Fonctions logarithmiques · Série de synthèse 2ème Bac
📌 Série de synthèse
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📝 Corrections étape par étape
Exercice 1
On pose \(\ln2\approx0{,}7\) et \(\ln3\approx1{,}1\). Calculer :
1) \(\ln6\) ; \(\ln4\) ; \(\ln8\) ; \(\ln72\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln6=\ln2+\ln3\approx0{,}7+1{,}1\) ; \(\ln4=2\ln2\) ; \(\ln8=3\ln2\) ; \(\ln72=\ln\left(2^3\times3^2\right)=3\ln2+2\ln3\).
✅ \(\ln6\approx1{,}8\) ; \(\ln4\approx1{,}4\) ; \(\ln8\approx2{,}1\) ; \(\ln72\approx4{,}3\).
2) \(\ln\dfrac12\) ; \(\ln\dfrac32\) ; \(\ln\sqrt2\) ; \(\ln\sqrt6\) ; \(\ln\left(3\sqrt2\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln\frac12=-\ln2\) ; \(\ln\frac32=\ln3-\ln2\) ; \(\ln\sqrt2=\frac12\ln2\) ; \(\ln\sqrt6=\frac12(\ln2+\ln3)\) ; \(\ln3\sqrt2=\ln3+\frac12\ln2\).
✅ \(\approx-0{,}7\) ; \(0{,}4\) ; \(0{,}35\) ; \(0{,}9\) ; \(1{,}45\).
3) \(\ln\left(12\sqrt[3]3\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln12=2\ln2+\ln3\) et \(\ln\sqrt[3]3=\frac13\ln3\).
✅ \(=2\ln2+\frac43\ln3\approx1{,}4+1{,}47=2{,}87\).
4) \(A=\ln\sqrt{2+\sqrt2}+\ln\sqrt{2-\sqrt2}\)
Correction détaillée
🔢 \(A=\frac12\ln\left[\left(2+\sqrt2\right)\left(2-\sqrt2\right)\right]=\frac12\ln2\).
✅ \(A=\frac12\ln2\approx0{,}35\).
5) \(B=\dfrac14\ln81+\ln\sqrt3-\ln\dfrac1{27}\)
Correction détaillée
🔢 \(\frac14\ln81=\ln3\) ; \(\ln\sqrt3=\frac12\ln3\) ; \(-\ln\frac1{27}=\ln27=3\ln3\).
✅ \(B=\frac92\ln3\approx4{,}95\).
6) \(C=\ln\left(\sqrt2+1\right)^{2015}+\ln\left(\sqrt2-1\right)^{2019}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\sqrt2-1=\frac1{\sqrt2+1}\), donc \(\ln\left(\sqrt2-1\right)=-\ln\left(\sqrt2+1\right)\).
🔢 Étape 2 : \(C=(2015-2019)\ln\left(\sqrt2+1\right)\).
✅ \(C=-4\ln\left(\sqrt2+1\right)\).
Exercice 2
On pose \(\alpha=\ln a\) et \(\beta=\ln b\). Calculer en fonction de \(\alpha\) et \(\beta\) les réels suivants :
1) \(\ln\left(a^2b^5\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln\left(a^2b^5\right)=2\ln a+5\ln b\).
✅ \(=2\alpha+5\beta\).
2) \(\ln\left(\dfrac1{\sqrt[6]{a^2b}}\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\frac1{\sqrt[6]{a^2b}}=\left(a^2b\right)^{-1/6}\).
✅ \(\ln(\cdot)=-\dfrac16(2\alpha+\beta)=-\dfrac\alpha3-\dfrac\beta6\).
Exercice 3
Simplifier et calculer :
1) \(A=\ln\left(e^2\right)+\ln\left(e^4\right)-\ln\left(\dfrac1e\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(2+4-(-1)\).
✅ \(A=7\).
2) \(B=2\ln\left(\sqrt e\right)+\ln\left(e\sqrt e\right)-\dfrac13\ln\left(e^9\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(2\times\frac12+\frac32-\frac13\times9\).
✅ \(B=1+\frac32-3=-\frac12\).
Exercice 4
Simplifier les expressions suivantes.
1) \(A=\ln\left(3-\sqrt3\right)+\ln\left(3+\sqrt3\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\left(3-\sqrt3\right)\left(3+\sqrt3\right)=9-3=6\).
✅ \(A=\ln6\).
2) \(B=\ln e^3-\ln\dfrac2e+\ln2\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln e^3=3\) ; \(\ln\frac2e=\ln2-1\).
✅ \(B=3-\ln2+1+\ln2=4\).
3) \(C=3\ln2+\dfrac12\ln9-2\ln\left(2\sqrt6\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\frac12\ln9=\ln3\) et \(2\ln\left(2\sqrt6\right)=\ln24=3\ln2+\ln3\).
✅ \(C=3\ln2+\ln3-3\ln2-\ln3=0\).
Exercice 5
Simplifier et calculer :
1) \(\log_84\)
Correction détaillée
📘 Méthode : \(\log_ab=\dfrac{\ln b}{\ln a}\) (\(a>0\), \(a\neq1\), \(b>0\)) ; \(\log\) désigne le logarithme décimal \(\log_{10}\).
🔢 \(\log_ab=\dfrac{\ln b}{\ln a}\) : \(\dfrac{\ln4}{\ln8}=\dfrac{2\ln2}{3\ln2}\).
✅ \(\log_84=\dfrac23\).
2) \(\log_{\sqrt2}\dfrac12\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{\ln\frac12}{\ln\sqrt2}=\dfrac{-\ln2}{\frac12\ln2}\).
✅ \(=-2\).
3) \(\log_{\sqrt3}9\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{\ln9}{\ln\sqrt3}=\dfrac{2\ln3}{\frac12\ln3}\).
✅ \(=4\).
4) \(A=\log_2\dfrac15+\log_2(10)+\log_{\frac13}\left(\sqrt[4]3\right)\)
Correction détaillée
⚠️ L’indice de la racine est lu comme \(4\) (scan peu net).
🔢 Étape 1 : \(\log_2\frac15+\log_210=\log_22=1\).
🔢 Étape 2 : \(\log_{1/3}\left(3^{1/4}\right)=\dfrac{\frac14\ln3}{-\ln3}=-\dfrac14\).
✅ \(A=\dfrac34\).
Exercice 6
On pose \(\alpha=\log_{40}(100)\) et \(\beta=\log_{16}(25)\).
Calculer \(\beta\) en fonction de \(\alpha\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\alpha=\dfrac{\ln100}{\ln40}=\dfrac{2\ln2+2\ln5}{3\ln2+\ln5}\) et \(\beta=\dfrac{\ln25}{\ln16}=\dfrac{2\ln5}{4\ln2}\).
🔢 Étape 2 : Posons \(r=\frac{\ln5}{\ln2}\) : \(\alpha=\dfrac{2+2r}{3+r}\), d’où \(\alpha(3+r)=2+2r\), soit \(r=\dfrac{3\alpha-2}{2-\alpha}\).
🔢 Étape 3 : \(\beta=\dfrac r2\).
✅ \(\beta=\dfrac{3\alpha-2}{2(2-\alpha)}\).
Exercice 7
Simplifier et calculer :
1) \(\log_{10}100\)
Correction détaillée
🔢 \(100=10^2\).
✅ \(=2\).
2) \(\log_{10}0{,}0001\)
Correction détaillée
🔢 \(0{,}0001=10^{-4}\).
✅ \(=-4\).
3) \(A=\log(250000)+\log\sqrt{250}-\log(125)\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(A=\log\dfrac{250000\times\sqrt{250}}{125}\) avec \(\sqrt{250}=5\sqrt{10}\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{250000\times5\sqrt{10}}{125}=10^4\sqrt{10}\).
✅ \(A=4+\frac12=\frac92\).
Exercice 8
Déterminer le plus petit entier naturel \(n\) tel que \(\left(\dfrac32\right)^n\geq10^{20}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : En prenant le logarithme décimal : \(n\log\frac32\geq20\), avec \(\log\frac32\approx0{,}17609>0\).
🔢 Étape 2 : \(n\geq\dfrac{20}{0{,}17609}\approx113{,}58\).
✅ Le plus petit entier est \(n=114\).
Exercice 9
Résoudre dans \(\mathbb R\) (où \(\log\) désigne le logarithme décimal) :
1) \(\log_3(2x)\times\left(\log_5(x)-1\right)=0\)
Correction détaillée
📘 Méthode : On détermine le domaine (bases strictement positives et différentes de \(1\), arguments \(>0\)), puis on passe en \(\ln\).
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x>0\). Un produit est nul si l’un des facteurs l’est.
🔢 Étape 2 : \(\log_3(2x)=0\iff2x=1\iff x=\frac12\) ; \(\log_5x=1\iff x=5\).
✅ \(S=\left\{\dfrac12,5\right\}\).
2) \(2(\log x)^2-19\log x-10=0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\). Avec \(t=\log x\) : \(2t^2-19t-10=0\), \(\Delta=361+80=441=21^2\), \(t=\frac{19\pm21}4\), soit \(t=10\) ou \(t=-\frac12\).
✅ \(S=\left\{10^{10},\dfrac1{\sqrt{10}}\right\}\).
3) \(\log_{\frac12}\left(x-\dfrac12\right)\geq1\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x>\frac12\). \(\log_{1/2}u=\dfrac{\ln u}{-\ln2}\geq1\iff\ln u\leq-\ln2\iff u\leq\frac12\) (la base est \(<1\), le sens s’inverse).
🔢 Étape 2 : Avec \(u=x-\frac12\) : \(x-\frac12\leq\frac12\iff x\leq1\).
✅ \(S=\left]\dfrac12,1\right]\).
4) \(\log_{2x}(4x)+\log_{4x}(16x)=4\)
Correction détaillée
⚠️ Les bases \(2x\) et \(4x\) sont lues d’après le scan (petits indices).
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x>0\), \(2x\neq1\), \(4x\neq1\), soit \(x\notin\left\{\frac12,\frac14\right\}\).
🔢 Étape 2 : Posons \(x=2^p\). \(\log_{2x}(4x)=\dfrac{2+p}{1+p}\) et \(\log_{4x}(16x)=\dfrac{4+p}{2+p}\) (\(p\neq-1,-2\)).
🔢 Étape 3 : L’équation devient \((2+p)^2+(4+p)(1+p)=4(1+p)(2+p)\iff2p^2+9p+8=4p^2+12p+8\iff2p^2+3p=0\).
🔢 Étape 4 : \(p=0\) ou \(p=-\frac32\).
✅ \(S=\left\{1,\ 2^{-3/2}\right\}=\left\{1,\dfrac{\sqrt2}4\right\}\).
Exercice 10
Résoudre dans \(\mathbb R\) :
1) \(\log_3(7x-1)^2=0\)
Correction détaillée
📘 Méthode : On détermine le domaine (bases strictement positives et différentes de \(1\), arguments \(>0\)), puis on passe en \(\ln\).
🔢 Domaine : \(7x-1\neq0\). \(\log_3u=0\iff u=1\) : \((7x-1)^2=1\iff7x-1=\pm1\).
✅ \(S=\left\{0,\dfrac27\right\}\).
2) \(\log_3(5x+1)=2\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>-\frac15\). \(5x+1=3^2=9\).
✅ \(S=\left\{\dfrac85\right\}\).
3) \(\dfrac{\log_3(5x+1)}{\log_3(7x-1)^2}\leq1\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Domaine : \(5x+1>0\), \(7x\neq1\) et \(\log_3(7x-1)^2\neq0\iff(7x-1)^2\neq1\iff x\notin\left\{0,\frac27\right\}\).
🔢 Étape 2 : Notons \(A=\log_3(5x+1)\) et \(B=\log_3(7x-1)^2\). L’inégalité s’écrit \(\dfrac{A-B}B\leq0\), avec \(A-B=\log_3\dfrac{5x+1}{(7x-1)^2}\).
🔢 Étape 3 : Signe de \(B\) : \(B>0\iff|7x-1|>1\iff x<0\) ou \(x>\frac27\) ; \(B<0\iff0<x<\frac27\), \(x\neq\frac17\).
🔢 Étape 4 : Signe de \(A-B\) : \(A-B\geq0\iff5x+1\geq(7x-1)^2\iff49x^2-19x\leq0\iff0\leq x\leq\frac{19}{49}\).
🔢 Étape 5 : Cas \(B>0\) : on veut \(A-B\leq0\), c’est-à-dire \(x\leq0\) ou \(x\geq\frac{19}{49}\). Avec \(-\frac15<x<0\) ou \(x>\frac27\) : on obtient \(\left]-\frac15,0\right[\) et \(\left[\frac{19}{49},+\infty\right[\).
🔢 Étape 6 : Cas \(B<0\) : on veut \(A-B\geq0\) donc \(0\leq x\leq\frac{19}{49}\), avec \(0<x<\frac27\) (\(x\neq\frac17\)) : on obtient \(\left]0,\frac17\right[\cup\left]\frac17,\frac27\right[\).
✅ \(S=\left]-\dfrac15,0\right[\cup\left]0,\dfrac17\right[\cup\left]\dfrac17,\dfrac27\right[\cup\left[\dfrac{19}{49},+\infty\right[\).
Exercice 11
1) Résoudre dans \(\mathbb R\) l’équation \(\log_x(x+1)=\log_{x+1}(x)\).
Correction détaillée
📘 Méthode : On détermine le domaine (bases strictement positives et différentes de \(1\), arguments \(>0\)), puis on passe en \(\ln\).
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x>0\), \(x\neq1\) (bases de \(\log_x\)), \(x+1\neq1\), donc \(x>0\), \(x\neq1\).
🔢 Étape 2 : Avec \(u=\ln x\) et \(v=\ln(x+1)\) (non nuls) : \(\dfrac vu=\dfrac uv\iff v^2=u^2\iff v=u\) ou \(v=-u\).
🔢 Étape 3 : \(v=u\iff x+1=x\), impossible. \(v=-u\iff x+1=\frac1x\iff x^2+x-1=0\iff x=\frac{-1\pm\sqrt5}2\).
✅ \(S=\left\{\dfrac{\sqrt5-1}2\right\}\) (la racine négative est rejetée).
2) Résoudre dans \(\mathbb R\) l’inéquation \(\log_2(x)>\log_x(2)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x>0\), \(x\neq1\). Posons \(t=\ln x\) et \(a=\ln2>0\) : \(\dfrac ta>\dfrac at\iff\dfrac{t^2-a^2}{at}>0\iff\dfrac{(t-a)(t+a)}t>0\).
🔢 Étape 2 : Tableau de signes : positif pour \(-a<t<0\) ou \(t>a\).
✅ \(S=\left]\dfrac12,1\right[\cup]2,+\infty[\).
Exercice 12
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
1) \(f(x)=\ln(x+1)\)
Correction détaillée
📘 Méthode : \(\ln u\) existe si \(u>0\) ; \(\sqrt u\) existe si \(u\geq0\) ; un quotient exige un dénominateur non nul.
🔢 Il faut \(x+1>0\).
✅ \(D_f=]-1,+\infty[\).
2) \(f(x)=\ln\left(x^2-3x+2\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(x^2-3x+2=(x-1)(x-2)>0\).
✅ \(D_f=]-\infty,1[\,\cup\,]2,+\infty[\).
3) \(f(x)=\dfrac x{\ln x}\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x>0\) et \(\ln x\neq0\), c’est-à-dire \(x\neq1\).
✅ \(D_f=]0,1[\,\cup\,]1,+\infty[\).
4) \(f(x)=\ln x+\ln(x-1)\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x>0\) et \(x-1>0\).
✅ \(D_f=]1,+\infty[\).
5) \(f(x)=\ln\left(\dfrac{x-4}{x+1}\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{x-4}{x+1}>0\) : tableau de signes.
✅ \(D_f=]-\infty,-1[\,\cup\,]4,+\infty[\).
Exercice 13
Déterminer le domaine de définition des fonctions suivantes :
1) \(f(x)=\dfrac{\ln(x+1)}{\ln(\ln x)}\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x>0\), \(\ln x>0\iff x>1\), et \(\ln(\ln x)\neq0\iff\ln x\neq1\iff x\neq e\).
✅ \(D_f=]1,e[\,\cup\,]e,+\infty[\).
2) \(f(x)=\sqrt{1-\ln(e-x)}\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(e-x>0\) et \(1-\ln(e-x)\geq0\iff e-x\leq e\iff x\geq0\).
✅ \(D_f=[0,e[\).
3) \(f(x)=\dfrac x{\sqrt{(\ln2x)^2-1}}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Il faut \(x>0\) et \((\ln2x)^2>1\iff\ln2x>1\) ou \(\ln2x<-1\).
🔢 Étape 2 : \(2x>e\) ou \(2x<e^{-1}\).
✅ \(D_f=\left]0,\dfrac1{2e}\right[\cup\left]\dfrac e2,+\infty\right[\).
Exercice 14
Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(f\) dans chacun des cas suivants :
1) \(f(x)=\dfrac1x\ln(x+2)\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x+2>0\) et \(x\neq0\).
✅ \(D_f=]-2,0[\,\cup\,]0,+\infty[\).
2) \(f(x)=\ln\left(x^2-4\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(x^2-4>0\iff|x|>2\).
✅ \(D_f=]-\infty,-2[\,\cup\,]2,+\infty[\).
