Entraînement
Série 1
Exercice 1
Calculer :
\(\sqrt{98^{2}} ;(4 \sqrt{3})^{2} ;-5(\sqrt{11})^{2} ; \sqrt{(-8})^{2} ; \sqrt{0,04 a^{4}}\)
\(\sqrt{100}-\sqrt{16} ; \sqrt{(169-25)^{2}} ; \sqrt{64+6^{2}} ;\)
\(\frac{\sqrt{2017}}{\sqrt{2016}})^{2}\)
\(\sqrt{3^{2} \times 7^{4}} ; \sqrt{6^{2}+3^{2}+2^{2}} ;\)
\(\quad \sqrt{0,49 \times 0,09}0,81 \times 0,36\)
Exercice 2
a est un nombre réel positif.
Simplifier :
\(\sqrt{36 \mathrm{a}^{2}} ; \sqrt{144 \mathrm{a}^{2}+25 \mathrm{a}^{2}}\)
\(\sqrt{\frac{\mathrm{a}^{2}}{16}}+\sqrt{\frac{\mathrm{a}^{2}}{9}} ; \sqrt{225 \mathrm{a}^{2}}-\)\(\sqrt{121 \mathrm{a}^{2}}\)
Exercice 3
Sachant que: \(567^{2}=321489\), calculer mentalement :
\(\sqrt{321489} ; \sqrt{32,1489} ; \sqrt{32148900} \text {. }\)
Exercice 4
Ecrire chacun des nombres donnés sans radical.
\(\sqrt{0,0081} ; \sqrt{144} ; \sqrt{13^{2}} ; \sqrt{(-10)^{8}} ;\)
\(\sqrt{\frac{1}{49}} ; \sqrt{\frac{0,04}{625}} ; \sqrt{\frac{1,21}{0,64}}\)
Exercice 5
Recopier et compléter les égalités :
– \(\sqrt{24}=\sqrt{\ldots . . . \times 6}=\sqrt{\ldots} \times \sqrt{6}=\ldots \sqrt{6}\)
– \(\sqrt{32}=\sqrt{\ldots \times 2}=\sqrt{\ldots . . .} \times \sqrt{2}=\ldots \sqrt{2}\)
– \(\sqrt{48}=\sqrt{16 \times \ldots}=\sqrt{16} \times \sqrt{\ldots}=4 \sqrt{\ldots}\)
– \(5 \sqrt{2}=\sqrt{\ldots . .} \times \sqrt{2}=\sqrt{\ldots . . \times 2}=\sqrt{\ldots .}\)
– \(-3 \sqrt{11}=-\sqrt{\ldots . .} \times \sqrt{11}=-\sqrt{\ldots . . . \times 11}=-\sqrt{\ldots .}\)
Exercice 6
Ecrire chacun des nombres suivants sous la forme \(\sqrt{\mathrm{a}}\) où a est un rationnel positif.
\(5 \sqrt{3} ; 2 \sqrt{7} ; 6 \sqrt{6} ; \frac{3}{4} \sqrt{32} ; 13 \sqrt{7} ; 7 \frac{\sqrt{338}}{14} .\)
Exercice 7
Calculer les produits suivants :
\(\sqrt{3} \times \sqrt{12} ; \sqrt{7} \times \sqrt{28} ; \sqrt{19} \times \sqrt{76} ; \sqrt{30} \times \sqrt{120} ; \sqrt{50} \times \sqrt{\frac{1}{2}}\)
\(\sqrt{\frac{9}{10}} \times \sqrt{\frac{40}{81}} ; \sqrt{14} \times \sqrt{6} \times \sqrt{21} ; \sqrt{55} \times \sqrt{33} \times \sqrt{15}\).
Exercice 8
a et \(b\) sont deux nombres réels positifs non nuls.
