Ce devoir 1 (modèle 3) du semestre 2 pour le Tronc Commun est proposé avec une correction détaillée pour bien préparer le contrôle. Retrouvez les autres leçons dans la catégorie Tronc Commun.
Devoir 1 modèle 3 semestre 2 corrigé Tronc Commun
Devoir 1 · Modèle 3 · Semestre 2 · Tronc Commun
📌 Corrigé détaillé · Évaluation N°1 – 2ᵉ semestre – 07/03/2017⏱️ Clique sur + pour voir la correction🟢 facile · 🟠 moyen · 🔴 difficile
Exercice 1
\(f(x) = \dfrac{x^2 – 2x}{3x^2 – 7x + 2}\) si \(x > 2\) ; \(f(x) = \dfrac{-3x + 1}{(x – 2)^2}\) si \(x < 2\).
1) Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : En \(+\infty\) : \(\dfrac{x^2}{3x^2} = \dfrac{1}{3}\).
🔢 Étape 2 : En \(-\infty\) : \(\dfrac{-3x}{x^2} = -\dfrac{3}{x} \to 0\).
✅ \(\lim\limits_{x \to +\infty} f = \dfrac{1}{3}\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} f = 0\).
2) Calculer \(\lim\limits_{x \to 2^+} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to 2^-} f(x)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : À droite : \(3x^2 – 7x + 2 = (3x – 1)(x – 2)\) et \(x^2 – 2x = x(x – 2)\). Pour \(x > 2\) : \(f(x) = \dfrac{x}{3x – 1} \to \dfrac{2}{5}\).
🔢 Étape 2 : À gauche : numérateur \(\to -5\), dénominateur \((x – 2)^2 \to 0^+\), donc \(\dfrac{-5}{0^+} = -\infty\).
✅ \(\lim\limits_{x \to 2^+} f = \dfrac{2}{5}\) et \(\lim\limits_{x \to 2^-} f = -\infty\).
Exercice 2 – Limites
Calculer :
1) \(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{-5x^3 + 2x^2 + 1}{2x + 8}\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{-5x^3}{2x} = -\dfrac{5}{2}x^2 \to -\infty\).
✅ \(-\infty\).
2) \(\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2 + 3x + 7}}{5x}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Pour \(x < 0\) : \(\sqrt{4x^2 + 3x + 7} = -x\sqrt{4 + \frac{3}{x} + \frac{7}{x^2}}\).
🔢 Étape 2 : Le quotient vaut \(\dfrac{-x\sqrt{4 + \ldots}}{5x} = -\dfrac{\sqrt{4 + \ldots}}{5} \to -\dfrac{2}{5}\).
✅ \(-\dfrac{2}{5}\).
3) \(\lim\limits_{x \to -1} \dfrac{\sqrt{x + 5} – 2}{x + 1}\)
Correction détaillée
🔢 Conjugué : \(\dfrac{(x + 5) – 4}{(x + 1)(\sqrt{x + 5} + 2)} = \dfrac{1}{\sqrt{x + 5} + 2}\).
✅ \(\dfrac{1}{4}\).
4) \(\lim\limits_{x \to +\infty}\left(3x + \sqrt{x^2 + 7}\right)\)
Correction détaillée
🔢 Les deux termes tendent vers \(+\infty\).
✅ \(+\infty\).
5) \(\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\sqrt{9x^2 + 5} – 3x\right)\)
Correction détaillée
🔢 Conjugué : \(\dfrac{5}{\sqrt{9x^2 + 5} + 3x} \to 0\).
✅ \(0\).
6) \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{1 – \cos 3x}{x \tan x}\)
Correction détaillée
🔢 \(\dfrac{1 – \cos 3x}{x\tan x} = \dfrac{1 – \cos 3x}{(3x)^2} \times 9 \times \dfrac{x}{\tan x}\) \(\to \dfrac{1}{2} \times 9 \times 1\).
✅ \(\dfrac{9}{2}\).
7) \(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{\sqrt{1 + x} – \sqrt{1 – x}}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : Conjugué : \(\sqrt{1 + x} – \sqrt{1 – x} = \dfrac{2x}{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 – x}}\).
🔢 Étape 2 : Donc l’expression vaut \(\dfrac{\sin x}{x} \times \dfrac{\sqrt{1 + x} + \sqrt{1 – x}}{2} \to 1 \times \dfrac{2}{2}\).
✅ \(1\).
8) \(\lim\limits_{x \to 2^+} \dfrac{x + \sqrt{x^2 – 2x} – 2}{x – 2}\)
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(x – 2 + \sqrt{x(x – 2)}\), divisé par \((x – 2)\) : \(1 + \dfrac{\sqrt{x}\sqrt{x – 2}}{x – 2} = 1 + \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x – 2}}\) pour \(x > 2\).