3) \(f(x)=\ln\left(2x^2-x+3\right)\)
Correction détaillée
🔢 Le discriminant de \(2x^2-x+3\) est \(1-24<0\) et le coefficient de \(x^2\) est positif : \(2x^2-x+3>0\) sur \(\mathbb R\).
✅ \(D_f=\mathbb R\).
4) \(f(x)=\ln(3x+1)+\ln(x+2)\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(3x+1>0\) et \(x+2>0\) : \(x>-\frac13\) et \(x>-2\).
✅ \(D_f=\left]-\dfrac13,+\infty\right[\).
5) \(f(x)=\ln\left[(3x+1)(x+2)\right]\)
Correction détaillée
🔢 \((3x+1)(x+2)>0\) à l’extérieur des racines \(-2\) et \(-\frac13\).
✅ \(D_f=]-\infty,-2[\,\cup\,\left]-\dfrac13,+\infty\right[\).
6) \(f(x)=\ln\left(\dfrac{2x-1}{x+1}\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{2x-1}{x+1}>0\) : racines \(\frac12\) et \(-1\).
✅ \(D_f=]-\infty,-1[\,\cup\,\left]\dfrac12,+\infty\right[\).
7) \(f(x)=\dfrac{\ln(2x-1)}{\ln(x+1)}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Il faut \(2x-1>0\), \(x+1>0\) et \(\ln(x+1)\neq0\) (soit \(x\neq0\)).
🔢 Étape 2 : \(x>\frac12\) : la valeur \(0\) est exclue d’office.
✅ \(D_f=\left]\dfrac12,+\infty\right[\).
8) \(f(x)=\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x\neq-1\) et \(\dfrac{x-1}{x+1}\neq0\), c’est-à-dire \(x\neq1\).
✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{-1,1\}\).
Exercice 15
Déterminer le domaine de définition de la fonction \(f\) dans chacun des cas suivants :
1) \(f(x)=(\ln x-2)\sqrt{4-x}\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x>0\) et \(4-x\geq0\).
✅ \(D_f=]0,4]\).
2) \(f(x)=\sqrt{1-\ln x}\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x>0\) et \(1-\ln x\geq0\iff x\leq e\).
✅ \(D_f=]0,e]\).
3) \(f(x)=\dfrac{2x}{1-\ln x}\)
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x>0\) et \(\ln x\neq1\).
✅ \(D_f=]0,e[\,\cup\,]e,+\infty[\).
Exercice 16
Résoudre dans \(\mathbb R\) les équations et inéquations suivantes :
1) \(\ln(x-2)=0\)
Correction détaillée
📘 Méthode : On détermine d’abord le domaine, puis on utilise \(\ln a=\ln b\iff a=b\) et \(\ln a\leq\ln b\iff a\leq b\) (pour \(a,b>0\)).
🔢 Domaine : \(x>2\). \(\ln(x-2)=0\iff x-2=1\).
✅ \(S=\{3\}\).
2) \(\ln(3x-1)=\ln(5x-10)\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>2\) (donc \(3x-1>0\) aussi). \(3x-1=5x-10\iff x=\frac92\).
✅ \(S=\left\{\frac92\right\}\).
3) \(\ln(2x-1)-\ln(1-x)=0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(\frac12<x<1\). \(2x-1=1-x\iff x=\frac23\in\left]\frac12,1\right[\).
✅ \(S=\left\{\frac23\right\}\).
4) \(\ln(2x)=\ln\left(x^2+1\right)\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\). \(2x=x^2+1\iff(x-1)^2=0\).
✅ \(S=\{1\}\).
5) \(\ln(2x-6)\geq0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>3\). \(2x-6\geq1\iff x\geq\frac72\).
✅ \(S=\left[\frac72,+\infty\right[\).
6) \(\ln(x-1)-\ln(3x+1)<0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>1\). \(x-1<3x+1\iff x>-1\), vrai sur le domaine.
✅ \(S=]1,+\infty[\).
Exercice 17
Résoudre dans \(\mathbb R\) les équations et inéquations suivantes :
1) \(\ln(2x-1)=\dfrac32\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>\frac12\). \(2x-1=e^{3/2}\).
✅ \(S=\left\{\dfrac{e^{3/2}+1}2\right\}\).
2) \(2(\ln x)^2+\ln x-6=0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\). Avec \(t=\ln x\) : \(2t^2+t-6=0\), \(\Delta=49\), \(t=\frac32\) ou \(t=-2\).
✅ \(S=\left\{e^{3/2},e^{-2}\right\}\).
3) \(3(\ln x)^2+2\ln x-1=0\)
Correction détaillée
🔢 \(3t^2+2t-1=0\), \(\Delta=16\), \(t=\frac13\) ou \(t=-1\).
✅ \(S=\left\{e^{1/3},e^{-1}\right\}\).
4) \(\dfrac{\ln x+3}{\ln x-1}\geq-1\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\), \(x\neq e\). Avec \(t=\ln x\) : \(\dfrac{t+3}{t-1}+1=\dfrac{2t+2}{t-1}\geq0\iff t\leq-1\) ou \(t>1\).
✅ \(S=\left]0,\frac1e\right]\cup]e,+\infty[\).
5) \(\ln x+\ln(x-1)-\ln2=\ln3\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>1\). \(\ln\dfrac{x(x-1)}2=\ln3\iff x^2-x-6=0\iff x=3\) ou \(x=-2\) (rejeté).
✅ \(S=\{3\}\).
6) \(\ln(2x+5)+\ln(x+1)\leq\ln4\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>-1\). \((2x+5)(x+1)\leq4\iff2x^2+7x+1\leq0\), de racines \(\frac{-7\pm\sqrt{41}}4\).
✅ \(S=\left]-1,\dfrac{-7+\sqrt{41}}4\right]\).
7) \(\ln(14-x)>\ln\left(10+7x-3x^2\right)\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x<14\) et \(-3x^2+7x+10>0\iff-1<x<\frac{10}3\), soit \(]-1,\frac{10}3[\).
🔢 Étape 2 : \(14-x>10+7x-3x^2\iff3x^2-8x+4>0\iff x<\frac23\) ou \(x>2\).
✅ \(S=\left]-1,\frac23\right[\cup\left]2,\frac{10}3\right[\).
Exercice 18
Résoudre dans \(\mathbb R^2\) le système suivant :
\(\begin{cases}3\ln x+\ln y=2\\2\ln x-\ln y=3\end{cases}\)
Correction détaillée
🔢 On pose \(X=\ln x\), \(Y=\ln y\) (avec \(x,y>0\)). En additionnant : \(5X=5\), donc \(X=1\) et \(Y=2-3=-1\).
✅ \(S=\left\{\left(e,\frac1e\right)\right\}\).
Exercice 19
Résoudre dans \(\mathbb R\) les équations et inéquations suivantes.
1.a) \(\ln(2x-3)+\ln(x+1)=\ln3\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>\frac32\). \((2x-3)(x+1)=3\iff2x^2-x-6=0\iff x=2\) ou \(x=-\frac32\) (rejeté).
✅ \(S=\{2\}\).
1.b) \(\ln(2x+1)-2\ln(1-x)=0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(-\frac12<x<1\). \(2x+1=(1-x)^2\iff x^2-4x=0\iff x=0\) ou \(x=4\) (rejeté).
✅ \(S=\{0\}\).
1.c) \(\ln|x+2|-\ln|8x-1|=0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x\neq-2\), \(x\neq\frac18\). \(|x+2|=|8x-1|\iff x+2=8x-1\) ou \(x+2=1-8x\).
✅ \(S=\left\{\frac37,-\frac19\right\}\).
1.d) \((\ln x)^3+2(\ln x)^2-3\ln x=0\)
Correction détaillée
🔢 \(t(t^2+2t-3)=t(t-1)(t+3)=0\).
✅ \(S=\left\{1,e,e^{-3}\right\}\).
2.a) \(\ln\left(\dfrac{x+2}{x-1}\right)>0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x<-2\) ou \(x>1\). \(\dfrac{x+2}{x-1}>1\iff\dfrac3{x-1}>0\iff x>1\).
✅ \(S=]1,+\infty[\).
2.b) \(\ln\left(\dfrac{2x+1}{x-3}\right)<1\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Domaine : \(x<-\frac12\) ou \(x>3\). \(\dfrac{2x+1}{x-3}<e\iff\dfrac{(2-e)x+1+3e}{x-3}<0\).
🔢 Étape 2 : Racine du numérateur : \(x_0=\dfrac{3e+1}{e-2}\approx12{,}75\). Pour \(x<3\) le numérateur est positif et \(x-3<0\) : ✓. Pour \(3<x<x_0\) : quotient positif ✗. Pour \(x>x_0\) : ✓.
✅ \(S=\left]-\infty,-\frac12\right[\cup\left]\dfrac{3e+1}{e-2},+\infty\right[\).
2.c) \(\dfrac{\ln x-1}{\ln x+1}\geq0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\), \(x\neq\frac1e\). \(\frac{t-1}{t+1}\geq0\iff t<-1\) ou \(t\geq1\).
✅ \(S=\left]0,\frac1e\right[\cup[e,+\infty[\).
2.d) \((\ln x)^2-\ln x-2\leq0\)
Correction détaillée
🔢 \(t^2-t-2=(t-2)(t+1)\leq0\iff-1\leq t\leq2\).
✅ \(S=\left[\frac1e,e^2\right]\).
Exercice 20
Résoudre dans \(\mathbb R\) les équations suivantes.
1) \(\ln x+\ln(3x+2)=\ln(2x+3)\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\). \(x(3x+2)=2x+3\iff3x^2-3=0\iff x=\pm1\).
✅ \(S=\{1\}\) (\(x=-1\) est rejeté).
2) \(\ln(x-3)+\ln(x+1)=\ln(x+7)\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>3\). \((x-3)(x+1)=x+7\iff x^2-3x-10=0\iff x=5\) ou \(x=-2\).
✅ \(S=\{5\}\) (\(x=-2\) est rejeté).
3) \(4(\ln x)^2-4\ln x-3=0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\). Avec \(t=\ln x\) : \(4t^2-4t-3=0\), \(\Delta=64\), \(t=\frac32\) ou \(t=-\frac12\).
✅ \(S=\left\{e^{3/2},e^{-1/2}\right\}\).
Exercice 21
Résoudre dans \(\mathbb R\) les inéquations suivantes.
1) \(\ln(3-x)-\ln(x+1)\leq0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(-1<x<3\). \(3-x\leq x+1\iff x\geq1\).
✅ \(S=[1,3[\).
2) \(4(\ln x)^2-4\ln x-3\leq0\)
Correction détaillée
🔢 Domaine : \(x>0\). \(4t^2-4t-3=4\left(t-\frac32\right)\left(t+\frac12\right)\leq0\iff-\frac12\leq t\leq\frac32\).
✅ \(S=\left[e^{-1/2},e^{3/2}\right]\).
Exercice 22
Calculer les limites suivantes.
1) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{2\ln x+1}{\ln x}\)
Correction détaillée
📘 Méthode : Limites de référence : \(\lim\limits_{x\to+\infty}\ln x=+\infty\), \(\lim\limits_{x\to0^+}\ln x=-\infty\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}\frac{\ln x}x=0\), \(\lim\limits_{x\to0^+}x\ln x=0\), \(\lim\limits_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}x=1\).
🔢 \(\dfrac{2\ln x+1}{\ln x}=2+\dfrac1{\ln x}\) et \(\ln x\to+\infty\).
✅ \(=2\).
2) \(\lim_{x\to+\infty}\left(\ln^2x-\ln x\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln^2x-\ln x=\ln x(\ln x-1)\) avec \(\ln x\to+\infty\).
✅ \(=+\infty\).
3) \(\lim_{x\to+\infty}(x-\ln x)\)
Correction détaillée
🔢 \(x-\ln x=x\left(1-\dfrac{\ln x}x\right)\), \(\frac{\ln x}x\to0\).
✅ \(=+\infty\).
4) \(\lim_{x\to0^+}\left(\ln^2x+\ln x\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln x(\ln x+1)\) : produit de deux termes qui tendent vers \(-\infty\).
✅ \(=+\infty\).
5) \(\lim_{x\to0^+}\left(\dfrac1x+\ln x\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac1x+\ln x=\dfrac{1+x\ln x}x\) avec \(x\ln x\to0\), donc le numérateur \(\to1\) et \(\frac1x\to+\infty\).
✅ \(=+\infty\).
6) \(\lim_{x\to0^+}x^4\ln x\)
Correction détaillée
🔢 Croissances comparées : \(x^n\ln x\to0\) en \(0^+\).
✅ \(=0\).
7) \(\lim_{x\to0^+}\left(2x-x^3\ln x\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(x^3\ln x\to0\) et \(2x\to0\).
✅ \(=0\).
8) \(\lim_{x\to+\infty}x\ln\left(1+\dfrac1x\right)\)
Correction détaillée
🔢 Avec \(h=\frac1x\to0^+\) : \(\dfrac{\ln(1+h)}h\to1\).
✅ \(=1\).
9) \(\lim_{x\to0^+}x(\ln x)^2\)
Correction détaillée
🔢 Posons \(X=\sqrt x\) : \(x(\ln x)^2=X^2(2\ln X)^2=4(X\ln X)^2\).
✅ \(=0\).
10) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln\left(x^2+3x\right)}{x-1}\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln\left(x^2+3x\right)=2\ln x+\ln\left(1+\frac3x\right)\) et \(x-1\sim x\).
✅ \(=0\).
11) \(\lim_{x\to0^+}x^2(\ln x)^5\)
Correction détaillée
🔢 \(x^2(\ln x)^5=\left(x^{2/5}\ln x\right)^5\), et \(x^{2/5}\ln x\to0\).
✅ \(=0\).
12) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{3\ln x+1}x\)
Correction détaillée
🔢 \(3\frac{\ln x}x+\frac1x\).
✅ \(=0\).
13) \(\lim_{x\to2}\dfrac{\ln(x-1)}{x-2}\)
Correction détaillée
🔢 Posons \(h=x-2\to0\) : \(\dfrac{\ln(1+h)}h\).
✅ \(=1\).
14) \(\lim_{x\to0^+}\dfrac{\ln\left(x^2+x+1\right)}x\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{\ln(1+u)}u\times\dfrac ux\) avec \(u=x^2+x\to0\) et \(\frac ux=x+1\to1\).
✅ \(=1\).
15) \(\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(x+1)-\ln(1-x)}x\)
Correction détaillée
🔢 \(=\dfrac{\ln(1+x)}x+\dfrac{\ln(1-x)}{-x}\to1+1\).
✅ \(=2\).
16) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln\left(x^2+2\right)}{x+2}\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln\left(x^2+2\right)=2\ln x+\ln\left(1+\frac2{x^2}\right)\), et \(\frac{\ln x}x\to0\).
✅ \(=0\).
17) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+3)}{x^2+x+1}\)
Correction détaillée
🔢 \(\frac{\ln(x+3)}{x+3}\times\frac{x+3}{x^2+x+1}\to0\times0\).
✅ \(=0\).
18) \(\lim_{x\to+\infty}\left(\ln^2x-x\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(x\left(\dfrac{\ln^2x}x-1\right)\) et \(\frac{\ln^2x}x\to0\).
✅ \(=-\infty\).
19) \(\lim_{x\to0}\dfrac{\ln(1+3x)}x\)
Correction détaillée
🔢 \(3\times\dfrac{\ln(1+3x)}{3x}\).
✅ \(=3\).
20) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln(x+3)}x\)
Correction détaillée
🔢 \(\frac{\ln(x+3)}{x+3}\times\frac{x+3}x\).
✅ \(=0\).
21) \(\lim_{x\to+\infty}\dfrac{\ln\left(x^2+4x\right)}x\)
Correction détaillée
🔢 \(\ln\left(x^2+4x\right)=2\ln x+\ln\left(1+\frac4x\right)\).
✅ \(=0\).
22) \(\lim_{x\to0^+}x\ln\left(1+\dfrac1{x^2}\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(x\ln\left(\frac{x^2+1}{x^2}\right)=x\ln\left(1+x^2\right)-2x\ln x\).
✅ \(=0\).
23) \(\lim_{x\to1}\dfrac{(x+2)\ln x}{x^2-1}\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{x+2}{x+1}\times\dfrac{\ln x}{x-1}\) avec \(\frac{\ln x}{x-1}\to1\) (nombre dérivé de \(\ln\) en \(1\)).
✅ \(=\dfrac32\).
24) \(\lim_{x\to0^+}\left(x+\left(1-\dfrac2x\right)\ln x\right)\)
Correction détaillée
⚠️ Le sens de la limite n’est pas lisible sur le scan : on traite \(x\to0^+\) (seul cas où \(\ln x\) est défini).
🔢 Étape 1 : \(x+\ln x-2\dfrac{\ln x}x\) : \(\frac{\ln x}x\to-\infty\) donc \(-2\frac{\ln x}x\to+\infty\), qui l’emporte sur \(\ln x\) (car \(\frac{\ln x}x\times x\)…) :
🔢 Étape 2 : \(x+\ln x-\dfrac{2\ln x}x=x+\dfrac{\ln x}x(x-2)\) avec \(\frac{\ln x}x\to-\infty\) et \(x-2\to-2\).
✅ \(=+\infty\).
