^3+1}8}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

1) Montrer que \(u_n>\sqrt[3]{\dfrac17}\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Posons \(w_n=u_n^3\). Alors \(w_{n+1}=\dfrac{w_n+1}8\), \(w_0=\dfrac27\). On veut \(w_n>\dfrac17\).

🔢 Étape 2 : Initialisation : \(\frac27>\frac17\). Hérédité : \(w_n>\frac17\Rightarrow w_{n+1}>\dfrac{\frac17+1}8=\dfrac17\).

🔢 Étape 3 : La fonction racine cubique est strictement croissante.

✅ \(u_n>\sqrt[3]{\dfrac17}\).

2) Montrer que \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1\). Conclure.

Correction détaillée

🔢 \(u_n>0\) et \(\dfrac{u_{n+1}^3}{u_n^3}=\dfrac{w_{n+1}}{w_n}=\dfrac{w_n+1}{8w_n}<1\iff w_n+1<8w_n\iff w_n>\dfrac17\) (vrai d’après 1)).

✅ \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}<1\) : \((u_n)\) est strictement décroissante (et minorée, donc convergente).

3.a) On pose \(v_n=\dfrac78u_n^3-\dfrac18\). Montrer que \((v_n)\) est géométrique ; déterminer sa raison.

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}=\dfrac78\times\dfrac{u_n^3+1}8-\dfrac18=\dfrac{7u_n^3-1}{64}=\dfrac18\left(\dfrac{7u_n^3-1}8\right)=\dfrac18v_n\).

✅ \((v_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac18\) ; \(v_0=\dfrac78\times\dfrac27-\dfrac18=\dfrac18\).

3.b) Calculer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n=\left(\frac18\right)^{n+1}\).

🔢 Étape 2 : \(u_n^3=\dfrac{8v_n+1}7=\dfrac{1+8^{-n}}7\).

✅ \(u_n=\sqrt[3]{\dfrac{1+8^{-n}}7}\).

4) Calculer \(\lim u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(8^{-n}\to0\) et \(x\mapsto\sqrt[3]x\) est continue en \(\frac17\).

✅ \(\lim u_n=\sqrt[3]{\dfrac17}\).

5) Calculer la somme \(S_n=u_0^3+u_1^3+\dots+u_n^3\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

⚠️ La somme de l’énoncé est écrite de façon peu lisible (« \(u_0^3+u_1^3+\dots+u_n^5\) ») : on l’interprète comme la somme des cubes \(u_k^3\), seule version cohérente avec la suite \((v_n)\).

🔢 Étape 1 : \(u_k^3=\dfrac17+\dfrac17\left(\dfrac18\right)^k\).

🔢 Étape 2 : \(S_n=\dfrac{n+1}7+\dfrac17\times\dfrac{1-\left(\frac18\right)^{n+1}}{\frac78}\).

✅ \(S_n=\dfrac{n+1}7+\dfrac8{49}\left(1-\left(\dfrac18\right)^{n+1}\right)\).

Exercice 48

Soit \((u_n)\) la suite numérique définie sur \(\mathbb N\) par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}\).

1.a) Montrer que \((u_n)\) est majorée par \(4\).

Correction détaillée

🔢 \(u_0=0\leq4\). Si \(u_n\leq4\), alors \(3u_n+4\leq16\) et \(u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}\leq4\).

✅ \(u_n\leq4\).

1.b) Montrer que \((u_n)\) est strictement croissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}^2-u_n^2=3u_n+4-u_n^2=-(u_n+1)(u_n-4)\).

🔢 Étape 2 : Comme \(u_n\geq0\) et \(u_n<4\) (car \(4-u_{n+1}=\frac{3(4-u_n)}{4+u_{n+1}}>0\) par récurrence), cette quantité est \(>0\), et \(u_n,u_{n+1}\geq0\).

✅ \((u_n)\) est strictement croissante.

1.c) En déduire que \((u_n)\) converge et déterminer sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Croissante et majorée : convergente vers \(\ell\).

🔢 Étape 2 : \(\ell=\sqrt{3\ell+4}\iff\ell^2-3\ell-4=0\iff\ell=4\) ou \(\ell=-1\) (rejeté car \(\ell\geq0\)).

✅ \(\lim u_n=4\).

2.a) Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(4-u_{n+1}\leq\dfrac12(4-u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(4-u_{n+1}=\dfrac{16-(3u_n+4)}{4+u_{n+1}}=\dfrac{3(4-u_n)}{4+u_{n+1}}\).

🔢 Étape 2 : \((u_n)\) croissante : \(u_{n+1}\geq u_1=2\), donc \(4+u_{n+1}\geq6\) et \(\dfrac3{4+u_{n+1}}\leq\dfrac12\).

✅ \(4-u_{n+1}\leq\dfrac12(4-u_n)\).

2.b) Retrouver le résultat du 1.c).

Correction détaillée

🔢 Par récurrence : \(0<4-u_n\leq\left(\frac12\right)^n(4-u_0)=\dfrac4{2^n}\to0\).

✅ \(\lim u_n=4\).

2.c) Étudier la convergence de la suite \((v_n)\) définie sur \(\mathbb N\) par \(v_n=n^2(4-u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(0\leq v_n\leq\dfrac{4n^2}{2^n}\).

🔢 Étape 2 : Pour \(n\geq10\), \(2^n\geq n^3\) (récurrence), donc \(\dfrac{4n^2}{2^n}\leq\dfrac4n\to0\). Gendarmes.

✅ \((v_n)\) converge vers \(0\).

Exercice 49

On considère la suite \(u\) définie pour tout \(n\in\mathbb N\) par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\sqrt{2u_n+3}\).

1) Montrer que pour tout \(n\in\mathbb N\), \(0\leq u_n\leq3\).

Correction détaillée

🔢 \(u_0=0\). Si \(0\leq u_n\leq3\), alors \(3\leq2u_n+3\leq9\), donc \(\sqrt3\leq u_{n+1}\leq3\).

✅ \(0\leq u_n\leq3\).

2) Montrer que la suite \(u\) est strictement croissante.

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}^2-u_n^2=2u_n+3-u_n^2=-(u_n-3)(u_n+1)\), \(>0\) tant que \(u_n<3\) (récurrence : \(3-u_{n+1}=\frac{2(3-u_n)}{3+u_{n+1}}>0\)).