Simplifier :
\(A=\sqrt{\frac{25 a^{2}}{9}} ; B=\frac{1}{\sqrt{b}} \times \sqrt{\frac{b}{a}} \times \sqrt{b a}\)
\(C=\sqrt{\frac{b}{a}} \times \sqrt{b^{2} a} \times \frac{1}{\sqrt{b}} ; D=\sqrt{b^{3}} \times \sqrt{a b} \times \sqrt{b}\)
\(E=\frac{\sqrt{b a^{3}} \times \sqrt{a b^{2}} \times \sqrt{(b a)^{3}}}{\sqrt{a b^{4}} \times \sqrt{b^{6}}} .\)
Série 2
Exercice 9
Simplifier :
\(D=3 \sqrt{8}-\sqrt{32}+\sqrt{72}+3 \sqrt{128}\)
\(E=2 \sqrt{80}-\sqrt{45}+\sqrt{20} \quad ; \quad F=-\sqrt{54}+4 \sqrt{24}+3 \sqrt{6}\)
\(G=\sqrt{125}-3 \sqrt{45}-\sqrt{20}-2 \sqrt{80}\)
\(H=\sqrt{36 a}-\sqrt{64 a}+2 \sqrt{16 a} \quad(\text { où } a>0 \text { ) }\)
\(I=2 \sqrt{25 a b^{2}}+\sqrt{16 a b^{2}}-4 \sqrt{9 a b^{2}} \quad \text { (où a }>0 \text { et } b>0 \text { ) }\)
\(J=\sqrt{\sqrt{961}-\sqrt{729}}\)
\(K=\sqrt{2 \sqrt{45}-3 \sqrt{20}}\)
Exercice 10
Simplifier :
\(L=2(\sqrt{2}-1)+\sqrt{2}(-\sqrt{2}+2)\)
\(M=(\sqrt{5}+3)(\sqrt{5}-3)+(\sqrt{5}+2)^{2}\)
\(N=\sqrt{\sqrt{49}+2}-3 \sqrt{25} ;\)
\(O=\sqrt{7}+2 \sqrt{6} \times \sqrt{7-2 \sqrt{6}}\)
\(P=\sqrt{20}-8 \sqrt{6} \times \sqrt{45+18 \sqrt{6}}\)
\(Q=\sqrt{2} \sqrt{10}-\sqrt{2} \times \sqrt{10}+\sqrt{2} .\)
Exercice 11
Développer et réduire :
\(R=(1+\sqrt{2})(3 \sqrt{2}-2)\)
\(S=(3+\sqrt{3})^{2}-(2-3 \sqrt{3})^{2}\)
\(T=(1-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})-(3-2 \sqrt{2})(4+\sqrt{2})\)
\(U=(\sqrt{2}-\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{5}-2)(\sqrt{5}+2)\)
\(V=(1-\sqrt{2}+\sqrt{3})(1+\sqrt{2}-\sqrt{3})\)
Exercice 12
Ecrire les nombres donnés sans radical.
\(X=\sqrt{17+\sqrt{60+\sqrt{14+\sqrt{4}}}}\)
\(Y=\sqrt{75+\sqrt{41-\sqrt{3^{2}+\sqrt{16^{2}}}}}\)
\(\mathrm{Z}=\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{9}}}}\)
\(\mathrm{~W}=\sqrt{(\frac{5}{6})^{2}+(\frac{2}{3})^{2}-(\frac{1}{3})^{2}-(\frac{1}{6})^{2}}\)
Exercice 13
Rendre rationnel les dénominateurs des nombres suivants :
1) \(\frac{2}{\sqrt{3}} ; \frac{-\sqrt{5}}{\sqrt{2}} ; \frac{1+\sqrt{7}}{\sqrt{7}} ; \frac{-1+\sqrt{6}}{2 \sqrt{6}}\)
2) \(\frac{2 \sqrt{2}-3}{2 \sqrt{2}+3} ; \frac{\sqrt{3}-\sqrt{5}}{2+\sqrt{5}} ; \frac{\sqrt{48}-2 \sqrt{75}}{\sqrt{27}+\sqrt{12}}\)
3) \(\frac{2}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}} ; \frac{\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}\)
Exercice 14
Rendre rationnel les dénominateurs des nombres suivants puis calculer :
a =\(\frac{3 \sqrt{3}-2}{\sqrt{3}-1}+\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\) ;
b =\(\frac{\sqrt{5}-\sqrt{6}}{\sqrt{5}+\sqrt{6}} – \frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{6}-\sqrt{5}}\) ;
Exercice 15
Recopier et compléter les égalités suivantes :
\(\sqrt{\ldots \ldots}=25 ; \sqrt{1,96}=\ldots .\)
\(\sqrt{(\ldots . .)^{2}}=111 ; \sqrt{\frac{36}{\ldots .}}=\frac{\ldots}{13}\)
\((-\sqrt{\ldots})^{2}=0,07 ; -\sqrt{81}=\ldots\)
Exercice 16
Ecrire les nombres suivants sous la forme \(a \sqrt{b}\) où a et b sont deax entiers naturels, b étant le plus petit possible.