25) \(\lim_{x\to+\infty}\left(x+\left(1-\dfrac2x\right)\ln x\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(x+\ln x-\dfrac{2\ln x}x\to+\infty\).
✅ \(=+\infty\).
26) \(\lim_{x\to0^+}\left(\dfrac1x-\ln x\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac1x\to+\infty\) et \(-\ln x\to+\infty\) : somme de deux termes qui tendent vers \(+\infty\).
✅ \(=+\infty\).
Exercice 23
Déterminer le domaine de dérivation et la dérivée de la fonction suivante :
\(f(x)=\ln\left(3x^2+5\right)\)
Correction détaillée
📘 Méthode : \((\ln u)’=\dfrac{u’}u\) avec \(u>0\) ; \((\ln|u|)’=\dfrac{u’}u\) pour \(u\neq0\).
🔢 Étape 1 : \(3x^2+5>0\) pour tout \(x\), donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\) : \(D=\mathbb R\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{\left(3x^2+5\right)’}{3x^2+5}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{6x}{3x^2+5}\).
Exercice 24
Calculer la dérivée des fonctions définies par :
1) \(f(x)=x^2-\ln x\)
Correction détaillée
🔢 \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\).
✅ \(f'(x)=2x-\dfrac1x=\dfrac{2x^2-1}x\).
2) \(f(x)=x\ln x\)
Correction détaillée
🔢 Dérivée d’un produit : \(f'(x)=1\times\ln x+x\times\frac1x\).
✅ \(f'(x)=\ln x+1\).
3) \(f(x)=\ln\left(1+x^2\right)\)
Correction détaillée
🔢 \(1+x^2>0\), donc \(f\) est dérivable sur \(\mathbb R\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{2x}{1+x^2}\).
Exercice 25
Calculer la dérivée de la fonction définie sur \(I=]-2,+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{\sqrt[4]{x^3+8}}{\left(x^2+1\right)^3}\).
\(f(x)=\dfrac{\sqrt[4]{x^3+8}}{\left(x^2+1\right)^3}\)
Correction détaillée
⚠️ L’indice de la racine est lu comme \(4\) (scan peu net).
📘 Méthode : Pour un quotient de puissances, on passe par \(\dfrac{f’}f=(\ln f)’\) (valable car \(f>0\)).
🔢 Étape 1 : Sur \(I=]-2,+\infty[\), \(f(x)>0\). On utilise la dérivée logarithmique : \(\ln f=\frac14\ln\left(x^3+8\right)-3\ln\left(x^2+1\right)\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f’}f=\dfrac{3x^2}{4\left(x^3+8\right)}-\dfrac{6x}{x^2+1}=\dfrac{3x^2\left(x^2+1\right)-24x\left(x^3+8\right)}{4\left(x^3+8\right)\left(x^2+1\right)}=\dfrac{3x\left(-7x^3+x-64\right)}{4\left(x^3+8\right)\left(x^2+1\right)}\).
🔢 Étape 3 : On multiplie par \(f(x)=\dfrac{\left(x^3+8\right)^{1/4}}{\left(x^2+1\right)^3}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{3x\left(-7x^3+x-64\right)}{4\left(x^2+1\right)^4\left(x^3+8\right)^{3/4}}\).
Exercice 26
Déterminer le domaine de dérivation et la dérivée des fonctions suivantes :
1) \(f(x)=\ln|\ln|x||\)
Correction détaillée
📘 Méthode : \((\ln u)’=\dfrac{u’}u\) avec \(u>0\) ; \((\ln|u|)’=\dfrac{u’}u\) pour \(u\neq0\).
🔢 Étape 1 : Il faut \(x\neq0\) et \(\ln|x|\neq0\), c’est-à-dire \(|x|\neq1\) : \(D=\mathbb R\setminus\{-1,0,1\}\).
🔢 Étape 2 : \((\ln|u|)’=\dfrac{u’}u\) avec \(u=\ln|x|\), \(u’=\dfrac1x\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{1/x}{\ln|x|}=\dfrac1{x\ln|x|}\).
2) \(f(x)=\ln\left|\sin^2x+3\sin x+4\right|\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Avec \(t=\sin x\) : \(t^2+3t+4\) a pour discriminant \(9-16<0\), donc est strictement positif : \(D=\mathbb R\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{2\sin x\cos x+3\cos x}{\sin^2x+3\sin x+4}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{\cos x(2\sin x+3)}{\sin^2x+3\sin x+4}\).
Exercice 27
Déterminer les fonctions primitives des fonctions suivantes :
1) \(I=\mathbb R\) ; \(f(x)=\dfrac{x^3}{x^4+2}\)
Correction détaillée
📘 Méthode : On reconnaît la forme \(\dfrac{u’}u\), de primitive \(\ln|u|\).
🔢 \(\left(x^4+2\right)’=4x^3\), donc \(f=\frac14\dfrac{\left(x^4+2\right)’}{x^4+2}\).
✅ \(F(x)=\dfrac14\ln\left(x^4+2\right)\).
2) \(I=]0;1[\) ; \(g(x)=\dfrac1{x\ln x}\)
Correction détaillée
🔢 \(g=\dfrac{(\ln x)’}{\ln x}\). Sur \(]0,1[\), \(\ln x<0\), d’où \(\ln|\ln x|=\ln(-\ln x)\).
✅ \(G(x)=\ln(-\ln x)\).
3) \(I=]-\infty;1[\) ; \(h(x)=\dfrac1{x-1}\)
Correction détaillée
🔢 Sur \(I\), \(x-1<0\), donc \(\ln|x-1|=\ln(1-x)\).
✅ \(H(x)=\ln(1-x)\).
4) \(I=\left]\dfrac{3\pi}2;2\pi\right[\) ; \(k(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x}\)
Correction détaillée
🔢 \(k=\dfrac{(\sin x)’}{\sin x}\). Sur \(I\), \(\sin x<0\).
✅ \(K(x)=\ln|\sin x|=\ln(-\sin x)\).
5) \(M(x)=\dfrac1{x^2-1}\) (on pourra écrire \(g(x)=\dfrac a{x-1}+\dfrac b{x+1}\))
Correction détaillée
⚠️ L’intervalle n’est pas précisé dans l’énoncé.
🔢 Étape 1 : \(\dfrac a{x-1}+\dfrac b{x+1}=\dfrac{(a+b)x+(a-b)}{x^2-1}\). Par identification : \(a+b=0\) et \(a-b=1\), soit \(a=\frac12\), \(b=-\frac12\).
🔢 Étape 2 : Donc \(M(x)=\dfrac12\left(\dfrac1{x-1}-\dfrac1{x+1}\right)\).
✅ Sur chacun des intervalles de \(\mathbb R\setminus\{-1,1\}\) : \(\dfrac12\ln\left|\dfrac{x-1}{x+1}\right|\).
6) \(N(x)=\dfrac{x^3+2x^2-3x+2}{x-3}\)
Correction détaillée
⚠️ L’intervalle n’est pas précisé dans l’énoncé.
🔢 Étape 1 : Division euclidienne : \(x^3+2x^2-3x+2=(x-3)\left(x^2+5x+12\right)+38\).
🔢 Étape 2 : Donc \(N(x)=x^2+5x+12+\dfrac{38}{x-3}\).
✅ Sur \(]-\infty,3[\) ou sur \(]3,+\infty[\) : \(\dfrac{x^3}3+\dfrac52x^2+12x+38\ln|x-3|\).
7) \(I=]3;+\infty[\) ; \(q(x)=\dfrac1{(x-2)\ln(x-2)}\)
Correction détaillée
🔢 \(q=\dfrac{(\ln(x-2))’}{\ln(x-2)}\). Sur \(I\), \(x-2>1\) donc \(\ln(x-2)>0\).
✅ \(Q(x)=\ln(\ln(x-2))\).
Exercice 28
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{5x+1}{x^2+x-2}\).
1) Déterminer l’ensemble de définition de \(f\), puis les réels \(a\) et \(b\) tels que \(\forall x\in D\) ; \(f(x)=\dfrac a{x-1}+\dfrac b{x+2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x^2+x-2=(x-1)(x+2)\) : \(D=\mathbb R\setminus\{-2,1\}\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac a{x-1}+\dfrac b{x+2}=\dfrac{(a+b)x+2a-b}{x^2+x-2}\) : \(a+b=5\) et \(2a-b=1\), d’où \(a=2\), \(b=3\).
✅ \(D=\mathbb R\setminus\{-2,1\}\) ; \(a=2\) et \(b=3\).
2) En déduire la fonction primitive de \(f\) sur \(]-\infty;-2[\) telle que \(F(-3)=\ln2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \(]-\infty,-2[\) : \(x-1<0\) et \(x+2<0\), donc \(F(x)=2\ln(1-x)+3\ln(-x-2)+C\).
🔢 Étape 2 : \(F(-3)=2\ln4+3\ln1+C=4\ln2+C=\ln2\), d’où \(C=-3\ln2\).
✅ \(F(x)=2\ln(1-x)+3\ln(-x-2)-3\ln2\).
Exercice 29
Démontrer que la fonction \(f\) est dérivable sur \(]0,+\infty[\) et expliciter \(f'(x)\).
1) \(f(x)=x^2(2\ln x-1)\)
Correction détaillée
🔢 Produit : \(f'(x)=2x(2\ln x-1)+x^2\times\frac2x\).
✅ \(f'(x)=4x\ln x-2x+2x=4x\ln x\).
2) \(f(x)=\ln\sqrt{1+4x+x^2}\)
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=\frac12\ln\left(x^2+4x+1\right)\), avec \(x^2+4x+1>0\) sur \(]0,+\infty[\).
✅ \(f'(x)=\dfrac12\times\dfrac{2x+4}{x^2+4x+1}=\dfrac{x+2}{x^2+4x+1}\).
3) \(f(x)=\dfrac{x^2\ln x}{1+x}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Quotient avec \(u=x^2\ln x\), \(u’=2x\ln x+x\), \(v=1+x\), \(v’=1\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{(2x\ln x+x)(1+x)-x^2\ln x}{(1+x)^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{x^2\ln x+2x\ln x+x^2+x}{(1+x)^2}\).
4) \(f(x)=\dfrac{\ln\left(1+x^2\right)}x\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u=\ln\left(1+x^2\right)\), \(u’=\frac{2x}{1+x^2}\), \(v=x\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac{\frac{2x^2}{1+x^2}-\ln\left(1+x^2\right)}{x^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{2x^2-\left(1+x^2\right)\ln\left(1+x^2\right)}{x^2\left(1+x^2\right)}\).
Exercice 30
Déterminer une primitive \(F\) de la fonction \(f\) sur \(I\).
1) \(f(x)=\dfrac3{2x+1}\) ; \(I=\left]-\dfrac12,+\infty\right[\)
Correction détaillée
📘 Méthode : On reconnaît la forme \(\dfrac{u’}u\), de primitive \(\ln|u|\).
🔢 \(\dfrac3{2x+1}=\dfrac32\times\dfrac{(2x+1)’}{2x+1}\).
✅ \(F(x)=\dfrac32\ln(2x+1)\).
2) \(f(x)=\dfrac{4x-2}{x^2-x+1}\) ; \(I=\mathbb R\)
Correction détaillée
🔢 \(\left(x^2-x+1\right)’=2x-1\) et \(4x-2=2(2x-1)\). Le trinôme est \(>0\) (\(\Delta=-3<0\)).
✅ \(F(x)=2\ln\left(x^2-x+1\right)\).
3) \(f(x)=\dfrac1{x\ln x}\) ; \(I=]1;+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(f=\dfrac{(\ln x)’}{\ln x}\) avec \(\ln x>0\) sur \(I\).
✅ \(F(x)=\ln(\ln x)\).
4) \(f(x)=\dfrac{\ln x}x\) ; \(I=]0;+\infty[\)
Correction détaillée
🔢 \(f=u’u\) avec \(u=\ln x\).
✅ \(F(x)=\dfrac12(\ln x)^2\).
5) \(f(x)=\tan x\) ; \(I=\left]0;\dfrac\pi2\right[\)
Correction détaillée
🔢 \(\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=-\dfrac{(\cos x)’}{\cos x}\) avec \(\cos x>0\) sur \(I\).
✅ \(F(x)=-\ln(\cos x)\).
Exercice 31
Partie A Soit la fonction \(g\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=x-\ln x\).
1) Déterminer \(D_g\), puis les limites de \(g\) aux bornes de \(D_g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\ln x\) n’existe que pour \(x>0\) : \(D_g=]0,+\infty[\).
🔢 Étape 2 : En \(0^+\) : \(-\ln x\to+\infty\), donc \(g\to+\infty\). En \(+\infty\) : \(g(x)=x\left(1-\dfrac{\ln x}x\right)\to+\infty\).
✅ \(D_g=]0,+\infty[\) ; \(\lim\limits_{0^+}g=\lim\limits_{+\infty}g=+\infty\).
2) Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\in D_g\), puis dresser le tableau de variation de \(g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(g'(x)=1-\dfrac1x=\dfrac{x-1}x\).
🔢 Étape 2 : Pour \(x\in]0,1[\), \(g'(x)<0\) ; pour \(x>1\), \(g'(x)>0\). \(g(1)=1-\ln1=1\).
✅ \(g\) est décroissante sur \(]0,1]\), croissante sur \([1,+\infty[\), et admet un minimum \(g(1)=1\).
3) En déduire que \(\forall x>0\) : \(x>\ln x\).
Correction détaillée
🔢 Le minimum de \(g\) vaut \(1>0\), donc \(g(x)=x-\ln x\geq1>0\) pour tout \(x>0\).
✅ \(\forall x>0\), \(\ln x<x\).
Partie B Soit la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{x+\ln x}{x-\ln x}\) si \(x>0\) et \(f(0)=-1\).
1) Montrer que \(D_f=[0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x>0\), le dénominateur \(x-\ln x=g(x)\) est \(>0\) (partie A) : \(f(x)\) est défini. En \(0\), \(f(0)=-1\) est donné.
✅ \(D_f=[0,+\infty[\).
2) Montrer que \(f\) est continue à droite de \(0\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x\to0^+\) : \(\dfrac{x+\ln x}{x-\ln x}=\dfrac{\frac x{\ln x}+1}{\frac x{\ln x}-1}\) avec \(\dfrac x{\ln x}\to0\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=\dfrac{1}{-1}=-1=f(0)\) : \(f\) est continue à droite en \(0\).
3) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=\dfrac{1+\frac{\ln x}x}{1-\frac{\ln x}x}\) et \(\dfrac{\ln x}x\to0\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=1\) : la droite \(y=1\) est asymptote horizontale à \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
4) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite de \(0\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)-f(0)}{x}=\dfrac{f(x)+1}x=\dfrac{(x+\ln x)+(x-\ln x)}{x(x-\ln x)}=\dfrac{2}{x-\ln x}\).
✅ \(\dfrac2{x-\ln x}\to0\) : \(f\) est dérivable à droite en \(0\) avec \(f’_d(0)=0\) (tangente horizontale à l’origine du point d’abscisse \(0\)).
5) Montrer que \(\forall x\in]0,+\infty[\) : \(f'(x)=\dfrac{2(1-\ln x)}{(x-\ln x)^2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u=x+\ln x\), \(u’=1+\frac1x\) ; \(v=x-\ln x\), \(v’=1-\frac1x\).
🔢 Étape 2 : \(u’v-uv’=\left(1+\frac1x\right)(x-\ln x)-(x+\ln x)\left(1-\frac1x\right)=\left(x-\ln x+1-\frac{\ln x}x\right)-\left(x-1+\ln x-\frac{\ln x}x\right)=2-2\ln x\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{u’v-uv’}{v^2}=\dfrac{2(1-\ln x)}{(x-\ln x)^2}\).
6) Dresser le tableau de variation de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Le signe de \(f’\) est celui de \(1-\ln x\) : positif pour \(x<e\), négatif pour \(x>e\).
🔢 Étape 2 : \(f(0)=-1\), \(f(e)=\dfrac{e+1}{e-1}\approx2{,}16\), \(\lim\limits_{+\infty}f=1\).
✅ \(f\) est croissante sur \([0,e]\) (de \(-1\) à \(\frac{e+1}{e-1}\)) puis décroissante sur \([e,+\infty[\) (vers \(1\)).
7) Déterminer les points d’intersection de \((C_f)\) et de la droite \((\Delta):y=1\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=1\iff x+\ln x=x-\ln x\iff2\ln x=0\iff x=1\).
✅ Un seul point d’intersection : \(A(1,1)\).
8) Montrer que \((C_f)\) coupe l’axe des abscisses en un point d’abscisse \(\alpha\) tel que \(\dfrac12<\alpha<1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=0\iff x+\ln x=0\). Sur \([\frac12,1]\subset[0,e]\), \(f\) est continue et strictement croissante.
🔢 Étape 2 : \(f\left(\frac12\right)=\dfrac{\frac12-\ln2}{\frac12+\ln2}<0\) (car \(\ln2\approx0{,}69>\frac12\)) et \(f(1)=1>0\).
✅ D’après le théorème des valeurs intermédiaires, l’équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(\alpha\in\left]\frac12,1\right[\).
Exercice 32
Considérons les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(]-1,+\infty[\) par \(f(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^2}2\) et \(g(x)=\ln(1+x)-x+\dfrac{x^2}2-\dfrac{x^3}3\).
1.a) Calculer \(\lim\limits_{x\to-1^+}f(x)\), \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to-1^+}g(x)\).