✅ \((u_n)\) est strictement croissante.

3) Montrer que la suite est convergente et déterminer sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Croissante et majorée par \(3\) : convergente vers \(\ell\).

🔢 Étape 2 : \(\ell^2=2\ell+3\iff\ell=3\) ou \(\ell=-1\) (rejeté).

✅ \(\lim u_n=3\).

Exercice 50

Soit la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+2}\).

1) Donner une valeur approchée à \(10^{-3}\) près des quatre premiers termes de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(u_0=1\) ; \(u_1=\frac53\approx1{,}667\) ; \(u_2=\frac{21}{11}\approx1{,}909\) ; \(u_3=\frac{85}{43}\approx1{,}977\).

✅ \(1\) ; \(1{,}667\) ; \(1{,}909\) ; \(1{,}977\).

2) Montrer par récurrence que pour tout entier \(n\), si \(0<u_n<2\) alors \(0<u_{n+1}<2\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}=\dfrac{3u_n+2}{u_n+2}>0\) et \(2-u_{n+1}=\dfrac{2u_n+4-3u_n-2}{u_n+2}=\dfrac{2-u_n}{u_n+2}>0\).

✅ \(0<u_n<2\) pour tout \(n\) (car \(u_0=1\)).

3) Résoudre l’inéquation \(-x^2+x+2\geq0\).

Correction détaillée

🔢 \(-x^2+x+2=-(x-2)(x+1)\).

✅ \(S=[-1,2]\).

4) Exprimer \(u_{n+1}-u_n\) en fonction de \(u_n\). En déduire que \(u_{n+1}-u_n\geq0\). Quel est le sens de variation de \((u_n)\) ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{3u_n+2-u_n^2-2u_n}{u_n+2}=\dfrac{-u_n^2+u_n+2}{u_n+2}\).

🔢 Étape 2 : Comme \(u_n\in]0,2[\subset[-1,2]\), le numérateur est \(\geq0\) (question 3).

✅ \(u_{n+1}-u_n\geq0\) : \((u_n)\) est croissante.

5) Montrer que pour tout \(n\), \(|u_{n+1}-2|<\dfrac12|u_n-2|\).

Correction détaillée

🔢 \(|u_{n+1}-2|=\dfrac{|u_n-2|}{u_n+2}\) et \(u_n+2>2\).

✅ \(|u_{n+1}-2|<\dfrac12|u_n-2|\).

6) En déduire que pour tout \(n\), \(|u_n-2|<\left(\dfrac12\right)^n|u_0-2|\).

Correction détaillée

🔢 Par récurrence (ou en itérant l’inégalité du 5)).

✅ \(|u_n-2|<\left(\dfrac12\right)^n|u_0-2|\) pour \(n\geq1\).

7) Que peut-on en conclure sur la convergence de \((u_n)\) ?

Correction détaillée

🔢 \(0\leq|u_n-2|<\left(\frac12\right)^n\to0\) : théorème des gendarmes.

✅ \((u_n)\) converge vers \(2\).

Exercice 51

Soit \(\theta\) un réel tel que \(0\leq\theta\leq\dfrac\pi2\). La suite \((u_n)\) est définie par : \(u_0=2\cos\theta\) et \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\) pour tout entier naturel \(n\).

1) Calculer les trois premiers termes de la suite en fonction de \(\theta\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_0=2\cos\theta\) ; \(u_1=\sqrt{2+2\cos\theta}\). Avec \(\cos2x=2\cos^2x-1\) : \(2+2\cos\theta=4\cos^2\frac\theta2\).

🔢 Étape 2 : Comme \(\frac\theta2\in\left[0,\frac\pi4\right]\), \(\cos\frac\theta2\geq0\) et \(u_1=2\cos\frac\theta2\) ; de même \(u_2=\sqrt{2+2\cos\frac\theta2}=2\cos\frac\theta4\).

✅ \(u_0=2\cos\theta\), \(u_1=2\cos\dfrac\theta2\), \(u_2=2\cos\dfrac\theta4\).

2) Montrer, par récurrence, que pour tout entier naturel \(n\), on a \(u_n=2\cos\left(\dfrac\theta{2^n}\right)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=2\cos\theta\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n=2\cos\frac\theta{2^n}\), alors \(u_{n+1}=\sqrt{2+2\cos\frac\theta{2^n}}=\sqrt{4\cos^2\frac\theta{2^{n+1}}}=2\cos\frac\theta{2^{n+1}}\) (cosinus positif).

✅ \(u_n=2\cos\left(\dfrac\theta{2^n}\right)\).

3) Soit \(v_n=\dfrac\theta{2^n}\). Déterminer la limite de \((v_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(0\leq v_n\leq\theta\left(\frac12\right)^n\to0\).

✅ \(\lim v_n=0\).

4) En déduire que \((u_n)\) est convergente ; quelle est sa limite ?

Correction détaillée

🔢 \(u_n=2\cos(v_n)\) et \(\cos\) est continue en \(0\).

✅ \(\lim u_n=2\cos0=2\).

Exercice 52

Soit la suite \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\sqrt{2+u_n}\).

1) Démontrer, à l’aide d’un raisonnement par récurrence, que, pour tout \(n\), \(0\leq u_n<2\).

Correction détaillée

🔢 \(u_0=0\). Si \(0\leq u_n<2\), alors \(2\leq2+u_n<4\) et \(\sqrt2\leq u_{n+1}<2\).

✅ \(0\leq u_n<2\).

2.a) On considère la suite \((v_n)\) définie par \(v_n=2-u_n\). Quel est le signe de \(v_n\) ?

Correction détaillée

🔢 \(u_n<2\).

✅ \(v_n>0\) pour tout \(n\).

2.b) Montrer que, pour tout entier \(n\), \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n}\leq\dfrac12\), puis par récurrence que \(v_n\leq\left(\dfrac12\right)^{n-1}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}=2-\sqrt{2+u_n}=\dfrac{4-(2+u_n)}{2+\sqrt{2+u_n}}=\dfrac{v_n}{2+u_{n+1}}\), et \(2+u_{n+1}\geq2\).

