Les nombres réels x₁,x₂,x₃
sont solutions de l’équation :
x³-3x²+(a+2)x-a=0
avec a∊IR & (x₁<x₂<x₃).
Trouver toutes les valeurs possibles
de l’expression: 4x₁-x₁²+x₃²
Solution:
on pose: p(x)=x³-3x²+(a+2)x-a
on a: p(1)=0
le nombre 1 est une racine du polynôme p(x)
division euclidienne de p(x) par (x-1):
p(x)=(x-1)Q(x)
avec Q(x)=x²-2x+a
on a: p(1)=0
le nombre 1 est une racine du polynôme p(x)
division euclidienne de p(x) par (x-1):
p(x)=(x-1)Q(x)
avec Q(x)=x²-2x+a
d’après l’hypothèse Q(x) admis deux solutions α et β
avec α<β
on a:
{α,β}∊{x₁,x₂,x₃} et α+β=2
α<β⇒α+β<2β⇒2<2β⇒1<β
α<β⇒2α<α+β⇒2α<2⇒α<1
d’où: x₁=α,x₂=1 et x₃=β
avec α<β
on a:
{α,β}∊{x₁,x₂,x₃} et α+β=2
α<β⇒α+β<2β⇒2<2β⇒1<β
α<β⇒2α<α+β⇒2α<2⇒α<1
d’où: x₁=α,x₂=1 et x₃=β
alors : la valeurs possibles de l’expression
4x₁-x₁²+x₃²=4α-α²+β²=4α-α²+(2-α)²=4α-α²+4-4α+α²
donc: 4x₁-x₁²+x₃²=4.
donc: 4x₁-x₁²+x₃²=4.