Correction détaillée
⚠️ L’énoncé est difficile à lire (indices des limites) : on traite \(f\) et \(g\) en \(-1^+\) et en \(+\infty\).
🔢 Étape 1 : En \(-1^+\) : \(\ln(1+x)\to-\infty\), \(-x\to1\), \(\frac{x^2}2\to\frac12\) : \(f\to-\infty\). De même \(g\to-\infty\) (\(-\frac{x^3}3\to\frac13\)).
🔢 Étape 2 : En \(+\infty\) : \(f(x)=x^2\left(\dfrac{\ln(1+x)}{x^2}-\dfrac1x+\dfrac12\right)\), avec \(\dfrac{\ln(1+x)}{x^2}\to0\).
✅ \(\lim\limits_{-1^+}f=-\infty\) ; \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\) ; \(\lim\limits_{-1^+}g=-\infty\).
1.b) Montrer que \(\forall x\in]-1,+\infty[\) : \(g(x)=(1+x)\left(\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}-\dfrac{2x^3-3x^2+6x}{6(1+x)}\right)\), et en déduire \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Réduction : \(-x+\frac{x^2}2-\frac{x^3}3=-\dfrac{6x-3x^2+2x^3}6\). Donc \(g(x)=\ln(1+x)-\dfrac{2x^3-3x^2+6x}6=(1+x)\left(\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}-\dfrac{2x^3-3x^2+6x}{6(1+x)}\right)\).
🔢 Étape 2 : Quand \(x\to+\infty\) : \(\dfrac{\ln(1+x)}{1+x}\to0\) et \(\dfrac{2x^3-3x^2+6x}{6(1+x)}\sim\dfrac{x^2}3\to+\infty\).
✅ La parenthèse tend vers \(-\infty\) et \(1+x\to+\infty\) : \(\lim\limits_{+\infty}g=-\infty\).
1.c) Étudier les variations de \(f\) et \(g\), puis dresser leurs tableaux de variation.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=\dfrac1{1+x}-1+x=\dfrac{1-(1+x)+x(1+x)}{1+x}=\dfrac{x^2}{1+x}\geq0\).
🔢 Étape 2 : \(g'(x)=f'(x)-x^2=\dfrac{x^2-x^2(1+x)}{1+x}=\dfrac{-x^3}{1+x}\) : positif sur \(]-1,0]\), négatif sur \([0,+\infty[\).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \(]-1,+\infty[\) (de \(-\infty\) à \(+\infty\)), \(f(0)=0\). \(g\) croît sur \(]-1,0]\) puis décroît sur \([0,+\infty[\), de maximum \(g(0)=0\).
2) En déduire que \(\forall x\in]0,+\infty[\) : \(x-\dfrac{x^2}2<\ln(1+x)<x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\) est strictement croissante avec \(f(0)=0\) : pour \(x>0\), \(f(x)>0\), soit \(\ln(1+x)>x-\frac{x^2}2\).
🔢 Étape 2 : \(g\) admet \(0\) pour maximum strict : pour \(x>0\), \(g(x)<0\), soit \(\ln(1+x)<x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3\).
✅ L’encadrement est démontré pour tout \(x>0\).
3) Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{x-\ln(1+x)}{x^2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : D’après 2) : \(\dfrac{x^2}2-\dfrac{x^3}3<x-\ln(1+x)<\dfrac{x^2}2\).
🔢 Étape 2 : On divise par \(x^2>0\) : \(\dfrac12-\dfrac x3<\dfrac{x-\ln(1+x)}{x^2}<\dfrac12\), puis théorème des gendarmes.
✅ \(\lim\limits_{0^+}\dfrac{x-\ln(1+x)}{x^2}=\dfrac12\).
4) Montrer que \(\forall x\in]0,+\infty[\) : \(x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3-\dfrac{x^4}4<\ln(1+x)<x-\dfrac{x^2}2+\dfrac{x^3}3\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : L’inégalité de droite a été montrée en 2).
🔢 Étape 2 : Posons \(h(x)=\ln(1+x)-x+\frac{x^2}2-\frac{x^3}3+\frac{x^4}4\). Alors \(h'(x)=\dfrac1{1+x}-1+x-x^2+x^3=\dfrac{x^4}{1+x}>0\).
🔢 Étape 3 : \(h\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\) et \(h(0)=0\), donc \(h(x)>0\) pour \(x>0\).
✅ L’encadrement est démontré.
Exercice 33
Considérons la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x-3+\dfrac3{2x}+\dfrac12\ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|\).
1) Déterminer l’ensemble de définition de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x\neq0\) et \(\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|>0\), c’est-à-dire \(x\neq1\) et \(x\neq-1\).
✅ \(D_f=\mathbb R\setminus\{-1,0,1\}\).
2) Montrer que le domaine d’étude de \(f\) est \(D_E=]0,1[\cup]1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(D_f\) est symétrique par rapport à \(0\).
🔢 Étape 2 : \(f(-x)=-x-3-\dfrac3{2x}+\dfrac12\ln\left|\dfrac{-x+1}{-x-1}\right|=-x-3-\dfrac3{2x}-\dfrac12\ln\left|\dfrac{x+1}{x-1}\right|\), donc \(f(x)+f(-x)=-6\).
✅ Le point \(\Omega(0,-3)\) est centre de symétrie de \((C_f)\) : on étudie \(f\) sur \(D_E=]0,1[\cup]1,+\infty[\).
3) Déterminer les limites de \(f\) aux bornes de \(D_E\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : En \(0^+\) : \(\dfrac3{2x}\to+\infty\), \(x-3\to-3\) et \(\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\to1\), \(\ln\to0\) : \(f\to+\infty\).
🔢 Étape 2 : En \(1^\pm\) : \(\left|\frac{x+1}{x-1}\right|\to+\infty\), donc \(\frac12\ln\left|\cdot\right|\to+\infty\) : \(f\to+\infty\).
🔢 Étape 3 : En \(+\infty\) : \(\frac3{2x}\to0\), \(\ln\frac{x+1}{x-1}\to\ln1=0\) et \(x-3\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=\lim\limits_{1^-}f=\lim\limits_{1^+}f=\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
4) Étudier les variations de \(f\) sur \(D_E\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=1-\dfrac3{2x^2}+\dfrac12\left(\dfrac1{x+1}-\dfrac1{x-1}\right)=1-\dfrac3{2x^2}-\dfrac1{x^2-1}\).
🔢 Étape 2 : Mise au même dénominateur : \(f'(x)=\dfrac{2x^4-7x^2+3}{2x^2(x^2-1)}=\dfrac{(2x^2-1)(x^2-3)}{2x^2(x^2-1)}\).
🔢 Étape 3 : Zéros du numérateur sur \(D_E\) : \(x=\frac{\sqrt2}2\) et \(x=\sqrt3\). Tableau de signes : \(f'<0\) sur \(]0,\frac{\sqrt2}2[\), \(f’>0\) sur \(]\frac{\sqrt2}2,1[\), \(f'<0\) sur \(]1,\sqrt3[\), \(f’>0\) sur \(]\sqrt3,+\infty[\).
✅ \(f\) décroît sur \(\left]0,\frac{\sqrt2}2\right]\) et sur \(]1,\sqrt3]\), elle croît sur \(\left[\frac{\sqrt2}2,1\right[\) et sur \([\sqrt3,+\infty[\).
5) Étudier les branches infinies de \((C_f)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\lim\limits_{0^\pm}f=+\infty\) et \(\lim\limits_{1^\pm}f=+\infty\) : les droites \(x=0\) et \(x=1\) sont asymptotes verticales (et \(x=-1\), \(x=0\) par symétrie).
🔢 Étape 2 : \(f(x)-(x-3)=\dfrac3{2x}+\dfrac12\ln\dfrac{x+1}{x-1}\to0\) en \(+\infty\), et c’est \(>0\) pour \(x>1\).
✅ La droite \(y=x-3\) est asymptote oblique à \((C_f)\) en \(+\infty\) (par symétrie \(y=x-3\) en \(-\infty\)), \((C_f)\) étant au-dessus de cette droite en \(+\infty\).
Exercice 34
Considérons la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\sqrt{1-\ln x}\).
1) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction \(f\).
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x>0\) et \(1-\ln x\geq0\iff x\leq e\).
✅ \(D_f=]0,e]\).
2) Résoudre l’équation \(f(x)=1\).
Correction détaillée
🔢 \(\sqrt{1-\ln x}=1\iff1-\ln x=1\iff\ln x=0\).
✅ \(S=\{1\}\).
3) Résoudre l’inéquation \(f(x)\leq1\).
Correction détaillée
🔢 \(\sqrt{1-\ln x}\leq1\iff0\leq1-\ln x\leq1\iff0\leq\ln x\leq1\).
✅ \(S=[1,e]\).
4) Étudier la dérivabilité de la fonction \(f\) à gauche de \(e\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\dfrac{f(x)-f(e)}{x-e}=\dfrac{\sqrt{1-\ln x}}{x-e}\) pour \(x<e\).
🔢 Étape 2 : Avec \(1-\ln x\sim\dfrac{e-x}e\) : \(\dfrac{\sqrt{(e-x)/e}}{-(e-x)}=-\dfrac1{\sqrt e\sqrt{e-x}}\to-\infty\).
✅ \(f\) n’est pas dérivable à gauche en \(e\) : \((C_f)\) admet une demi-tangente verticale au point \((e,0)\).
5) Étudier les variations de \(f\) et en déduire que \(f\) est une bijection de \(D_f\) vers un intervalle \(J\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Pour \(x\in]0,e[\) : \(f'(x)=\dfrac{-\frac1x}{2\sqrt{1-\ln x}}<0\). En \(0^+\), \(1-\ln x\to+\infty\), donc \(f\to+\infty\) ; \(f(e)=0\).
🔢 Étape 2 : \(f\) est continue et strictement décroissante sur \(]0,e]\).
✅ \(f\) réalise une bijection de \(]0,e]\) sur \(J=f(]0,e])=[0,+\infty[\).
Exercice 35
Considérons la fonction \(g\) définie par \(g(x)=x\ln\left(1+\dfrac1x\right)\).
1) Déterminer l’ensemble de définition de \(g\).
Correction détaillée
🔢 \(1+\dfrac1x=\dfrac{x+1}x>0\iff x<-1\) ou \(x>0\).
✅ \(D_g=]-\infty,-1[\cup]0,+\infty[\).
2.a) Montrer que \(g\) admet un prolongement par continuité en \(0\), noté \(\tilde g\).
Correction détaillée
🔢 \(g(x)=x\ln(x+1)-x\ln x\) pour \(x>0\) : \(x\ln(x+1)\to0\) et \(x\ln x\to0\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}g=0\) : le prolongement \(\tilde g\) vérifie \(\tilde g(0)=0\).
2.b) Étudier la dérivabilité de \(\tilde g\) en \(0\) et interpréter géométriquement le résultat obtenu.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{\tilde g(x)-\tilde g(0)}x=\ln\left(1+\dfrac1x\right)\to+\infty\) quand \(x\to0^+\).
✅ \(\tilde g\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) ; la courbe admet une demi-tangente verticale à l’origine.
3) Déterminer les limites de \(g\) en \(+\infty\) et en \(-1\) à gauche.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(h=\frac1x\to0^+\) et \(g(x)=\dfrac{\ln(1+h)}h\to1\).
🔢 Étape 2 : En \(-1^-\) : \(1+\frac1x\to0^+\) donc \(\ln\left(1+\frac1x\right)\to-\infty\), et \(x\to-1\) : \(g\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}g=1\) ; \(\lim\limits_{-1^-}g=+\infty\).
4) Déterminer la dérivée de \(g\) puis dresser le tableau de variation de \(g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(g'(x)=\ln\left(1+\dfrac1x\right)+x\times\dfrac{-1/x^2}{1+1/x}=\ln\left(1+\dfrac1x\right)-\dfrac1{x+1}\).
🔢 Étape 2 : Posons \(k=g’\) : \(k'(x)=-\dfrac1{x(x+1)}+\dfrac1{(x+1)^2}=\dfrac{-1}{x(x+1)^2}\). Sur \(]0,+\infty[\), \(k'<0\) et \(k\to0\) en \(+\infty\), donc \(k>0\). Sur \(]-\infty,-1[\), \(k’>0\) et \(k\to0\) en \(-\infty\), donc \(k<0\).
✅ \(g\) est croissante sur \(]0,+\infty[\) (de \(0\) à \(1\)) et décroissante sur \(]-\infty,-1[\) (de \(1\) à \(+\infty\)).
5) Étudier les branches infinies de la courbe \(C_g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\lim\limits_{\pm\infty}g=1\) et \(\lim\limits_{-1^-}g=+\infty\).
🔢 Étape 2 : \(g\) croît vers \(1\) en \(+\infty\) (donc \(g<1\)) et décroît vers \(1\) en \(-\infty\) (donc \(g>1\)).
✅ \(y=1\) est asymptote horizontale en \(\pm\infty\) (\(C_g\) en dessous en \(+\infty\), au-dessus en \(-\infty\)) ; \(x=-1\) est asymptote verticale.
Exercice 36
Soit \(f\) la fonction numérique définie par \(f(x)=x(\ln x-1)^2\) si \(x>0\) et \(f(0)=0\).
1) Déterminer \(D_f\), puis calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=x(\ln x-1)^2\) pour \(x>0\) et \(f(0)=0\) : \(D_f=[0,+\infty[\).
🔢 Étape 2 : \(x\to+\infty\) : \(x\to+\infty\) et \((\ln x-1)^2\to+\infty\).
✅ \(D_f=[0,+\infty[\) ; \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
2) Étudier la continuité de \(f\) à droite en \(0\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x\ln^2x-2x\ln x+x\). Or \(x\ln^2x=4\left(\sqrt x\ln\sqrt x\right)^2\to0\), \(x\ln x\to0\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=0=f(0)\) : \(f\) est continue à droite en \(0\).
3) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\) à droite et interpréter le résultat géométriquement.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)-f(0)}x=(\ln x-1)^2\to+\infty\).
✅ \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) : demi-tangente verticale à l’origine.
4) Étudier les variations de la fonction \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=(\ln x-1)^2+2(\ln x-1)=(\ln x-1)(\ln x+1)\).
🔢 Étape 2 : \(f’>0\) sur \(]0,\frac1e[\), \(f'<0\) sur \(]\frac1e,e[\), \(f’>0\) sur \(]e,+\infty[\). \(f\left(\frac1e\right)=\frac4e\) et \(f(e)=0\).
✅ \(f\) croît sur \([0,\frac1e]\), décroît sur \([\frac1e,e]\), croît sur \([e,+\infty[\) ; maximum local \(\frac4e\) en \(\frac1e\), minimum local \(0\) en \(e\).
5) Déterminer le point d’inflexion de la courbe \((C_f)\).
Correction détaillée
🔢 \(f »(x)=\dfrac{\ln x+1}x+\dfrac{\ln x-1}x=\dfrac{2\ln x}x\), qui s’annule en changeant de signe en \(x=1\). \(f(1)=1\).
✅ \((C_f)\) admet un point d’inflexion \(I(1,1)\).
6) Déterminer les branches infinies de la courbe \((C_f)\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)}x=(\ln x-1)^2\to+\infty\) quand \(x\to+\infty\).
✅ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées au voisinage de \(+\infty\).
Exercice 37
Partie 1 Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=x-1-\ln x\).
1.a) Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\in]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g'(x)=1-\dfrac1x\).
✅ \(g'(x)=\dfrac{x-1}x\).
1.b) Étudier les variations de la fonction \(g\).
Correction détaillée
🔢 \(g'<0\) sur \(]0,1[\) et \(g’>0\) sur \(]1,+\infty[\).
✅ \(g\) décroît sur \(]0,1]\), croît sur \([1,+\infty[\) ; \(g(1)=0\).
2) En déduire que \(g(x)\geq0\) pour tout \(x\in]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Le minimum de \(g\) est \(g(1)=0\).
✅ \(g(x)\geq0\) pour tout \(x>0\) (soit \(\ln x\leq x-1\)).
Partie 2 Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=x^2-x\ln x\) si \(x>0\) et \(f(0)=0\).
1) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(\ln x\) impose \(x>0\) ; \(f(0)=0\) est donné.
✅ \(D_f=[0,+\infty[\).
2.a) Étudier la continuité de la fonction \(f\) à droite en \(0\).
Correction détaillée
🔢 \(x^2\to0\) et \(x\ln x\to0\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=0=f(0)\) : \(f\) est continue à droite en \(0\).
2.b) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\) à droite et interpréter le résultat géométriquement.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)-f(0)}x=x-\ln x\to+\infty\).
✅ \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) : demi-tangente verticale.
3) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\), puis étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=x^2\left(1-\dfrac{\ln x}x\right)\to+\infty\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=x-\ln x=g(x)\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\) ; branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
4.a) Montrer que \(\forall x>0\) : \(f'(x)=x+g(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=2x-\ln x-x\times\frac1x=2x-\ln x-1=x+(x-1-\ln x)\).
✅ \(f'(x)=x+g(x)\).
4.b) En déduire les variations de \(f\) sur \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x>0\), \(g(x)\geq0\), donc \(f'(x)\geq x>0\).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\).
5.a) Montrer que la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=x\) est une tangente à \((C_f)\) au point \(A(1,1)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=1\) et \(f'(1)=1+g(1)=1\). L’équation de la tangente est \(y=f'(1)(x-1)+f(1)=x\).