🔢 Étape 2 : Donc \(\dfrac{v_{n+1}}{v_n}\leq\dfrac12\). Initialisation : \(v_0=2\leq\left(\frac12\right)^{-1}=2\). Hérédité : \(v_{n+1}\leq\frac12v_n\leq\left(\frac12\right)^n\).

✅ \(v_n\leq\left(\dfrac12\right)^{n-1}\).

2.c) En déduire la limite de la suite \((v_n)\) puis celle de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(0<v_n\leq\left(\frac12\right)^{n-1}\to0\).

🔢 Étape 2 : \(u_n=2-v_n\).

✅ \(\lim v_n=0\) et \(\lim u_n=2\).

Exercice 53

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite récurrente définie par : \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

Montrer par récurrence que \(u_n\leq u_{n+1}\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Initialisation : \(u_0=1\leq u_1=\sqrt3\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : si \(u_n\leq u_{n+1}\), alors \(u_n+2\leq u_{n+1}+2\) et, la racine carrée étant croissante, \(u_{n+1}\leq u_{n+2}\).

✅ \(u_n\leq u_{n+1}\) : la suite est croissante.

Exercice 54

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par son premier terme \(u_0>0\) et la relation : \(\forall n\in\mathbb N,\ u_{n+1}=\dfrac12\left(u_n+\dfrac3{u_n}\right)\).

1) Démontrer que \(\forall n\in\mathbb N\), \(u_n>0\). Pour quelle valeur de \(u_0\) la suite est-elle stationnaire ?

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_0>0\) ; si \(u_n>0\), \(u_{n+1}=\frac12\left(u_n+\frac3{u_n}\right)>0\).

🔢 Étape 2 : Stationnaire : \(u_1=u_0\iff\frac12\left(u_0+\frac3{u_0}\right)=u_0\iff u_0^2=3\).

✅ \(u_n>0\) ; la suite est stationnaire pour \(u_0=\sqrt3\).

2.a) Démontrer que \(u_{n+1}-\sqrt3=\dfrac1{2u_n}\left(u_n-\sqrt3\right)^2\) et \(u_{n+1}+\sqrt3=\dfrac1{2u_n}\left(u_n+\sqrt3\right)^2\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}\mp\sqrt3=\dfrac{u_n^2+3\mp2\sqrt3u_n}{2u_n}=\dfrac{\left(u_n\mp\sqrt3\right)^2}{2u_n}\).

✅ Les deux égalités sont vérifiées.

2.b) Démontrer que \((u_n)_{n\geq1}\) est strictement décroissante pour \(n\geq1\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : D’après a), \(u_{n+1}\geq\sqrt3\) donc \(u_n\geq\sqrt3\) pour \(n\geq1\).

🔢 Étape 2 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{3-u_n^2}{2u_n}<0\) si \(u_n>\sqrt3\).

✅ \((u_n)_{n\geq1}\) est décroissante (strictement si \(u_0\neq\sqrt3\)).

2.c) En déduire que \((u_n)\) est convergente et calculer sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Décroissante et minorée par \(\sqrt3\) à partir de \(n=1\) : \(\ell\geq\sqrt3\).

🔢 Étape 2 : \(\ell=\frac12\left(\ell+\frac3\ell\right)\iff\ell^2=3\).

✅ \(\lim u_n=\sqrt3\).

3.a) On définit \((v_n)\) par \(v_{n+1}=\dfrac{u_n-\sqrt3}{u_n+\sqrt3}\). Calculer \(v_{n+2}\) en fonction de \(v_{n+1}\). En déduire \(v_{n+1}\) en fonction de \(v_1\) et \(n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : D’après 2.a) : \(v_{n+2}=\dfrac{u_{n+1}-\sqrt3}{u_{n+1}+\sqrt3}=\dfrac{(u_n-\sqrt3)^2}{(u_n+\sqrt3)^2}=v_{n+1}^2\).

🔢 Étape 2 : Par récurrence : \(v_{n+1}=v_1^{\,2^n}\).

✅ \(v_{n+2}=v_{n+1}^2\) et \(v_{n+1}=\left(v_1\right)^{2^n}\).

3.b) Calculer la limite de \((v_n)\) et retrouver la limite de \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_1=\dfrac{u_0-\sqrt3}{u_0+\sqrt3}\) et \(|v_1|<1\) (car \(u_0>0\)). Donc \(v_{n+1}=v_1^{2^n}\to0\).

🔢 Étape 2 : De \(v_{n+1}(u_n+\sqrt3)=u_n-\sqrt3\) : \(u_n=\sqrt3\dfrac{1+v_{n+1}}{1-v_{n+1}}\to\sqrt3\).

✅ \(\lim v_n=0\) et \(\lim u_n=\sqrt3\).

Exercice 55

Soit la suite réelle définie sur \(\mathbb N\) par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=\dfrac{1+u_n}{\sqrt{3+u_n^2}}\).

1) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(0\leq u_n\leq1\).

Correction détaillée

🔢 \(u_0=0\). Si \(0\leq u_n\leq1\) : \(u_{n+1}\geq0\) et \(1+u_n\leq\sqrt{3+u_n^2}\) car \((1+u_n)^2=1+2u_n+u_n^2\leq3+u_n^2\iff u_n\leq1\).

✅ \(0\leq u_n\leq1\).

2.a) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(u_{n+1}\geq\dfrac{1+u_n}2\).

Correction détaillée

🔢 \(u_n^2\leq1\Rightarrow\sqrt{3+u_n^2}\leq2\) donc \(\dfrac{1+u_n}{\sqrt{3+u_n^2}}\geq\dfrac{1+u_n}2\).

✅ \(u_{n+1}\geq\dfrac{1+u_n}2\).

2.b) Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n\geq\dfrac{1+u_n}2-u_n=\dfrac{1-u_n}2\geq0\).

✅ \((u_n)\) est croissante.

3.a) Vérifier que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(1-u_{n+1}\leq\dfrac12(1-u_n)\).

Correction détaillée

🔢 D’après 2.a) : \(1-u_{n+1}\leq1-\dfrac{1+u_n}2=\dfrac{1-u_n}2\).

✅ \(1-u_{n+1}\leq\dfrac12(1-u_n)\).

3.b) En déduire que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(1-u_n\leq\left(\dfrac12\right)^n\).