\(\sqrt{12} ; \sqrt{20} ; \sqrt{192} ; \sqrt{48} ; \sqrt{605} ; \sqrt{6 \times 2^{2}}\)
\(\sqrt{21 \times 7} ; \sqrt{3 \times 6} ; \sqrt{147} ; \frac{\sqrt{98}}{7} ; 3 \sqrt{242}\)
Exercice 17
Calculer les produits suivants :
\(\sqrt{360} \times \sqrt{18} \times \sqrt{605} ; \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{75}}{\sqrt{32 \times \sqrt{3}}} ; \sqrt{\frac{8}{45}} \times \frac{\sqrt{25}}{\sqrt{10}}\)
Exercice 18
1) Calculer : \(3 \sqrt{5} \times 4 \sqrt{5} ; 3 \sqrt{5}+4 \sqrt{5}\).
\(-2 \sqrt{11} \times 5 \sqrt{11} ; \quad-2 \sqrt{11}+5 \sqrt{11}\)
\(2) Calculer :\)
\(A=3 \sqrt{5} \times 5 \sqrt{2} \times 2 \sqrt{10}\)
\(B=4 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{2}\)
\(C=2(\sqrt{6}-\sqrt{5})-(\sqrt{6}+3 \sqrt{5})-3\)
Approfondissement
Exercice 1
Soit \(x\) un nombre réel positif tel que: \(x-2 \sqrt{\frac{3}{x}}=5\)
Calculer: \(x-\sqrt{3 x}\)
Exercice 2
Résoudre les équations suivantes.
1) \(4 x^{2}-3=13\)
2) \(7 x^{2}-2=3 x^{2}+2\)
3) \(x^{2}+9=0\)
4) \(x^{2}=\sqrt{3}+1\)
Exercice 3
1) Calculer: \(\quad(7-2 \sqrt{2})^{2}\).
2) En déduire: \(\sqrt{57-28 \sqrt{2}}\).
Exercice 4
Compléter : \(11-6 \sqrt{2}=(3-\ldots)^{2}\)
\(10+4 \sqrt{6}=(\sqrt{6}+\ldots)^{2}\)
\(17-4 \sqrt{15}=(\ldots-\sqrt{5})^{2}\)
Exercice 5
Simplifier : \(\quad E=\sqrt{10+4 \sqrt{6}}-\sqrt{15+6 \sqrt{6}}\)
ExerIce 6
Simplifier A et B :
\(\mathrm{B}=\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2}}} \times \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}} \times \sqrt{2+\sqrt{2}} \times \sqrt{2}\)
Exercice 7
On donne :
\(\mathrm{a}=(\sqrt{5}-1)^{2} ; \mathrm{b}=(\sqrt{2}+1)^{2} ; \quad \mathrm{c}=(\sqrt{5}-1)(\sqrt{2}+1)\)
Calculer \(\mathrm{A}\) : \(\mathrm{A}=\sqrt{\mathrm{a}+2 \mathrm{c}+\mathrm{b}}\)
Exercice 8
On considère l’expression: \(a=\sqrt{7+4 \sqrt{3}}+\sqrt{7-43}\)
1) Calculer \(\mathrm{a}^{2}\) :
2) En déduire une écriture simplifiée de a.
Exercice 9
a et \(b\) sont deux nombres réels positifs tels que \(a \geq b\).
Montrer que: \(\sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{a-b}}\).
\(\sqrt{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=\sqrt{2} \sqrt{\sqrt{a}-\sqrt{a-b}}\)
Exercice 10
Soit : \(\quad \mathrm{a}=\sqrt{5}+3\) et \(\mathrm{b}=\sqrt{5}-3\).
1) Calculer \(a^{2}, b^{2}, a \times b\).
2) Montrer que \(\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\) est un entier relatif.
3) Simplifier \(\sqrt{14+6 \sqrt{5}}\).
Exercice 11
1) Calculer l’aire du triangle EFG.
2) Calculer l’aire du rectangle FGHI.
Exercice 12
Soit \(b\) tel que : \(b^{2}=\sqrt{6}+\sqrt{5}\)
Calculer en fonction de b l’expression :
\(\sqrt{\sqrt{6}+1}+\sqrt{\sqrt{6}-1}\)
Exercice 13
a et b sont deux nombres réels positifs.
Montrer que: \((\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}+(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}=2(a+b)\).