✅ \((\Delta):y=x\) est tangente à \((C_f)\) en \(A(1,1)\).
5.b) Étudier les positions relatives de \((C_f)\) et de la droite \((\Delta)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-x=x^2-x-x\ln x=x(x-1-\ln x)=x\,g(x)\geq0\).
✅ \((C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\) sur \(]0,+\infty[\), avec contact en \(A(1,1)\).
6.a) Calculer \(f »(x)\) pour tout \(x>0\).
Correction détaillée
🔢 \(f »(x)=2-\dfrac1x\).
✅ \(f »(x)=\dfrac{2x-1}x\).
6.b) Étudier la concavité de la courbe \((C_f)\) et déterminer son point d’inflexion.
Correction détaillée
🔢 \(f »<0\) sur \(]0,\frac12[\) et \(f »>0\) sur \(]\frac12,+\infty[\). \(f\left(\frac12\right)=\frac14+\frac12\ln2\).
✅ \((C_f)\) est concave sur \(]0,\frac12]\), convexe sur \([\frac12,+\infty[\) ; point d’inflexion \(\left(\frac12,\frac14+\frac12\ln2\right)\).
8.a) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
Correction détaillée
🔢 \(f\) est continue et strictement croissante sur \([0,+\infty[\) ; \(f(0)=0\) et \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
✅ \(f\) est une bijection de \([0,+\infty[\) sur \(J=[0,+\infty[\).
8.b) Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \(]0,+\infty[\), \(f'(x)>0\) : \(f^{-1}\) est dérivable sur \(f(]0,+\infty[)=]0,+\infty[\).
🔢 Étape 2 : En \(0\) : \(\dfrac{f^{-1}(y)-f^{-1}(0)}y=\dfrac x{f(x)}=\dfrac1{x-\ln x}\to0\) (en posant \(y=f(x)\to0^+\)).
✅ \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J\) (et \((f^{-1})'(0)=0\)).
8.c) Calculer \((f^{-1})'(1)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=1\), donc \(f^{-1}(1)=1\) ; \((f^{-1})'(1)=\dfrac1{f'(1)}=\dfrac1{f'(f^{-1}(1))}\).
✅ \((f^{-1})'(1)=1\).
Partie 3 Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par \(u_0=\frac12\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout \(n\in\mathbb N\).
1) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(0\leq u_n\leq1\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0=\frac12\in[0,1]\). Si \(u_n\in[0,1]\), comme \(f\) est croissante, \(f(0)\leq f(u_n)\leq f(1)\), c’est-à-dire \(0\leq u_{n+1}\leq1\).
✅ Par récurrence, \(0\leq u_n\leq1\) pour tout \(n\).
2) Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=u_n\,g(u_n)\geq0\) (d’après 5.b)).
✅ \((u_n)\) est croissante.
3) Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \((u_n)\) est croissante et majorée par \(1\) : elle converge vers \(\ell\in\left[\frac12,1\right]\).
🔢 Étape 2 : \(f\) est continue : \(f(\ell)=\ell\iff\ell\,g(\ell)=0\iff g(\ell)=0\) (car \(\ell\geq\frac12>0\)) \(\iff\ell=1\).
✅ \(\lim u_n=1\).
Exercice 38
Partie 1 Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=x(x-1)+\ln x\).
1.a) Calculer \(g'(x)\) pour tout \(x\in]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g'(x)=2x-1+\dfrac1x\).
✅ \(g'(x)=\dfrac{2x^2-x+1}x\).
1.b) Étudier les variations de la fonction \(g\).
Correction détaillée
🔢 Le discriminant de \(2x^2-x+1\) est \(1-8<0\) : le trinôme est \(>0\).
✅ \(g’>0\) sur \(]0,+\infty[\) : \(g\) est strictement croissante.
2) Calculer \(g(1)\), puis déduire le signe de \(g(x)\) sur \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g(1)=1\times0+\ln1=0\). \(g\) est strictement croissante.
✅ \(g(x)<0\) sur \(]0,1[\) ; \(g(1)=0\) ; \(g(x)>0\) sur \(]1,+\infty[\).
Partie 2 Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=(x-1)^2+\ln^2(x)\).
1) Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) et interpréter le résultat géométriquement.
Correction détaillée
🔢 \((x-1)^2\to1\) et \(\ln^2x\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=+\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale à \((C_f)\).
2) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x\), puis étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)\to+\infty\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=x-2+\dfrac1x+\dfrac{\ln^2x}x\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\), \(\lim\limits_{+\infty}\frac{f(x)}x=+\infty\) : branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
3.a) Montrer que \(\forall x\in]0,+\infty[\) : \(f'(x)=\dfrac{2g(x)}x\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=2(x-1)+\dfrac{2\ln x}x=\dfrac{2\left(x^2-x+\ln x\right)}x\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{2g(x)}x\).
3.b) En déduire les variations de \(f\) sur \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 Signe de \(g\) : \(f'<0\) sur \(]0,1[\) et \(f’>0\) sur \(]1,+\infty[\).
✅ \(f\) décroît sur \(]0,1]\) et croît sur \([1,+\infty[\) ; minimum \(f(1)=0\).
Partie 3 Soit \(h\) la restriction de \(f\) à l’intervalle \(I=]0,1]\).
1) Montrer que la fonction \(h\) admet une fonction réciproque \(h^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
Correction détaillée
🔢 \(h\) est continue et strictement décroissante sur \(]0,1]\), avec \(\lim\limits_{0^+}h=+\infty\) et \(h(1)=0\).
✅ \(h\) est une bijection de \(]0,1]\) sur \(J=[0,+\infty[\).
Exercice 39
Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=x(\ln x)^2+x\) si \(x>0\) et \(f(0)=0\).
1) Déterminer \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x(\ln x)^2+x\) pour \(x>0\), \(f(0)=0\).
✅ \(D_f=[0,+\infty[\).
2.a) Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}x(\ln x)^2=0\).
Correction détaillée
🔢 Avec \(X=\sqrt x\to0^+\) : \(x(\ln x)^2=X^2(2\ln X)^2=4(X\ln X)^2\), et \(X\ln X\to0\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}x\ln^2x=0\).
2.b) En déduire que la fonction \(f\) est continue à droite du point \(x_0=0\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x\ln^2x+x\to0+0=0=f(0)\).
✅ \(f\) est continue à droite en \(0\).
2.c) Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\) à droite et interpréter le résultat géométriquement.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)-f(0)}x=\ln^2x+1\to+\infty\).
✅ \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) : demi-tangente verticale à l’origine.
3) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\), puis étudier la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x\left(\ln^2x+1\right)\to+\infty\) et \(\dfrac{f(x)}x=\ln^2x+1\to+\infty\).
✅ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
4) Calculer \(f'(x)\) pour tout \(x\in D_f\setminus\{0\}\), et étudier les variations de la fonction \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\ln^2x+x\times\dfrac{2\ln x}x+1=\ln^2x+2\ln x+1=(\ln x+1)^2\geq0\).
✅ \(f'(x)\geq0\), nulle seulement en \(\frac1e\) : \(f\) est strictement croissante sur \([0,+\infty[\).
5.a) Calculer \(f »(x)\) pour tout \(x\in D_f\setminus\{0\}\).
Correction détaillée
🔢 \(f »(x)=2(\ln x+1)\times\dfrac1x\).
✅ \(f »(x)=\dfrac{2(\ln x+1)}x\).
5.b) Étudier la concavité de la courbe \((C_f)\) et déterminer son point d’inflexion.
Correction détaillée
🔢 \(f »<0\) sur \(]0,\frac1e[\) et \(f »>0\) sur \(]\frac1e,+\infty[\). \(f\left(\frac1e\right)=\frac1e\times1+\frac1e=\frac2e\).
✅ \((C_f)\) est concave sur \(]0,\frac1e]\), convexe sur \([\frac1e,+\infty[\) ; point d’inflexion \(\left(\frac1e,\frac2e\right)\) (tangente horizontale).
6.a) Déterminer l’équation de la droite \((\Delta)\) tangente à la courbe \((C_f)\) au point d’abscisse \(x_0=1\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=1\) et \(f'(1)=(0+1)^2=1\) : \(y=f'(1)(x-1)+f(1)\).
✅ \((\Delta):y=x\).
6.b) Étudier les positions relatives de \((C_f)\) et de la droite \((\Delta)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-x=x\ln^2x\geq0\).
✅ \((C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\), avec contact en \(x=1\).
8.a) Montrer que la fonction \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) à déterminer.
Correction détaillée
🔢 \(f\) est continue et strictement croissante sur \([0,+\infty[\), \(f(0)=0\), \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
✅ \(f\) est une bijection de \([0,+\infty[\) sur \(J=[0,+\infty[\).
8.b) Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J\).
Correction détaillée
⚠️ L’énoncé demande « dérivable sur \(J\) » mais \(f’\left(\frac1e\right)=0\) : \(f^{-1}\) n’est pas dérivable en \(\frac2e\).
🔢 Étape 1 : Comme \(f’\) s’annule en \(x=\frac1e\) (où \(f\left(\frac1e\right)=\frac2e\)), \(f^{-1}\) n’est pas dérivable en \(\frac2e\) : sa courbe y a une tangente verticale.
🔢 Étape 2 : Sur \(J\setminus\left\{\frac2e\right\}\), \(f’\neq0\) : \(f^{-1}\) est dérivable (en \(0\) : \(\frac x{f(x)}=\frac1{\ln^2x+1}\to0\), donc \((f^{-1})'(0)=0\)).
✅ \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J\setminus\left\{\dfrac2e\right\}\).
8.c) Calculer \((f^{-1})'(1)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=1\) et \(f'(1)=1\).
✅ \((f^{-1})'(1)=\dfrac1{f'(1)}=1\).
Partie 2 Soit \((u_n)_{n\in\mathbb N}\) la suite définie par \(u_0=\frac1e\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout \(n\in\mathbb N\).
1) Montrer que \(\forall n\in\mathbb N\) : \(\frac1e\leq u_n\leq1\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0=\frac1e\). Si \(\frac1e\leq u_n\leq1\), comme \(f\) est croissante : \(f\left(\frac1e\right)\leq u_{n+1}\leq f(1)\), c’est-à-dire \(\frac2e\leq u_{n+1}\leq1\), et \(\frac1e\leq\frac2e\).
✅ Par récurrence, \(\frac1e\leq u_n\leq1\) pour tout \(n\).
2) Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=u_n\ln^2u_n\geq0\).
✅ \((u_n)\) est croissante.
3) Montrer que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Croissante et majorée par \(1\) : elle converge vers \(\ell\in\left[\frac1e,1\right]\).
🔢 Étape 2 : \(f(\ell)=\ell\iff\ell\ln^2\ell=0\iff\ell=1\) (car \(\ell>0\)).
✅ \(\lim u_n=1\).
Exercice 40
La fonction \(f\) est définie sur \([1,+\infty[\) par \(f(x)=x\sqrt{\ln x}\). On désigne par \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
1) Montrer que \(f\) est continue sur \(I=[1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(x\mapsto\ln x\) est continue et \(\geq0\) sur \(I\), \(\sqrt{\cdot}\) est continue sur \([0,+\infty[\), donc \(x\sqrt{\ln x}\) est continue sur \(I\) (produit et composée de fonctions continues).
✅ \(f\) est continue sur \([1,+\infty[\).
2.a) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(1\) et interpréter géométriquement le résultat trouvé.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\dfrac{f(x)-f(1)}{x-1}=\dfrac{x\sqrt{\ln x}}{x-1}=x\times\sqrt{\dfrac{\ln x}{x-1}}\times\dfrac1{\sqrt{x-1}}\).
🔢 Étape 2 : Quand \(x\to1^+\) : \(\dfrac{\ln x}{x-1}\to1\), \(\dfrac1{\sqrt{x-1}}\to+\infty\).
✅ \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(1\) : demi-tangente verticale au point \((1,0)\).
2.b) Dresser le tableau de variation de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Pour \(x>1\) : \(f'(x)=\sqrt{\ln x}+x\times\dfrac{1/x}{2\sqrt{\ln x}}=\sqrt{\ln x}+\dfrac1{2\sqrt{\ln x}}>0\). \(f(1)=0\), \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \([1,+\infty[\), de \(0\) à \(+\infty\).
3.a) Déterminer l’intersection de \((\Delta):y=x\) et \((C_f)\).
Correction détaillée
🔢 \(x\sqrt{\ln x}=x\iff\sqrt{\ln x}=1\) (car \(x\geq1>0\)) \(\iff\ln x=1\).
✅ \((\Delta)\) et \((C_f)\) se coupent au seul point \((e,e)\).
4.a) Montrer que \(f\) admet une fonction réciproque définie sur \(J=[0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f\) est continue et strictement croissante sur \([1,+\infty[\) ; \(f(1)=0\) et \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
✅ \(f\) est une bijection de \([1,+\infty[\) sur \(J=[0,+\infty[\).
Exercice 41
Partie 1 Soit \(g\) la fonction définie sur \(]-1,+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac{2x}{x+1}-\ln(1+x)\).
1) Dresser le tableau de variation de \(g\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(g'(x)=\dfrac2{(x+1)^2}-\dfrac1{x+1}=\dfrac{1-x}{(x+1)^2}\).
🔢 Étape 2 : Limites : en \(-1^+\), \(g(x)=\dfrac{2x-(x+1)\ln(1+x)}{x+1}\) avec numérateur \(\to-2\) et dénominateur \(\to0^+\) : \(g\to-\infty\). En \(+\infty\) : \(\frac{2x}{x+1}\to2\) et \(-\ln(1+x)\to-\infty\) : \(g\to-\infty\).
🔢 Étape 3 : \(g(1)=1-\ln2\approx0{,}31\).
✅ \(g\) croît sur \(]-1,1]\) (de \(-\infty\) à \(1-\ln2\)) puis décroît sur \([1,+\infty[\) (vers \(-\infty\)).
2) Montrer que l’équation \(g(x)=0\) admet dans l’intervalle \(]-1,+\infty[\) deux solutions \(0\) et \(\alpha\) et vérifier que \(3{,}8<\alpha<4\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(g(0)=0\). Sur \(]-1,1]\), \(g\) est strictement croissante : \(0\) est la seule solution.
🔢 Étape 2 : Sur \([1,+\infty[\), \(g\) est continue, strictement décroissante de \(1-\ln2>0\) à \(-\infty\) : une unique solution \(\alpha>1\).
🔢 Étape 3 : \(g(3{,}8)=\dfrac{7{,}6}{4{,}8}-\ln4{,}8\approx0{,}015>0\) et \(g(4)=\dfrac85-\ln5\approx-0{,}009<0\).
✅ \(g(x)=0\iff x=0\) ou \(x=\alpha\), avec \(3{,}8<\alpha<4\).
3) En déduire le signe de \(g(x)\) pour tout \(x\in]-1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 D’après les variations de \(g\) et ses zéros \(0\) et \(\alpha\).
✅ \(g(x)<0\) sur \(]-1,0[\) ; \(g(x)\geq0\) sur \([0,\alpha]\) ; \(g(x)<0\) sur \(]\alpha,+\infty[\).
4) Montrer que pour tout \(x\) de \(]-1,+\infty[\) : \(g(x)\leq1\).
Correction détaillée
🔢 Le maximum de \(g\) est \(g(1)=1-\ln2\).
✅ \(g(x)\leq1-\ln2<1\).
Partie 2 Soit \(f\) la fonction définie sur \([0,+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{\ln(1+x)}{\sqrt x}\) si \(x>0\) et \(f(0)=0\).
1) Montrer que \(f\) est continue sur \([0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Sur \(]0,+\infty[\), c’est un quotient de fonctions continues. En \(0\) : \(f(x)=\sqrt x\times\dfrac{\ln(1+x)}x\to0\times1=0=f(0)\).
✅ \(f\) est continue sur \([0,+\infty[\).
2) Étudier la dérivabilité de \(f\) à droite en \(0\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{\ln(1+x)}x\times\dfrac1{\sqrt x}\to+\infty\).
✅ \(f\) n’est pas dérivable à droite en \(0\) : demi-tangente verticale.
3) Montrer que \(\forall x>0\) : \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{2x\sqrt x}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{\frac{\sqrt x}{1+x}-\frac{\ln(1+x)}{2\sqrt x}}x=\dfrac{\frac{2x}{1+x}-\ln(1+x)}{2x\sqrt x}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{2x\sqrt x}\).
4) Dresser le tableau de variation de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f’\) a le signe de \(g\) : positive sur \(]0,\alpha[\), négative sur \(]\alpha,+\infty[\). \(\lim\limits_{+\infty}f=\lim\dfrac{\ln(1+x)}{\sqrt x}=0\).
✅ \(f\) croît sur \([0,\alpha]\) (de \(0\) à \(f(\alpha)\)) puis décroît vers \(0\).
5) Vérifier que \(f(\alpha)=\dfrac{2\sqrt\alpha}{1+\alpha}\).
Correction détaillée
🔢 \(g(\alpha)=0\iff\ln(1+\alpha)=\dfrac{2\alpha}{\alpha+1}\), donc \(f(\alpha)=\dfrac{2\alpha}{(\alpha+1)\sqrt\alpha}\).
✅ \(f(\alpha)=\dfrac{2\sqrt\alpha}{1+\alpha}\).