Correction détaillée

⚠️ Dans l’énoncé source on lit « \(u_n\leq\left(\frac12\right)^n\) » : c’est une coquille (impossible car \(u_n\to1\)). La bonne inégalité est \(1-u_n\leq\left(\frac12\right)^n\).

🔢 Par récurrence : \(1-u_0=1\), puis \(1-u_{n+1}\leq\frac12\left(\frac12\right)^n\).

✅ \(1-u_n\leq\left(\dfrac12\right)^n\).

3.c) Calculer la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(0\leq1-u_n\leq\left(\frac12\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=1\).

Exercice 56

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite récurrente définie par : \(u_{n+1}=\dfrac{8(u_n-1)}{u_n+2}\) \(\forall n\in\mathbb N\) et \(u_0=3\).

1) Montrer que \((u_n)\) est minorée par \(2\).

Correction détaillée

🔢 \(u_0=3\geq2\). Si \(u_n\geq2\), \(u_{n+1}-2=\dfrac{8u_n-8-2u_n-4}{u_n+2}=\dfrac{6(u_n-2)}{u_n+2}\geq0\).

✅ \(u_n\geq2\).

2) Montrer que \((u_n)\) est majorée par \(4\).

Correction détaillée

🔢 \(u_0=3\leq4\). Si \(u_n\leq4\), \(4-u_{n+1}=\dfrac{4u_n+8-8u_n+8}{u_n+2}=\dfrac{4(4-u_n)}{u_n+2}\geq0\).

✅ \(u_n\leq4\).

3) Étudier la monotonie de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{8u_n-8-u_n^2-2u_n}{u_n+2}=\dfrac{-(u_n-2)(u_n-4)}{u_n+2}\geq0\) car \(2\leq u_n\leq4\).

✅ \((u_n)\) est croissante (donc convergente, de limite \(4\)).

Exercice 57

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par : \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{\sqrt{u_n+2}}\) \(\forall n\in\mathbb N\), \(u_0\in]-1;0[\).

1) Montrer que \(-1<u_n<0\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 \(u_0\in]-1,0[\). Si \(-1<u_n<0\) : \(1<u_n+2<2\), donc \(\sqrt{u_n+2}>1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{u_n}{\sqrt{u_n+2}}<0\) ; de plus \(|u_{n+1}|<|u_n|<1\).

✅ \(-1<u_n<0\).

2) Montrer que \((u_n)\) est strictement croissante.

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=u_n\left(\dfrac1{\sqrt{u_n+2}}-1\right)\). Or \(\sqrt{u_n+2}>1\) donc \(\frac1{\sqrt{u_n+2}}-1<0\), et \(u_n<0\).

✅ \(u_{n+1}-u_n>0\) : \((u_n)\) est strictement croissante.

3) Montrer que \(u_{n+1}\geq\dfrac{u_n}{\sqrt{u_0+2}}\) et en déduire que \(u_n\geq\dfrac{u_0}{\left(\sqrt{u_0+2}\right)^n}\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \((u_n)\) croissante : \(u_n\geq u_0\), donc \(\sqrt{u_n+2}\geq\sqrt{u_0+2}\) et \(\dfrac1{\sqrt{u_n+2}}\leq\dfrac1{\sqrt{u_0+2}}\). Comme \(u_n<0\) : \(\dfrac{u_n}{\sqrt{u_n+2}}\geq\dfrac{u_n}{\sqrt{u_0+2}}\).

🔢 Étape 2 : Par récurrence : \(u_n\geq u_0\left(\dfrac1{\sqrt{u_0+2}}\right)^n\).

✅ \(u_n\geq\dfrac{u_0}{\left(\sqrt{u_0+2}\right)^n}\).

Exercice 58

Soit la fonction \(f(x)=\dfrac12x+1\).

1) Déterminer le point d’intersection de \(C_f\) avec la droite \((\Delta)\) : \(y=x\).

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac12x+1=x\iff x=2\).

✅ Le point d’intersection est \(A(2,2)\).

2.a) Soit \((u_n)\) définie par \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\). Calculer les premiers termes (pour les placer sur l’axe des abscisses).

Correction détaillée

🔢 \(u_1=1\) ; \(u_2=\dfrac32\) ; \(u_3=\dfrac74\).

✅ \(u_0=0\), \(u_1=1\), \(u_2=\dfrac32\), \(u_3=\dfrac74\).

2.b) Conjecturer la monotonie de \((u_n)\) et sa limite potentielle.

Correction détaillée

🔢 Les termes croissent et se rapprochent de l’abscisse du point d’intersection avec \(\Delta\).

✅ \((u_n)\) semble croissante de limite \(2\).

3) Montrer que \((u_n)\) est croissante et majorée par \(2\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_0=0\leq2\) ; si \(u_n\leq2\) alors \(u_{n+1}=\frac12u_n+1\leq2\).

🔢 Étape 2 : \(u_{n+1}-u_n=1-\dfrac12u_n=\dfrac{2-u_n}2\geq0\).

✅ \((u_n)\) est croissante et majorée par \(2\).

4.a) Soit \(v_n=u_n+\alpha\). Déterminer \(\alpha\) pour que \((v_n)\) soit géométrique.

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}=\frac12u_n+1+\alpha=\frac12\left(u_n+2+2\alpha\right)\). Pour que ce soit \(\frac12(u_n+\alpha)\) il faut \(2+2\alpha=\alpha\).

✅ \(\alpha=-2\) : \(v_n=u_n-2\) est géométrique de raison \(\dfrac12\).

4.b) Déterminer \(v_n\) puis \(u_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_0=-2\), \(v_n=-2\left(\frac12\right)^n\).

✅ \(u_n=2-2\left(\dfrac12\right)^n\).

4.c) Déterminer la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(\left(\frac12\right)^n\to0\).

✅ \(\lim u_n=2\).

Exercice 59

Soit la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=0\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) où \(f(x)=\dfrac{3x+2}{x+2}\).

1) Étudier les variations de \(f\) et déterminer \(f([0,2])\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=\dfrac{3(x+2)-(3x+2)}{(x+2)^2}=\dfrac4{(x+2)^2}>0\). \(f(0)=1\) et \(f(2)=2\).

✅ \(f\) est croissante et \(f([0,2])=[1,2]\).

2.a) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(u_n\in I=[0,2]\).