\((\sqrt{a}+\sqrt{b})^{2}-(\sqrt{a}-\sqrt{b})^{2}=4 \sqrt{a b}\)
Exercice 14
Soit \(x\) un nombre réel positif tel que : \(x+\sqrt{x}=1\)
Calculer: \((x+\frac{1}{x})^{2022}\)
Exercice 15
a et \(\mathbf{b}\) sont deux nombres reels tels que : \(a>1\) et \(b \geq 0\)
Montrer que:
\(\sqrt{b} \times \frac{\sqrt{1+\frac{2 a}{1+a^{2}}}+\sqrt{1-\frac{2 a}{1+a^{2}}}}{\sqrt{b+\frac{2 a b}{1+a^{2}}}-\sqrt{b-\frac{2 a b}{1+a^{2}}}}=a\)
Exercice 16
a et b sont deux nombres réels tels que \(\mathrm{a}^{2}>\mathbf{b}\).
1) Montrer que :
\(\sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}\)
\(\sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^{2}-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^{2}-b}}{2}}\)
2) En déduire l’écriture simplifíe de chacun des nombres suivants :
\(\sqrt{5+\sqrt{24}} ; \sqrt{7-4 \sqrt{3}} ; \sqrt{19+6 \sqrt{2}} ;\)
\(\sqrt{79-24 \sqrt{7}} \text { et } \sqrt{43+30 \sqrt{2}}\)
Devoir
Exercice 1
Simplifier et calculer :
\(a=3 \sqrt{12}-\sqrt{75}+2 \sqrt{27}\)
\(b=\sqrt{\sqrt{5}-1} \times \sqrt{\sqrt{5}+1}\)
\(c=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}+1}-\frac{\sqrt{7}+2}{\sqrt{7}-2}\)
Exercice 2
Simplifier et calculer :
\(A=\sqrt{36}-\sqrt{81}\)
\(B=\sqrt{48} \times \sqrt{3}\)
\(C=4 \sqrt{2}+\sqrt{162}-2 \sqrt{50}\)
\(D=(3-5 \sqrt{2})(3+5 \sqrt{2})-(3+\sqrt{2})^{2}\)
Exercice 3
1) Simplifier et calculer :
\(A=\sqrt{24}-\sqrt{3} \times \sqrt{50}-\sqrt{216}\)
\(B=\sqrt{2}(3-\sqrt{2})^{2}-\sqrt{2}(5-\sqrt{2})\)
2) Montrer que : \((1+\sqrt{3})^{-1}+(1-\sqrt{3})^{-1}=-1\)
Exercice 4
1) Simplifier et calculer :
\(A=3 \sqrt{80}-\sqrt{125}+2 \sqrt{320}\)
\(B=\sqrt{18+8 \sqrt{2}} \times \sqrt{18-8 \sqrt{2}}\)
\(C=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}-\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{6}}\)
2) Montrer que: \(\sqrt{2+\sqrt{3}} \times \sqrt{2}(1-\sqrt{3})=-2\)
Exercice 5
1) Montrer que :
\(4 \sqrt{20}-\sqrt{24}-\sqrt{125}+2 \sqrt{54}=3 \sqrt{5}+4 \sqrt{6}\)
2) Montrer que:
\(\frac{\sqrt{5-\sqrt{7}}}{(2-\sqrt{3}) \sqrt{7+4 \sqrt{3}}}=\frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{5+\sqrt{7}}}\)
Exercice 6
1) Calculer et simplifier :
\(E=\sqrt{\frac{80}{3}}-\frac{2}{3} \sqrt{\frac{90}{6}}+\frac{4}{5} \sqrt{\frac{125}{48}}\)
\(B=\sqrt{3+2 \sqrt{2}} \times \sqrt{3-2 \sqrt{2}} \times \sqrt{45}\)
\(C=\frac{3-\sqrt{2}}{\sqrt{2}+3}-\frac{5}{\sqrt{8}}\)
2) On considère l’expression A :
A=\((x \sqrt{3}-\sqrt{2})(x \sqrt{3}+\sqrt{2})-(x \sqrt{3}-\sqrt{2})(x+\sqrt{2})\)
a. Développer et réduire A.
b. Factoriser A.
c. Calculer A pour : \(x=\frac{\sqrt{6}}{3}\).