🔢 Étape 2 : Quand \(x \to 2^+\) : \(\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x – 2}} \to \dfrac{\sqrt{2}}{0^+} = +\infty\).
✅ \(+\infty\).
Exercice 3
\(f(x) = \sqrt{x} – x(3 + \sin x)\) sur \([0 ; +\infty[\).
1) Montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty}(\sqrt{x} – 2x) = -\infty\).
Correction détaillée
🔢 \(\sqrt{x} – 2x = x\left(\dfrac{1}{\sqrt{x}} – 2\right)\) avec \(\dfrac{1}{\sqrt{x}} – 2 \to -2\) et \(x \to +\infty\).
✅ \(\lim\limits_{x \to +\infty}(\sqrt{x} – 2x) = -\infty\).
2) a) Montrer que \(\forall x \geq 0\), \(f(x) \leq \sqrt{x} – 2x\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(\sin x \geq -1\), donc \(3 + \sin x \geq 2\) et, comme \(x \geq 0\) : \(x(3 + \sin x) \geq 2x\).
🔢 Étape 2 : Donc \(f(x) = \sqrt{x} – x(3 + \sin x) \leq \sqrt{x} – 2x\).
✅ \(f(x) \leq \sqrt{x} – 2x\).
2) b) Déduire \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\).
Correction détaillée
🔢 \(f(x) \leq \sqrt{x} – 2x\) et \(\sqrt{x} – 2x \to -\infty\). Par comparaison, \(f(x) \to -\infty\).
✅ \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -\infty\).
Exercice 4
1) Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{1}{2}\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(-\dfrac{1}{2} = \cos\dfrac{2\pi}{3}\). Donc \(2x + \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\) ou \(2x + \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{2\pi}{3} + 2k\pi\).
🔢 Étape 2 : \(2x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \Rightarrow x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi\). \(2x = -\pi + 2k\pi \Rightarrow x = -\dfrac{\pi}{2} + k\pi\).
✅ \(S = \left\{\dfrac{\pi}{6} + k\pi\right\} \cup \left\{-\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right\}\), \(k \in \mathbb{Z}\).
2) a) \(A(x) = 5\cos^2 x – 2\sqrt{3}\sin x\cos x + 3\sin^2 x\). Calculer \(A\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\) et \(A\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : En \(\dfrac{\pi}{4}\) : \(\cos^2 = \sin^2 = \sin\cos = \dfrac{1}{2}\). \(A = \dfrac{5}{2} – \sqrt{3} + \dfrac{3}{2} = 4 – \sqrt{3}\).
🔢 Étape 2 : En \(\dfrac{\pi}{6}\) : \(\cos^2 = \dfrac{3}{4}\), \(\sin^2 = \dfrac{1}{4}\), \(\sin\cos = \dfrac{\sqrt{3}}{4}\). \(A = \dfrac{15}{4} – \dfrac{6}{4} + \dfrac{3}{4} = 3\).
✅ \(A\left(\frac{\pi}{4}\right) = 4 – \sqrt{3}\) et \(A\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3\).
2) b) Montrer que \(A(x) = \cos 2x – \sqrt{3}\sin 2x + 4\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(5\cos^2 x = \dfrac{5(1 + \cos 2x)}{2}\) et \(3\sin^2 x = \dfrac{3(1 – \cos 2x)}{2}\) ; leur somme vaut \(4 + \cos 2x\).
🔢 Étape 2 : \(2\sqrt{3}\sin x\cos x = \sqrt{3}\sin 2x\). Donc \(A(x) = 4 + \cos 2x – \sqrt{3}\sin 2x\).
✅ \(A(x) = \cos 2x – \sqrt{3}\sin 2x + 4\).
2) c) Montrer que \(A(x) = 2\cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) + 4\).
Correction détaillée
🔢 \(\cos 2x – \sqrt{3}\sin 2x = 2\left(\dfrac{1}{2}\cos 2x – \dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x\right) = 2\cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right)\).
✅ \(A(x) = 2\cos\left(2x + \dfrac{\pi}{3}\right) + 4\).
3) Résoudre dans \([-\pi ; \pi]\) : \(A(x) = 3\).
Correction détaillée
🔢 Étape 1 : \(2\cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) + 4 = 3 \iff \cos\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = -\frac{1}{2}\) : on retrouve la question 1.
🔢 Étape 2 : Solutions : \(x = \dfrac{\pi}{6} + k\pi\) et \(x = -\dfrac{\pi}{2} + k\pi\). Dans \([-\pi ; \pi]\) : \(\dfrac{\pi}{6}\), \(\dfrac{\pi}{6} – \pi = -\dfrac{5\pi}{6}\), \(-\dfrac{\pi}{2}\), \(\dfrac{\pi}{2}\).
✅ \(S = \left\{-\dfrac{5\pi}{6} ; -\dfrac{\pi}{2} ; \dfrac{\pi}{6} ; \dfrac{\pi}{2}\right\}\).