Correction détaillée

🔢 \(u_0=0\in I\) ; si \(u_n\in I\), \(u_{n+1}\in f(I)=[1,2]\subset I\).

✅ \(u_n\in[0,2]\).

2.b) Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante, puis en déduire qu’elle est convergente.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{3u_n+2-u_n^2-2u_n}{u_n+2}=\dfrac{(2-u_n)(u_n+1)}{u_n+2}\geq0\).

🔢 Étape 2 : Croissante et majorée par \(2\).

✅ \((u_n)\) est croissante et convergente.

2.c) Calculer la limite de la suite \((u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(\ell=\dfrac{3\ell+2}{\ell+2}\iff\ell^2-\ell-2=0\iff\ell=2\) ou \(\ell=-1\) ; comme \(\ell\in[0,2]\) :

✅ \(\lim u_n=2\).

Exercice 60

Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N^*}\) la suite définie par : \(u_1=1\) et \(u_{n+1}=\dfrac{12u_n}{9+u_n^2}\) \(\forall n\in\mathbb N^*\).

1) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N^*\) : \(1\leq u_n\leq\sqrt3\).

Correction détaillée

⚠️ Le dénominateur de l’énoncé est lu comme \(9+u_n^2\) (valeur cohérente avec la borne \(\sqrt3\), car \(\ell=\frac{12\ell}{9+\ell^2}\iff\ell^2=3\)).

🔢 Étape 1 : \(g(x)=\dfrac{12x}{9+x^2}\) vérifie \(g'(x)=\dfrac{12(9-x^2)}{(9+x^2)^2}>0\) sur \([1,\sqrt3]\), avec \(g(1)=\frac65\) et \(g(\sqrt3)=\sqrt3\).

🔢 Étape 2 : Initialisation : \(u_1=1\). Hérédité : \(1\leq u_n\leq\sqrt3\Rightarrow g(1)\leq u_{n+1}\leq g(\sqrt3)\), soit \(\frac65\leq u_{n+1}\leq\sqrt3\).

✅ \(1\leq u_n\leq\sqrt3\).

2) Étudier la monotonie de \((u_n)\) et en déduire sa convergence et sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{12u_n-9u_n-u_n^3}{9+u_n^2}=\dfrac{u_n(3-u_n^2)}{9+u_n^2}\geq0\).

🔢 Étape 2 : Croissante et majorée par \(\sqrt3\) : convergente vers \(\ell>0\), avec \(\ell^2=3\).

✅ \((u_n)\) est croissante, convergente, et \(\lim u_n=\sqrt3\).

Exercice 61

On définit deux suites \(u\) et \(v\) par \(u_0=1\), \(v_0=12\) et pour tout entier naturel \(n\) : \(u_{n+1}=\dfrac13(u_n+2v_n)\) et \(v_{n+1}=\dfrac14(u_n+3v_n)\).

1) On appelle \(w\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(w_n=v_n-u_n\).

1.a) Montrer que \(w\) est une suite géométrique à termes positifs, dont on précisera la raison.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(w_{n+1}=\dfrac14(u_n+3v_n)-\dfrac13(u_n+2v_n)=\dfrac{3u_n+9v_n-4u_n-8v_n}{12}=\dfrac{v_n-u_n}{12}=\dfrac1{12}w_n\).

🔢 Étape 2 : \(w_0=12-1=11>0\), donc tous les termes sont positifs.

✅ \((w_n)\) est géométrique de raison \(\dfrac1{12}\) ; \(w_n=11\left(\dfrac1{12}\right)^n>0\).

1.b) Déterminer la limite de la suite \(w\).

Correction détaillée

🔢 \(0<\frac1{12}<1\).

✅ \(\lim w_n=0\).

2.a) Montrer que la suite \(u\) est croissante.

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n+2v_n}3-u_n=\dfrac23(v_n-u_n)=\dfrac23w_n>0\).

✅ \((u_n)\) est strictement croissante.

2.b) Montrer que la suite \(v\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{u_n+3v_n}4-v_n=\dfrac14(u_n-v_n)=-\dfrac14w_n<0\).

✅ \((v_n)\) est strictement décroissante.

2.c) En déduire que, pour tout entier naturel \(n\), \(u_0\leq u_n\leq v_n\leq v_0\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u\) croissante : \(u_n\geq u_0\). \(v\) décroissante : \(v_n\leq v_0\).

🔢 Étape 2 : \(w_n>0\) donne \(u_n<v_n\).

✅ \(u_0\leq u_n\leq v_n\leq v_0\).

3) Montrer que les deux suites \(u\) et \(v\) convergent et ont la même limite que l’on appellera \(l\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u\) est croissante et majorée par \(v_0\) ; \(v\) est décroissante et minorée par \(u_0\) : elles convergent.

🔢 Étape 2 : De plus \(v_n-u_n=w_n\to0\) : leurs limites sont égales.

✅ \(u\) et \(v\) sont adjacentes : elles convergent vers la même limite \(l\).

4.a) On appelle \(t\) la suite définie pour tout entier naturel \(n\) par \(t_n=3u_n+8v_n\). Montrer que \(t\) est une suite constante. Déterminer cette constante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(t_{n+1}=3\times\dfrac{u_n+2v_n}3+8\times\dfrac{u_n+3v_n}4=u_n+2v_n+2u_n+6v_n=3u_n+8v_n=t_n\).

🔢 Étape 2 : \(t_0=3\times1+8\times12=99\).

✅ \(t\) est constante égale à \(99\).

4.b) Déterminer alors la valeur de \(l\).

Correction détaillée

🔢 En passant à la limite : \(3l+8l=99\).

✅ \(l=9\).

Exercice 62

On considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \(u_0=2\), \(v_0=10\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac{2u_n+v_n}3\) et \(v_{n+1}=\dfrac{u_n+3v_n}4\).

1.a) Montrer que pour tout entier naturel \(n\), \(v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac5{12}(v_n-u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{u_n+3v_n}4-\dfrac{2u_n+v_n}3=\dfrac{3u_n+9v_n-8u_n-4v_n}{12}=\dfrac{5(v_n-u_n)}{12}\).

✅ \(v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac5{12}(v_n-u_n)\).

1.b) On pose \(w_n=v_n-u_n\). Montrer que \(w_n=8\left(\dfrac5{12}\right)^n\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

Correction détaillée

🔢 \((w_n)\) est géométrique de raison \(\frac5{12}\) et \(w_0=10-2=8\).