Exercice 7
1) On considère les nombres \(x\) et \(y\)
tels que:
\(x=\sqrt{3+\sqrt{5}} \text { et } \mathrm{y}=\sqrt{3-\sqrt{5}}\)
a. Calculer : \(x^{2}, y^{2}, x y\) et \((x-y)^{2}\).
b. En déduire l’écriture simplifiée de \(x-\mathrm{y}\).
c. Montrer que \(\frac{1}{y}-\frac{1}{x}=\frac{1}{\sqrt{2}}\).
2) Déterminer les réels a
tels que :
\(\frac{\sqrt{7}-\sqrt{2}}{a}=\frac{a}{\sqrt{7}+\sqrt{2}}\)
3) Montrer que: \(\sqrt{\frac{\sqrt{5}-2}{\sqrt{5}+2}}-\frac{1}{\sqrt{5}+2}=0\).
Exercice 8
On considère les nombres \(\mathrm{a}, \mathrm{b}\) et \(\mathrm{c}\)
tels que :
\(a=\sqrt{9+4 \sqrt{5}} ; b=\sqrt{9-4 \sqrt{5}} \text { et } c=\sqrt{6+2 \sqrt{5}}\)
1)a. Calculer \((a+b)^{2}\).
b. En déduire \(a+b\).
2)a. Calculer \((1+\sqrt{5})^{2}\).
b. En déduire la simplification de \(\mathrm{c}\).
c. Montrer que \(a-2 c+b=-2\).
Exercice 9
On considère les réels positifs \(x\) et \(y\)
tels que
\(x=\sqrt{5+2 \sqrt{6}} \text { et } y=\sqrt{5-2 \sqrt{6}}\)
1) Montrer que \(x y=1\).
2) On pose : \(\mathrm{a}=x+y\) et \(\mathrm{b}=x-y\).
b- En déduire a et \(b\).
3)a. Vérifier que
\(x=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{2}\) et \(y=\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{2}\).
b. En déduire la simplification de a et \(b\).
Olympiade
Exercices 1
\(a, b, c, x, y\), et \(z\) sont des nombres réels strictement positifs
tels que : \(\frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}\)
Démontrer que :
\(\sqrt{a x}+\sqrt{b y}+\sqrt{c z}=\sqrt{(a+b+c)(x+y+z)}\).
Exercice 2
\(x\) est nombre reel positif
tel que: \(x+\frac{1}{x}=5\) et \(x^{2}+\frac{1}{x^{3}}=8\)
Calculer \(x^{3}+\frac{1}{x^{2}}\).
Exercice 3
\(x\) est un nombre réel positif
tel que : \(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=3\)
Calculer \(\sqrt{x}+\frac{1}{\sqrt{x}}\).
Exercice 4
\(x\) et \(y\) sont deux nombres réels positifs
tels que :
\(\sqrt{x+1}-\sqrt{y+1}=\sqrt{x}-\sqrt{y}\). Montrer que : \(x=y\)
Exercice 5
Montrer que le nombre \(\frac{2(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{3 \sqrt{2+\sqrt{3}}}\) est rationnel.
Exercice 6
a et b sont deux nombres réels positifs
tels que: \(a-\sqrt{b}=4\) et \(a^{2}-b=20\). Calculer ab.
Exercice 7
a et b sont deux nombres réels tels que :
Exercice 8
Une boîte a la forme d’un parallélépipède rectangle ABCDEFGH
tel que: EABEF est un carré et AD=25cm.
Cette boîte est remplie d’eau au quart.
Sachant que le volume d’eau versce est260 \(cm^{3}\),
calculer alors DC.
Exercice 9
Montrer que : \(\sqrt{3+2 \sqrt{2}}+\sqrt{3-2 \sqrt{2}}=\sqrt{8}\)
\sqrt{12-6 \sqrt{3}}-\sqrt{21+12 \sqrt{3}}=-3 \sqrt{3} \text {. }
Situation 1:
\(x\) est un nombre réel, tel que: \(x^{2}-3 x=8\)
Calculer: \(\quad \sqrt{\frac{x-3}{x}}-\sqrt{\frac{x}{x-3}}\)
Situation 2:
a , b et c sont des réels strictement positifs tels que : \(a+c=2 b\).
Montrer que: \(\frac{1}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}=\frac{2}{\sqrt{a}+\sqrt{c}} .\)
Situation 3:
\(x\) est un nombre strictement positif.
Sachant que : \(\frac{x^{3}+1}{x^{2}-1}=x+\sqrt{\frac{6}{x}}\).
Calculer: \(x+\frac{1}{x}\).