Exercice 42
Partie A Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=x^3-x-2\ln x+1\).
1) Montrer que pour tout \(x\in]0,+\infty[\) : \(g'(x)=\dfrac{(x-1)\left(3x^2+3x+2\right)}x\).
Correction détaillée
🔢 \(g'(x)=3x^2-1-\dfrac2x=\dfrac{3x^3-x-2}x\). Or \((x-1)(3x^2+3x+2)=3x^3-x-2\).
✅ \(g'(x)=\dfrac{(x-1)\left(3x^2+3x+2\right)}x\).
2) Étudier les variations de \(g\) puis déterminer le signe de \(g(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(3x^2+3x+2>0\) (\(\Delta=9-24<0\)) : \(g’\) a le signe de \(x-1\). \(g\) décroît sur \(]0,1]\), croît sur \([1,+\infty[\), et \(g(1)=1-1-0+1=1\).
✅ Le minimum de \(g\) est \(1>0\) : \(g(x)>0\) pour tout \(x>0\).
Partie B Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=x+\dfrac1x+\dfrac{\ln x}{x^2}\) ; \((C_f)\) est sa courbe dans un repère orthonormé (unité \(2\) cm).
1) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac1x\to0\), \(\dfrac{\ln x}{x^2}\to0\), \(x\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
2) Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) et interpréter graphiquement.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=\dfrac{x^3+x+\ln x}{x^2}\) : numérateur \(\to-\infty\), dénominateur \(\to0^+\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=-\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale.
3) Montrer que \(\forall x>0\) : \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}\), puis donner le tableau de variation de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=1-\dfrac1{x^2}+\dfrac{\frac1x\cdot x^2-2x\ln x}{x^4}=1-\dfrac1{x^2}+\dfrac{1-2\ln x}{x^3}=\dfrac{x^3-x+1-2\ln x}{x^3}\).
🔢 Étape 2 : Comme \(g>0\) : \(f’>0\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}\) ; \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\), de \(-\infty\) à \(+\infty\).
4) Vérifier que la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=x\) est asymptote oblique à \((C_f)\) en \(+\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-x=\dfrac1x+\dfrac{\ln x}{x^2}\to0\).
✅ \((\Delta):y=x\) est asymptote oblique à \((C_f)\) en \(+\infty\).
5.a) Soit \(h\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(h(x)=x+\ln x\). Montrer que l’équation \(h(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) dans l’intervalle \(\left]\frac12,1\right[\), et vérifier que \(e^{-\alpha}=\alpha\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(h'(x)=1+\frac1x>0\) : \(h\) est strictement croissante et continue. \(h\left(\frac12\right)=\frac12-\ln2<0\), \(h(1)=1>0\).
🔢 Étape 2 : \(h(\alpha)=0\iff\ln\alpha=-\alpha\iff\alpha=e^{-\alpha}\).
✅ Il existe un unique \(\alpha\in\left]\frac12,1\right[\) avec \(h(\alpha)=0\), et \(e^{-\alpha}=\alpha\).
5.b) Étudier la position relative de \((C_f)\) et \((\Delta)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-x=\dfrac{x+\ln x}{x^2}=\dfrac{h(x)}{x^2}\).
✅ \((C_f)\) est au-dessous de \((\Delta)\) sur \(]0,\alpha[\), au-dessus sur \(]\alpha,+\infty[\), et les deux se coupent en \(x=\alpha\).
Exercice 43
Partie A (Étude d’une fonction auxiliaire) \(g\) est définie sur \([0,+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac{2x^2}{x^2+1}-\ln\left(1+x^2\right)\).
1) Démontrer que l’équation \(g(x)=0\) admet une solution unique \(\alpha\) sur l’intervalle \(]1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(g'(x)=\dfrac{4x}{\left(x^2+1\right)^2}-\dfrac{2x}{1+x^2}=\dfrac{2x\left(1-x^2\right)}{\left(x^2+1\right)^2}\).
🔢 Étape 2 : \(g\) est strictement décroissante sur \([1,+\infty[\) de \(g(1)=1-\ln2>0\) vers \(\lim\limits_{+\infty}g=2-\infty=-\infty\) (\(\frac{2x^2}{x^2+1}\to2\) et \(\ln(1+x^2)\to+\infty\)).
✅ \(g\) étant continue et strictement décroissante sur \([1,+\infty[\), elle s’annule une seule fois en \(\alpha>1\).
2) Préciser le signe de \(g(x)\) sur l’intervalle \([0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g\) croît sur \([0,1]\) à partir de \(g(0)=0\), puis décroît et s’annule en \(\alpha\).
✅ \(g(x)\geq0\) sur \([0,\alpha]\) (nulle en \(0\) et en \(\alpha\)) et \(g(x)<0\) sur \(]\alpha,+\infty[\).
Partie B (Étude d’une fonction) \(f\) est définie sur \(I=[0,+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{\ln\left(1+x^2\right)}x\) si \(x>0\) et \(f(0)=0\).
1) Montrer que \(f\) est continue à droite en \(0\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x\times\dfrac{\ln\left(1+x^2\right)}{x^2}\to0\times1=0=f(0)\).
✅ \(f\) est continue à droite en \(0\).
2) Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}\dfrac{f(x)}x\) et interpréter géométriquement le résultat trouvé.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{\ln\left(1+x^2\right)}{x^2}\to1\).
✅ \(f\) est dérivable à droite en \(0\), \(f’_d(0)=1\) : la tangente à l’origine est la droite \(y=x\).
3.a) Vérifier que \(\forall x>0\) : \(f(x)=\dfrac{2\ln x}x+\dfrac1x\ln\left(1+\dfrac1{x^2}\right)\).
Correction détaillée
🔢 \(\ln\left(1+x^2\right)=\ln\left(x^2\left(1+\frac1{x^2}\right)\right)=2\ln x+\ln\left(1+\frac1{x^2}\right)\).
✅ L’égalité est vérifiée.
3.b) En déduire \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\) et interpréter le résultat.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{2\ln x}x\to0\) et \(\dfrac1x\ln\left(1+\dfrac1{x^2}\right)\to0\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=0\) : l’axe des abscisses est asymptote horizontale en \(+\infty\).
4.a) Démontrer que \(\forall x>0\) : \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=\dfrac{\frac{2x}{1+x^2}\cdot x-\ln\left(1+x^2\right)}{x^2}=\dfrac{\frac{2x^2}{1+x^2}-\ln\left(1+x^2\right)}{x^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\).
4.b) En déduire les variations de \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f’\) a le signe de \(g\) (partie A).
✅ \(f\) croît sur \([0,\alpha]\), décroît sur \([\alpha,+\infty[\) ; maximum \(f(\alpha)\) ; \(\lim\limits_{+\infty}f=0\).
Exercice 44
Partie A Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=x+(x-2)\ln x\).
a) Montrer que \(\forall x>0\) : \(g'(x)=\ln x+2\left(\dfrac{x-1}x\right)\).
Correction détaillée
⚠️ Sur le scan, \(g'(x)\) est écrit comme un produit « \(2\frac{x-1}x\ln x\) » : c’est une coquille, la dérivée correcte est \(\ln x+2\frac{x-1}x\).
🔢 \(g'(x)=1+\ln x+(x-2)\times\dfrac1x=\ln x+\dfrac{2x-2}x\).
✅ \(g'(x)=\ln x+2\,\dfrac{x-1}x\).
b) Étudier les variations de \(g\). Puis en déduire que la fonction \(g\) est strictement positive.
Correction détaillée
🔢 Sur \(]0,1[\) : \(\ln x<0\) et \(x-1<0\), donc \(g'<0\). Sur \(]1,+\infty[\) : \(g’>0\). \(g(1)=1\).
✅ \(g\) admet un minimum \(g(1)=1>0\) : \(g(x)>0\) pour tout \(x>0\).
Partie B Soit \(f\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=1+x\ln x-(\ln x)^2\) ; \((C_f)\) est sa courbe dans un repère orthonormé (unité \(2\) cm).
1) Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) et interpréter géométriquement le résultat trouvé.
Correction détaillée
🔢 \(x\ln x\to0\) et \(-(\ln x)^2\to-\infty\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=-\infty\) : asymptote verticale \(x=0\).
2) Montrer que \((C_f)\) admet une branche parabolique dirigée vers l’axe des ordonnées.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x\left[\dfrac1x+\ln x-\dfrac{\ln^2x}x\right]\to+\infty\) et \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac1x+\ln x-\dfrac{\ln^2x}x\to+\infty\) quand \(x\to+\infty\).
✅ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
3.a) Vérifier que \(\forall x>0\) : \(f'(x)=\dfrac{g(x)}x\), et étudier les variations de \(f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=\ln x+1-\dfrac{2\ln x}x=\dfrac{x\ln x+x-2\ln x}x=\dfrac{x+(x-2)\ln x}x=\dfrac{g(x)}x\).
🔢 Étape 2 : \(g>0\) (partie A) donc \(f’>0\).
✅ \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\).
3.b) En déduire que \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur un intervalle \(J\) que l’on précisera.
Correction détaillée
🔢 \(f\) est continue, strictement croissante, \(\lim\limits_{0^+}f=-\infty\) et \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
✅ \(f\) est une bijection de \(]0,+\infty[\) sur \(J=\mathbb R\).
4.a) Écrire une équation cartésienne de la tangente \((T)\) à \((C_f)\) au point d’abscisse \(1\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=1\) et \(f'(1)=g(1)=1\) : \(y=1\times(x-1)+1\).
✅ \((T):y=x\).
4.b) Étudier le sens de variation de la fonction \(h\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(h(x)=x-1-\ln x\). En déduire le signe de \(h(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(h'(x)=1-\dfrac1x=\dfrac{x-1}x\) : \(h\) décroît sur \(]0,1]\), croît sur \([1,+\infty[\) ; \(h(1)=0\) est le minimum.
✅ \(h(x)\geq0\) pour tout \(x>0\) (nulle seulement en \(1\)).
4.c) Montrer que \(f(x)-x=(\ln x-1)\,h(x)\) et en déduire la position de la courbe \((C_f)\) par rapport à \((T)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \((\ln x-1)(x-1-\ln x)=x\ln x-\ln x-\ln^2x-x+1+\ln x=1+x\ln x-\ln^2x-x=f(x)-x\).
🔢 Étape 2 : Comme \(h\geq0\) : \(f(x)-x\) a le signe de \(\ln x-1\) (ou est nul si \(x=1\)).
✅ \((C_f)\) est au-dessous de \((T)\) pour \(x<e\) (contact en \(x=1\)), et au-dessus pour \(x>e\) ; ils se coupent en \(x=e\).
Exercice 45
Bac 2014 session normale.
Partie I On considère la fonction \(g\) définie sur \(D=]0,+\infty[\) par \(g(x)=1-\dfrac1{x^2}+\ln x\).
1) Montrer que \(g'(x)=\dfrac2{x^3}+\dfrac1x\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\) et en déduire que la fonction \(g\) est croissante sur \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g'(x)=\dfrac{2}{x^3}+\dfrac1x\) (dérivée de \(-x^{-2}\) : \(2x^{-3}\)).
✅ \(g'(x)>0\) sur \(]0,+\infty[\) : \(g\) est strictement croissante.
2) Vérifier que \(g(1)=0\) puis en déduire que \(g(x)\leq0\) pour tout \(x\) de \(]0,1]\) et \(g(x)\geq0\) pour tout \(x\) de \([1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g(1)=1-1+0=0\), puis la croissance de \(g\).
✅ \(g(x)\leq0\) sur \(]0,1]\) et \(g(x)\geq0\) sur \([1,+\infty[\).
Partie II On considère \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=(1+\ln x)^2+\dfrac1{x^2}\) et \((C_f)\) sa courbe dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) (unité \(1\) cm).
1) Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) ; puis interpréter géométriquement ce résultat.
Correction détaillée
🔢 \((1+\ln x)^2\to+\infty\) et \(\dfrac1{x^2}\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=+\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale.
2.a) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\).
Correction détaillée
🔢 \((1+\ln x)^2\to+\infty\) et \(\frac1{x^2}\to0\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
2.b) Montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{(1+\ln x)^2}x=0\) (on pourra poser \(t=\sqrt x\)) puis montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{f(x)}x=0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Avec \(t=\sqrt x\) : \(\ln x=2\ln t\) et \(\dfrac{(1+\ln x)^2}x=\dfrac{(1+2\ln t)^2}{t^2}=\left(\dfrac1t+2\dfrac{\ln t}t\right)^2\to0\).
🔢 Étape 2 : \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac{(1+\ln x)^2}x+\dfrac1{x^3}\to0\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}\frac{f(x)}x=0\).
2.c) Déterminer la branche infinie de \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)\to+\infty\) et \(\frac{f(x)}x\to0\).
✅ Branche parabolique de direction l’axe des abscisses.
3.a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{2g(x)}x\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\), puis en déduire que la fonction \(f\) est décroissante sur \(]0,1]\) et la fonction \(f\) est croissante sur \([1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f'(x)=2(1+\ln x)\times\dfrac1x-\dfrac2{x^3}=\dfrac2x\left(1+\ln x-\dfrac1{x^2}\right)=\dfrac{2g(x)}x\).
🔢 Étape 2 : Signe de \(g\) (partie I).
✅ \(f’\leq0\) sur \(]0,1]\) et \(f’\geq0\) sur \([1,+\infty[\).
3.b) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(]0,+\infty[\) puis en déduire que \(f(x)\geq2\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f\) admet un minimum \(f(1)=(1+0)^2+1=2\).
✅ \(f(x)\geq f(1)=2\).
5.a) On considère les deux intégrales suivantes : \(I=\displaystyle\int_1^e(1+\ln x)\,dx\) et \(J=\displaystyle\int_1^e(1+\ln x)^2dx\). Montrer que \(H:x\mapsto x\ln x\) est une primitive de la fonction \(h\mapsto1+\ln x\) sur \(]0,+\infty[\) et en déduire que \(I=e\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(H'(x)=\ln x+x\times\frac1x=1+\ln x\).
🔢 Étape 2 : \(I=H(e)-H(1)=e\ln e-0\).
✅ \(I=e\).
5.b) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(J=2e-1\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : On pose \(u=1+\ln x\), \(u’=\frac1x\), \(v’=1+\ln x\), \(v=x\ln x\).
🔢 Étape 2 : \(J=\left[(1+\ln x)\,x\ln x\right]_1^e-\displaystyle\int_1^e\dfrac1x\,x\ln x\,dx=2e-\displaystyle\int_1^e\ln x\,dx=2e-\left[x\ln x-x\right]_1^e=2e-1\).
✅ \(J=2e-1\).
5.c) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par la courbe \((C_f)\) et l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=e\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\geq2>0\) : l’aire est \(\displaystyle\int_1^ef(x)\,dx=J+\int_1^e\dfrac{dx}{x^2}=2e-1+\left[-\dfrac1x\right]_1^e\).
🔢 Étape 2 : \(=2e-1+1-\dfrac1e\).
✅ \(\mathcal A=\left(2e-\dfrac1e\right)\) cm\(^2\).
Exercice 46
Bac 2015 session normale.
Partie I On considère la fonction numérique \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac1{x(1-\ln x)}\) et \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé \((O,\vec i,\vec j)\) (unité \(2\) cm).
1) Montrer que \(D_f=]0,e[\,\cup\,]e,+\infty[\) (\(D_f\) ensemble de définition de la fonction \(f\)).
Correction détaillée
🔢 Il faut \(x>0\) et \(x(1-\ln x)\neq0\iff\ln x\neq1\iff x\neq e\).
✅ \(D_f=]0,e[\cup]e,+\infty[\).
2.a) Calculer \(\lim\limits_{x\to e^+}f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to e^-}f(x)\) puis interpréter géométriquement ces deux résultats.
Correction détaillée
🔢 \(d(x)=x(1-\ln x)\) : en \(e^+\), \(\ln x>1\) donc \(d(x)\to0^-\) ; en \(e^-\), \(d(x)\to0^+\).
✅ \(\lim\limits_{e^+}f=-\infty\) et \(\lim\limits_{e^-}f=+\infty\) : la droite \(x=e\) est asymptote verticale.
2.b) Calculer \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)\), puis en déduire que la courbe \((C_f)\) admet une asymptote au voisinage de \(+\infty\) dont on déterminera la direction.
Correction détaillée
🔢 \(x(1-\ln x)=x\left(1-\ln x\right)\to-\infty\) (produit de \(x\to+\infty\) par \(1-\ln x\to-\infty\)).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=0\) : l’axe des abscisses est asymptote horizontale en \(+\infty\).
2.c) Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) (pour calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) on remarquera que \(x(1-\ln x)=x-x\ln x\)).
Correction détaillée
🔢 \(x-x\ln x\to0\) et, pour \(x\) proche de \(0\), \(x(1-\ln x)>0\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=+\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale.
3.a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{\ln x}{x^2(1-\ln x)^2}\) pour tout \(x\) de \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Avec \(d(x)=x-x\ln x\) : \(d'(x)=1-\ln x-1=-\ln x\).
🔢 Étape 2 : \(f’=-\dfrac{d’}{d^2}=\dfrac{\ln x}{x^2(1-\ln x)^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{\ln x}{x^2(1-\ln x)^2}\).
3.b) Montrer que la fonction \(f\) est décroissante sur \(]0,1]\) et la fonction \(f\) est croissante sur \([1;e[\) et \(]e;+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Le signe de \(f’\) est celui de \(\ln x\) (le dénominateur est \(>0\)).