✅ \(w_n=8\left(\dfrac5{12}\right)^n\).

2.a) Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante et que la suite \((v_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(w_n>0\).

🔢 Étape 2 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{2u_n+v_n}3-u_n=\dfrac{v_n-u_n}3>0\) et \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{u_n+3v_n}4-v_n=\dfrac{u_n-v_n}4<0\).

✅ \((u_n)\) est croissante et \((v_n)\) est décroissante.

2.b) Déduire que pour tout entier naturel \(n\), \(u_n\leq10\) et \(v_n\geq2\).

Correction détaillée

🔢 \(u_n\leq v_n\leq v_0=10\) et \(v_n\geq u_n\geq u_0=2\).

✅ \(u_n\leq10\) et \(v_n\geq2\).

2.c) En déduire que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont convergentes.

Correction détaillée

🔢 \((u_n)\) croissante majorée, \((v_n)\) décroissante minorée.

✅ Les deux suites sont convergentes.

3) Montrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) ont la même limite.

Correction détaillée

🔢 \(v_n-u_n=w_n\to0\).

✅ \(\lim u_n=\lim v_n\).

4) Montrer que la suite \((t_n)\) définie par \(t_n=3u_n+4v_n\) est constante.

Correction détaillée

🔢 \(t_{n+1}=(2u_n+v_n)+(u_n+3v_n)=3u_n+4v_n=t_n\).

✅ \(t_n=t_0=6+40=46\).

5) En déduire que la limite commune des suites \((u_n)\) et \((v_n)\) est \(\dfrac{46}7\).

Correction détaillée

🔢 Soit \(l\) la limite commune : \(3l+4l=46\).

✅ \(l=\dfrac{46}7\).

Exercice 63

\(a\) et \(b\) sont deux réels tels que \(0<a<b\). On considère les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \(u_0=a\), \(v_0=b\) et pour tout entier naturel \(n\), \(u_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}2\) et \(v_{n+1}=\sqrt{\dfrac{u_n^2+v_n^2}2}\).

1) Montrer par récurrence que \(u_n>0\) et \(v_n>0\) (\(\forall n\in\mathbb N\)).

Correction détaillée

🔢 \(u_0=a>0\), \(v_0=b>0\). Si \(u_n,v_n>0\), alors \(u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}2>0\) et \(v_{n+1}=\sqrt{\frac{u_n^2+v_n^2}2}>0\).

✅ \(u_n>0\) et \(v_n>0\).

2) Démontrer que \(v_{n+1}^2-u_{n+1}^2=\left(\dfrac{u_n-v_n}2\right)^2\). En déduire que \(u_n\leq v_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}^2-u_{n+1}^2=\dfrac{u_n^2+v_n^2}2-\dfrac{(u_n+v_n)^2}4=\dfrac{2u_n^2+2v_n^2-u_n^2-2u_nv_n-v_n^2}4=\dfrac{(u_n-v_n)^2}4\).

🔢 Étape 2 : Donc \(v_{n+1}^2\geq u_{n+1}^2\), et comme tout est positif, \(u_{n+1}\leq v_{n+1}\) pour tout \(n\) ; de plus \(u_0=a<b=v_0\).

✅ \(u_n\leq v_n\) pour tout \(n\in\mathbb N\).

3) Démontrer que la suite \((u_n)\) est croissante.

Correction détaillée

🔢 \(u_{n+1}-u_n=\dfrac{u_n+v_n}2-u_n=\dfrac{v_n-u_n}2\geq0\).

✅ \((u_n)\) est croissante.

4) Comparer \(v_{n+1}^2\) et \(v_n^2\). En déduire le sens de variation de la suite \((v_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(v_{n+1}^2-v_n^2=\dfrac{u_n^2+v_n^2}2-v_n^2=\dfrac{u_n^2-v_n^2}2\leq0\) car \(0<u_n\leq v_n\).

✅ \(v_{n+1}^2\leq v_n^2\) donc \(v_{n+1}\leq v_n\) (termes positifs) : \((v_n)\) est décroissante.

5) Démontrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont convergentes.

Correction détaillée

🔢 \((u_n)\) est croissante et majorée par \(v_0=b\) ; \((v_n)\) est décroissante et minorée par \(u_0=a\).

✅ Les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont convergentes.

Exercice 64

Soient les suites numériques \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \(u_n=\sum\limits_{k=0}^n\dfrac1{k!}\) et \(v_n=u_n+\dfrac1{n\times n!}\) (\(\forall n\in\mathbb N^*\)).

1) Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante et que la suite \((v_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

⚠️ L’énoncé écrit « \(\forall n\in\mathbb N\) », mais \(v_n=u_n+\frac1{n\times n!}\) n’est pas défini pour \(n=0\) : on travaille avec \(n\in\mathbb N^*\).

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac1{(n+1)!}>0\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}-v_n=\dfrac1{(n+1)!}+\dfrac1{(n+1)(n+1)!}-\dfrac1{n\times n!}=\dfrac1{n!}\left(\dfrac{n+2}{(n+1)^2}-\dfrac1n\right)=\dfrac1{n!}\times\dfrac{n(n+2)-(n+1)^2}{n(n+1)^2}=\dfrac{-1}{n!\,n(n+1)^2}<0\).

✅ \((u_n)\) est croissante et \((v_n)\) est décroissante (pour \(n\geq1\)).

2) Montrer que \(v_n>u_n\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n-u_n=\dfrac1{n\times n!}>0\).

✅ \(v_n>u_n\).

3) Montrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont convergentes et ont la même limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_n-u_n=\dfrac1{n\times n!}\leq\dfrac1n\to0\).

🔢 Étape 2 : Suites croissante / décroissante de différence tendant vers \(0\) : adjacentes.

✅ \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes : elles convergent vers la même limite.

Exercice 65

Considérons les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \(u_0=a\) et \(v_0=b\) avec \(0<a<b<2a\), \(u_nv_n=ab\) et \(v_{n+1}=\dfrac{u_n+v_n}2\).

1) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(0<u_n<v_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On a \(u_nv_n=ab\) pour tout \(n\), \(0<a<b\). Initialisation : \(0<u_0<v_0\).