✅ \(f’\leq0\) sur \(]0,1]\), \(f’\geq0\) sur \([1,e[\) et sur \(]e,+\infty[\).
3.c) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=1\). Limites : \(+\infty\) en \(0^+\) ; \(+\infty\) en \(e^-\) ; \(-\infty\) en \(e^+\) ; \(0\) en \(+\infty\).
✅ \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(1\) sur \(]0,1]\), croît de \(1\) à \(+\infty\) sur \([1,e[\), puis croît de \(-\infty\) à \(0\) sur \(]e,+\infty[\).
Partie II Soit la fonction \(g\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=1-x^2(1-\ln x)\) (\((C_g)\) est sa courbe représentative).
1.b) On donne le tableau suivant : \(g(2{,}1)=-0{,}14\), \(g(2{,}2)=-0{,}02\), \(g(2{,}3)=0{,}12\), \(g(2{,}4)=0{,}28\). Montrer que l’équation \((E)\) : \(x\in]0,+\infty[\), \(g(x)=0\) admet une solution \(\alpha\) telle que \(2{,}2<\alpha<2{,}3\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(g'(x)=-2x(1-\ln x)+x=x(2\ln x-1)>0\) sur \(]\sqrt e,+\infty[\), donc \(g\) est continue et strictement croissante sur \([2{,}2;2{,}3]\subset]\sqrt e,+\infty[\).
🔢 Étape 2 : \(g(2{,}2)<0<g(2{,}3)\).
✅ Théorème des valeurs intermédiaires : il existe un unique \(\alpha\in]2{,}2;2{,}3[\) tel que \(g(\alpha)=0\).
2.a) Vérifier que \(f(x)-x=\dfrac{g(x)}{x(1-\ln x)}\) pour tout \(x\) de \(D_f\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-x=\dfrac{1-x^2(1-\ln x)}{x(1-\ln x)}\).
✅ \(f(x)-x=\dfrac{g(x)}{x(1-\ln x)}\).
2.b) Montrer que la droite \((\Delta)\) d’équation \((\Delta):y=x\) coupe la courbe \((C_f)\) en deux points d’abscisses respectives \(1\) et \(\alpha\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f(x)=x\iff g(x)=0\). \(g(1)=1-1=0\).
🔢 Étape 2 : \(g\) décroît sur \(]0,\sqrt e]\) de \(1\) à \(g(\sqrt e)=1-\frac e2<0\) puis croît vers \(+\infty\) : \(g\) s’annule exactement deux fois, en \(1\) et en \(\alpha>\sqrt e\).
✅ \((\Delta)\) coupe \((C_f)\) aux points d’abscisses \(1\) et \(\alpha\) (\(\alpha<e\) donc \(\alpha\in D_f\)).
2.c) Déterminer le signe de \(g\) sur \([1,\alpha]\), et montrer que \(f(x)-x\leq0\) pour tout \(x\) de \([1,\alpha]\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \([1,\alpha]\), \(g\) est \(\leq0\) (entre ses deux zéros, \(g\) est négative d’après son tableau de variation).
🔢 Étape 2 : Sur \([1,\alpha]\subset[1,e[\), \(1-\ln x>0\) donc \(x(1-\ln x)>0\).
✅ \(g\leq0\) sur \([1,\alpha]\) et \(f(x)-x=\dfrac{g(x)}{x(1-\ln x)}\leq0\).
4.a) Montrer que \(\displaystyle\int_1^{\sqrt e}\dfrac1{x(1-\ln x)}dx=\ln2\) (on remarquera que \(\dfrac1{x(1-\ln x)}=\dfrac{\frac1x}{1-\ln x}\)).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\dfrac{1/x}{1-\ln x}=-\dfrac{(1-\ln x)’}{1-\ln x}\), de primitive \(-\ln(1-\ln x)\) (\(1-\ln x>0\) sur \([1,\sqrt e]\)).
🔢 Étape 2 : \(\left[-\ln(1-\ln x)\right]_1^{\sqrt e}=-\ln\left(1-\frac12\right)+\ln1=\ln2\).
✅ \(\displaystyle\int_1^{\sqrt e}f(x)\,dx=\ln2\).
4.b) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par la courbe \((C_f)\) et la droite \((\Delta)\) et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=\sqrt e\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Sur \([1,\sqrt e]\), \(f(x)\leq x\) (2.c, car \(\sqrt e<\alpha\)). Aire en unités d’aire : \(\displaystyle\int_1^{\sqrt e}(x-f(x))\,dx=\left[\dfrac{x^2}2\right]_1^{\sqrt e}-\ln2=\dfrac{e-1}2-\ln2\).
🔢 Étape 2 : Une unité d’aire vaut \(2\times2=4\) cm\(^2\).
✅ \(\mathcal A=4\left(\dfrac{e-1}2-\ln2\right)=(2e-2-4\ln2)\) cm\(^2\).
Partie III On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\).
1) Montrer par récurrence que : \(0\leq u_n\leq\alpha\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\).
Correction détaillée
⚠️ Sur \(]0,1[\) la fonction \(f\) est décroissante : la récurrence « \(0\leq u_n\leq\alpha\) » seule ne se transmet pas par \(f\), on utilise donc l’encadrement plus fin \(1\leq u_n\leq\alpha\).
🔢 Étape 1 : On montre \(1\leq u_n\leq\alpha\) (ce qui entraîne \(0\leq u_n\leq\alpha\)). \(u_0=2\in[1,\alpha]\).
🔢 Étape 2 : \(f\) est croissante sur \([1,e[\supset[1,\alpha]\) : si \(1\leq u_n\leq\alpha\), alors \(f(1)\leq u_{n+1}\leq f(\alpha)\), soit \(1\leq u_{n+1}\leq\alpha\) car \(f(1)=1\) et \(f(\alpha)=\alpha\) (\(g(\alpha)=0\)).
✅ Pour tout \(n\), \(1\leq u_n\leq\alpha\), donc \(0\leq u_n\leq\alpha\).
2) Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante (on pourra utiliser le résultat de la question II 2) c-).
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\leq0\) car \(u_n\in[1,\alpha]\) (II.2.c).
✅ \((u_n)\) est décroissante.
3) En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Décroissante et minorée par \(1\) : elle converge vers \(\ell\in[1,2]\). \(f\) est continue sur \([1,2]\) : \(f(\ell)=\ell\iff g(\ell)=0\iff\ell=1\) ou \(\ell=\alpha\).
🔢 Étape 2 : Or \(\ell\leq u_0=2<\alpha\), donc \(\ell=1\).
✅ \(\lim u_n=1\).
Exercice 47
Bac 2015 session de rattrapage.
Partie I Soit la fonction \(g\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=1-x+x\ln x\).
1.a) Montrer que \(g'(x)=\ln x\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g'(x)=-1+\ln x+x\times\frac1x\).
✅ \(g'(x)=\ln x\).
1.b) Montrer que la fonction \(g\) est décroissante sur \(]0,1]\) et la fonction \(g\) est croissante sur \([1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(\ln x\leq0\) sur \(]0,1]\) et \(\ln x\geq0\) sur \([1,+\infty[\).
✅ \(g\) décroît sur \(]0,1]\) et croît sur \([1,+\infty[\).
2) Calculer \(g(1)\) puis en déduire que \(g(x)\geq0\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g(1)=0\) est le minimum de \(g\).
✅ \(g(1)=0\) et \(g(x)\geq0\) pour tout \(x>0\).
Partie II Soit \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=3-\dfrac1{x^2}-\dfrac{2\ln x}x\) (unité \(1\) cm).
1) Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) puis interpréter géométriquement ce résultat (pour calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) on remarquera que \(f(x)=\dfrac{3x^2-1-2x\ln x}{x^2}\)).
Correction détaillée
🔢 Numérateur \(\to-1\) (car \(x\ln x\to0\)), dénominateur \(\to0^+\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=-\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale.
2) Montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=3\) puis en déduire la nature de la branche de la courbe \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
Correction détaillée
⚠️ L’énoncé parle de « branche parabolique », mais une limite finie donne en réalité une asymptote horizontale.
🔢 \(\dfrac1{x^2}\to0\) et \(\dfrac{\ln x}x\to0\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=3\) : la droite \(y=3\) est asymptote horizontale à \((C_f)\) en \(+\infty\).
3.a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{2g(x)}{x^3}\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\left(\dfrac{2\ln x}x\right)’=\dfrac{2(1-\ln x)}{x^2}\) et \(\left(-\dfrac1{x^2}\right)’=\dfrac2{x^3}\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=\dfrac2{x^3}-\dfrac{2(1-\ln x)}{x^2}=\dfrac{2-2x+2x\ln x}{x^3}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{2g(x)}{x^3}\).
3.b) Interpréter géométriquement le résultat \(f'(1)=0\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(1)=\dfrac{2g(1)}1=0\) et \(f(1)=3-1-0=2\).
✅ \((C_f)\) admet au point \((1,2)\) une tangente horizontale.
3.c) Montrer que la fonction \(f\) est croissante sur \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g(x)\geq0\), donc \(f'(x)\geq0\).
✅ \(f\) est croissante sur \(]0,+\infty[\).
5.a) Montrer que \(\displaystyle\int_1^e\dfrac{2\ln x}xdx=1\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{2\ln x}x=2u’u\) avec \(u=\ln x\) : primitive \((\ln x)^2\).
✅ \(\left[(\ln x)^2\right]_1^e=1\).
5.b) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par la courbe \((C_f)\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=e\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\) est croissante et \(f(1)=2>0\), donc \(f>0\) sur \([1,e]\).
🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_1^ef=\int_1^e3\,dx-\int_1^e\dfrac{dx}{x^2}-\int_1^e\dfrac{2\ln x}xdx=3(e-1)-\left(1-\dfrac1e\right)-1\).
✅ \(\mathcal A=\left(3e-5+\dfrac1e\right)\) cm\(^2\).
6.a) Soit la fonction \(h\) définie sur \(\mathbb R^*\) par \(h(x)=3-\dfrac1{x^2}-\dfrac{2\ln|x|}{|x|}\). Montrer que la fonction \(h\) est paire et que \(h(x)=f(x)\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
⚠️ Sur le scan, \(h(x)\) est écrit avec « \(+\frac{2\ln x}{|x|}\) » : on a corrigé en \(-\frac{2\ln|x|}{|x|}\) pour que \(h=f\) sur \(]0,+\infty[\) comme l’énonce la question.
🔢 Étape 1 : \(\mathbb R^*\) est symétrique par rapport à \(0\) et \(h(-x)=3-\dfrac1{x^2}-\dfrac{2\ln|-x|}{|-x|}=h(x)\) : \(h\) est paire.
🔢 Étape 2 : Pour \(x>0\), \(|x|=x\) et \(h(x)=3-\dfrac1{x^2}-\dfrac{2\ln x}x=f(x)\).
✅ \(h\) est paire et coïncide avec \(f\) sur \(]0,+\infty[\).
Exercice 48
Bac 2016 session de rattrapage.
Partie I Soit la fonction \(g\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=\dfrac2x-1+2\ln x\), dont le tableau de variations est donné : \(g\) décroît sur \(]0,1]\) et croît sur \([1,+\infty[\).
1) Calculer \(g(1)\).
Correction détaillée
🔢 \(g(1)=2-1+0\).
✅ \(g(1)=1\).
2) En déduire à partir du tableau que \(g(x)>0\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Le minimum de \(g\) est \(g(1)=1>0\).
✅ \(g(x)>0\) pour tout \(x>0\).
Partie II Soit la fonction numérique \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=3-3x+2(x+1)\ln x\) (unité \(2\) cm).
1) Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=-\infty\) et interpréter géométriquement ce résultat.
Correction détaillée
🔢 \(3-3x\to3\), \(x+1\to1\) et \(\ln x\to-\infty\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=-\infty\) : la droite \(x=0\) est asymptote verticale.
2.a) Montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\) (on pourra utiliser \(f(x)=x\left[\dfrac3x-3+2\left(1+\dfrac1x\right)\ln x\right]\)).
Correction détaillée
🔢 Le crochet tend vers \(-3+2\ln x\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
2.b) Montrer que la courbe \((C_f)\) admet au voisinage de \(+\infty\) une branche parabolique dont la direction est celle de l’axe des ordonnées.
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)}x=\dfrac3x-3+2\left(1+\dfrac1x\right)\ln x\to+\infty\).
✅ Branche parabolique de direction l’axe des ordonnées.
3.a) Montrer que \(f'(x)=g(x)\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=-3+2\ln x+2(x+1)\times\dfrac1x=2\ln x+\dfrac2x-1\).
✅ \(f'(x)=g(x)\).
3.b) En déduire que la fonction \(f\) est strictement croissante sur \(]0,+\infty[\) et dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f’=g>0\). Limites : \(-\infty\) en \(0^+\), \(+\infty\) en \(+\infty\).
✅ \(f\) est strictement croissante de \(-\infty\) à \(+\infty\).
4.a) Montrer que \(I(1,0)\) est un point d’inflexion de la courbe \((C_f)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=0\). \(f »(x)=g'(x)=-\dfrac2{x^2}+\dfrac2x=\dfrac{2(x-1)}{x^2}\) s’annule en \(1\) en changeant de signe.
✅ \(I(1,0)\) est un point d’inflexion de \((C_f)\).
4.b) Montrer que \(y=x\) est l’équation de la droite \((T)\) tangente à la courbe \((C_f)\) au point \(I\).
Correction détaillée
⚠️ L’énoncé annonce « \(y=x\) » : en fait \(f(1)=0\) et \(f'(1)=1\) donnent \(y=x-1\) (coquille probable).
🔢 \(f'(1)=g(1)=1\) et \(f(1)=0\) : \(y=f'(1)(x-1)+f(1)=x-1\).
✅ La tangente en \(I\) est \(y=x-1\).
5.a) Montrer que \(\displaystyle\int_1^2\left(1+\dfrac x2\right)dx=\dfrac74\).
Correction détaillée
🔢 \(\left[x+\dfrac{x^2}4\right]_1^2=(2+1)-\left(1+\dfrac14\right)\).
✅ \(=\dfrac74\).
5.b) À l’aide d’une intégration par parties montrer que \(\displaystyle\int_1^2(x+1)\ln x\,dx=4\ln2-\dfrac74\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u=\ln x\), \(v’=x+1\), \(v=\dfrac{x^2}2+x\).
🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_1^2(x+1)\ln x\,dx=\left[\left(\dfrac{x^2}2+x\right)\ln x\right]_1^2-\int_1^2\left(\dfrac x2+1\right)dx=4\ln2-\dfrac74\).
✅ \(=4\ln2-\dfrac74\).
5.c) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par la courbe \((C_f)\), l’axe des abscisses et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(f\) est croissante avec \(f(1)=0\) : \(f\geq0\) sur \([1,2]\).
🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_1^2f=\int_1^2(3-3x)\,dx+2\int_1^2(x+1)\ln x\,dx=-\dfrac32+2\left(4\ln2-\dfrac74\right)=8\ln2-5\).
🔢 Étape 3 : Une unité d’aire vaut \(4\) cm\(^2\).
✅ \(\mathcal A=4(8\ln2-5)=(32\ln2-20)\) cm\(^2\).
6) Résoudre \(\left(x\in]0,+\infty[\right)\) l’inéquation \((x+1)\ln x\geq\dfrac32(x-1)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \((x+1)\ln x\geq\frac32(x-1)\iff2(x+1)\ln x-3(x-1)\geq0\iff3-3x+2(x+1)\ln x\geq0\iff f(x)\geq0\).
🔢 Étape 2 : \(f\) est strictement croissante et \(f(1)=0\) : \(f(x)\geq0\iff x\geq1\).
✅ \(S=[1,+\infty[\) (résolution algébrique, sans lecture graphique).
Exercice 49
Bac 2017 session normale.
Partie I On considère la fonction numérique \(g\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=x^2+x-2+2\ln x\) ; \(g\) est croissante sur \(]0,+\infty[\) (de \(-\infty\) à \(+\infty\)).
1) Vérifier que \(g(1)=0\).
Correction détaillée
🔢 \(g(1)=1+1-2+0\).
✅ \(g(1)=0\).
2) À partir du tableau de variations de la fonction \(g\), montrer que \(g(x)\leq0\) pour tout \(x\) de \(]0,1]\) et que \(g(x)\geq0\) pour tout \(x\) de \([1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g\) est croissante et \(g(1)=0\).
✅ \(g\leq0\) sur \(]0,1]\), \(g\geq0\) sur \([1,+\infty[\).
Partie II Soit \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=x+\left(1-\dfrac2x\right)\ln x\) (unité \(1\) cm).
1) Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) et interpréter géométriquement ce résultat.
Correction détaillée
🔢 \(1-\frac2x\to-\infty\) et \(\ln x\to-\infty\) : le produit \(\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=+\infty\) : asymptote verticale \(x=0\).
2.a) Montrer que \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(x\to+\infty\) et \(\left(1-\frac2x\right)\ln x\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
2.b) Montrer que la courbe \((C_f)\) admet au voisinage de \(+\infty\) une branche parabolique dont la direction est la droite \((D)\) d’équation \(y=x\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)}x=1+\left(1-\dfrac2x\right)\dfrac{\ln x}x\to1\) et \(f(x)-x=\left(1-\dfrac2x\right)\ln x\to+\infty\).