🔢 Étape 2 : Hérédité : \(v_{n+1}^2=\dfrac{(u_n+v_n)^2}4>u_nv_n=ab=u_{n+1}v_{n+1}\) (car \(u_n\neq v_n\)), donc \(v_{n+1}>u_{n+1}\) ; de plus \(u_{n+1}=\dfrac{ab}{v_{n+1}}>0\).

✅ \(0<u_n<v_n\).

2) En déduire que la suite \((u_n)\) est croissante et que la suite \((v_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}-v_n=\dfrac{u_n-v_n}2<0\).

🔢 Étape 2 : \(u_n=\dfrac{ab}{v_n}\) et \((v_n)\) décroissante positive : \(u_{n+1}=\dfrac{ab}{v_{n+1}}>\dfrac{ab}{v_n}=u_n\).

✅ \((u_n)\) est croissante et \((v_n)\) est décroissante.

3.a) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(v_{n+1}-u_{n+1}<\dfrac12(v_n-u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(v_{n+1}-u_{n+1}=\dfrac{v_{n+1}^2-u_{n+1}v_{n+1}}{v_{n+1}}=\dfrac{\frac{(u_n+v_n)^2}4-u_nv_n}{v_{n+1}}=\dfrac{(v_n-u_n)^2}{4v_{n+1}}\).

🔢 Étape 2 : \(\dfrac{v_n-u_n}{4v_{n+1}}<\dfrac12\iff v_n-u_n<2v_{n+1}=u_n+v_n\), vrai car \(u_n>0\).

✅ \(v_{n+1}-u_{n+1}<\dfrac12(v_n-u_n)\).

3.b) En déduire \(\lim(v_n-u_n)\).

Correction détaillée

🔢 Par récurrence : \(0<v_n-u_n<\left(\frac12\right)^n(b-a)\to0\).

✅ \(\lim(v_n-u_n)=0\) : les suites sont adjacentes.

Exercice 66

Soient les suites numériques \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \(u_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac1{k^3}\) et \(v_n=u_n+\dfrac1n\) \(\forall n\in\mathbb N^*\).

1) Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante et que la suite \((v_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac1{(n+1)^3}>0\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}-v_n=\dfrac1{(n+1)^3}+\dfrac1{n+1}-\dfrac1n=\dfrac1{(n+1)^3}-\dfrac1{n(n+1)}=\dfrac{n-(n+1)^2}{n(n+1)^3}=-\dfrac{n^2+n+1}{n(n+1)^3}<0\).

✅ \((u_n)\) est croissante et \((v_n)\) est décroissante.

2) Calculer \(\lim(v_n-u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n-u_n=\dfrac1n\to0\).

✅ \(\lim(v_n-u_n)=0\) : suites adjacentes, donc convergentes vers la même limite.

Exercice 67

Soient les suites numériques \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \(u_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac1{\sqrt k}-2\sqrt{n+1}\) et \(v_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac1{\sqrt k}-2\sqrt n\) \(\forall n\in\mathbb N^*\).

1) Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante et que la suite \((v_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(u_{n+1}-u_n=\dfrac1{\sqrt{n+1}}-2\left(\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}\right)=\dfrac1{\sqrt{n+1}}-\dfrac2{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}\). Comme \(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}>2\sqrt{n+1}\), on a \(\dfrac2{\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}}<\dfrac1{\sqrt{n+1}}\) : \(u_{n+1}-u_n>0\).

🔢 Étape 2 : \(v_{n+1}-v_n=\dfrac1{\sqrt{n+1}}-\dfrac2{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\). Comme \(\sqrt{n+1}+\sqrt n<2\sqrt{n+1}\), on a \(\dfrac2{\sqrt{n+1}+\sqrt n}>\dfrac1{\sqrt{n+1}}\) : \(v_{n+1}-v_n<0\).

✅ \((u_n)\) est croissante et \((v_n)\) est décroissante.

2) Calculer \(\lim(v_n-u_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(v_n-u_n=2\left(\sqrt{n+1}-\sqrt n\right)=\dfrac2{\sqrt{n+1}+\sqrt n}\to0\).

✅ \(\lim(v_n-u_n)=0\) : suites adjacentes.

Exercice 68

Soient les suites numériques \((x_n)\), \((u_n)\) et \((v_n)\) définies par : \(x_n=\sum\limits_{k=1}^n\dfrac{(-1)^{k+1}}{k^2}\), \(u_n=x_{2n}\) et \(v_n=x_{2n+1}\) \(\forall n\in\mathbb N^*\).

1) Montrer que les suites \((u_n)\) et \((v_n)\) sont convergentes et ont la même limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : On a \(x_{2n+1}=x_{2n}+\dfrac1{(2n+1)^2}\) et \(x_{2n+2}=x_{2n+1}-\dfrac1{(2n+2)^2}\).

🔢 Étape 2 : \(u_{n+1}-u_n=x_{2n+2}-x_{2n}=\dfrac1{(2n+1)^2}-\dfrac1{(2n+2)^2}>0\) : \((u_n)\) croissante.

🔢 Étape 3 : \(v_{n+1}-v_n=x_{2n+3}-x_{2n+1}=-\dfrac1{(2n+2)^2}+\dfrac1{(2n+3)^2}<0\) : \((v_n)\) décroissante.

🔢 Étape 4 : \(v_n-u_n=x_{2n+1}-x_{2n}=\dfrac1{(2n+1)^2}\to0\).

✅ \((u_n)\) et \((v_n)\) sont adjacentes : elles convergent vers la même limite.

Exercice 69

Soit la suite \((u_n)\) définie par : \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) où \(f(x)=\dfrac1{x+1}\).

1) Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb R^+\).

Correction détaillée

🔢 \(f'(x)=-\dfrac1{(x+1)^2}<0\).

✅ \(f\) est strictement décroissante sur \(\mathbb R^+\).

2) On pose : \(\alpha_n=u_{2n+1}\) et \(\beta_n=u_{2n}\) \(\forall n\in\mathbb N\).

2.a) Montrer que la suite \((\alpha_n)\) est croissante et que la suite \((\beta_n)\) est décroissante.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(g=f\circ f\) est croissante (composée de deux fonctions décroissantes) et \(g(x)=\dfrac1{\frac1{x+1}+1}=\dfrac{x+1}{x+2}\).

🔢 Étape 2 : \(\beta_{n+1}=g(\beta_n)\) et \(\alpha_{n+1}=g(\alpha_n)\). On a \(u_0=1\), \(u_1=\frac12\), \(u_2=\frac23\), \(u_3=\frac35\) : \(\beta_1=\frac23<\beta_0=1\) et \(\alpha_1=\frac35>\alpha_0=\frac12\).

🔢 Étape 3 : Comme \(g\) est croissante, la monotonie du premier pas se propage par récurrence.

✅ \((\alpha_n)\) est croissante et \((\beta_n)\) est décroissante.

2.b) Montrer que \(\alpha_n\leq\beta_n\) \(\forall n\in\mathbb N\).

Correction détaillée

🔢 \(\alpha_0=\frac12\leq1=\beta_0\). Si \(\alpha_n\leq\beta_n\), \(g\) croissante donne \(g(\alpha_n)\leq g(\beta_n)\).

✅ \(\alpha_n\leq\beta_n\).

3) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(\dfrac12\leq u_n\leq1\).

Correction détaillée

🔢 \(f\) décroissante : \(f\left(\left[\frac12,1\right]\right)=\left[\frac12,\frac23\right]\subset\left[\frac12,1\right]\). \(u_0=1\in\left[\frac12,1\right]\) ; récurrence.

✅ \(\dfrac12\leq u_n\leq1\).

4) Montrer que \(|u_{n+1}-u_n|\leq\dfrac1n\) \(\forall n\in\mathbb N^*\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(|f(x)-f(y)|=\dfrac{|x-y|}{(x+1)(y+1)}\leq\dfrac49|x-y|\) pour \(x,y\geq\frac12\).

🔢 Étape 2 : Donc \(|u_{n+1}-u_n|\leq\left(\dfrac49\right)^n|u_1-u_0|=\dfrac12\left(\dfrac49\right)^n\leq\dfrac1n\).

✅ \(|u_{n+1}-u_n|\leq\dfrac1n\).

5) Calculer \(\lim(\alpha_n-\beta_n)\).

Correction détaillée

🔢 \(|\alpha_n-\beta_n|=|u_{2n+1}-u_{2n}|\leq\dfrac1{2n}\to0\).

✅ \(\lim(\alpha_n-\beta_n)=0\) : suites adjacentes, de même limite \(\ell\) vérifiant \(\ell=\dfrac1{\ell+1}\), soit \(\ell=\dfrac{\sqrt5-1}2\).

Exercice 70

On considère un carré \(F_1\) de côté de longueur \(1\). Au milieu de chaque côté, à l’extérieur de \(F_1\), on place un carré de côté \(\frac13\), dont on supprime le côté en contact avec la figure initiale. On obtient ainsi une figure \(F_2\). On procède de même avec \(F_2\) et on obtient une nouvelle figure \(F_3\). En réitérant le procédé, on construit une suite \((F_n)\) de figures. On note \(p_n\) le périmètre de \(F_n\).

1) Tracer \(F_3\).

2.a) Exprimer en fonction de \(n\) : \(c_n\), le nombre de côtés de \(F_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(F_1\) est un carré : \(c_1=4\), de côtés de longueur \(1\).

🔢 Étape 2 : Chaque côté de longueur \(l\) est remplacé par \(5\) segments de longueur \(\dfrac l3\) (deux tiers de côté conservés, plus trois côtés du petit carré). Donc \(c_{n+1}=5c_n\).

✅ \(c_n=4\times5^{n-1}\).

2.b) Exprimer en fonction de \(n\) : \(l_n\), la longueur de chaque côté de \(F_n\).

Correction détaillée

🔢 \(l_1=1\) et \(l_{n+1}=\dfrac13l_n\).

✅ \(l_n=\left(\dfrac13\right)^{n-1}\).

2.c) Exprimer en fonction de \(n\) : \(p_n\), le périmètre de \(F_n\).

Correction détaillée

🔢 \(p_n=c_nl_n=4\times5^{n-1}\times\dfrac1{3^{n-1}}\).

✅ \(p_n=4\left(\dfrac53\right)^{n-1}\).

3) La suite \((p_n)\) converge-t-elle ?

Correction détaillée

🔢 \(\dfrac53>1\), donc \(\left(\dfrac53\right)^{n-1}\to+\infty\).

✅ \((p_n)\) ne converge pas : \(\lim p_n=+\infty\).

On note \(A_n\) l’aire de \(F_n\).

4) Exprimer \(A_{n+1}\) en fonction de \(A_n\).

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : Pour passer de \(F_n\) à \(F_{n+1}\), on ajoute un carré de côté \(\dfrac{l_n}3\) sur chacun des \(c_n\) côtés.

🔢 Étape 2 : Aire ajoutée : \(c_n\left(\dfrac{l_n}3\right)^2=4\times5^{n-1}\times\dfrac1{9^n}=\dfrac49\left(\dfrac59\right)^{n-1}\).

✅ \(A_{n+1}=A_n+\dfrac49\left(\dfrac59\right)^{n-1}\).

5) En déduire \(A_n\) en fonction de \(n\).

Correction détaillée

🔢 \(A_1=1\) et \(A_n=1+\dfrac49\sum\limits_{k=0}^{n-2}\left(\dfrac59\right)^k=1+\dfrac49\times\dfrac{1-\left(\frac59\right)^{n-1}}{1-\frac59}=1+1-\left(\dfrac59\right)^{n-1}\).

✅ \(A_n=2-\left(\dfrac59\right)^{n-1}\).

6) Montrer que \((A_n)\) converge et calculer sa limite.

Correction détaillée

🔢 Étape 1 : \(A_{n+1}>A_n\) et \(A_n<2\) : croissante majorée.

🔢 Étape 2 : \(\left(\dfrac59\right)^{n-1}\to0\).

✅ \((A_n)\) converge et \(\lim A_n=2\).

7) Quelles réflexions vous inspire ce problème ?

Correction détaillée

🔢 Le périmètre \(p_n\) tend vers \(+\infty\) alors que l’aire \(A_n\) reste bornée (elle tend vers \(2\)).

✅ Une figure de périmètre infini peut avoir une aire finie : phénomène analogue au flocon de Koch.