✅ Branche parabolique de direction la droite \(y=x\).
3.a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\) pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=1+\dfrac2{x^2}\ln x+\left(1-\dfrac2x\right)\dfrac1x=\dfrac{x^2+2\ln x+x-2}{x^2}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^2}\).
3.b) Montrer que la fonction \(f\) est décroissante sur \(]0,1]\) et la fonction \(f\) est croissante sur \([1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Signe de \(g\) (partie I).
✅ \(f\) décroît sur \(]0,1]\) et croît sur \([1,+\infty[\).
3.c) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\) sur \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=1\).
✅ \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(1\) puis croît de \(1\) à \(+\infty\).
4.a) Résoudre dans l’intervalle \(]0,+\infty[\) l’équation \(\left(1-\dfrac2x\right)\ln x=0\).
Correction détaillée
🔢 \(1-\frac2x=0\iff x=2\) ou \(\ln x=0\iff x=1\).
✅ \(S=\{1,2\}\).
4.b) En déduire que la courbe \((C_f)\) coupe la droite \((D)\) en deux points dont on déterminera les coordonnées.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x\iff\left(1-\frac2x\right)\ln x=0\). \(f(1)=1\) et \(f(2)=2\).
✅ Points d’intersection : \((1,1)\) et \((2,2)\).
4.c) Montrer que \(f(x)\leq x\) pour tout \(x\) de \([1,2]\) et en déduire la position relative de la courbe \((C_f)\) et la droite \((D)\) sur \([1,2]\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-x=\dfrac{x-2}x\ln x\) : sur \([1,2]\), \(x-2\leq0\) et \(\ln x\geq0\).
✅ \(f(x)\leq x\) : \((C_f)\) est au-dessous de \((D)\) sur \([1,2]\).
6.a) Montrer que \(\displaystyle\int_1^2\dfrac{\ln x}xdx=\dfrac12(\ln2)^2\).
Correction détaillée
🔢 \(\left[\dfrac{(\ln x)^2}2\right]_1^2\).
✅ \(=\dfrac12(\ln2)^2\).
6.b) Montrer que \(H:x\mapsto2\ln x-x\) est une primitive de la fonction \(h:x\mapsto\dfrac2x-1\) sur l’intervalle \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(H'(x)=\dfrac2x-1\).
✅ \(H’=h\).
6.c) Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que \(\displaystyle\int_1^2\left(\dfrac2x-1\right)\ln x\,dx=(1-\ln2)^2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u=\ln x\), \(v’=\frac2x-1\), \(v=2\ln x-x\).
🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\left[(2\ln x-x)\ln x\right]_1^2-\int_1^2\dfrac{2\ln x-x}xdx=(2\ln2-2)\ln2-\left[(\ln x)^2-x\right]_1^2=2\ln^22-2\ln2-\left(\ln^22-1\right)\).
✅ \(=\ln^22-2\ln2+1=(1-\ln2)^2\).
6.d) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par la courbe \((C_f)\) et la droite \((D)\) et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=2\).
Correction détaillée
🔢 Sur \([1,2]\), \(x-f(x)=\left(\dfrac2x-1\right)\ln x\geq0\). L’aire est \(\displaystyle\int_1^2\left(\dfrac2x-1\right)\ln x\,dx\).
✅ \(\mathcal A=(1-\ln2)^2\) cm\(^2\).
Partie III On considère la suite numérique définie par \(u_0=\sqrt3\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout entier naturel \(n\).
1) Montrer par récurrence que : \(1\leq u_n\leq2\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\).
Correction détaillée
🔢 \(1\leq\sqrt3\leq2\). \(f\) est croissante sur \([1,2]\), \(f(1)=1\), \(f(2)=2\) : si \(1\leq u_n\leq2\), alors \(1\leq f(u_n)\leq2\).
✅ \(1\leq u_n\leq2\) pour tout \(n\).
2) Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante (on pourra utiliser le résultat de la question II 4) c-).
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\leq0\) car \(u_n\in[1,2]\).
✅ \((u_n)\) est décroissante.
3) En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer la limite de la suite \((u_n)\).
Correction détaillée
🔢 Décroissante et minorée par \(1\) : convergente vers \(\ell\in\left[1,\sqrt3\right]\). \(f(\ell)=\ell\iff\ell\in\{1,2\}\) ; or \(\ell\leq\sqrt3<2\).
✅ \(\lim u_n=1\).
Exercice 50
Bac 2018 session de rattrapage.
Partie I Soit \(g\) la fonction définie sur \(]0,+\infty[\) par \(g(x)=x^3-1-2\ln^2(x)+2\ln x\) ; \(g\) est croissante sur \(]0,+\infty[\) (de \(-\infty\) à \(+\infty\)).
1) Calculer \(g(1)\).
Correction détaillée
🔢 \(g(1)=1-1-0+0\).
✅ \(g(1)=0\).
2) À partir de ce tableau, déterminer le signe de \(g(x)\) sur chacun des intervalles \(]0,1]\) et \([1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(g\) est croissante et \(g(1)=0\).
✅ \(g\leq0\) sur \(]0,1]\), \(g\geq0\) sur \([1,+\infty[\).
Partie II Soit \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=x-\dfrac12+\dfrac1{2x^2}+\left(\dfrac{\ln x}x\right)^2\) (unité \(1\) cm).
1.a) Vérifier que \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(x\to+\infty\) ; \(\frac1{2x^2}\to0\) ; \(\left(\frac{\ln x}x\right)^2\to0\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
1.b) Montrer que la droite \((D)\) d’équation \(y=x-\frac12\) est asymptote à la courbe \((C_f)\) au voisinage de \(+\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-\left(x-\frac12\right)=\dfrac1{2x^2}+\left(\dfrac{\ln x}x\right)^2\to0\).
✅ \((D):y=x-\frac12\) est asymptote oblique en \(+\infty\).
1.c) Déterminer la position relative de la droite \((D)\) et la courbe \((C_f)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x)-\left(x-\frac12\right)=\dfrac1{2x^2}+\left(\dfrac{\ln x}x\right)^2>0\).
✅ \((C_f)\) est strictement au-dessus de \((D)\).
2) Montrer que \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=+\infty\) et interpréter géométriquement le résultat.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x-\dfrac12+\dfrac{\frac12+\ln^2x}{x^2}\) avec \(\dfrac12+\ln^2x\to+\infty\) et \(x^2\to0^+\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=+\infty\) : asymptote verticale \(x=0\).
3.a) Montrer que \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}\) pour tout \(x\) appartenant à l’intervalle \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\left(\dfrac{\ln x}x\right)^2\) a pour dérivée \(2\dfrac{\ln x}x\times\dfrac{1-\ln x}{x^2}=\dfrac{2\ln x-2\ln^2x}{x^3}\).
🔢 Étape 2 : \(f'(x)=1-\dfrac1{x^3}+\dfrac{2\ln x-2\ln^2x}{x^3}=\dfrac{x^3-1+2\ln x-2\ln^2x}{x^3}\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{g(x)}{x^3}\).
3.b) Montrer que la fonction \(f\) est décroissante sur \(]0,1]\) et que la fonction \(f\) est croissante sur \([1,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 Signe de \(g\).
✅ \(f\) décroît sur \(]0,1]\) et croît sur \([1,+\infty[\).
3.c) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\).
Correction détaillée
🔢 \(f(1)=1-\frac12+\frac12+0=1\).
✅ \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(1\), puis croît de \(1\) à \(+\infty\).
Partie III On considère la fonction \(h\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(h(x)=f(x)-x\).
1.a) Vérifier que \(h(1)=0\).
Correction détaillée
🔢 \(h(1)=f(1)-1=0\).
✅ \(h(1)=0\).
1.b) Déterminer le signe de \(h(x)\) sur chacun des intervalles \(]0,1]\) et \([1,+\infty[\), puis en déduire que \(f(x)\leq x\) pour tout \(x\) de \([1,+\infty[\).
Correction détaillée
⚠️ Dans l’énoncé, ce signe est lu graphiquement sur la courbe de \(h\) ; on le démontre ici par le calcul.
🔢 Étape 1 : \(h(x)=\dfrac{1-x^2+2\ln^2x}{2x^2}\). Posons \(k(x)=1-x^2+2\ln^2x\) : \(k(1)=0\) et \(k'(x)=-2x+\dfrac{4\ln x}x=\dfrac{4\ln x-2x^2}x\).
🔢 Étape 2 : Comme \(\ln x\leq x-1\), \(4\ln x-2x^2\leq-2x^2+4x-4=-2\left(x^2-2x+2\right)<0\) : \(k\) est strictement décroissante, donc \(k\geq0\) sur \(]0,1]\) et \(k\leq0\) sur \([1,+\infty[\).
✅ \(h\geq0\) sur \(]0,1]\), \(h\leq0\) sur \([1,+\infty[\) : \(f(x)\leq x\) pour tout \(x\geq1\).
2.a) On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0=e\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\). Montrer par récurrence que \(1\leq u_n\leq e\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0=e\). \(f\) est croissante sur \([1,+\infty[\) avec \(f(1)=1\) et \(f(e)\leq e\) (III.1.b) : si \(1\leq u_n\leq e\), alors \(1\leq f(u_n)\leq f(e)\leq e\).
✅ \(1\leq u_n\leq e\) pour tout \(n\).
2.b) Montrer que la suite \((u_n)\) est décroissante (on pourra utiliser le résultat de la question III 1) b-).
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=h(u_n)\leq0\).
✅ \((u_n)\) est décroissante.
2.c) En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente et déterminer sa limite.
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Décroissante et minorée par \(1\) : elle converge vers \(\ell\in[1,e]\), avec \(f(\ell)=\ell\iff h(\ell)=0\iff k(\ell)=0\).
🔢 Étape 2 : \(k\) est strictement décroissante et \(k(1)=0\) : \(\ell=1\).
✅ \(\lim u_n=1\).
Exercice 51
Bac 2019 session normale.
Première partie Soit \(f\) définie sur \(]0,+\infty[\) par \(f(x)=x+\dfrac12-\ln x+\dfrac12(\ln x)^2\) ; \((C_f)\) est sa courbe représentative (unité \(1\) cm).
1) Calculer \(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)\) puis interpréter géométriquement le résultat.
Correction détaillée
🔢 \(f(x)=x+\dfrac12+\left(\dfrac12\ln x-1\right)\ln x\) (voir 2.a) : \(\left(\frac12\ln x-1\right)\to-\infty\) et \(\ln x\to-\infty\).
✅ \(\lim\limits_{0^+}f=+\infty\) : asymptote verticale \(x=0\).
2.a) Vérifier que pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\) : \(f(x)=x+\dfrac12+\left(\dfrac12\ln x-1\right)\ln x\).
Correction détaillée
🔢 \(\left(\frac12\ln x-1\right)\ln x=\frac12\ln^2x-\ln x\).
✅ L’égalité est vérifiée.
2.b) En déduire que \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=+\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(\frac12\ln x-1\to+\infty\) et \(\ln x\to+\infty\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}f=+\infty\).
2.c) Montrer que pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\) : \(\dfrac{(\ln x)^2}x=4\left(\dfrac{\ln\sqrt x}{\sqrt x}\right)^2\) puis en déduire que \(\lim\limits_{x\to+\infty}\dfrac{(\ln x)^2}x=0\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\ln x=2\ln\sqrt x\) et \(x=(\sqrt x)^2\) : \(\dfrac{\ln^2x}x=\dfrac{4\ln^2\sqrt x}{(\sqrt x)^2}\).
🔢 Étape 2 : Avec \(t=\sqrt x\to+\infty\) : \(\dfrac{\ln t}t\to0\).
✅ \(\lim\limits_{+\infty}\dfrac{(\ln x)^2}x=0\).
2.d) Montrer que \((C_f)\) admet au voisinage de \(+\infty\) une branche parabolique dont la direction asymptotique est la droite \((\Delta)\) d’équation \(y=x\).
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{f(x)}x=1+\dfrac1{2x}-\dfrac{\ln x}x+\dfrac{\ln^2x}{2x}\to1\) et \(f(x)-x=\dfrac12-\ln x+\dfrac12\ln^2x\to+\infty\).
✅ Branche parabolique de direction \((\Delta):y=x\).
3.a) Montrer que pour tout \(x\) de \(]0,1]\) : \((x-1)+\ln x\leq0\) et que pour tout \(x\) de \([1,+\infty[\) : \((x-1)+\ln x\geq0\).
Correction détaillée
🔢 \(\varphi(x)=x-1+\ln x\) est strictement croissante (\(\varphi’=1+\frac1x>0\)) et \(\varphi(1)=0\).
✅ \(\varphi\leq0\) sur \(]0,1]\) et \(\varphi\geq0\) sur \([1,+\infty[\).
3.b) Montrer que pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\) : \(f'(x)=\dfrac{x-1+\ln x}x\).
Correction détaillée
🔢 \(f'(x)=1-\dfrac1x+\dfrac{\ln x}x=\dfrac{x-1+\ln x}x\).
✅ \(f'(x)=\dfrac{x-1+\ln x}x\).
3.c) Dresser le tableau de variations de la fonction \(f\).
Correction détaillée
🔢 Signe de \(f’\) : celui de \(\varphi\). \(f(1)=1+\frac12=\frac32\).
✅ \(f\) décroît de \(+\infty\) à \(\frac32\) sur \(]0,1]\), puis croît de \(\frac32\) à \(+\infty\) sur \([1,+\infty[\).
4.a) Montrer que pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\) : \(f »(x)=\dfrac{2-\ln x}{x^2}\).
Correction détaillée
🔢 \(f »(x)=\dfrac{\left(1+\frac1x\right)x-(x-1+\ln x)}{x^2}=\dfrac{x+1-x+1-\ln x}{x^2}\).
✅ \(f »(x)=\dfrac{2-\ln x}{x^2}\).
4.b) En déduire que \((C_f)\) admet un point d’inflexion dont on déterminera les coordonnées.
Correction détaillée
🔢 \(f »\) s’annule en changeant de signe pour \(\ln x=2\), soit \(x=e^2\). \(f(e^2)=e^2+\frac12-2+\frac12\times4\).
✅ Point d’inflexion \(\left(e^2,\;e^2+\dfrac12\right)\).
5.a) Montrer que pour tout \(x\) de \(]0,+\infty[\) : \(f(x)-x=\dfrac12(\ln x-1)^2\), puis en déduire la position relative de \((C_f)\) et \((\Delta)\).
Correction détaillée
🔢 \(\frac12(\ln x-1)^2=\frac12\ln^2x-\ln x+\frac12=f(x)-x\).
✅ \(f(x)-x\geq0\) : \((C_f)\) est au-dessus de \((\Delta)\), avec contact en \(x=e\).
6.a) Montrer que \(H:x\mapsto x\ln x-x\) est une primitive de la fonction \(h:x\mapsto\ln x\) sur \(]0,+\infty[\).
Correction détaillée
🔢 \(H'(x)=\ln x+1-1\).
✅ \(H’=h\).
6.b) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que \(\displaystyle\int_1^e(\ln x)^2dx=e-2\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(u=\ln x\), \(u’=\frac1x\), \(v’=\ln x\), \(v=x\ln x-x\).
🔢 Étape 2 : \(\displaystyle\int_1^e\ln^2x\,dx=\left[x\ln^2x\right]_1^e-2\int_1^e\ln x\,dx=e-2\left[x\ln x-x\right]_1^e=e-2\).
✅ \(\displaystyle\int_1^e(\ln x)^2dx=e-2\).
6.c) Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine plan limité par \((C_f)\) et \((\Delta)\) et les droites d’équations \(x=1\) et \(x=e\).
Correction détaillée
🔢 \(\mathcal A=\displaystyle\int_1^e\left(f(x)-x\right)dx=\int_1^e\left(\dfrac12\ln^2x-\ln x+\dfrac12\right)dx=\dfrac12(e-2)-1+\dfrac{e-1}2\).
✅ \(\mathcal A=\left(e-\dfrac52\right)\) cm\(^2\).
Deuxième partie Soit \((u_n)\) la suite numérique définie par \(u_0=1\) et \(u_{n+1}=f(u_n)\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\).
1.a) Montrer par récurrence que : \(1\leq u_n\leq e\) pour tout \(n\) de \(\mathbb N\).
Correction détaillée
🔢 \(u_0=1\). \(f\) est croissante sur \([1,e]\), \(f(1)=\frac32\geq1\) et \(f(e)=e+\frac12-1+\frac12=e\) : si \(1\leq u_n\leq e\), alors \(1\leq f(1)\leq u_{n+1}\leq f(e)=e\).
✅ \(1\leq u_n\leq e\) pour tout \(n\).
1.b) Montrer que la suite \((u_n)\) est croissante.
Correction détaillée
🔢 \(u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n=\frac12(\ln u_n-1)^2\geq0\).
✅ \((u_n)\) est croissante.
1.c) En déduire que la suite \((u_n)\) est convergente.
Correction détaillée
🔢 Croissante et majorée par \(e\).
✅ \((u_n)\) est convergente.
2) Calculer la limite de la suite \((u_n)\).
Correction détaillée
🔢 La limite \(\ell\in[1,e]\) vérifie \(f(\ell)=\ell\iff\frac12(\ln\ell-1)^2=0\iff\ell=e\).
✅ \(\lim u_n=e\).